与圆有关的轨迹方程的求法

与圆有关的轨迹方程的求法

若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系：

⎩

⎨

⎧βα=βα=),()

,(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得⎩⎨

⎧=β=α)

,()

,(y x h y x g ②

代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0.

例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2

2

=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.

【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２

=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.

【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴

3

1

||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为

3

1. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

=+⨯+=+=+⨯+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(433

1131300000

0即

又因

202

y x +

＝１，且

y 0>0，∴19

16439162

2

=+

⎪⎭⎫ ⎝⎛

-

y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16

9

)43

(22>=

+-y y x .

例3、已知圆,42

2

=+y

x

过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(2

2=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(2

2

=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x

变式练习

1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆12

2=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且

MB AM 3

1

=，则点M 的轨迹方程是

解：设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=，∴),3(3

1

),(11y x y y x x --=--，

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=-=y

y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴12121=+y x ，∴1)34(

)134(22=+-y x ，

即169)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是16

9

)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆12

2

=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 .

解：设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线，∴3

1==OB OA MB AM ， ∴MB AM 31=.

由变式1可得点M 的轨迹方程是16

9

)43(22=+-y x .

3：已知直线1+=kx y 与圆42

2

=+y x 相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，求点P 的轨迹方程.

解：设),(y x P ，AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形，∴M 是OP 的中点，∴点M 的坐标为)2

,2(y

x ，且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ，∴CM OM ⊥，∴

0)12

(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ，化简得1)1(2

2=-+y x .∴点P 的轨

迹方程是1)1(2

2=-+y x .

4、圆9)1()2(2

2=++-y x 的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是

5、已知半径为1的动圆与圆16)7()5(2

2=++-y x 相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )

A.25)7()5(22=++-y x Ｂ. 17)7()5(22=++-y x 或15)7()5(2

2=++-y x Ｃ. 9)7()5(2

2

=++-y x Ｄ. 25)7()5(2

2

=++-y x 或9)7()5(2

2

=++-y x

6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）

A B 4 C 8 D 9

7：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为2

1

，求点M 的轨迹方程.

8 如图所示，已知圆42

2

=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．

分析：按常规求轨迹的方法，设),(y x H ，找y x ,的关系非常难．由于H 点随B ，C 点运动而运动，可考虑H ，B ，C 三点坐标之间的关系．

解：设),(y x H ，),('

'

y x C ，连结AH ，CH ， 则BC AH ⊥，AB CH ⊥，BC 是切线BC OC ⊥， 所以AH OC //，OA CH //，OC OA =， 所以四边形AOCH 是菱形．

所以2==OA CH ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.

,

2''x x y y

又),('

'y x C 满足42

'2'=+y x ，

所以)0(4)2(2

2

≠=-+x y x 即是所求轨迹方程．

说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识．采取代入法求轨迹方程．做

题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法．