跳-扩散模型下外汇期权的保险精算定价

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跳扩散模型下国内外利率随机的双币种期权定价

e 随机利率模型；鞅方法
1. 引言
近几十年金融创新浪潮席卷全球，各种金融衍生产品及更复杂的结构性产品(如理财产品)层出不穷，金融机构在投资过程中面临着越来越复杂的金融风险。为了有效管理这些风险，学者及金融工程从业者提出了各种风
*国家自然科学基金(40675023)和广西自然科学基金(0991091)资助。
Email: marchmayi@, dengguohe@
收稿日期：2012 年 10 月 15 日；修回日期：2012 年 10 月 21 日；录用日期：2012 年 11 月 6 日
摘要：双币种期权是投资于国外风险资产的一种风险管理合约，其收益不仅依赖国外风险资产价格的变化，还受汇率及国内外利率的双重波动影响，在国际贸易及汇率风险对冲方面应用十分广泛。本文假设股价和汇率均服从 Merton 跳扩散模型，并考虑国内外利率满足 Hull-White 随机模型时四种双币种标准欧式看涨期权的定价。利用鞅方法和跳扩散过程的 Girsanov 测度变换法，给出了它们价格的显示式，通过数值实例比较了与 Black-Scholes 模型的相应结果，并分析利率参数和跳跃参数对期权价格的影响。
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2013, 2, 1-9 /10.12677/aam.2013.21001 Published Online February 2013 (/journal/aam.html)
Keywords: Quanto Options; Jump-Diffusion Model; Hull-White Stochastic Interest Rates; Martingale Method
跳扩散模型下国内外利率随机的双币种期权定价*

