跳-扩散模型下外汇期权的保险精算定价

夺））］
＝Ｑ０ｅｘｐ｛（弘一寺ｃｒ２）￡｝Ｅ［Ｐｘｐ｛仃Ｍ）］Ｅ［ｅｘｐ｛Ｎ。ｌｎ
（１＋壬））］（由于Ｗ。与Ｎ。独立）
收稿日期：Ｚ００６，０４—３０ 作者简介：董晓娜（１９７６一），女，河南兰考人，助教，在读硕士，主要从事金融数学研究。
４３
万方数据
河南机电高等专科学校学报
２００６年５期
＝Ｑｂｅｘｐ｛（Ｆ一专矿）≠）ｅｘｐ｛专矿￡）ｅｘｐ｛Ａ中￡）
后者是Ｑｒ＞忌。
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一Ｑ。Ｂｆｅｘｐ｛一（．ｊＩ夺＋吉矿）Ｔ）Ｅ［ｅｘｐ｛仃％＋Ｎ１．１ｎ（１
＋士））Ｊ｛柙，＋ⅣＴｌｎ（１十壬）＞优）］
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Байду номын сангаас
（１＋士）｝Ｉ盯Ⅳ丁＋ＮＴＩｎ（１＋壬）＞ｍ）Ｉ ＮＴ］］
＝忌ＢｇＰ■ｗＴ＋Ｎ１＇ｌｎ（１＋夺）＞优］
的外汇期权定价有待于研究。 （责任编辑 杨 木）
＝忌Ｂｇ∑Ｊ）（Ｎｒ一７ｚ）Ｐ■肼＋以ｌｎ（１＋争）＞ｍ］
¨ｆ苫“占一丽嘉～ｄｚ 一是础∑ｅ一玎（ＡＴ∑
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一忌Ｂ扩盯莹掣姒）
一Ｑ。ｅｘｐ（（岸＋叉中）￡）
（２—３）
在汇率价格满足的（２—１）式中有两个随机因素，
而只有一个证券，故市场不完备；期权不能用鞅方法
来定价；由此我们引用保险精算定价方法。
３外汇期权的保险定价
（４）由定义３、３，欧式看涨外汇期权的定价为
ｃ（点，Ｔ）：：Ｅ『－‘Ｐ一’ｊ烈。出Ｑ弘一／丁Ｂ壬——惫Ｐ一一１’Ｂ孚’］
摘要：在利率确定的情形下。当汇率价格服从跳一扩散模型时．市场不完备。传统的期权定价方法不能用，本文利
用保险精算方法定价方法给出外汇期权的定价。
关键词：保险精算；外汇期权定价；跳一扩散模型
中图分类号：（）２１１．６３；Ｆ８３０．９２
文献标识码：Ａ
文章编号：ｌ００８—２０９３（２００６）０５一００４３·０３
Ｌ缸６ｉｚｎｉＰｊ［Ｊ］．Ｐｏｌｉｔｉｃａｌ Ｅｃｏｎｏｍｙ，１９７３，（８１）１６３７—６５７． ［３］Ｍｏｇｅｎｓ Ｂ１ａｄｔ．Ｔｉｎａ Ｈｖｉｉｄ Ｒｙｄｂｅｒｇ．Ａ玎Ａｆｆ“口ｒ缸Ｚ Ａｐｐ，ｖｎｆ＾ｆＤ
ｏｐｔｉｏｎ Ｐｒｉｃｔｎｇ Ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ Ｐｈ，ｓｉｃｎｔ Ｍｅｎｓｕｒ８ｅ ｎｎｄ ｗｎｈｏＨｔ Ｍａｒ是ｅｔ Ａ５ｓ“ｍＰ∥ｆｏ玎５［Ｊ］．ＩｎｓｕｒａｎｃｅｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，１９９８．２２ （１）１６５—７３． ［４］Ｍａｒｅｋ Ｍｕｓｉｅｌａ．Ｍ拉ｒ幽Ｒ“址。叫幽ｉ．＾缸坷ｆ打９４如＾如旃ａｄ５抽ＦｆｎⅡ玎一 ｃｆⅡｚ ＭＤ出，ｆｆ”ｇ［Ｍ］．Ｓｐｒｊｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，北京ｌ世界图书出版公司北京 公司，２００３，１５９—１８１． ［５］目海峰．刘三阳．广义ＢＩａｃｋ—Ｓｃｂｏｌｅｓ模型期权定价新方法一保险 精算方法［刀．应用数学和力学．２００３，２４（７）：７３０一７３９．
Ｑｏ跏叫卅）Ｔ黑学妒¨ 文章中的概念。
定义３．１：外汇期权又称外币期权，是一种选择权契 约，指期权买方买以一定保险金为代价，获得是否在
（２）Ｐ（志，丁）；忌Ｂ扩灯莹呼声（一反）一
Ⅳ号。
竹！
（３＿３）
一定时间按照协定汇率买进或卖出一定数量的外汇
