第7章 扭转的强度和刚度计算
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Mn Mn ＝ d＝ dx＝ GI P GI P l 0 M n i li M nl dx ＝ 或＝ GI P GI P 0
例题
如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m， m2＝2.3KN·m， m3＝ 1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模 量G＝80GPa，试计算φ AB和φ AC。 4
3
16M x ,max
51.3 10
6
0.053m
实心轴的横截面面积为
A1
空心轴的横截面面积
4
D1 2205mm2
2
A2
4
( D 2 d 2 ) 687 mm2
空心轴与实心轴的重量之比：
G2 A2 687 31% G1 A1 2205
因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。
• 按强度条件
3502
－
x
7004
max
M n max M n max 3 d WP 16
16M n max
d 3
3 16 7004
40 10
6
0.096m 9.6cm
• 按刚度条件
max
M n max 1800 M n max 1800 4 d GI P G 32
d
d
3 2 d I P dA 2 d
d 2
2
2
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
I P 2 d
3
D 2 d 2
D 32
4
4
d
4
D 3
16
d D
IP
D
4
32
1
WP
第7章 扭转的强度和刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算 7.1 圆杆扭转时的应力和变形计算
1 受扭圆轴横截面上的剪应力
公式推导过程
Me Me
变形几何 平面假定
Mn
Mn
d
d
x
dx
dx
d dx
G
G
M n IP
dA M n
壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。
已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相
当，则实心轴的直径
D1
3
为？
解： 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：
Wp
16
D (1 )
4
D3
D 2t 4 [1 ( ) ] 16 D
25.5MPa
16
d3
M1
M2
d C
A l
B
l
（2）扭转角
截面B：
B AB
M n 2l AB 9 GI p 82 10 (0.1) 4 32
5 103 0.5
0 . 178 0.00311rad
M1
M2
d C
A l
B
l
截面C
M n1l BC C AC AB BC 0.00311 GI p 3 103 0.5 0.00311 9 82 10 (0.1) 4 32
n
300
画扭矩图。
mB mC 9550 mD 9550 ND n
NB 110 9550 3502 N m n 300 140 9550 4456 N m 300
危险截面：AC段。
M n max 7004 N m
T／N.m
4456 ＋
2. 选择实心圆轴直径
1
4
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算
1 扭转角 与剪切角
m
m
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
2 圆轴扭转时的变形计算
d M n dx GI P
l
Mn d dx GI P
l
若二截面间扭矩M n＝const，轴为等直杆，则有：
例题
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从 动轮,力偶矩分别为m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心轴内外 径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ 24。G＝ 80GPa，［τ ］＝60MPa。 M D 3
2 4
M n max 1800 4 D 15 G 32 16
0
m
D 11.6cm
W1 V1 A1l A 1 W2 V2 A2l A2
11.6 1 0.763
2
2 11 . 4 4
例题2
某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,
采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为
①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用；
②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料
分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比 较大，强度和刚度均可提高； ③通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不 变，即指截面图形极惯性矩保持不变。 ④对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。
• 按强度条件 M n max M n max M n max max D 9.8cm 3 3 D D 15 WP 4 1 16 16 • 按刚度条件 16
max
M n max 1800 GI P
由此应选直径 3. 重量比
D=11.6cm，d＝D／2＝5.8cm
C
2
M1
1
1
M2
d
解： (1)轴的最大剪应力 作扭矩图：
A
2 l
B
l
C
M n1 M 2 3KN.m
M n 2 M1 M 2 5KN.m
5KN.m
（+） （-） 扭矩图
Leabharlann Baidu
M n max M n 2 5KN.m
因此
max
M n max WP
3KN.m
5 103
1m
4
4
n max
WP
M n max
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件
要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n 1800 l GI P
( m)
mB
例1：钢制传动轴 已知：n＝300（r.p.n）， T/N.m d／D＝1／2， 输入功率: NA＝360kW， 输出功率:NB＝NC＝ 110kW，ND＝140kW；
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 4 236 cm 32
25.1cm
4
AB
BC
M n1L1 0.0318rad GI P1
M n 2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
B
mC C
mA
A 4456
mD
D
＋
o
7004
3502
－
x
0 0 . 3 40 MPa, G 80GPa ,
m
.