跳扩散扭曲函数在期权定价中的应用

第34卷第5期2020年10月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.34No.5Oct.2020收稿日期:2020-07-05基金项目:湖南省教育厅重点项目(19A267;19A271);湖南省自然科学基金项目(2019JJ40141)作者简介:王敬童(1973-),男,副教授,主要从事金融数学方面的研究㊂E-mail:jingtong_wang@㊂∗通信作者:姚落根(1974-),男,副教授,博士,主要从事金融数学方面的研究㊂E-mail:yaoluogen@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2020.05.013跳扩散扭曲函数在期权定价中的应用王敬童1,姚落根1∗,范伟平2(1.湖南工商大学数学与统计学院,湖南长沙410205;2.中南林业科技大学涉外学院,湖南长沙410004)摘㊀要:基于Merton 跳扩散分布,提出了Merton 跳扩散扭曲函数㊂证明了在Merton 跳扩散模型中,按Merton 跳扩散扭曲函数得到的期权价格和在均值修正鞅测度下得到的期权价格一致㊂数值计算结果表明,Merton 跳扩散扭曲函数在定价准确性方面要好于基于NIG 分布和标准正态分布的扭曲函数㊂关键词:Merton 跳扩散模型;扭曲函数;期权定价;保险定价;王变换中图分类号:O221.6文献标志码:A 文章编号:1673-0062(2020)05-0087-06开放科学(资源服务)标识码(OSID ):Applications of Jump Diffusion Distortion Functionin Option PricingWANG Jingtong 1,YAO Luogen 1∗,FAN Weiping 2(1.School of Mathematics and Statistics,Hunan University of Technology and Business,Changsha,Hunan 410205,China;2.Foreign-oriented College,Central South University of Forestry and Technology,Changsha,Hunan 410004,China)Abstract :Based on Merton jump diffusion distribution,Merton jump diffusion distortion function is put forward.It is shown that option price under Merton jump diffusion distortion function is just the price under mean correcting martingale measure in Merton jump diffu-sion model.The numerical results show that in terms of pricing accuracy,the distortionfunction based on Merton jump diffusion distribution performs better than that on NIG dis-tribution and standard normal distribution.key words :Merton jump diffusion model;distortion function;option pricing;insurance pri-cing;Wang transform0㊀引㊀言随着金融市场和保险市场的加快融合,保险证券化和保险证券交易得到了快速发展㊂在这种背景下,保险定价方法必然会被引入到期权定价中㊂这就会导致一个研究热点:如何将保险定价㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2020年10月方法运用到期权定价中以及按保险定价方法和按期权定价方法得到的期权价格之间具有什么样的关系㊂基于标准正态分布,S.Wang [1]利用概率扭曲的方法提出了一种现在称为王变换的保险和金融风险的定价方法㊂王变换不仅具有良好的数学性质,而且能够给出合理的经济学解释㊂更为突出的是,王变换与Buhlmann 的保费原理一致㊂稍后,M.Hamada 和M.Sherris [2]探讨了王变换在期权定价中的应用㊂他们的研究表明:在资产收益率为正态分布的条件下,按王变换计算的期权价格和按Black-Scholes 公式计算的价格相同;在资产收益率是非正态分布的条件下,王变换有很大的局限性㊂另外,A.Pelsser [3]的反例说明,对于一般的资产收益率按王变换方法得到的期权价格可能有套利㊂然而大量的实证结果已经表明,金融资产收益率具有尖峰厚尾等特征,明显不服从正态分布㊂因此为了适应资产收益率的非正态性质,利用王变换给期权定价必须进行某些修正㊂目前关于这方面的研究已有一些结果㊂F.Godin,S.Mayoral 和M.Morales [4]提出了基于NIG 分布(normal in-verse gaussian distribution)的扭曲函数㊂他们的结果表明通过该扭曲函数可以得到Black-Scholes 形式的期权定价公式,并且在期权定价中比王变换更加有效㊂O.O.Bright 和A.Godswill [5]给出了基于柯西分布的扭曲函数,并得到了Black-Scholes 形式的期权定价公式㊂在上述文献基础之上,本文先基于Merton 跳扩散分布,提出了一种新的扭曲函数 Merton 跳扩散扭曲函数㊂然后证明了在Merton 跳扩散模型中,按Merton 跳扩散扭曲函数得到的期权价格和在均值修正鞅测度下得到的期权价格一致,从而说明了按Merton 跳扩散扭曲函数得到的期权价格无套利㊂最后,数值计算结果表明,Merton 跳扩散扭曲函数在定价准确性方面要好于基于NIG 分布和标准正态分布的扭曲函数㊂1㊀Merton 跳扩散模型R.C.Merton [6]假定资产价格服从如下的跳扩散过程d X t X t -=(μ-λ(e μJ +0.5σ2J -1))d t +σd W t +d ðN ti =1(e V i -1)(),(1)其中,μɪR ,μJ ɪR ,σ>0,σJ >0,λ>0均为常数,W t 为标准布朗运动,N t 是参数为λ的泊松过程,V i ~N (μJ ,σ2J ),i =1,2, 是一列独立同分布的随机变量序列且W t ,V i ,N t 相互独立㊂根据It^o 公式,随机微分方程(1)有如下解X t =X 0e Z t ,(2)其中,X 0>0是资产的初始价格,Z t =μ-σ22-λ(e μJ +0.5σ2J -1)()t +σW t +ðN ti =1e V i㊂(3)显然,Z t 是Lévy 测度为v (d x )=λ2πσ2Je-(x -μJ )22σ2Jd x的Lévy 过程㊂记m =μ-σ22-λ(e μJ +0.5σ2J -1)㊂由Lévy-Khintchine 公式,Z t 的特征函数为E [e iuZ t ]=e tφ(u ),(4)其中,φ(u )=ium -12σ2u 2+λ(e iuμJ -0.5σ2J u 2-1)㊂㊀㊀为行文方便,给出如下定义㊂定义1㊀如果随机变量Z 的密度函数为f (x ;μ,σ,λ,μJ ,σJ )=ð+ɕn =0λn n !e -λ㊃f N (x ;m +nμJ ,σ2+nσ2J ),其中,f N (x ;μ,σ2)表示均值为μ,方差为σ2的正态分布的密度函数,则称Z 服从参数为μ,σ,λ,μJ ,σJ 的Merton 跳扩散分布,简记为Z ~M (μ,σ,λ,μJ ,σJ )㊂Merton 跳扩散过程也可如下定义㊂定义2㊀概率空间(Ω,F ,(F t )t ȡ0,P )上的右连左极过程Z t 称为具有参数μ,σ,λ,μJ ,σJ 的Merton 跳扩散过程,如果Z t 满足1)Z 0=0㊀a.s.,2)Z t 具有独立增量和平稳增量,3)Z t ~M (μt ,σt ,λt ,μJ ,σJ )㊂Merton 的跳扩散模型(1)不完备,因而存在无穷多个等价鞅测度㊂Merton 采用均值修正鞅测度作为定价测度㊂均值修正鞅测度的基本思想是修正Lévy 过程的均值,使得资产价格过程的折现过程为鞅(参见W.Schoutens [7])㊂在均值修正鞅测度Q 下,88第34卷第5期王敬童等:跳扩散扭曲函数在期权定价中的应用Z t =r -σ22-λ(e μJ +0.5σ2J -1)()t +σW t +ðN ti =1e V i,其中,r 是无风险利率,W Qt是在概率测度Q 的标准布朗运动㊂利用Merton 跳扩散分布记号,在均值修正鞅测度Q 下,显然Z t ~M (rt ,σt ,λt ,μJ ,σJ )㊂(5)R.C.Merton [6]由此推导出到期日为T ,执行价格为K 的欧式看涨期权的价格C t 为C t ʉE Q (e -rτ(X T -K )+)=e-rτð+ɕn =0(λτ)n e -λτn !C BS (τ,S n ,σn ,K ),(6)其中,τ=T -t ,σ2n=σ2+nσ2Jτ,S n =X 0exp nμJ +nσ2J2-λτexp(μJ +σ2J2)+λτ(),C BS (τ,S ,σ,K )是在经典Black-Scholes 模型中,到期时间为τ,初始价格为S ,标准差为σ,执行价格为K 的欧式看涨期权的价格,即C BS (τ,S ,σ,K )=SΦlnSK +r +12σ2()τστ()-K e-rτΦlnSK +r -12σ2()τστ()㊂2㊀Merton 跳扩散扭曲函数S.Wang[1]提出了一种现在被称为王变换的金融和保险风险的定价方法㊂该方法利用扭曲函数来计算风险价格㊂设非负随机变量X 代表金融风险,F X (x ),S X (x )分别是X 的分布函数和生存函数,S.Wang [1]利用Choquet 积分定义风险价格为ᵑ(X )=ʏg (S X (x ))d x ,其中g (x )是某个扭曲函数㊂基于正态分布,S.Wang [1]提出了如下的扭曲函数g α(u )=Φ(Φ-1(u )+α),其中Φ(u )是标准正态分布函数㊂考虑如下的定价核H [X =h (Z );α]=ʏg α(S X (x ))d x ,这里h 是连续的,非负增函数㊂在Black-Scholes 模型下,可以证明当α=(r -μ)Tσ时,按这个定价核计算出来的欧式期权的价格恰好和Black-Scholes 公式一致㊂目前,金融资产的收益率呈非正态分布特征已成为人们的共识㊂因此,基于正态分布的扭曲函数可能不太合适㊂相关的研究结果,例如M.Hamada 和M.Sherris [2]㊁F.Godin,S.Mayoral 和M.Morales [4]都证实了这点㊂本文将基于Merton 跳扩散分布,提出一种新的扭曲函数㊂定义3㊀设随机变量Z ~M (μ,σ,λ,μJ ,σJ ),称扭曲函数g μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ(x )=F -Z (F -1-Z (x )+γ)(7)为Merton 跳扩散扭曲函数㊂基于正态分别的扭曲函数只含有1个参数α,而Merton 跳扩散扭曲函数有6个参数μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ㊂本质上,Merton 跳扩散扭曲函数就是把-Z 的分位数向左或向右平移|γ|个单位,然后重新用-Z 的分布函数作用㊂我们接下来讨论Merton 跳扩散扭曲函数对Merton 跳扩散分布的影响㊂定理1㊀设Z ~M (μ,σ,λ,μJ ,σJ ),h (x )是连续㊁严格递增的非负函数,X =h (Z )㊂则H (X ;γ)ʉʏg μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ(S X (x ))d x =E [h (Z +γ)]㊂(8)㊀㊀证明:注意到Merton 跳扩散分布是连续型分布,有㊀S X (x )=P (X >x )=P (h (Z )>x )=P (Z >h -1(x ))=P (-Z <-h -1(x ))=F -Z (-h -1(x ))㊂将Merton 跳扩散扭曲函数g μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ(x )作用于S X (x ),可得g μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ(S X (x ))=F -Z (F -1-Z (F -Z (-h -1(x )))+γ)=F -Z (-h -1(x )+γ)=P (-Z ɤ-h -1(x )+γ)=P (Z +γȡh -1(x ))=P (h (Z +γ)ȡx )㊂因此,定理的结论成立㊂定理1要求h (x )连续㊁严格递增㊂容易验证,对于函数h ~(x )=(h 1(x )-a )+,(x ɪR ,a >0)定理1仍然成立,这里h 1(x )是连续㊁严格递增的非98㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2020年10月负函数㊂从定理1的证明可看到,我们并没有用到随机变量Z 的分布信息㊂因此,定理1可推广如下,证明过程不变㊂定理2㊀设随机变量Z 的分布函数F Z 是连续㊁严格单调递增的函数,h (x )是连续㊁严格递增的非负函数,X =h (Z )㊂则H (X ;γ)ʉʏg μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ(S X (x ))d x =E [h (Z +γ)]㊂(9)注:在随机变量Z 的密度函数关于原点对称的条件下,M.Hamada 和M.Sherris [2]也得到了式(9)㊂F.Godin,S.Mayoral 和M.Morales[4]基于NIG 分布的扭曲函数也必须用到对称性这个条件㊂定理2只需要F Z 连续㊁严格单调递增,因此我们极大的推广了M.Hamada 和M.Sherris [2]的结果㊂3㊀期权定价本节讨论在Merton 跳扩散模型(2)中,按Merton 跳扩散扭曲函数得到的欧式看涨期权的价格是否无套利㊂首先,选取一个合适的参数γ∗,使得资产收益率恰好等于无风险利率㊂定理3㊀在跳扩散模型(2)中,H [X T ;-γ∗]=X 0e rT ,其中γ∗=(φ(-i )-r )T ㊂证明:由定义2,Z T ~M (μT ,σT ,λT ,μJ ,σJ )㊂令h (x )=X 0e x ,则X T =h (Z T )㊂再利用定理1和式(4),有H [X T ;-γ]=E [h (Z T -γ)]=X 0e -γ[e Z T ]=X 0e Tφ(-i )-γ㊂容易看到,如果令γ∗=(φ(-i )-r )T ,则有H [X T ;-γ∗]=X 0e rT㊂因此,定理的结论成立㊂定理3表明,在Merton 跳扩散扭曲函数g μ,σ,λ,μJ ,σJ ,γ∗作用下,资产的收益率等于无风险利率㊂下面的定理说明Merton 跳扩散扭曲函数与期权定价理论一致㊂定理4㊀在Merton 跳扩散模型(2)中,H [e -rT (X T -K )+;-γ∗]=E Q {e -rT (X T -K )+}㊂(10)证明:令h (x )=e -rT (X 0e x -K )+,则h (Z T )=e -rT (X T -K )+㊂由定理1,H [h (Z T );-γ∗]=E [h (Z T -γ∗)]=㊀㊀e -rT E [(X 0e Z T -γ∗-K )+]㊂记Y T =Z T -γ∗㊂由于在实际概率P 下,Z T ~M (μT ,σT ,λT ,μJ ,σJ ),故在实际概率P 下,Y T ~M ((μ+r -φ(-i ))T ,σT ,λT ,μJ ,σJ )㊂容易验证,φ(-i )=μ,从而在概率P 下,Y T ~M (rT ,σT ,λT ,μJ ,σJ )㊂另一方面,E Q {e -rT (X T -K )+}=e -rT E Q {(X 0e Z T -K )+}㊂由式(5),在均值修正鞅测度Q 下,Z T ~M (rT ,σT ,λT ,μJ ,σJ )㊂因此,Y T 在概率P 下的分布,与Z T 在概率Q 下的分布完全相同㊂从而我们有H [e -rT (X T -K )+;-γ∗]=e -rT E [(X 0e Y T -㊀K )+]=e -rT E Q [(X 0e Z T -K )+]=㊀E Q [e -rT (X T -K )+]㊂因此,定理的结论成立㊂定理4表明,在Merton 跳扩散模型(2)中,按Merton 跳扩散扭曲函数得到的欧式看涨期权的价格等于均值修正鞅测度下期权的价格㊂因此,这是一个无套利价格㊂4㊀数值分析本节对来自四个期权定价模型(B-S 模型㊁Merton 跳扩散模型㊁NIG 模型和VG 模型)的模拟数据,讨论三种扭曲函数(分别基于正态分布㊁NIG 分布和Merton 跳扩散分布)定价的准确性㊂我们的主要目的是想说明,在定价的准确性方面,Merton 跳扩散扭曲函数比NIG 扭曲函数和正态扭曲函数要好㊂4.1㊀B-S 模型在经典B-S 模型X t =X 0e (μ-0.5σ2)t +σW t ,0ɤt ɤT中,先设定X 0=50,r =0.05,T =0.5,σ=0.2,μ=0.15,然后模拟出1000个期末价格X T ㊂利用这些模拟价格,可得NIG 过程㊁Merton 跳扩散过程中参数的极大似然估计如下:^α=52.4085,^β=-1.4564,^μ=0.1870,^δ=2.0091;^μ=0.1687,^σ=0.1933,^λ=0.3470,^μJ =-0.0543,^σJ =1.1118ˑ10-4㊂最后,利用基于正态分布㊁NIG 分布和Merton 跳扩散分布的扭曲函数,分别计算欧式看涨期权的价格,结果如表1㊂结果表明,三种价格都比较准9第34卷第5期王敬童等:跳扩散扭曲函数在期权定价中的应用确,其中Wang价格最好,NIG价格相对最差㊂表1㊀B-S模型中,三种扭曲函数定价准确性的比较Table1㊀Comparison of three distortion function pricing accuracy in B-S model 执行价格47484950515253 B-S价格 5.2746 4.6111 4.0006 