第7章 扭转的强度和刚度计算
圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
材料力学扭转刚度知识点总结
材料力学扭转刚度知识点总结材料力学是力学的一个重要分支，主要研究材料的物理性质和机械行为。
扭转刚度是材料力学中的一个重要概念，用来描述材料对扭转加载的响应。
本文将对材料力学扭转刚度的相关知识点进行总结。
一、扭转刚度的定义扭转刚度是指材料在扭转加载下对外部力矩的抵抗能力。
扭转刚度直接与材料的几何形状、材料的性质以及加载方式有关。
二、扭转刚度的计算方法在计算扭转刚度时，需要考虑两个主要参数：扭转角度和转矩。
扭转角度是指材料在加载时发生的旋转变形，常用弧度来表示。
转矩是施加在材料上的力矩，用来产生扭转变形。
计算扭转刚度的方法有多种，常用的方法包括静态法、动态法和半经验法。
静态法是将扭转过程建模为刚性体的旋转问题，并应用牛顿第二定律进行分析。
动态法则是通过测量材料在一定频率下的振动响应来计算扭转刚度。
半经验法是将理论分析与试验数据相结合进行计算，通常用于复杂加载条件下的扭转刚度计算。
三、影响扭转刚度的因素1. 几何形状：扭转刚度与材料的几何形状密切相关。
例如，圆形截面材料相对于矩形截面材料来说，具有更高的扭转刚度。
2. 材料的性质：不同材料具有不同的扭转刚度。
例如，钢材相对于铝材来说，由于其高强度和高刚度，具有较高的扭转刚度。
3. 载荷方式：不同的加载方式会对扭转刚度产生不同的影响。
例如，纯扭转加载方式下的扭转刚度与剪切加载方式下的扭转刚度不同。
4. 温度：温度对材料的性能有很大影响，进而会影响材料的扭转刚度。
四、应用领域扭转刚度的概念在工程领域有广泛应用。
例如，在建筑结构设计中，需要考虑材料的扭转刚度来保证结构的稳定性和安全性。
同时，在机械工程中，考虑到机械零件的扭转刚度可以帮助设计出更耐用和可靠的机械设备。
另外，扭转刚度还在材料疲劳寿命、材料可塑性等方面具有重要作用。
对于疲劳寿命的预测和控制，了解材料的扭转刚度是至关重要的。
结论材料力学扭转刚度是材料力学中的重要内容，它描述了材料在扭转加载下的变形行为。
扭转习题解答
第7章 圆轴扭转主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。
圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图1. 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。
解：截面上与T 对应的切应力分布图如下：2. 用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图7-2解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。
b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。
3. 作下图各杆的扭矩图。
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。
作出扭矩图。
a) b)图7-3b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。
采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。
作出扭矩图。
圆轴扭转时的应力和强度计算4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。
已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。
材料力学-扭转
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
扭转时的强度计算.
一、强度计算
1 强度条件： 塑性材料： 脆性材料：
Mn max WP 0.5 0.6
0.8 1.0
2 强度计算的三个方面： a、强度校核 b、截面选择 c、许可荷载确定
• 例1
• • • •
Wp
D3
1 16
4
d 90 2 2.5 0.944 D 90
4 3
•将
得
Wp
903
16
1 0.944 29400m m ，代入上式，
Mn 1.5 103 51MPa 60MPa max 9 Wp 2940010
• 所以 该轴满足强度条件。如图为一钢圆轴，两端受外力偶m的作用，已知m=2.5 ，
Mn
KN.m,直径d=60m，许用应力为60MPa。试校核该轴的强度。 由平衡条件，得 （2） 校核强度 由公式 max
• 解：（1 ）计算扭矩
M n m 2.5KN .m
Mn ，得 WP
M n M n 2.5 103 16 max 2 59MPa 60MPa 2 W p d 6 10 16
•
所以，满足强度要求。
• 例2 如图为某汽车传动轴简图，传递的最大力矩m=1.5KN.m,
• • 轴为无缝钢管，外径D=90mm，厚T=2.5mm,已知许用剪应 力 60MPa ，试校核该轴的强度。
解：1. 求扭矩Mn. 取脱离体如图(b).
