!第11章套利定价理论

第11章套利定价理论
1. 假定影响美国经济的两个因素已被确定：工业生产增长率与通货膨胀率。

目前，预计工业生产增长率为3%，通货膨胀率为5%。

某股票与工业生产增长率的贝塔值为1，与通货膨胀率的贝塔值为0.5，股票的预期收益率为12%。

如果工业生产真实增长率为5%，而通胀率为8%，那么，修正后的股票的期望收益率为多少？
2. 假定F
1与F
2
为两个独立的经济因素。

无风险利率为6%，并且，所有的股票都有独立的
企业特有
(风险)因素，其标准差为45%。

下面是优化的资产组合。

衰 退
平
均
-15
20 25 10
12
15
资产组合 F 1的贝塔值 F 2的贝塔值 期望收益率 A 1.5 2.0 31 B
2.2
-0.2
27
在这个经济体系中，试进行期望收益-贝塔的相关性分析。

3. 考虑下面的单因素经济体系的资料，所有资产组合均已充分分散化。

资产组合 E (r )(%) 贝
塔
A 12 1.2 F
6
现假定另一资产组合E 也充分分散化，贝塔值为0.6，期望收益率为 8%，是否存在套利机会？如果 存在，则具体方案如何？
4. 下面是Pf 公司一证券分析家构建的三只股票的投资方案。

股
票
价格/美元 A 10 B 15
C
50
a. 使用这三支股票构建一套利资产组
合。

不同情况下的收益率 (%)
繁
荣
30 -10 12
b. 当恢复平衡时，这些股票价格可能会如何变化？举例说明，假定 C 股票的资金回报率保持不 变，如何使C 股票的价格变化以恢复均衡？ 5. 假定两个资产组合 A 、B 都已充分分散化， E (r A )＝12%，E (r B )＝9%，如果影响经济的要素只有一 个，并且 A ＝1.2， B ＝0.8，可以确定无风险利率是多少？
6. 假定股市收益以市场指数为共同影响因素。

经济体系中所有股票对市价指数的贝塔值为 1，企 业特定收益都有30%的标准差。

如果证券分析家研究了20种股票，结果发现其中有一半股票的阿尔法值为 2%，而另一半股票的阿 尔法值为-2%。

假定分析家买进了 100万美元的等权重的正阿尔法值的股票资产组合，同时卖空 100万 美元的等权重的负阿尔法值的股票资产组合。

a. 确定期望收益(以美元计)。

其收益的标准差为多少？
b. 如果分析家验证了50种股票而不是20种，那么答案又如何？100种呢？ 7. 假定证券收益由单指数模型确定：
R i i ＋ i R M ＋
e i
其中，R i 是证券i 的超额收益，而R M 是市场超额收益，无风险利率为 2%。

假定有三种证券A 、
i
E (R i )(%) (e i )(%) A 0.8 10 25 B 1.0 12 10
C
1.2
14
20
a. 如果M ＝20%，计算证券A 、B 、C 的收益的方差。

b. 现假定拥有无限资产，并且分别与 A 、B 、C 有相同的收益特征。

如果有一种充分分散化的资 产组合的A 证券投资，则该投资的超额收益的均值与方差各是多少？如果仅是由 B 种证券或C 种证券构成的投资，情况又如何？
c. 在这个市场中，有无套利机会？如何实现？具体分析这一套利机会 (用图表)。

8. 证券市场线的相关分析表明，在单因素模型中，证券的期望风险溢价与该证券的贝塔值直接成
贝 塔 值
风险溢价(% )
1.2
6 0.5 8
0.3
3
比例。

假定不是这种情况，例如，在右图中，假定 期望收益以大于贝塔的比例增长。

a. 如何构建一套利机会 (提示：考虑资产组 合A 与资产组合 B 的组合，并与投资于 C 的结果进行比较)。

b. 在第13章中，可以看到一些研究人员已 经对分散化投资的平均收益与这些投资
的 和 2的相关性分析进行了研究。

关于
2
对投资收益的影响，应得出什么结 论？
9. 如果套利定价理论是有用的理论，那么经济体系中系统因素必须很少。

为什么？ 10. 人们期望通过某些因素来确定风险收益。

而套利定价理论本身并不能提供关于这一问题的指 导。

那么，研究人员该如何确定哪些因素是值得研究的呢？例如，为什么说对于检测风险溢价，行业
的生产是一种合理的因素呢？
11. 考虑如下一种特定股票收益的多因素证券收益模型：
要 素 通货膨胀 行业生产 石油价格
a. 目前，国库券可提供 6%的收益率，如果市场认为该股票是公平定价的，那么请求出该股票 的期望收益率。

b. 假定下面第一列给出的三种宏观因素的值是市场预测值，而实际值在第二列给出。

在这种情
况下，计算该股票修正后的期望收益率。

要 素 预计变化率(%)
实际变化率(%)
通货膨胀 5 4 行业生产 3 6 石油价格
2
12. 假定市场可以用下面的三种系统风险及相应的风险溢价进行描述：
要 素 风险溢价(% )
工业生产
(I ) 6 利率(R ) 2 消费者信心
(C )
4
特定股票的收益率可以用下面的方程来确定：
r ＝15%＋1.0I ＋0.5R ＋0.75C
＋e
使用套利定价理论确定该股票的均衡收益率。