3.4444 2.9428 2.4950 2.0944 Wang价格 5.2678 4.5929 3.9666 3.4006 2.8950 2.4426 2.0430 NIG价格 5.2498 4.5756 3.9503 3.3855 2.8813 2.4303 2.0322跳扩散价格 5.2648 4.5897 3.9632 3.3971 2.8915 2.4391 2.0396 Wang相对误差0.00130.00400.00850.01270.01620.02100.0269 NIG相对误差0.00470.00770.01260.01710.02090.02590.0320跳扩散相对误差0.00190.00470.00930.01370.01740.02240.02844.2㊀跳扩散模型在Merton跳扩散模型中(2),先设定参数X0=20,r=0.05,T=0.5,μ=0.15,σ=0.1,λ=1,μJ=0.2,σJ=0.1,然后根据模型模拟了1000个价格X T㊂利用模拟价格,可得NIG过程中参数的极大似然估计如下:^α=24.8058,^β=20.4939,^μ=-0.2827,^δ=0.2735㊂结果表明跳扩散价格要优于NIG价格,Wang价格的误差太大(见表2)㊂表2㊀Merton跳扩散模型中,三种扭曲函数定价准确性的比较Table2㊀Comparison of three distortion function pricing accuracy in Merton jump diffusion model 执行价格17181920212223默顿价格 3.4792 2.6769 2.0599 1.6112 1.27150.99950.7798 Wang价格 3.4478 2.5765 1.8717 1.3701 1.02440.77330.5867 NIG价格 3.4836 2.6746 2.0337 1.5647 1.22370.96290.7597跳扩散价格 3.5136 2.7047 2.0771 1.6189 1.26320.99160.7672 Wang相对误差0.00900.03750.09130.14970.19430.22630.2476 NIG相对误差0.00130.00090.01270.02890.03760.03660.0257跳扩散相对误差0.00990.01040.00840.00480.00650.00790.01624.3㊀NIG模型在NIG模型中,设定X0=20,T=0.5,r=0.1,α=6,β=4,μ=-0.5,δ=1,同样模拟了1000个价格X T㊂Merton跳扩散模型参数的极大似然估计为^μ=0.0164,^σ=0.3274,^λ=1.0402,^μJ=0.4067,^σJ=0.3008㊂模拟结果表明,NIG价格和跳扩散价格没有显著性差异,但Wang价格误差太大㊂表3㊀NIG模型中,三种扭曲函数定价准确性的比较Table3㊀Comparison of three distortion function pricing accuracy in NIG model 执行价格17181920212223理论价格 5.5052 5.0540 4.6559 4.3040 3.9921 3.7147 3.4671 Wang价格 4.8573 4.2971 3.7926 3.3823 3.0271 2.7144 2.4676 NIG价格 5.3784 4.9187 4.5117 4.1579 3.8503 3.5804 3.3436跳扩散价格 5.3838 4.9170 4.5141 4.1627 3.8541 3.5795 3.3342 Wang相对误差0.11770.14980.18540.21410.24170.26930.2883 NIG相对误差0.02210.02680.03100.03390.03550.03610.0356跳扩散相对误差0.02300.02710.03050.03280.03460.03640.038319㊀㊀㊀南华大学学报(自然科学版)2020年10月4.4㊀VG模型VG模型中,设定参数如下:X0=50,T=0.5, r=0.1,θ=-0.1,ν=0.2,σ=0.15,μ=0.2㊂通过模拟1000个价格X T,可得NIG过程中参数的极大似然估计^α=12.2826,^β=-3.5945,^μ=0.1966,^δ=0.3145和跳扩散过程参数的极大似然估计^μ=0.1695,^σ=0.0908,^λ=1.9593,^μJ=-0.0316,^σJ=0.0798㊂模拟数据表明,Merton跳扩散价格价格相对来说最好㊂表4㊀VG模型中,三种扭曲函数定价准确性的比较Table4㊀Comparison of three distortion function pricing accuracy in VG model 执行价格47484950515253理论价格 5.7893 5.0020 4.2583 3.5660 2.9331 2.3665 1.8723 Wang价格 5.9118 5.1375 4.4060 3.7332 3.1130 2.5527 2.0493 NIG价格 5.8889 5.1127 4.3800 3.7070 3.0877 2.5294 2.0290跳扩散价格 5.8590 5.0853 4.3554 3.6851 3.0682 2.5118 1.8723 Wang相对误差0.02120.02710.03470.04690.06130.07870.0946 NIG相对误差0.01720.02210.02860.03960.05270.06890.0837跳扩散相对误差0.01200.01670.02280.03340.04610.06140.0750参考文献:[1]WANG S.A class of distortion operators for pricing finan-cial and insurance risks[J].Journal of risk and insur-ance,2000,67(1):15-36.[2]HAMADA M,SHERRIS M.Contingent claim pricing using probability distortion operators:Methods from insurance risk pricing and their relationship to financial theory[J]. Applied mathematical finance,2003,10(1):19-47. [3]PELSSER A.On the applicability of the Wang transform for pricing financial risks[J].Astin bulletin,2008,38 (1):171-181.[4]GODIN F,MAYORAL S,MORALES M.Contingent claim pricing using a normal inverse Gaussian probability distortion operator[J].Journal of risk and insurance, 2012,79(3):841-866.[5]BRIGHT O O,GODSWILL U A.Contingent claim pricing using the Cauchy probability distortion oerator under simpletransformation[J].International journal of applied physics and mathematics,2013,3(1):8-13.[6]MERTON R C.Option pricing when underlying stock re-turns are discontinuous[J].Journal of financial econom-ics,1976,3(1/2):125-144.[7]SCHOUTENS W.Lévy Processes in finance:Pricing fi-nancial derivatives[M].Chichester:John Wiley and Sons, 2003:77-80.[8]YAARI M E.The dual theory of choice under risk[J]. Econometrica,1987,55(1):95-115.[9]MADAN D B,CARR P P,CHANG E C.The variance gamma process and option pricing[J].European finance review,1998,2(1):79-105.[10]KIJIMA M,MUROMACHI Y.An extension of the Wangtransform derived from Buhlmann s economic premiumprinciple for insurance risk[J].Insurance:Mathematicsand economics,2008,42(3):887-896.29。