资产的选择权。
证目月 因为 ｄＱ。＝Ｑ：［弘ｄ￡＋仃ｄ ｗｌ＋壬ｃｆＮ，］，由Ｉｔｏ公
定义３．２：汇率价格过程｛Ｑ：￡≥ｏ）在区间［ｏ，￡］上的 式该随机微分方程有唯一解：
期望收益率』６卢（ｓ）ｄｓ被定义为：
眦胁砘（警）
Ｑｒ＝Ｑｏｅｘｐ（弘Ｔ＋口肼一寺矿Ｔ｝Ⅱ（１＋巾）
厶
ｉ鲁０
（３－·）
＝Ｑｏｅｘｐ｛（Ｐ一寺矿）Ｔ＋盯阱＋Ｎ了ｌｌｎ（１＋手））
其中，卢（￡）为￡时刻Ｑ，的连续复利收益率。 我们用Ｃ（忌，Ｔ）表示执行价格为Ｋ，到期日为Ｔ
行价格与国内无风险债券到期日的价格的乘积按国 内无风险利率折现的现值的差，在汇率实际分布的概 率测度Ｐ下的数学期望。
Ｅ［Ｐ一’；斟。出Ｑ１－ＢｇＪ‘，一ｆ手肿）女ＱｒＤｆ＞柏：，］
＝Ｅ［ＱＢｆｅ冲｛一（肿＋丢孑）ｎｅＸｐ｛盯坼＋坼ｌｎ（１十
注：（１）保险精算定价中欧式买人外汇期权执行
的充要条件：Ｐ—ｊ；压眦Ｑ１’＞屉Ｐ¨ｒ
Ⅳ＝ｏ 咒！
其中蒯ｎ器恂什丢批
儿一——ｉ一 ｍ一７２ｌｎ（１＋巾）
铲等 疋＝罩 ０１
参考文献： ［１］Ｇａｒｍａｎ ａｎｄ Ｋｏｈｌｈａｇｅｎ．Ｆ０ｒｆｉｇｎ Ｃ“ｒｒＰ打ｃｙ Ｏ户￡ｆ口”Ｖ．ｎｆ“Ｐ５［Ｊ］．Ｉｎ—
ｔｅｒｎａｔｉｏｎａＩ Ｍｏｎｅｙ ａｎｄ Ｆｉｎａｎｃｅ．１９８３，（２３）ｌ卜７． ［２］Ｂｌａｃｋ，Ｆ．ａｎｄ Ｍ．ｓｃｈｏＩｅｓ．７ⅥＰ尸一ｆｉ”ｇ ｏ，Ｏｐｆｆｏ，，ｓ口力ｄ Ｃｏｒｐ。，－ｎｆＰ
＝Ｑｏ尉ｅｘｐ（一（Ａ中＋专盯２）Ｔ）．墨Ｐ（Ｎｒ＝挖）
厶
Ｎ＝Ｏ
Ｅ［ｅｘｐ｛盯阱＋Ｎ１Ｉｌｎ（１＋中）｝ｊ柙，＋叶ｌｎ（１＋夺）＞ｍ｝］
＝ＱｏＢ扩串＋｛ｃｒｚ玎墨Ｐ哪箐（１＋护』＃ 占Ｆ一与产ｄｚ ＿＝＝Ｆ ２ｊ 矗ｚ 这 翅里里Ｗ下ｗ～下』～、Ｎ，（Ｌｏｕ’，』Ｔ，）
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４４
万方数据
ＱＯＢ扩心＋１）Ｔ墨华』芰”去 董晓娜等：跳一扩散模型下外汇期权的保险精算定价 西（·）表示标准正态分布的分布函数。
‘
（２）在定义３、３中，没有对金融市场和价格过
程作任何限制，计算外汇期权价格只利用了价格
过程在期末时的实际概率分布和公平保费原理，
克服了鞅方法定价（见文献［４］）中寻找等价鞅测
度的困难，所以，保险精算定价对非均衡不完备金
融市场也适用。
（３）外汇期权的保险精算定价与鞅方法定价（见
文献［４］）的区别：
二者执行条件不同，前者是ｅ一“群Ｄ出Ｑ丁Ｂ‘＞足Ｂ《，
ＬＪ ｔ。一ｆ彳犀”出ＱＴ。一／ｒＢｆ＞如一一ｒＢ毒，
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２匝（Ｐ一培压。出Ｑ弗ｆ·ｌ一是Ｂ；ｆ。ｊ）ｏ旷取岫Ｑ，Ｂｐ出；＞］
定理３．４假设汇率价格过程｛Ｑｆ：￡≥ｏ）满足（２—１） 式，国外债券价格Ｂ，与本国债券价格Ｂ？分别满足 （２—２）、（２—３）式，则欧式看涨外汇期权价格Ｃ（忌，丁）与
１９９８年Ｍｏｇｅｎｓ Ｂｌａｄｔ，Ｔｉｎａ Ｈｖｉｉｄ Ｒｙｄｂｅｒｇ［３３首 看跌期权的价格Ｐ（走，Ｔ）分别为
并且
期望收益率折现的现值与执行价按无风险利率折现 ＥＱ—Ｅ［Ｑｏｅｘｐ（（Ｆ一丢∥）ｆ＋盯ｗｆ十Ｎ：ｌｎ（１＋孛））］
的现值之差在股票价格实际概率测度下的数学期望
（也可参看文献［５］）。保险精算方法无任何经济假设，
一Ｑｏｅｘｐ｛（弘一寺仃２）￡）Ｅ［ｅｘｐ｛口ｗ：＋Ｎ，ｌｎ（１＋
所以它不仅对无套利、均衡、完备的市场有效，并且对 有套利、非均衡、不完备的市场也有效。因此本文利 用保险精算方法给出汇率价格服从跳一扩散模型时 的外汇期权的定价。