M n 1.5kN.m 由平衡条件 M x 0 得： Mn •2. 强度校核 由公式 max W p •式中 Wp 是空心圆截面的抗扭截面模量
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计
背 景
材
料
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 一、扭转的概念 复习 Me
mA
阻抗力 偶
主动力 偶
me
受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于杆的轴线。 变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。 主要发生扭转变形的杆——轴。
Mx 16M x 16 1.5kN m 103 max＝ ＝ 3 ＝ ＝50.9MPa 3 4 -3 4 WP πD 1 π 90mm 10 1 0.9传动轴的强度是安全的。
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 2．确定实心轴的直径 根据实心轴与空心轴具有同样数值的最大剪应力的要求， 实心轴横截面上的最大剪应力也必须等于 50.9MPa 。若设实 心轴直径为d1，则有
b b
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 T 一、 扭转强度计算 变截面圆轴: max W [ ] 1、强度条件： p
max
max
对脆性材料 [ ] 对韧性材料 [ ]
b
nb
——扭转的强度和刚度计算
例l 一直径为50mm的传动轴如图所示。电动机通过A轮输 入100kW的功率，由B,C和D轮分别输出45kW、25kW和30kW 以带动其它部件。要求：(1)画轴的扭矩图，(2)求轴的最大切 应力。
解 1.作用在轮上的力偶矩可 由公式计算得到，分别为
2.作扭矩图 最大扭矩发生在AC段内
M x max = 1.75kN ⋅ m 3.最大切应力
WP
([τ] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸：
③ 计算许可载荷：
τ max
= Tmax WP
≤ [τ ]
WP
≥
Tmax
[τ ]
WP
⎪⎩⎪⎨⎧空实：：ππ1Dd633（116−
α
⎫ ⎪ 4）⎪⎭⎬
Tmax ≤ WP[τ ]
[例]
功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
θ = Mx
GI T
=
4000 80 ×109 × 286
×10 −8
= 0.01745 rad/m = 1o /m
§7 薄壁圆筒的扭转试验
例2 直径d＝100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kN·m作 用而扭转，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截面面积和以上实心轴横截面面积相等，问 最大切应力是多少?
解： 圆轴各横截面上的扭矩均为 Mx=T=10kN·m。 (1)实心圆截面
(2)空心圆截面 由面积相等的条件，可求得空心圆截面的内、外直径。令 内直径为d1，外直径为D，α = d1 / D = 0.5，则有
由此求得
空心圆截面
实心圆截面
计算结果表明，空心圆截面上的最大切应力比实心圆截
工程力学教学课件模块7扭转
所以
τρ=
（7-9）
31
7.4.1 横截面上的剪应力
式（7-9）为圆轴扭转时横截面上任意一点的剪应力计算公
式。式中，T为横截面上的扭矩（kN•m）；ρ为所求剪应
力处到圆心的距离（mm）；Ip为横截面对形心的极惯性矩
(m4或mm4)，其与横截面的几何形状和尺寸有关。
（1）对于直径为d的圆形截面杆，其极惯性矩为
理对剪应力和正应力同时存在的应力状态也适用。
20
21
7.3.3 剪切胡克定律
现在进一步研究单元体的受力情况。在剪应力τ的作用
下，截面发生相对滑动，原来的直角有了微小的变化，
这个直角的改变量称为剪应变γ，此时直角六面体变为
斜平行六面体，如图7-8（a）所示。剪应力越大，单
元体的歪斜程度越严重。
τ与γ的关系如同σ与ε。如图7-8（b）所示，实验证明，
32
分布图［已知空心圆轴的极惯性矩为Ip=
(D4－d4)］。
【解】（1）计算极惯性矩。
Ip=
(D4-d4)= ×(904-854)=1.32×106（mm4）
32
32
7.4.1 横截面上的剪应力
（2）计算剪应力。内外边缘处的剪应力分别为
85
−
3
T
−
τ1=τA= • =
Ip 2 1.32×106×10 12
时，剪应力最大，即圆轴横
截面边缘点处的剪应力最大，
其值为τmax=TR/Ip。令
Wp=Ip/R，则
τmax=
（7-12）
式中，Wp为扭转截面系数
（m3或mm3），其只与截