跳扩散模型随机利率下期权的保险精算定价

（５）
Ｔ
∫ Ｐ（Ｋ，Ｔ）＝Ｅ［（ｅｘｐ｛－ φ（ｓ）ｄｓ｝Ｋ－ｅｘｐ｛－０
Ｔ
∫ ∫ ∫ ０ｒ（ｓ）ｄｓ｝ＳＴ）×Ｉｅｘｐ｛－０Ｔφ（ｓ）ｄｓ｝ＳＴ＜ｅｘｐ｛－０Ｔｒ（ｓ）ｄｓ｝Ｋ］（６）
其中ＩＡ表示事件Ａ的示性函数。三、随机利率下期权保险定价公式
本节我们主要讨论期权的定价问题，首先给
出引理１和引理２。引理１［９］假设随机变量 ξ～Ｎ（０，１），η～Ｎ（０，
Ｔ
∫０ φ（ｓ）ｄｓ＜∞，Ｓ０表示风险资产在时刻零的价格
变量。
假设标的资产价格模型｛Ｓｔ｝，成熟日Ｔ，敲定价格Ｋ，Ｃ（Ｋ，Ｔ）为欧式看涨期权ｔ＝０价格，
Ｐ（Ｋ，Ｔ）为看跌期权在ｔ＝０价值，则在到期日Ｔ，
期权被执行充分必要条件［９］：
欧式看涨期权被执行条件：
Ｔ
Ｔ
∫ ∫ ｅｘｐ｛－
［关键词］Ｐｏｉｓｓｏｎ跳扩散过程；Ｈｕｌｌ－Ｗｈｉｔｅ随机利率模型；定价公式；保险定价［中图分类号］Ｆ８３０．９［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７１－５３３０（２０１８）０４－００２４－０３
一、引言Ｂｌａｃｋ与Ｓｃｈｏｌｅｓ在１９７３年提出了非常著名
的期权定价公式，即Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式［１］。众所周知，Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅ模型下的期权定价公式对金融市场的假设很强，这意味着，Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ期权定价公式的应用范围相对较窄。为适应更广泛的金融市场假设，业界在Ｂｌａｃｋ－Ｓｃｈｏｌｅｓ模型基础上，进行了成效卓著的改进以及推广研究工作［２－４］。
在［０，Ｔ］中，０表示期权开始的时间，Ｔ为期

双因素市场结构跳扩散组合模型的互换期权定价00000

双因素市场结构跳扩散组合模型的互换期权定价摘要自1973年Black和Scholes开创性地建立期权定价公式以来，期权市场得到了飞速的发展。

随着金融市场的日益膨胀，出现了越来越多交易方式和交易价格更加灵活多变的金融衍生产品，投资者面临更多的投资空间的同时也面临更多种多样的投资风险。

期权具有良好的套期保值、价格发现、风险管理和转移等功能，因此，选择有效的市场模型对这些期权进行定价，具有明显的经济意义和学术价值，是目前研究的热点，也是现代金融理论与应用研究领域中的核心内容之一。

由于经典的Black-Scholes模型与实际存在较大的系统偏差，不能完全适应现代金融市场的变化，许多学者都致力于对Black-Scholes模型进行两方面的改进，一是引入随机波动率模型，二是引入跳扩散模型，但是改进后的模型多是建立在单因素的传统利率模型上，而大量的事实表明，双因素的市场模型能更好地描述市场结构，而且市场结构也存在随机波动率，特别是利率变量的跳跃变化作用。

因此，一个合理可行的市场模型应该是集随机波动，跳扩散和随机利率于一体的组合模型。

互换期权是两种标的资产的一个投资组合期权，多资产的期权定价比单资产的情形更加复杂，但是现实中期权定价往往依赖于多个标的资产的价格波动，因此，研究多资产的模型定价具有更重要的价值和现实意义。

本文结合双因素和跳扩散的特点，引入双因素市场结构跳模型，即在含跳风险的一般化市场结构模型下研究互换期权定价，主要内容有：第一章：介绍期权定价研究的意义，总结互换期权定价的国内外研究现状，以及本文的选题依据。

第二章：在双因素市场结构跳扩散组合模型下考虑欧式互换期权定价，主要运用Fourier 反变换、偏微分方程和Feynman-Kac公式等方法得到它的显示解，并给出一些计算实例。