国库券利率为 6%，该股票价格是低估还是高估了？ 解释原因。

B13. 如果X 与Y 都是充分分散化的资产组合，无风险利率为 8%：
资产组合
期望收益率(%)
贝 塔 值
价格/美元
股数 投资/美元 A $10 -2 -$20 B
15 -2 -30 C
50
+1
50
X 16 1.00 Y 12 0.25
根据这些内容可以推断出资产组合 X 与资产组合Y ：
a. 都处于均衡状态。

b. 存在套利机会。

c. 都被低估。

d. 都是公平定价的。

答案：
第11章 套利定价理论
1. 股票预期收益率的调整估计值应该是原来的估计值加上各要素未预期到的变化乘以敏感性系 数，例如：
调整估计值=12+[1×2%+0.5×3%]=15.5% 2. 使用式11-6。

E (r p )=r f + p 1[E (r 1)-r f ]+ p 2[E (r 2)-r f ] 我们要找出这两个要素的风险溢价： RP 1=[E (r 1)-r f ]和RP 2=[E (r 2)-r f ]，则必须解下列有两个未知数 的方程组：
31=6+22.5×RP 1+2.0×RP 2
27=6+2.2×RP 1+(-0.2)×RP 2 方程组的解分别为： R P 1=10% 和 RP 2=5% 因此，预期收益率- 关系为： E (r p )=6%+ p 1×10%+ p 2×5%
3. 资产组合F 的预期收益率等于无风险利率，因为它的 等于0。

资产组合A 的风险溢价比 的比率 为：(12-6)/1.2=5%，而资产组合E 的比率却只有(8-6)/1.2=3.33%。

这说明存在着套利机会。

例如，你 可以通过持有相等的资产组合 A 和资产组合F 构建一个资产组合 G ，其 等于0.6(与E 相同)。

资产组合 G 的预期收益率和 值分别为：
E (r G )=0.5×12%+0.5×6%=9% G =0.5×1.2+0.5×0=0.6
比较G 和E ，G 有相同的 ，但收益率却更高。

因此，通过买入资产组合 G 和卖出等量的资产组合 E
可以获得套利机会。

如果你这么做，你资产组合的每一份投资的收益为：
E (r G )-r E =(9%+0.6×
F )-(8%+0.6×F )=1%
4. a. 第一步，将各种情况下的收益率转化为每股美元收益，如下表所示：
(单位：美元)
价格
1
情况 2
3
A $10 10(1-0.15)=$8.5 10(1+0.20)=$12 10(1+0.30)=$13
B 15 15(1+0.25)=18.75 15(1+0.10)=16.5 15(1-0.10)=13.5 C
50
50(1+0.12)=56
50(1+0.15)=57.5
50(1+0.12)=56
要确认一套利机会经常涉及零投资组合。

该资产组合必须在所有的情况下都表现为非负的收入。

例如，卖空两股A 和两股B 的收入必须足够用来买入一股C 。

(-2)10+(-2)15+50=0
所有情况下的零投资资产组合的收入表为：
1 元)
3 -$17 -$2
4 -$26 -37.
5 -33 -27 5
6 57.5
56 +1.5
+0.5
+3
该资产组合满足套利资产组合，因为它不仅是零投资组合，而且在所有的情况下都有正的收益。

M + b. 如果A 和B 的价格由于卖空而下降，而 C 的价格由于买进的压力而上升，则 (A +B )的收益率将会 上升而C 则下降。

现在我们来求出一个价格变化以保证消除上面的套利机会。

首先要注意的是随着 C 的价格变化，任何投资的资产组合的比例也会相应变化。

其次，持有 C
多头和A +B 空头的最坏的情况是情况
2。

持有等量的A 和B 的卖空头寸，我们解出情况 2时的零收益情况。

用X 表示股票A 和B 的卖空头寸的数量，让其收益正好等于一股 C 的多头头寸。

现在我们令情况 2时的收 益为零：
12X +16.5X +57.5=0；X =-2.017 5
这表明我们每持有一股C ，卖空2.017 5 股A 和B (注意在前面的套利资产组合中 X =-2)。