面形状、尺寸有关。式（79）和式（7-12）均只适用
转轴扭转强度、刚度校核
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
IP 0.1D 4 (1 a4 ) {0.1 904[1 (85 / 90)4 ]}mm4 134 10 4 mm4
max 180 M n /(GI P ) (180 1500 103 / 80 103 134 10 4 ) 103/m
当两轴材料、长度相同，它们的重量之比等于横截面面
积之比。设A1、A2分别为空心轴和实心轴的面积，则有
A 1
/
A 2
[
(D
2
d
2)
/
4] /(D 22
/
4)
(90 2
852 )
/
612
0.235
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
一、强度计算
为了保证圆轴安全正常地工作，即
max M n/Wn [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速
n材=料20的0许r/m用i切n，应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
M n Wn[ ] (0.2 403 109 60 106 )N m 768N m
最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
Mn = M = 1500N·m
传动轴的抗扭截面系数为
Wn 0.2D 3 (1 d 4 ) {0.2 903[1 (85 / 90)4 ]}mm3 29800 mm3 传动轴横截面上的最大切应力为
杆件的刚度计算
梁的变形及刚度计算
2、梁的挠曲线微分方程
假设梁的挠曲线方程为:
y f x
第六章推导弯曲正应力公式时已知
纯弯曲 1
M EI
不计剪力对变形的影响，上式可以推广到非纯弯曲的情况
非纯弯曲
1
( x )
M ( x ) EI
17
第二节
1
梁的变形及刚度计算
M ( x ) EI
( x )
ds ( x ) d , 且 1
L∕5 3L∕5 L∕5
B
M 0
qL2／8
M qL2／40
x
x
qL2／50
0 qL2／50
33
第三节 提高构件抵抗变形能力和 强度能力的主要措施 三、合理选择梁的截面形状
对于平面弯曲梁，从弯曲正应力强度考虑，比较合 理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有
尽可能大的弯曲截面系数WZ ,比值WZ／A越大，截面越经
20
第二节
梁的变形及刚度计算
(b )
EI y Pl Px
（3） 积分
EI y Plx
Pl 2
P 2
x C
2
(c )
EIy
x
2
P 6
x Cx D
3
(d )
（4）代入边界条件，确定积分常数 在 x = 0 处： A y A 0
yA 0
y
M
( x ) dx C
M
( x ) dx C dx D
积分常数 或 y 1 M ( x ) dxdx Cx D EI C和D的值可 用数学语言描述：它 通过梁支承处已知的变形条件来 们是弯矩M（x）的函数 确定，这个条件称为边界条件。
抗扭强度和抗扭刚度计算公式
抗扭强度和抗扭刚度计算公式抗扭强度和抗扭刚度是材料强度和刚度的两个重要参数之一。
抗扭强度指材料在扭转过程中所能承受的最大扭转应力，抗扭刚度则是指材料在扭转过程中所表现出的抵抗扭转的能力。
这两个参数的测量和计算都是非常重要的，因为它们对人们所关心的材料结构和性能均有着很大的影响。
在实际工程应用中，抗扭强度和抗扭刚度常常是决定材料使用和结构设计的关键因素之一。
例如，在机械制造和汽车工业中，材料的抗扭强度和抗扭刚度对于机器、发动机组件和汽车轮毂等大型结构件来说显得尤其重要。
计算抗扭强度和抗扭刚度可以使用以下的公式。
假设材料的截面形状是圆形，并且应力分布沿圆心方向均匀，那么：1. 抗扭强度公式：T = (π/2) × τ_max × R^3，其中，T是抗扭强度，τ_max是最大扭转应力，R是圆柱的半径。
2. 抗扭刚度公式：K = G × I，其中，K是抗扭刚度，G是剪切模量，I是截面惯性矩。
下面就计算材料的抗扭强度和抗扭刚度为例，进行简单的说明。
假设我们有一个直径为10 cm，长度为20 cm的纯铝杆，想计算它的抗扭强度和抗扭刚度。
首先，我们需要测量铝杆的圆柱半径R，它等于直径的一半，所以R=5 cm。
然后，我们需要确定材料的剪切模量G和截面惯性矩I。
对于铝杆这种确定奇形参数比较麻烦，我们可以选择一种计算常规圆形杆的抗扭刚度公式：K = (π/32) × d^4，其中，d是圆柱的直径。
将直径d=10 cm代入该公式中，我们得到K = 12.27 × 10^9 N·m^2。
然后，我们可以计算铝杆的抗扭强度T。
假设最大扭转应力τ_max = 80 MPa，将这个值和铝杆的半径R = 5 cm代入上述公式中，我们得到T = 15708 N·m。