第三章：在双因素市场结构跳扩散组合模型下考虑美式互换期权定价,美式期权的价格和提前实施分析，用欧式互换期权和具有两个执行点的百慕大互换期权来逼近美式期权。

广义Poisson跳-扩散模型支付红利下期权的保险精算定价

广义Poisson跳-扩散模型支付红利下期权的保险精算定价张东云【摘要】主要研究了带Poisson跳跃的广义跳-扩散模型有红利支付下欧式期权的保险精算定价.利用资产价格过程的实际概率测度和公平保费原理,得到了有连续红利支付下欧式看涨期权的保险精算定价公式,并给出了欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系.【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(033)006【总页数】4页(P840-843)【关键词】跳-扩散过程;红利;期权定价;保险精算定价【作者】张东云【作者单位】河南师范大学商学院,河南新乡453007【正文语种】中文【中图分类】O211.6;F830.9传统的期权定价方法一般有3种：解偏微分方程法、鞅方法和离散模型逼近法．有关利用传统定价方法进行期权定价问题的研究可以参见文献[1-4]．这些传统的期权定价方法均是基于金融市场的均衡、完备和无套利假设之上的．而当金融市场有套利、不完备、非均衡时，这些定价方法将无法使用．鉴于此，Bladt和Rydberg在1998年提出期权的保险精算定价方法，该方法对于有套利、不完备、非均衡的金融市场也适用[5]；闫海峰等给出了广义的Black-Scholes模型期权定价的保险精算方法[6]；刘坚等研究了欧式看涨期权和交换期权在随机利率及Ornstein-Uhlenback过程下的保险精算定价公式[7]．更多关于期权的保险精算定价的研究可以参见文献[8]．本文考虑标的资产价格过程服从带Poisson跳跃的广义跳-扩散模型，且在期权有效期内有连续的红利支付下，研究欧式期权的保险精算定价问题．首先利用标的资产价格过程的实际概率分布和公平保费原理，通过伊藤公式得到随机微分方程的解，给出有连续红利支付下欧式看涨期权的保险精算定价公式，同时得到了欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系．假设标的资产(如股票)的价格过程{St,t≥0}满足如下广义Poisson跳-扩散模型为式中：{Bt}为定义在滤子概率空间{Ω,F,Ft,P}上标准布朗运动过程；σ(t)>0；λ(t)>0．Nt为标的资产价格在时间区间[0,t]内跳跃的次数，假设Nt服从参数为λ(t)的Poisson过程，且与Bt独立．J为标的资产价格每次跳跃的高度，它是一个随机变量，J>-1几乎处处成立，且式中为ln(J+1)的方差；γ=E[J]，它为标的资产价格由Poisson跳跃带来的平均增长率．假设J1,J2,…，JNt为标的资产价格在随机时间τ1,τ2,…，τNt时刻发生跳跃的高度，它们是相互独立的随机变量且与J同分布．模型(1)称为广义Poisson跳-扩散模型．设无风险资产(如债券)在t时刻的无风险利率为r(t)，无风险资产的价格过程{Pt,t≥0}满足如下的随机微分方程这样，构建了金融市场中的两种资产：一种是风险资产，如股票；另一种是无风险资产，如债券.此两种资产的价格过程分别满足模型(1)和模型(2)．假设标资产价格过程{St,t≥0}是定义在滤子空间(Ω,F,Ft,P)上的随机过程，其中Ft是由{St}生成的自然滤子，考虑时间区间为[0,T]，其中0表示初始时间，T表示到期日．关于期权的保险精算定价问题，其基本的思想是：买入一份期权，期权出售者在期权的有效期内会承担一定的风险，要想为这一风险加上保险，其保费就是这一期权的价格，也是期权出售者所承受的潜在风险大小来衡量期权价值的大小．下面给出期权保险精算定价的有关概念[4]．定义1 价格过程{St,t≥0}在时间区间[0,t]上的期望收益率β(s)ds通常被定义为式中：β(t)为t时刻{St}的基于连续复利的收益率，并且β(t)关于滤子{Ft}是适应的，β(s)ds<∞，S0为标的资产在t时刻的价格．定义2 标的资产的欧式期权保险精算价值定义为：欧式期权被执行时，到期日时的标的资产价格的折现值与执行价的折现值的差在标的资产价格实际概率测度下的无条件数学期望，其中风险资产(如股票)按其期望收益率(定义如式(3))折现，无风险资产价格(如执行的价格)按无风险利率折现．设C(K，T)和P(K，T)分别为标的资产价格过程为{St}，执行价格为K，到期日为T 时刻的欧式看涨期权保险精算价格和欧式看跌期权保险精算价格．则欧式期权在到期日T被执行的充要条件如下.欧式看涨期权被执行条件为欧式看跌期权被执行条件为式中：r(t)为无风险利率．则由定义2得式中：IB为事件B的示性函数．从上可知：(1)期权的保险精算公式(4)和公式(5)与标的资产的收益率μ(t)无关，因此该公式对任何投资者这来讲均是公平的．(2)在期权保险精算定价定义中，并没有对标的资产价格过程和金融市场作任何限制．在计算期权价格时，只利用了公平保费的原理和价格过程在到期日实际概率测度．所以克服了传统的鞅方法定价中寻找等价鞅测度所带来的困难．此外，期权保险精算定价对不完备，非均衡的市场也是适用的．(3)当资产的价格过程是简单的几何布朗运动时，欧式期权保险精算的定价公式和利用鞅方法的定价公式是一样的．当资产价格过程是指数的Levy过程时，保险精算的定价与鞅方法的定价都是无套利的．本节研究标的资产的价格过程服从广义Poisson跳-扩散模型(1)情形下，有连续红利支付时欧式期权的保险精算定价公式．设期权有效期内有连续的红利支付，在t 时刻支付红利率为q(t)，且满足q(t)dt<∞．下面首先给出一个引理．引理1 广义Poisson跳-扩散模型(1)的解为式中：S0为标的资产在0时刻的价格．引理1的证明可以参见文献[9]．下面的定理1给出了欧式看涨期权的保险精算定价公式和欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系．定理1 设标的资产在期权有效期内有连续的红利支付，且其价格过程{St,t≥0}满足广义Poisson跳-扩散模型(1)，则欧式看涨期权的保险精算定价公式和欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系分别为和式中：Φ(·)为标准正态随机变量的分布函数；证明由于J1,J2,…,JNt独立同分布，且与过程Nt独立，则有又有有故有又因为等价于为书写方便，记对于给定的正整数n,由于则由引理1和全数学期望公式，得故由定义2可得式(7)．类似于式(7)的证明，根据标准正态变量分布函数的性质，可证得式(8)．证毕．下面通过具体实例来对所得结果的应用价值进行阐述．假设股票价格服从广义Poisson跳-扩散模型，考虑股票的欧式期权．参数设定为λ=0.3，γ=0.7，σ=0.2，r=0.05，K=60.利用MATLAB软件，在上述参数设定下，随着股票价格的变化，得到股票欧式期权的保险精算定价结果如表1.从表1可以看出，随着股票价格的提高，其欧式期权保险精算定价也增大．从定价公式中也可以看出，每个投资者对股票的收益率有多大并不影响股票欧式期权的保险精算定价．在实例中，并没有假设金融市场是均衡、无套利和完备的．本文主要研究了带Pisson跳踊跃的广义跳-扩散模型的欧式期权保险精算定价问题．假设在期权有效期内连续支付红利，利用标的资产价格过程的实际概率分布和公平保费原理，通过伊藤公式得到Pisson跳扩散模型的解，给出了在连续支付红利条件下欧共体式看涨期权的保险精算定价公式，并得到了欧式看涨期权与欧式看跌期权之间的平价关系．在研究Poisson跳-扩散模型欧式期权的保险精算定价问题中，并没有对标的资产的价格过程和金融市场作任何限，仅利用了公平保费的原理和价格过程在到期日的实际概率测度．因此，本文所得到的期权保险精算定价对不完备、有套利和非均衡的市场也是适用的．E-mail：********************【相关文献】[1] BLACK F Scholes, M. The pricing of options and corporate liabilities[J]. Journal of Political Economy, 1973,81:637-659.[2] COX J C, INGERSOLL J E， ROSS S A. A theory of the term structure of interest rate[J].Econometrica, 1985, 53(2):385-407.[3] KRISTENSEN D. Estimation of partial differential equations with applications in finance[J]. Journal of Econometrics, 2008,144: 392-408.[4] 王艳红,王振辉,毛星星.KdV-mKdV方程的精确解[J].河南理工大学学报：自然科学版,2013,32(1):118-121.[5] BLADT M, RYDBERG H T. An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions[J]. Insurance Mathematics and Economics, 1998, 22(1): 65-73.[6] 闫海峰,刘三阳.广义Black-Scholes模型期权定价新方法——保险精算方法[J].应用数学和力学,2003,24(7):730-738.[7] 刘坚,文凤华,马超群.欧式期权和交换期权在随机利率及O-U过程下的精算定价方法[J].系统工程理论与实践,2009,29(12):118-124.[8] 闫海峰,刘三阳.带有Poisson跳的股票价格模型的期权定价[J].工程数学学报，2003,20(2):35-40.[9] KNUT K. Contingent claims valuation when the security price is combination of an Ito process and a random point process[J]. Stochastic Processes and their Application, 1988, 28(2): 185-220.。

