大学物理第四章静电场课后习题概要

b
p
o
x
l
dx
x
kxdx dE 4 0 x b 2 kxdx k bl l E ln 2 0 4 4 0 b l b 0 x b
l
1
1
方向沿x轴的负方向。
练习题4-7 图为两个分别带有电荷的同心球壳系统。 设半径为 R1 和R2 的球壳上分别带有电荷 Q1 和 Q2 ，求： （1）I、II 、III三个区域中的场强；（2）若 Q1 Q2 ， 各区域的电场强度又为多少？画出此时的电场强度分 布曲线。 q内 2 解： s E dS 4r E 0
0 r R1
E1 0
Q1
R1
R1 r R2
r R2
当 Q1 Q2 时
40 r Q1 Q2 E3 40 r 2
2
E2
Q1
Q2
Ⅲ Ⅱ
O Ⅰ
R2
0 r R1
E1 0
R1 r R2
r R2
当 Q1 Q2 时
0 r R1
当 Q1 Q2 时
Q1
R1
R2
O Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Q2
r
练习题4-12 同轴电缆是由两个很长且彼此绝缘的同 轴金属圆柱体构成，如图所示。设内圆柱体的电势 为U1，半径为R1；外圆柱体的电势为U2 ，外圆柱体 的内半径为R2，两圆柱体之间为空气。求两个圆柱 体的空隙中离轴为r处(R1 < r <R2)的电势。
定理可知球外空间的场强E外
(3)因为球表面的场强 E表 变小。
q 4 0 r
2
。由此可知，球
外空间的场强与气球吹大过程无关。
q 4 0 R
2
，在球被吹大的过
程中，R变大，所以，球表面的场强随气球的吹大而
思考题4-5 下列几种说法是否正确，为什么？ （1）高斯面上电场强度处处为零时，高斯面内必 定没有电荷。 （2）高斯面内净电荷数为零时，高斯面上各点的 电场强度必为零。 答：（1）错 因为依高斯定理，E = 0 只说明高斯面内净电荷 数（所有电荷的代数和）为零。 （2）错 高斯面内净电荷数为零，只说明穿过整个高斯面 的电通量为零。并不一定电场强度处处为零。
下列几种说法是否正确，为什么？ （3）穿过高斯面的电通量为零时，高斯面上各点的 电场强度必为零。 （4）高斯面上各点的电场强度为零时，穿过高斯面 的电通量一定为零。 答：（3）错 穿过高斯面的电通量为零时，只说明整个高斯面的 电通量为零。并不一定电场强度处处为零。 （4）对 E = 0，则整个高斯面的 E dS 为零。所以电通量 S φ =0。
练习题4-10 图为两个分别带有电荷的同心球壳系统。 设半径为 R1 和R2 的球壳上分别带有电荷 Q1 和 Q2 ，求： （1）I、II 、III三个区域中的电势；（2）若Q1 Q2 ， 各区域的电势又为多少？
0 r R1
U1
R1

r
E dr
R2
Q1

R1
r
R2
于是，两个圆柱体的空隙中离轴为r处(R1 < r <R2)的 电势为
U 1 U 2 R2 Ur ln U 2 R r ln 2 R1
R2 E dr ln 20 R1 U1 U 2 E R2 r ln R1
若以外圆柱体的电势为参考点，则两个圆柱体的空 隙中离轴为r处(R1 < r <R2)的电势与外圆柱体之间的 电势差
Ur U2
R2 r
R2 U U U U 2 R2 1 2 E dr dr 1 ln r R2 R2 r r ln ln R1 R1
(2)根据点电荷的场强公式 q E r 2 0 4 0 r 从形式上看，当所考察的场点和点电荷 q 间的距离 r→0时，则按上式，将有E→ ，但这是没有物理意 义的。对这个问题你如何解释? 答： (2) 当带电体 q 的线度远远小于带电体与考察点 的距离r时，带电体才可抽象为点电荷，考察点的场 强才可用点电荷的场强公式计算。当 r → 0 时，带电 体本身的线度不能忽略，因而带电体就不能当成点 电荷， 这时点 电荷的 公式已 失效 ， 也就不 能推论 E→∞。
解：设内圆柱体单位长度 的电量为 λ 。在内外圆柱体 之间做半径r (R1 < r <R2) ， 长度为 l 的圆柱闭合高斯面， 应用高斯定理可得距轴心 为r处场强为 E 20 r
20 rE
两圆柱间电压为
20 rE
U U1 U 2
R2
R1
R2 U U1 U 2 rE ln R1
解：已知 U 50mV 50 103 V, d 30 1010 m 匀强电场与电势的关系式为
U E 1.67 107 V m 1 d
19 q 1 . 6 10 C 钾离子的电荷量是
当一个钾离子通过时，需要做功为
W qU 8 10-21 (J)
40 r Q1 Q2 E3 40 r 2
2
E2
Q1
Q1
R1
R2
Q2
O Ⅰ Ⅱ Ⅲ
E1 0
R1 r R2
E2
r R2
40 r 2 E3 0
Q1
E
根据上述结果可画出如图所示 E——r关系曲线。
r
练习题4-9 一个细胞的膜电势差为50mV，膜厚度为 30×10-10m。若假定膜中场强为匀强电场，问电场 强度为多大？当一个钾离子通过该膜时需做多少功？
E dS EdS E dS ES
S S
完成，进而利用高斯定理求得E。
一段有限长均匀带电直线的电荷分布 及其激发的电场固然具有轴对称性， 如题所示，但当取一同轴的封闭圆柱 面作为高斯面时可以发现，对于该面 上各点处的场强 E 并不具备上述利用 高斯定理求 E 的条件。就是说，对这 个封闭圆柱面，高斯定理成立，但不 能利用它求出场强。当取其他具有轴 对称的封闭曲面时，同样会发现，或 者面上各处的 E 不平行或垂直于面法 线，或者面上各处 E 的大小不等。所 以，对于一段有限长均匀带电直线， 找不到合适的高斯面来求出它的场强。
思考题4-4 一个均匀带电球形橡皮气球ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在其被吹大 的过程中，下列各场点的场强将如何变化？(1)气球内 部；(2)气球外部；(3)气球表面。 答： (1) 因为电荷分布在球面上，球内部无电荷，在 球内取半径为r( r<R )的球形高斯面，由高斯定理可知 球内的场强E内= 0。
(2) 在球外取半径为r ( r>R )的球形高斯面，由高斯
思考题4-3 (1)在电场中某一点的场强定义为 若该点没有试验电荷 q0 ，那么该点有无场强？如果电 荷在电场中某点受的电场力很大，该点的电场强度是 否一定很大?
E F q0 ，
答：(1)电场强度是反映电场本身性质的物理量，与有 没有试验电荷没有关系。电场力不仅与场强有关，也 与试验电荷量有关，电场强度一定时，只要试验电荷 越大，受力也就越大；而场强为 E F q0 却可以保持不 变。
思考题4-9 试利用电场强度与电势的关系式 下列问题：
El
dV dl
分析
（1）在电势不变的空间内，电场强度是否为零？ 答：（1）是。当电势处处相等时，电势沿任何方向 V 的空间变化率为零，由 El d 可知，场强为零。实际 dl 例子：静电平衡的导体内。 （2） 在电势为零处，电场强度是否一定为零？ （2）否。因为电势为零处，电势梯度 不一 定为零，所以El也不一定为零。实际例子：电偶极 子连线中点处。