然后，根据A 股和B 股的持有数，我们要求C 的每股价格为多少才能使得资产组合投资收益为零？
10X +15X +P C =0
这里P C 是C 的新的价格，代入X =-2.0175我们得出： 10(-2.017 5)+15(-2.017 5)+ P C =0 P C =50.437 5
这说明要消除套利机会所必须的最小的价格变动要大于 43.75美分。

检查我们的结果，让我们看看 在价格变动为50美分时，即P C =50.50美元时的收益表。

价格/美元
股数
投资额/美元
1 情况(金额/美
元)
3 A $10 -2.02 -$20.2 -$17.17 -$24.2
4 -$26.26 B 1
5 -2.02 -30.3 -37.875 -33.33
-27.27
C
50.50
+1
50.50 56 57.5 56
+.955
-0.07
+2.47
注意零投资组合必须重新计算(X =-2.02)，而事实上收益不但不再全部为正，在情况 2时还是负值。

因此套利机会消失。

这道练习题证明了 C 的价格上升将会消除我们在 4a 中发现的用等量的 A 和B 卖空而 构建的套利机会。

但是，它并未消除掉所有的套利机会。

例如，在 P C =50.50美元时，一个套利组合可 以通过X A =-1.95，X B =-2.07的比例分别持有A 和B 的卖空头寸来构建。

5. 在收益- 关系式中，代入资产组合收益和 值，我们得到两个方程，未知数为无风险利率和风 险溢价要素RP 。

12=r f +1.2RP
9=r f +0.8×RP 解这个方程组，我们得到： r f =3% 和 RP =7.5% 6.a 等量地卖空 10种负的股票并将收入等量投资于0种正 的股票，将消除市场的风险暴露并构 建一个零投资的资产组合。

预期的美元收益为：
1 000 000 ×0.02+(-1 000 000)(-0.02)= 40 000美元
该资产组合的 为零，因为是等权重的，其中一半的权数为负，所有的 都等于1。

因此，整体风 险中系统性的成分为 0。

但是，分析家的利润的方差却不为零，因为这一资产组合没有充分分散化。

总体方差就等于非系统风险：
2
= 2(p )= 2(e i )/n =302/20=45且 =6.71%
b. 改变股票数量造成的唯一的变化是资产组合的方差下降： 2
(50)=302/50=18和 =4.24% (100)=302和 =3% 7. a.
= 2 2
(e )
本题中的方差为：
(e ) A
25 B 10
C 20且M=20。

因此，
2
2 2
A=0.82×202+252=881
B
=1.02×202+102=500
C
=1.22×202+202=976
b. 如果存在无限数量的资产都具有相同的特征，每一类充分分散化的资产组合都将
只有系统风险，因为当n很大时，非系统风险趋近于0。

均值将等于各个股票(都相
同)的值。

c. 错，没有套利机会，因为充分分散化的资产组合都画在证券市场线(SML)上。

因
为它们都是公平定价的，因而没有套利的可能。

8. a. 一个包括股票A和B的等权重资产组合P的多头头寸，有P= C。

但是，它的收益
率高于资产组合C。

因此，将资产组合P与C的空头头寸组合，将产生一个零投资、零且有正的收益率的套利组合。

b. 关于(a)的争论引出了这样的命题，即2的系数必须为0，才能排除套利机会。

9. 如果我们可以自由地选择无数解释变量，任何类型的收益都可以“被解释”。

如果一个资产定价理论有价值，它就必须使用有限数量的解释变量(系统性因素)来解释收益。

10. APT 的要素必须与不确定性的来源有关，这些不确定性的来源必须是许多投资者关注的。

研究人员应该调查与消费和投资机会的不确定性有关的因素。

国内生产总值、通货膨胀率、利率被认为是决定风险溢价的因素的一部分。

尤其是，工业产值(IP)是行业周期变化的一个很好的指标。

因此，工业产值是一个在经济体系中与投资和消费机会的不确定性高度相关的一个待选因素。

11. a. E(r)=6+1.2×6+0.5×8+0.3×3=18.1%
b. 宏观经济因素的意外变动将导致股票收益率的异常
变动：宏观因素的未预期到的收益率
=1.2(4-5)+0.5(6-3)+0.3(0-2)=-0.3%
12. APT 的以r f和因素为基础的股票要求收益
率为：要求的E(r)=6+1×6+0.5×2+0.75×
4=16%
根据该期望公式，股票实际的预期收益率E(r)=15%(因为所有因素的预期到的变动都定义为0)。

因为基于风险的要求收益率超过了实际的预期收益率，我们可以得出结论说该股票定价过高。