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” 所以 ～｝‘，盱１１ ｃ（五，Ｔ）一Ｅ［（Ｐ—ｆ融ｒ）出ＱｒＢｆ·１一是Ｂｇ．１）
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Ｎ；Ｏ
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足Ｂｇｅ一盯妻盟竿声（６：）
ｃ等＞同理可蒜一袋
Ａｃｔｕａｒｉａｌ Ｐｒｉｃｅ ｏｆ Ｆｏｒｅｉｇｎ Ｃｕｒｒｅｎｃｙ
ＤｒｉＶｅｎ ｂｙ Ｊｕｍｐ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ Ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ Ｐｒｏｃｅｓｓ
ＤＯＮＧ Ｘｉａｏ—ｎａ，ｅｔ ａｌ
、
（Ｙｅｌｌｏｗ Ｒｉｖｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｋａｉｆｅｎｇ ４７５００ｌ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ａｓｓｕｍｉｎｇ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｒａｔｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ， ｔｈｅ ｆｉｎａｎｃｉａｌ ｍａｒｋｅｔ ｉｓ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｗｈｅｎ ｆｏｒｅｉｇｎ ｅｘｃｈａｎｇｅ ｒａｔｅ ｉｓ ｄｒｉｖｅｎ ｂｙ ｊ ｕｍｐ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｐｒｏｃｅｓｓ，ｓｏ，ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｐｒｉｃｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｏｐｔｉｏｎｓ ｃａｎ ｎｏｔ ｂｅ ｕｓｅｄ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅ，ｗｅ ｄｅａｌ ｗｉｔｈ ｐｒｉｃｉｎｇ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ Ｅｕｒｏｐｅａｎ ｏｐｔｉｏｎ ｏｎ ｆｏｒｅｉｇｎ ｃｕｒｒｅｎｃｙ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｃｔｕａｒｉａｌ ａｐｐｒｏａｃｈ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ａｃｔｕａｒｉａｌ；ｆｏｒｅｉｇｎ ｃｕｒｒｅｎｃｙ ｐｒｉｃｅ；ｊ ｕｍｐ—ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｍｏｄｅｌ
ｄＢｆ＝Ｂ分纪￡，Ｂ壬＝１ Ｂ，一Ｐ一＾ｔ＿¨
（２—２）
ｄＢ？＝Ｂ？，－。ｄｆ，Ｂ｝＝１ Ｂ？一Ｐ一一‘１１一ｏ
（２—３）
其中｛ｗ。：ｏ≤￡≤¨为概率空问（Ｑ，Ｆ，Ｐ）上标准布朗
运动，｛Ｅ：ｏ≤￡≤丁）由Ｎ＂Ｗ。产生的自然口一代数，
Ｎｆ表示汇率价格在［ｏ，￡］内由非经济因素引起的异常
随机跳跃的次数、且与阢独立、服从参数为Ａ的
Ｐｏｉｓｓｏｎ过程，卡为价格跳跃的高度，且中＞一ｌ，口２是
对数外汇价格的波动率，弘是对数外汇价格的漂移