试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴 N 360 之重量。 m 9550 A 9550 11460 N m
A
解：1. 计算外力偶矩
0 m
M n max 180 32 7004 180 32 4 d 4 0.114m 11.4 cm 2 9 2 G 80 10 0.3
＝max 9.6,11.4 11.4cm 由此应选直径 d max d强，d刚
2. 选择空心圆轴直径
A
d 2 G dA M n dx A
Ip
d M n dx GI P
截面的极惯性矩
T
T
d
d
x
dx
dx
d dx
G
d 2 G dA M n dx A
Ip
d M n G dx IP
d M Tn dx GI P
0.00125 rad 0.072
（3）BC段孔径d’
由 得
M1
A
M2
d
AB BC
l
B
l
C
解得：
M n2 M n1 GI p 2 GI p1 M n1 4 4 I p1 (d d ) I p 2 32 M n2
M n1 d d 4 1 0.08m 8cm M n2
m2
m1
m3
16
D 78mm M n max 16 3 D 3 d 39mm 1 4 3 500 500 500 D WP 1 4 76.7mm 16 4kN M n 21L 21 0.00734rad GI P 1.5kN M n13 L 5kN 13 0.00917rad GI P 24 21 13 34 0.00458rad 34 M n 34 L 0.00275rad GI P
例题3
图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, m1 8KN.m 。轴的材料为钢，G=80GPa,求
m2 3KN.m
（1）轴的最大剪应力；
（2）截面B和截面C的扭转角；
（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d´应为多大？ 2
m1
1
m2
d
A
2 l
B
1 l
dA M n
A
截面的极惯性矩
(3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式
M n IP
(3)受扭圆轴横截面上 的剪应力计算公式:
M n IP
max
M nr IP Mn WP
IP WP r
扭转截面系数
max
实心圆截面
29.24 106 m3
轴的最大剪应力
max
M x ,max WP
1500 51.3MPa [ ] 60MPa 6 29.24 10
所以此轴安全。
若此轴改为实心轴，而
max
式中
M n max 51.3MPa WP1
W p1
解得：
16
D1
3
D1
例题
如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m， m2＝2.3KN·m， m3＝ 1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模 量G＝80GPa，试计算φ AB和φ AC。 4
3
16M x ,max
51.3 10
6
0.053m
实心轴的横截面面积为
A1
空心轴的横截面面积
4
D1 2205mm2
2
A2
4
( D 2 d 2 ) 687 mm2
空心轴与实心轴的重量之比：
G2 A2 687 31% G1 A1 2205
因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。
• 按强度条件
3502
－
x
7004
max
M n max M n max 3 d WP 16
16M n max
d 3
3 16 7004
40 10
6
0.096m 9.6cm
• 按刚度条件
max
M n max 1800 M n max 1800 4 d GI P G 32
d
d
3 2 d I P dA 2 d
d 2
2
2
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
I P 2 d
3
D 2 d 2
D 32
4
4
d
4
D 3
16
d D
IP
D
4
32
1
WP
第7章 扭转的强度和刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算 7.1 圆杆扭转时的应力和变形计算
1 受扭圆轴横截面上的剪应力
公式推导过程
Me Me
变形几何 平面假定
Mn
Mn
d
d
x
dx
dx
d dx
G
G
M n IP
dA M n
壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。
已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相
当，则实心轴的直径
D1
3
为？
解： 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：
Wp
16
D (1 )
4
D3
D 2t 4 [1 ( ) ] 16 D
25.5MPa
16
d3
M1
M2
d C
A l
B
l
（2）扭转角
截面B：
B AB
M n 2l AB 9 GI p 82 10 (0.1) 4 32
5 103 0.5
0 . 178 0.00311rad
M1
M2
d C
A l
B
l
截面C
M n1l BC C AC AB BC 0.00311 GI p 3 103 0.5 0.00311 9 82 10 (0.1) 4 32
n
300
画扭矩图。
mB mC 9550 mD 9550 ND n
NB 110 9550 3502 N m n 300 140 9550 4456 N m 300
危险截面：AC段。
M n max 7004 N m
T／N.m
4456 ＋
2. 选择实心圆轴直径
1
4
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算
1 扭转角 与剪切角
m
m
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