这个数值告诉我们，在最大扭转应力为80 MPa的情况下，铝杆能够承受15708 N·m的扭矩。
材料力学 第7章 扭转
T Me
m
m Me
xn
2. 扭矩的符号规定
Me
T
T矢量的方向与截面外法线方 向相同时为正，反之为负。
n
x
T Me
7.2 扭矩和扭矩图
3. 扭矩图 (1) 定义：扭矩随杆轴线变化规律的图线称为扭矩图。 (2) 扭矩图的绘制步骤： ① 确定扭矩随截面位置的变化规律， ② 建立扭矩坐标系， ③ 画扭矩图。
7.2 扭矩和扭矩图
例7-1 已知一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 PA=36kW， 从动轮输出 PB=PC=11kW，PD=14kW，求指定截面的扭矩。
解： 1. 计算外力偶矩
MB
B
MA
9549
PA n
1146(N m)
MC
1
2n
C
A
1
2 MA
MD
3
D
3
M B MC 350N m
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
钻杆
7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算
传动轴
第七章 扭转
7.1 引言 7.2 扭矩和扭矩图 7.3 圆轴扭转时的应力分析和强度计算 7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
7.4 圆轴扭转时的变形计算和刚度设计
一、圆轴扭转时的变形
dφ T dx GIP dφ T dx
WP
πD13 16
D1
3 16Tmax 3 16 1.5 106
π[ τ ]
π 60
50mm
D1
(2) 空心轴
τ max
Tmax WP
[τ]
WP
πD23 (1 16
α4 )
d2
D2
第7章 梁的弯曲变形与刚度(2)
7.7 梁的刚度7.7.1 梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。
工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：⎩⎨⎧≤≤][][maxmax θθw w （7-10） 其中，m a x)(m a x x w w =，max)(max x θθ=分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w ，][θ分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。
工程中][θ通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：mlw =][ 是大的自然数）是梁长，m l ( 上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。
7.7.2 刚度条件的应用与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。
（1）校核刚度给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。
计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。
很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。
（2）计算许可载荷给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。
如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。
（3）计算许可截面尺寸给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。
如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。
例7-21 如图7-41（a ）所示的梁，其长度为m 1=L ，抗弯刚度为25Nm 109.4⨯=EI ，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。
扭转概念和工程实例
ml
2πR02d1
44.6
MPa [
]
ml
B
TB
2πR02d
2
2
2πR02d 2
27.9
MPa [
]
圆管强度足够
例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径
d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kN•m， MB=36 kN•m，
MC=14 kN•m。 材料的许用切应力 ] = 80MPa ，试校核该轴