率，都为非负常数。国外无风险利率ｒ，与国内无风险·．
利率一也为常数。丁是外汇期权的到期日。
由（２—１）式可得
１
～ｒ
Ｑ，一Ｑ。ｅｘｐ（弘￡十刎ｍ～告矿￡｝Ⅱ（１十牵） （２—４）
“
ｌ—Ｕ
＝Ｑｏｅｘｐ｛（卢一寺仃２）ｚ＋仃ｍ＋Ｎ，ｌｎ（１十士）｝
１引言
２汇率期权定价模型的建立
１９８３年，Ｍ．Ｇａｒｍａｎ和Ｋｏｈｌｈａｇａｎ指出［１１，由于
假定汇率价格过程｛Ｑ：宏：ｏ｝满足方程：
外汇期权中引用了多个无风险利率，与Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ
ｄＱ。＝Ｑ。［口ｄ￡＋ｄｄ眦＋９ｄＮｒ］
（２—１）
模型的假设相矛盾，因此经典的Ｂｌａｃｋ—Ｓｃｈｏｌｅｓ定价模 国外债券价格Ｂ，及本国债券价格Ｂ？分别满足
次提出利用公平保费原理将期权定价问题转化为保
（１）ｃ（是，丁）一ＱｏＢ扩－ｃ卡＋１）丁萎选世掣业１＆
险问题，有关期权保险精算定价的概念参看Ｍｏｇｅｎｓ
ｎ。ｏ
玎！
（玩）一忌ＢｊＦ一盯莹璺三∑ｊ５（玩） Ｂ】ａｄｔ，Ｔｉｎａ Ｈｖｉｉｄ Ｒｙｄｂｅｒ９１９９８∽与团海峰、刘三阳‘５］
Ｎ置Ｏ 托！
（３—２）
型［２］不能直接应用于外汇期权的定价问题。由此，他 们在Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ定价模型的基础上第一次给出了 外汇期权定价模型，但该模型只描述了随机因素价格 在时间和空间上以连续形式的变化，即在正常市场条 件下价格的正常变化情况，而无法解释由于市场中的 异常情况（即非经济因素原因）引起的随机因素价格 的不正常变动。这些变动往往造成股票价格的不连 续的大幅度“跳跃”。在本文中，我们研究了当标的外 汇价格动态地服从跳一扩散随机过程时的外汇期权 定价问题。但是，期权价格服从跳一扩散随机过程 时，市场不完备，等价鞅测度不唯一，那么Ｍ．Ｇａｒｍａｎ 和Ｋｏｈｌｈａｇａｎ［】３中的外汇期权定价公式不能用；１９９８ 年Ｍｏｇｅｎｓ Ｂｌａｄｔ，Ｔｉｎａ Ｈｖｉｉｄ Ｒｙｄｂｅｒｇ【３］首次提出期 权定价的保险精算方法，其基本思想是：无风险资产 按无风险利率折现，风险资产按期望收益率折现，欧 式期权的价值等于在期权被执行时股票期末价值按
第１４卷第５期 ２００６年０９月
河南机电高等专科学校学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ａｎｄ ＥＩｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＣｏＩｌｅｇｅ
ＶｏＩ．１４№．５ Ｓｅｐｔ．２００６
跳一扩散模型下外汇期权的保险精算定价
董晓娜１’２，郝振莉１，房建云３
（１．黄河水利职业技术学院，河南开封４７５００１１２．河南师范大学，河南新乡４５３００２；３．开封市第五中学，河南开封４７５０００）
的欧式看涨外汇期权在现在时刻的保险精算定价。
又 ｇ—ｆ融蝴ＱｒＢｆ＞足剧等价于
ｅｘｐ｛一（卢＋Ａ中）Ｔ）·Ｑ０ｅｘｐ｛（ｐ一寺ｃＦ２）１’＋莎％＋
定义３．３：欧式外汇期权在现在时刻的价值为：外汇｝［ ＮＴｌｎ（１＋夺））·Ⅸ＞忌剧 率到期日价格按期望收益率折现的现值与国外债券
到期日价格按无风险利率折现的现值的乘积减去执 整理得仃ｗ；＋Ｍｌｎ（１＋妒＞Ｉｍ鑫＋Ｑ壬十丢，）丁
“百一＝仃了’Ｑ’０、瓯叫卅）Ｔ姜学船。）
而Ｅ［忌剧，‘。一Ｊ枷出Ｑ，口，＞ｔＢ：＞］
注：本文是在不完备无套利的金融市场中讨论外 汇期权的定价，由于市场的不完备，我们不能用鞅方 法求其定价；于是我们考虑用无任何市场假设的保险 精算定价方法给出其定价，并且定理３．４中的定价公 式是在利率确定的情况下给出的。利率是随机情形