一类更新跳扩散模型下的期权定价研究的开题报告

一类更新跳扩散模型下的期权定价研究的开题报告题目：一类更新跳扩散模型下的期权定价研究研究背景和意义：期权是金融市场上的一种重要的金融衍生品，其存在与否直接影响着金融市场的风险与收益，已成为金融领域中备受关注的研究领域。

而市场上的期权定价模型也经过了长时间的发展，众多模型计算出的期权价格与市场实际价格有着一定的差别。

因此，研究更具准确性的期权定价模型显得尤为必要。

综合各方面因素，我选择了对更新跳扩散模型下的期权定价进行研究，其主要原因包括以下两点：首先，更新跳扩散模型是近年来在期权定价中发展出的一种新的模型。

之所以使用更新跳扩散模型来研究期权定价，主要是因为此模型可以较为准确地刻画市场上的波动特性和非对称性风险，并能够更好地解决传统期权定价模型忽略市场波动率的问题。

其次，更新跳扩散模型结合了随机游走和跳跃扩散这两种典型的金融市场波动模型，具有一定的通用性和广泛的应用场景。

目前该模型还处于初级研究阶段，定价结果尚未被广泛接受，因此研究其定价理论和方法具有一定的创新性和前瞻性。

研究目的：本研究旨在通过对更新跳扩散模型下的期权定价进行深入研究，探索其存在的问题并提出改进方法，以实现更加准确的期权定价。

研究内容：1. 对更新跳扩散模型进行分析，并讨论其构建、模型假设，以及实现期权定价的基本框架。

2. 介绍传统期权定价模型的基本理论和方法，并指出其在更新跳扩散模型下的应用存在的问题。

3. 综合考虑各个方面因素，对更新跳扩散模型下的期权定价理论和方法进行改进和优化。

4. 建立数学模型，基于MATLAB平台进行模拟和实证研究。

5. 分析研究结果并进行总结，提出相关建议。

研究方法：本研究主要采用定量研究方法，包括数学建模、数值计算、统计分析等方法。

同时，也将兼顾定性研究，对研究结果进行深入的解释和论证。

研究时间节点：本研究的时间节点安排如下：2021年6月-7月：文献调研2021年7月-8月：更新跳扩散模型及期权定价理论分析2021年9月-10月：期权定价改进方案设计和数学建模2021年11月-2022年1月：定价方法计算和数据分析2022年2月-3月：撰写论文和答辩准备预计研究结果：本研究预计可以提出一种较为准确的期权定价模型，为市场投资者提供可参考的信息，有助于降低市场风险和投资成本。

次分数跳-扩散环境下最值期权定价

｛Ｎｉ（ｔ），ｔ≥ ０｝，（ｉ＝１，２）与｛Ｕｉｌ，ｌ≥ １｝，（ｉ＝１，２，…，
ｎ）相互独立。
引理１［１２］随机微分方程（２）的解为
Ｓｉ（ｔ）＝Ｓｉ（０）ｅｘｐ｛（μｉ－λｉθｉ）ｔ－
∑
ｍ
１ σ（２－２）ｔ２ｉｋ
２ｋ＝１
２Ｈｋ－１２Ｈｋ
＋
（３）
ｍ
Ｎｉ（ｔ）
∑ ∑
σ ＷＨｋｉｋｔ
Ｔ
∫βｉ（ｕ）ｄｕ＝μｉ（Ｔ－ｔ），ｉ＝１，…，ｎｔ
（４）
当
Ｈ
＝
１２
时，｛ＷＨｔ，ｔ≥
０｝即为标准布朗运动。
假设股票价格满足随机微分方程
ｍ
∑ ｄＳｉ（ｔ）＝Ｓｉ（ｔ）［（μｉ－ λｉθｉ）ｄｔ＋ σｉｋｄＷＨｔｋ＋ｋ＝１
ｄＪｉ（ｔ）］，
ｉ＝１，…，ｎ，ｋ＝１，…，ｍ，０≤ ｔ≤ Ｔ
上述定义是基于保险精算方法的期权定价模型，在实际定价过程中，如Ｅ［（ＳＴ－Ｘ）＋］＝Ｅ［（ＳＴ－Ｘ）Ｉ｛ＳＴ＞Ｘ｝］（Ｅ表示Ｔ时刻实际概率测度下的数学期望），最关键的就是期权所执行的条件，即示性函数Ｉ｛ＳＴ＞Ｘ｝。因此，将根据示性函数具体推导最大值期权的定价公式。
ｌ＝１
则有
Ｎ（ｃｉ，ｄｉ；ρｉ）同理可得
Ｔ
∫ ｃｍａｘ＝Ｅ［（ｍａｘ｛ｅｘｐ｛－ｔβｉ（ｕ）ｄｕ｝Ｓｉ（Ｔ），
Ｔ
∫ ｅｘｐ｛－ｔβｊ（ｕ）ｄｕ｝Ｓｊ（Ｔ）｝－Ｘｅ－ｒ（Ｔ－ｔ））＋］＝
Ｅ［ｅ－μｉ（Ｔ－ｔ）Ｓｉ（Ｔ）ＩＡＡ１］＋Ｅ［ｅ－μｊ（Ｔ－ｔ）Ｓｊ（Ｔ）ＩＡ珔Ａ１］－Ｅ［Ｘｅ－ｒ（Ｔ－ｔ）ＩＡ］＝