MPa，试校核圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
例 R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 d1 5 mm， d2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[ 50 MPa，试校核
圆管强度。
解：1. 计算扭矩作扭矩图
2. 强度校核
危险截面：截面 A 与 B
A
TA
9549 N2 n
9549 150 300
4.78103
(N m) 4.78(kN.m)
m4
9549 N4 n
9549 200 300
6.37 103(N m) 6.37(kN.m)
②求扭矩（扭矩按正方向设）
m2 1 m3
A1 B
m2
T1
m3
m2
T（kN.m）
– 4.78
2 m1 3 m4
1、实验：
2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变）：直角角度的改变量 。
'
'
'
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
第7章 扭转的强度和刚度计算
WP
D3
16
1
4
3 M nmax 16
14 76.7mm
21
M n21L GIP
0.00734rad
13 34
M n13L MGn3I4PL
GIP
0.00917rad 0.00275rad
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件 要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n max GIP
1800
M n max
G d 4
1800
0 m
32
d
4
M nmax 180 32
G 2
4
7004 180 32
80109 2 0.3
0.114m 11.4 cm
由此应选直径 d maxd强，d刚＝max9.6,11.411.4cm
2. 选择空心圆轴直径
• 按强度条件
Mn WP
实心圆截面 d
d
d
2
IP 2dA 2 2 d 2 3d
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
D
IP
2
2 3d
D4 d4
d
32
d
D
2
IP
D4
32
1 4
WP
D3
16
1 4
第四章 扭转
四 圆轴扭转时的刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算
1 扭转角 与剪切角
1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模
量G＝80GPa，试计算φAB和φAC。
圆轴扭转时的变形、刚度计算
功率分别为 剪切弹性模
N A =10 kW，N B G＝80GPa，若
=12 kW，N D=18
＝50MPa，
kW。材料的
＝0.3º/m，
试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
解（1）求外力偶矩
MA MB
MC
d
M M
A B
9549 9549
NA
n NB
n
9549 10 318(N m) 300
工程力学
圆轴扭转时的变形、刚度计算
一、变形：（相对扭转角）
MT
GIP
d
dx
d
dx
MT GIP
d MT dx
GIP
MT dx L GIP —— T T (x) MT L
GIP —— T=常量
单位：弧度（rad）。 GIP——抗扭刚度。
MT L
GIP
——T=常量,且分段。
注意： “MT” 代入其“＋、－”号
AB
MT 3 M D 573（N·m)
(Nm) MT
d
MC
MD
(a)
C
D
573 N∙m
x
MT max 700N m
318 N∙m
(b)
（3）按强度条件设计轴的直径：由强度条件 700N∙m
max
MT ,max Wp
[ ]
Wp
d 3
16
得
d 3 16M n max
16 700103 3
9549 12 382(N m) 300
A
B
C
MC
9549
NC n
9549 40 300
1273(N m)
MD
清华出版社工程力学答案-第7章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
7－2 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同 的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大剪应力分别为 τ1max 和 τ 2max ，剪切弹 性模量分别为 G1 和 G2。试判断下列结论的正确性。
解： τ 轴max
=
Mx Wp1
