第五章 概率及概率分布

第三节 正态分布
概率分布——是指对随机变量各取值的概率用图表或函数式 进行的描述。 正态分布——是一种连续型随机变量的概率分布。是一种应 用极为广泛、极其重要的概率分布。 在教育研究中许多现象呈正态分布，例如，学生的学业成绩、 身高、体重等。
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第三节 正态分布
正态分布的特点是： 1、形态像大钟，中间大两头小，左右对称，也叫做钟形分 布。 如：人的许多生理和心理特征、学生的学习成绩分布。 2、与二项分布比较： 同——正态分布也是一个理论分布，有函数式。 异——正态分布是连续型随机变量分布，而二项分布是离散 型的；函数式也不同。
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第一节 概率的一般概念
二、概率的性质 1、任何随机事件A的概率都是介于0与1之间的正数；
2、不可能事件的概率等于0；
3、必然事件的概率等于1。
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第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 在一次试验中不可能同时出现的事件称为互不相容的事件。 两个互不相容事件和的概率，等于这两个事件概率之和。 用公式可表示为：
P( A)
m 3 n 8
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 再如： 有一付新买来的扑克牌，从中抽一张，问抽到红桃的概率是 多少？抽到老K的概率是多少？抽到大王的概率是多少？ 解： （1）13/54=0.2407； （2）4/54=0.0741； （3）1/54=0.0185
答：抽到红桃的概率是0.2407，抽到老K的概率是0.0741， 抽到大王的概率是0.0185。
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——
表5.1 抛掷硬币试验中正面朝上的频率 试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 抛硬币次数 2048 4040 12000 24000 正面朝上次数 1061 2048 6019 12012 正面朝上频率 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
《教育统计学》
职教学院 刘春雷 E-mail：lcl2156@126.com
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第五章
概率及概率分布
第一节 概率的一般概念 第二节 二项分布
第三节 正态分布
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第一节 概率的一般概念
对数据所属总体的某种特征，作出具有一定可靠程度的估计 和推断。
概率分布理论就是讲解这种可靠程度的依据。 概率论是研究随机变量取值规律的科学，是进行统计推断的 基础。
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第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 A事件出现的概率不影响B事件出现的概率，这两个事件为独 立事件。 两个独立事件积的概率，等于这两个事件概率的乘积。表示 两个事件同时出现的概率。 用公式可表示为：
P ( A B ) P ( A) P ( B)
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第一节 概率的一般概念
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第二节 二项分布
二、二项分布函数 这里是把做一道题看作为做一次试验，一个学生做3道题看 作是做3次试验，即n=3。
把做对1道题看作为成功事件出现了1次， 那么在n次试验中成功事件出现不同次数的概率，可用 (p+q)n的展开式来表达。 (p+q)3= p3+3p2q +3pq2+ q3
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第二节 二项分布
二、二项分布函数 展开二项式的几个要点： （1）项数：展开式中共有n+1项。 （2）方次：每项p与q的方次之和等于n。 （3）系数：各项系数是成功事件次数的组合数。 从两端起，等距项的系数相等； 当项数为奇数时（n为偶数），中间一项的系数最大； 当项数为偶数时（n为奇数），中间两项系数相等且最大。
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第二节 二项分布
二、二项分布函数 例如：一个考生完全凭猜测来做3道是非题，每道题只有两 种结果，即可能对也可能错，现把猜对的事件称为成功事件， 猜对的概率为p，猜错的概率为q。猜测3道题的可能结果有8 种： 3道全答对——ppp；（p3） 答对2道——ppq、pqp、qpp；（3p2q） 答对1道——pqq、qqp、qpq；（3pq2） 3道全答错——qqq（q3）
0 6 0 6 1 6 5 2 6 2 4
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第二节 二项分布
三、二项分布图
二项分布图的特点：
（1）当p=q时，不管n有多大，二项分布呈对称形。 当n很大时，二项分布接近于正态分布。 当n趋近于无限大时，正态分布是二项分布的极限。 （2）当p不等于q时，且n相当小时，图形呈偏态。 但是当p小于q且np大于等于5，或者p大于q且nq大于等于5时， 二项分布即将出现向正态分布接近的趋势。
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第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 当二项分布接近正态分布时，在n次二项试验中成功事件出 现次数的平均数为
np
标准差为
npq
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第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如，从男、女生各占1/2的学校中随机抽10名学生，从理 论上说，平均应抽到男生，标准差为
np 10 1/ 2 5
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 概率因寻求方法不同有两种定义，即后验概率和先验概率。 1、后验概率 （1）频率——随机事件A在n次实验中出现m次， m与n的比 值，就是随机事件A出现的频率（即相对频数）。用公式表 示为
W( A)
m n
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （1）频率 例如：在体育课上，老师想考查学生的投篮水平，让学生站 在距篮板一定的距离投十个球。假定投了十次，进了六个。 那么把球投进篮筐这个随机事件发生的频率为多少？ 答：球投进篮筐发生的频率是0.60。 再如：在某项实验中，研究者测查了100个学生，其中得85 分的有3个，现在考查的85分这个随机事件出现的频率。 答：85分发生的频率是0.03。
第二节 二项分布
二、二项分布函数 将二项展开式概括成一个通式
P( X ) C p q
X n X
n X
n! p X qn X X !(n X )!