2 圆轴扭转时的变形计算
d M n dx GI P
l
Mn d dx GI P
l
若二截面间扭矩M n＝const，轴为等直杆，则有：
例题
图示一空心传动轴，轮1为主动轮，力偶矩m1＝9KN·m，轮2、轮3、轮4为从 动轮,力偶矩分别为m2＝4KN·m，m3＝3.5KN·m，m4＝1.5KN·m。已知空心轴内外 径之比d/D＝1/2，试设计此轴的外径D，并求出全轴两端的相对扭转角φ 24。G＝ 80GPa，［τ ］＝60MPa。 M D 3
2 4
M n max 1800 4 D 15 G 32 16
0
m
D 11.6cm
W1 V1 A1l A 1 W2 V2 A2l A2
11.6 1 0.763
2
2 11 . 4 4
例题2
某汽车传动轴，用45号钢无缝钢管制成，其外径D=90mm,
采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为
①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用；
②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料
分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比 较大，强度和刚度均可提高； ③通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不 变，即指截面图形极惯性矩保持不变。 ④对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。
• 按强度条件 M n max M n max M n max max D 9.8cm 3 3 D D 15 WP 4 1 16 16 • 按刚度条件 16
max
M n max 1800 GI P
由此应选直径 3. 重量比
D=11.6cm，d＝D／2＝5.8cm
C
2
M1
1
1
M2
d
解： (1)轴的最大剪应力 作扭矩图：
A
2 l
B
l
C
M n1 M 2 3KN.m
M n 2 M1 M 2 5KN.m
5KN.m
（+） （-） 扭矩图
Leabharlann Baidu
M n max M n 2 5KN.m
因此
max
M n max WP
3KN.m
5 103
1m
4
4
n max
WP
M n max
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件
要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n 1800 l GI P
( m)
mB
例1：钢制传动轴 已知：n＝300（r.p.n）， T/N.m d／D＝1／2， 输入功率: NA＝360kW， 输出功率:NB＝NC＝ 110kW，ND＝140kW；
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 4 236 cm 32
25.1cm
4
AB
BC
M n1L1 0.0318rad GI P1
M n 2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
B
mC C
mA
A 4456
mD
D
＋
o
7004
3502
－
x
0 0 . 3 40 MPa, G 80GPa ,
m
.
试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴 N 360 之重量。 m 9550 A 9550 11460 N m
A
解：1. 计算外力偶矩
0 m
M n max 180 32 7004 180 32 4 d 4 0.114m 11.4 cm 2 9 2 G 80 10 0.3
＝max 9.6,11.4 11.4cm 由此应选直径 d max d强，d刚
2. 选择空心圆轴直径
A
d 2 G dA M n dx A
Ip
d M n dx GI P
截面的极惯性矩
T
T
d
d
x
dx
dx
d dx
G
d 2 G dA M n dx A
Ip
d M n G dx IP
d M Tn dx GI P
0.00125 rad 0.072
（3）BC段孔径d’
由 得
M1
A
M2
d
AB BC
l
B
l
C
解得：
M n2 M n1 GI p 2 GI p1 M n1 4 4 I p1 (d d ) I p 2 32 M n2
M n1 d d 4 1 0.08m 8cm M n2
m2
m1
m3
16
D 78mm M n max 16 3 D 3 d 39mm 1 4 3 500 500 500 D WP 1 4 76.7mm 16 4kN M n 21L 21 0.00734rad GI P 1.5kN M n13 L 5kN 13 0.00917rad GI P 24 21 13 34 0.00458rad 34 M n 34 L 0.00275rad GI P
例题3
图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, m1 8KN.m 。轴的材料为钢，G=80GPa,求
m2 3KN.m
（1）轴的最大剪应力；
（2）截面B和截面C的扭转角；
（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d´应为多大？ 2
m1
1
m2
d
A
2 l
B
1 l
dA M n
A
截面的极惯性矩
(3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式
M n IP
(3)受扭圆轴横截面上 的剪应力计算公式:
M n IP
max
M nr IP Mn WP
IP WP r
扭转截面系数
max
实心圆截面
29.24 106 m3
轴的最大剪应力
max
M x ,max WP
1500 51.3MPa [ ] 60MPa 6 29.24 10
所以此轴安全。
若此轴改为实心轴，而
max
式中
M n max 51.3MPa WP1
W p1
解得：
16
D1
3
D1