= T1 πd 3
≤ 60 ×106
16
T1
≤
60 ×106
× π× 663 16
× 10 −9
=
3387 N·m
τ 套 max
= Mx Wp2
=
T2 πd 3 ⎜⎛1 − ( 68 )4 ⎟⎞
≤ 60 ×106
16 ⎝ 80 ⎠
T2
≤
60 ×106
× π× 803 16
8
7－12 功率为 150kW、转速为 15.4r/s(转/秒)的电机轴如图所示。其中 d1=135mm， d2=75mm，d3=90mm，d4=70mm，d5=65mm。轴外伸端装有胶带轮。试对轴的扭转强度进行 校核。
Me
Me
d5 d2 d1 d3 d4
电机轴
习题 7－12 图
解：1. 求外力偶矩
（A） τ 1max ＞ τ 2 max ； （B） τ 1max ＜ τ 2 max ； （C）若 G1＞G2，则有 τ1max ＞ τ 2 max ； （D）若 G1＞G2，则有 τ1max ＜ τ 2 max 。
解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即 γ1 = γ 2 = γ 由剪切 胡克定律 τ = Gγ 知 G1 > G2 时， τ1max > τ2 max 。因此，正确答案是 C 。
扭转刚度计算公式 -回复
扭转刚度计算公式-回复
扭转刚度计算公式是k=P/δ。
刚度是指材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。
是材料或结构弹性变形难易程度的表征。
材料的刚度通常用弹性模量E来衡量。
在宏观弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力，也就是说刚度是使物体产生单位变形所需的外力值。
它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。
刚度可分为静刚度和动刚度。
“我国的扭转刚度单位是N 我国的扭转刚度单位是N。
1N,指的是相对磁导率在1 时的扭转角。
工程中常用的材料,例如不锈钢和铝合金等其物理性能都符合这个规定。
有时为了描述强烈变形时所感受到的应力,可以把单位换算成mPa。
我们使用的1NN/m 是强度单位,实际应用时常简化为N/m。
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1m
4
4
n max
WP
M n max
第四章 扭转/四 圆轴扭转时的刚度计算
3 圆轴扭转时的刚度条件
要求单位长度的扭转角不超过某一许用值,即:
M n 1800 l GI P
( m)
mB
例1：钢制传动轴 已知：n＝300（r.p.n）， T/N.m d／D＝1／2， 输入功率: NA＝360kW， 输出功率:NB＝NC＝ 110kW，ND＝140kW；
3
16M x ,max
51.3 10
6
0.053m
实心轴的横截面面积为
A1
空心轴的横截面面积
4
D1 2205mm2
2
A2
4
( D 2 d 2 ) 687 mm2
空心轴与实心轴的重量之比：
G2 A2 687 31% G1 A1 2205
因此在承载能力相同的条件下，使用空心轴比较节 约材料、比较经济。
B
mC C
mA
A 4456
mD
D
＋
o
7004
3502
－
x
0 0 . 3 40 MPa, G 80GPa ,
m
.
试分别按实心圆轴和空心圆轴选择其直径，并比较二种截面轴 N 360 之重量。 m 9550 A 9550 11460 N m
A
解：1. 计算外力偶矩
d
d
3 2 d I P dA 2 d
d 2
2
2
A
A
0
IP
d 4
32
WP
d 3
16
空心圆截面
D
d
I P 2 d
3
D 2 d 2
D 32
4
4
d
4
D 3
16
d D
IP
D
4
32
1
WP
例题3
图示等截面圆轴，已知d=90mm ,l=50cm, m1 8KN.m 。轴的材料为钢，G=80GPa,求
m2 3KN.m
（1）轴的最大剪应力；
（2）截面B和截面C的扭转角；
（3）若要求BC段的单位扭转角与AB段的相等，则在BC段钻孔 的孔径d´应为多大？ 2
m1
1
m2
d
A
2 l
B
1 l
dA M n
A
截面的极惯性矩
(3)受扭圆轴横截面上的剪 应力计算公式
M n IP
(3)受扭圆轴横截面上 的剪应力计算公式:
M n IP
max
M nr IP Mn WP
IP WP r
扭转截面系数
max
实心圆截面
C
2
M1
1
1
M2
d
解： (1)轴的最大剪应力 作扭矩图：
A
2 l
B
l
C
M n1 M 2 3KN.m
M n 2 M1 M 2 5KN.m
5KN.m
（+） （-） 扭矩图
M n max M n 2 5KN.m
因此
max
M n max WP
3KN.m
5 103