X 0， 1， 2， ，n
这就是二项式分布函数，可直接求出成功事件出现X次的概 率。
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第二节 二项分布
二、二项分布函数
例如：从男生占2/5的学校中随机抽取6个学生，问正好抽到 4个男生的概率是多少？至多抽到2个男生的概率是多少？
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 例如： 有红、绿、兰3个球放在一个布袋子里，在一次抽取中，摸 到红、绿、兰各种颜色的球的概率各为1/3。现在让抽取了 一次后，把球放回去再抽取一次，问两次都摸着红球的概率 是多少？若每次摸完球后都放回去，那么连续四次都摸到红 球的概率是多少？ 答：两次都摸着红球的概率是1/9 (0.1111)；连续四次都摸 到红球的概率是1/81 (0.0123)。
后验概率是用随机事件出现的频率估计的，故称后验概率或 统计概率。
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义
2、先验概率 先验概率是通过古典概率模型加以定义的，故又称古典概率。 古典概率模型要求满足两个条件： 其一，试验的所有可能结果是有限的； 其二，每一种可能结果出现的可能性（概率）相等。
若所有可能结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果， 则随机事件A出现的概率为：
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第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 再如： 假设这位老师共编了5个试题，每个学生只能抽到1道题，现 在请问两个学生都抽到第1题的概率是多少。 答：两个学生同时抽到第1题的概率是1/25 (0.04）。
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第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 2、概率的乘法 有限个独立事件积的概率，等于这些事件概率的乘积。 用公式表示为：
P A B P ( A) P ( B)
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第一节 概率的一般概念
三、概率的加法和乘法 1、概率的加法 例如：抛掷一枚硬币，正面朝上和正面朝下的概率各为0.50， 问在实验中，硬币正面朝上或朝下的概率是多少？ 答：硬币正面朝上或朝下的概率是1。 获得一、二、三等奖的概率分别为：0.002、0.005和0.993， 获奖的概率是多少？ 答：获奖的概率为1。
P ( A1 A2 An ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An )
如： 假设这位老师共编了5个试题，全班每个学生只能抽到1道题， 现在请问五个学生都抽到第1题的概率是多少。 答：五个学生同时抽到第1题的概率是0.00032。
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第二节 二项分布
一、二项试验 凡是满足以下条件的试验称为二项试验：
6! P( 4) C p q p 4 q 2 0.1382 4!(6 4)!
4 6 4 2
至多抽到 2个男生（小于等于 2）的概率，等于 1 个也没抽到、 抽到1个和抽到2个男生的概率之和。
P ( 0) P (1) P ( 2) C p q C pq C p q 0.5443
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率—— 再如：作一个抛掷一枚硬币，正面朝上（随机事件A）的概 率是多少，先抛掷一次结果正面朝上，这时频率是1/1，即1； 第二次试验，结果正面朝下，这时频率变为1/2，即0.50； 再抛一次，结果正面朝上，频率变为2/3，即0.67；第四次 抛，正面朝下，频率变为2/4，即0.50；再抛，结果朝下， 这时频率变为2/5，即0.40；……最后这个频率逐渐接近于 0.50，这时就可说硬币正面朝上的后验概率为0.50。
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （1）频率 频率的特点——在0到1之间，包括0和1的情况。 随着试验次数n的无限增大，随机事件A的频率稳定于一个常 数P，这个常数P就是随机事件A出现概率的近似值。可表示 为
P( A)
m n
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 （2）后验概率——以随机事件A在大量重复试验中出现的稳 定频率值作为随机事件A概率的估计值，这样寻得的概率称 为后验概率。 如，前边投篮的例子。投10次时频率是0.60，现在老师让学 生投100次，结果进了55次。这时频率又变成0.55。假如老 师又让这个学生投1000次，结果投进500次，这时频率又变 成0.50。……假定这个频率逐渐稳定在0.51。这时0.51就是 这位学生投篮概率的估计值。通过这种方法求得的概率，称 为后验概率。
npq 101/ 2 1/ 2 1.58
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第二节 二项分布
四、二项分布的平均数和标准差 例如：有一份试卷，共有50道选择题，并且都为四选一，假 定一个学生一点都不会，只能凭猜测来回答。问凭猜测来回 答，平均能猜对几道题，猜对题目数的标准差为多少。 分析：因为完全不会做而只是靠猜测，因此属于二项分布的 运用条件。
（1）一次试验只有两种可能结果，即成功和失败。 （2）各次试验相互独立，可反复进行。 （3）各次试验中成功的概率相等。如抛硬币，在班中抽取 男生的概率。
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第二节 二项分布
二、二项分布函数 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布；属于理论分布。 定义： 用n次方的二项展开式来表达在n次二项试验中成功事件出现 不同次数（X=0，1，…，n）的概率分布叫做二项分布。
答：凭猜测来回答，平均能猜对12.5道题，猜对题目数的标 准差为3.06。
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第二节 二项分布
五、二项分布的应用 二项分布函数除了用来确定成功事件恰好出现X次的概率之 外； 在教育中主要用来判断试验结果的偶然性和真实性的界限。 属于二项分布的问题，若试验次数n较大，一般都用正态分 布近似处理。
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 又如：某班有45人，其中男生25人，女生20人，现随机抽一 个学生，问抽到女生的概率是多少？
答：抽到女生的概率0.44。
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义 先验概率——是在特定条件下直接计算出来的，是随机事件 的真实概率； 后验概率——则是由频率估计出来的。但是试验重复次数充 分大时，后验概率也接近先验概率。
P( A)
m n
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第一节 概率的一般概念
一、概率的定义
例如：将一枚硬币抛掷 3 次，观察正、反面出现的情况。则 所有可能结果有8种： 正正正、正正反、正反正、反正正、正反反、反正反、反反 正、反反反。 若一次正面朝上为事件 A ，那么事件 A 包括 3 中可能结果：正 反反、反正反、反反正，即m=3。 于是抛3次硬币恰有一次正面朝上的概率为：