R2 Q1 0 r R1 U 1 E dr dr R1 4 r 2 r 0 Q 1 1 1 ( ) 40 R1 R2 R2 Q1 dr R1 r R2 U 2 r E dr r 2 40 r Q1 1 1 ( ) 40 r R2 r R2 U 3 E dr 0
第四章 静电场
（Electrostatic Field）
思考题4-1 在真空中两个点电荷之间的相互作用力 是否会因为其他带电体的移近而改变。
答：在真空中两个点电荷之间的相互作用是独立的， 不会因为其他带电体的移近而改变。也就是说，只 要这两个点电荷的带电量及距离一定，不管周围有 无其他带电体，其相互作用力是一定的。

R2 E dr
r
r R2
Q1 Q2 ( ) 40 r R2 Q1 Q2 dr Q1 Q2 U 3 E dr r r 40 r 2 40 r
1
40 r
Q1
dr 2
Q1 Q2 dr 2 R2 4 r 0
R2 E1 dr E2 dr E3 dr
Q1

R1
R2
Q1 Q2 dr dr R1 4 r 2 R2 4 r 2 0 0 1 Q1 Q2 ( ) 40 R1 R2
O Ⅰ Ⅲ Ⅱ
Q2
R1 r R2 U 2 r

思考题4-6 一个点电荷q位于一个边长为a的立方体 的中心，通过该立方体各面的电通量是多少？
答：点电荷位于立方体中心时，通过该立方体各面 的电通量都相等，并且等于总通量的1/6。由高斯定 理可知总通量为

S
q E dS
0
于是，通过各面的电通量为
q 6 0
a
q
思考题4-7 一根有限长的均匀带电直线，其电荷分布 及所激发的电场有一定的对称性，如图所示。能否利 用高斯定理算出场强来? 答：否。利用高斯定理求电场强度E， 要求带电体及其激发的电场强度在空 间的分布具有很强的对称性：在所取 的整个高斯面S上或其部分面积上的E， 处处与dS平行，且面上各dS处E的大 小不随dS而变；或者各dS处E的方向 处处与dS垂直，使通过该部分面积的 E通量为零。在这种情况下，通过S面 的E通量可由下列过程
因为所有电荷元产生的场强方向都相同，所以场强的 矢量叠加可用代数方法相加。于是带电直线在 P点产 生的电场强度为
E
l
1 4 0
0

x b
dx
2
l 1 1 4 0bb l 4 0 b b l
方向沿x轴的负方向。
(2) 同样取电荷元 dq=dx=kxdx
El dV dl
（3） 在电场强度为零处，电势是否一定为零？
答：（3）否。因为如果El等于零，则电势梯度为 零，但电势不一定为零。实际例子：两个相同电 荷连线中点处。
练习题 4-4 如图所示，长为 l 的细直线 OA 带电线密度 为 ，求下面两种情况下在线的延长线上距线的端点 O点为b的P点的电场强度： (1) 为常量，且>0；(2) =kx，k为大于零的常量，( 0 x l )。 dx 解： (1) 将带电直线分 b x x 割成无数个线元 dx ， dx 的坐标 是 x 。它 所带的 p o l 电荷元 dq dx ，dq在P 点产生的电场强度的大 小为 1 dx dE 2 4 0 x b