Mn Mn ＝ d＝ dx＝ GI P GI P l 0 M n i li M nl dx ＝ 或＝ GI P GI P 0
例题
如图所示阶梯轴。外力偶矩m1＝0.8KN·m， m2＝2.3KN·m， m3＝ 1.5KN·m，AB段的直径d1＝4cm，BC段的直径d2＝7cm。已知材料的剪切弹性模 量G＝80GPa，试计算φ AB和φ AC。 4
0 m
M n max 180 32 7004 180 32 4 d 4 0.114m 11.4 cm 2 9 2 G 80 10 0.3
＝max 9.6,11.4 11.4cm 由此应选直径 d max d强，d刚
2. 选择空心圆轴直径
m1
d1
m2
d2
m3
I P1 I P2
d1
A
0.8kN· m
0.8m
B
1.0m
C
32 d 2 4 4 236 cm 32
25.1cm
4
AB
BC
M n1L1 0.0318rad GI P1
M n 2 L2 0.0079rad GI P 2
1.5kN· m
AC AB BC 0.0318rad 0.0079rad 0.0239rad
29.24 106 m3
轴的最大剪应力
max
M x ,max WP
1500 51.3MPa [ ] 60MPa 6 29.24 10
所以此轴安全。
若此轴改为实心轴，而
max
式中
M n max 51.3MPa WP1
W p1
解得：
பைடு நூலகம்16
D1
3
D1
0.00125 rad 0.072
（3）BC段孔径d’
由 得
M1
A
M2
d
AB BC
l
B
l
C
解得：
M n2 M n1 GI p 2 GI p1 M n1 4 4 I p1 (d d ) I p 2 32 M n2
M n1 d d 4 1 0.08m 8cm M n2
25.5MPa
16
d3
M1
M2
d C
A l
B
l
（2）扭转角
截面B：
B AB
M n 2l AB 9 GI p 82 10 (0.1) 4 32
5 103 0.5
0 . 178 0.00311rad
M1
M2
d C
A l
B
l
截面C
M n1l BC C AC AB BC 0.00311 GI p 3 103 0.5 0.00311 9 82 10 (0.1) 4 32
壁厚t=2.5mm，使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。
已知[]=60MPa。若此轴改为实心轴，并要求强度仍与原空心轴相
当，则实心轴的直径
D1
3
为？
解： 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量：
Wp
16
D (1 )
4
D3
D 2t 4 [1 ( ) ] 16 D
• 按强度条件
3502
－
x
7004
max
M n max M n max 3 d WP 16
16M n max
d 3
3 16 7004
40 10
6
0.096m 9.6cm
• 按刚度条件
max
M n max 1800 M n max 1800 4 d GI P G 32
• 按强度条件 M n max M n max M n max max D 9.8cm 3 3 D D 15 WP 4 1 16 16 • 按刚度条件 16
max
M n max 1800 GI P
由此应选直径 3. 重量比
D=11.6cm，d＝D／2＝5.8cm
第7章 扭转的强度和刚度计算
第7章 扭转的强度和刚度计算 7.1 圆杆扭转时的应力和变形计算
1 受扭圆轴横截面上的剪应力
公式推导过程
Me Me
变形几何 平面假定
Mn
Mn
d
d
x
dx
dx
d dx
G
G
M n IP
dA M n
m2
m1
m3
16
D 78mm M n max 16 3 D 3 d 39mm 1 4 3 500 500 500 D WP 1 4 76.7mm 16 4kN M n 21L 21 0.00734rad GI P 1.5kN M n13 L 5kN 13 0.00917rad GI P 24 21 13 34 0.00458rad 34 M n 34 L 0.00275rad GI P
A
d 2 G dA M n dx A
Ip
d M n dx GI P
截面的极惯性矩
T
T
d
d
x
dx
dx
d dx
G
d 2 G dA M n dx A
Ip
d M n G dx IP
d M Tn dx GI P
采用空心轴可有效地减轻轴的重量，节约材料。因为
①根据应力分布规律，轴心附近处的应力很小，对实心轴而言，轴 心附近处的材料没有较好地发挥其作用；
②从截面的几何性质分析，横截面面积相同的条件下，空心轴材料
分布远离轴心，其极惯性矩Ip必大于实心轴，扭转截面系数Wp也比 较大，强度和刚度均可提高； ③通常所讲保持强度不变，即指最大切应力值不变；保持刚度不 变，即指截面图形极惯性矩保持不变。 ④对于轴的强度或刚度，采用空心轴比实心轴都较为合理。