外汇汇率买入的带跳扩散股票的期权定价

欧式期权定价问题，并通过鞅定价方法推导出买入欧式期权的定价公式。
【词】跳扩散过程；关键汇率；鞅定价方法；险中性风
ＴｈｅＰｒｃｎｒｕａｆｒＥｘｈｎｅＲａｅＣａｌＯｐｉｎｗｉｈｔｅＳｏｋｉｉｇＦｏｍｌｏｃａｇｔｌｔｏｔｈｔｃ
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［收稿日期】２１一Ｏ —００２１６［基金项目］河北省教育厅科研项目（２１２７；Ｚ００９）石家庄经济学院科研基金项目（０１）ＸＮ９２［作者简介］李文汉（９５一）男，１７，石家庄经济学院数理学院讲师，士，硕研究方向：应用概率及信息论。
因此，１）１），到由（０一（２式得
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次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价

次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价次分数跳-扩散模型是保险精算学中的重要研究对象之一。

本文将讨论该模型下重置期权的保险精算定价问题。

首先，我们将介绍次分数跳-扩散模型的基本原理和特点。

然后，我们将探讨重置期权的概念和保险精算定价方法。

最后，我们将利用具体的例子来演示如何应用这些方法。

通过本文的阐述，读者将能够深入了解次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价问题。

次分数跳-扩散模型是一种常用于描述金融市场中价格变动的模型。

次分数过程是一种非常灵活的随机过程，可以在短时间和长时间尺度上都具有自相似性。

扩散过程则用来描述价格的连续变动。

次分数跳-扩散模型可将这两种过程结合起来，以更准确地刻画价格变动的特征。

重置期权是一种在保险精算学中经常遇到的金融工具。

它允许投保人在特定时间内选择重新定价和调整保险合同。

重置期权的特点是投保人可以在特定的重置日期上重新确定保费和保额。

这样一来，投保人可以根据市场条件和个人需求来进行保险合同的调整。

保险精算定价是指确定保险产品的费率和保额的过程。

在次分数跳-扩散模型下，重置期权的保险精算定价可以通过对模型参数的估计和费率的计算来完成。

通常情况下，我们可以通过历史数据和数理统计方法来估计模型参数，然后利用这些参数来计算费率和保额。

具体而言，我们可以将次分数跳-扩散模型表示为以下随机微分方程：$dX_t = (\mu - \lambda m_t)dt + \sigma dB_t +dJ_t$其中，$X_t$表示价格的随机变动，$\mu$表示价格的平均增长率，$\sigma$表示价格的波动率，$m_t$表示价格的平均增长率的次分数布朗运动，$\lambda$表示分数布朗运动的强度参数，$B_t$和$J_t$分别是布朗运动和泊松过程。

为了确定重置期权的价值，我们可以利用重置期权的贴现价值和费用来计算。

具体而言，我们可以通过将重置期权的贴现价值和费用分别与重置期权的风险中性贴现价值和费率相加来计算。

跳扩散模型下外汇期权的模糊定价

余星，红果，国华孙陈
（湖南人文科技学院数学与应用数学系，湖南娄底４７０）１０１［摘要］于汇率服从跳扩散过程下的外汇期权定价公式，外汇价格和波动率、的高度模糊化，基将跳得到模糊环境
下外汇期权的最大置信区间。
［关键词］外汇期权；模糊；扩散过程；跳期权定价［中图分类号】２１６；８０９０１．Ｆ３．［文献标识码］Ａ
比在确定情形下更接近现实。而在模糊环境下，借助模糊
数学中的隶属度，以得到外汇期权价格的置信区间。如可果金融分析家对置信度比较满意，则认为取得最大置信度优化问题。本文基于汇率服从跳扩散过程下的外汇期权定价公式，将外汇价格和波动率、的高度模糊化，究了模跳研糊环境下，具有跳扩散过程的外汇期权的定价问题。
’
（）
＝ＩＢ，＝ｅ（ｔＴ－
其中｛：ｔｒ为标准布朗运动，ｌ０≤ ≤ ） Ⅳ 表示汇率
考虑模糊汇率Ｑ模糊波动率为矛，，跳跃的模糊高度
【收稿Ｅ］０００－２ｔ２１ — ２０．期［基金项目］南人文科技学院青年课题资助项目（０８Ｎ１）湖２０Ｑ０３．［作者简介】余星（９１）女，１８一，湖北成宁人，湖南人文科技学院数学与应用数学系讲师，硕士，究方向：融数学。研金
第２期２１００年３月
湖南人文科技学院学报
ＪｕａｆＨｕａｎｔｕｅｏｍａｉｅ，ＳｉｎｅａｄＴｃｎｌｇｏｒｌｏｎｎＩｓｉｔｆＨｕｎｔｓｃｅｃｎｅｈｏｏｙｎｔｉ

跳跃扩散型双币种期权的定价

跳跃扩散型双币种期权的定价周密【摘要】在国外股价和汇率都服从Merton跳跃扩散过程的背景下,建立欧式买入双币种期权定价模型.选取零息票债券作为计价单位,运用等价鞅测度和多元正态分布的知识得到跳跃扩散型欧式看涨双币种期权的显式解;并用零息票债券的定价得到在随机利率下跳越扩散型欧式看涨双币种期权的价格.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2010(010)034【总页数】5页(P8482-8486)【关键词】跳跃-扩散过程;双币种期权;等价鞅测度;零息票债券【作者】周密【作者单位】海南大学三亚学院,三亚,572022【正文语种】中文【中图分类】F830.91;O211随着经济全球一体化的深入,有越来越多的本国投资者把目光投向国外市场,例如投资外国的股票,与投资本国股票不一样。

投资国外股市不仅要关心外国股价的变动,还要关心汇率的变化。

出于市场强烈的需求和证券行业激烈的竞争,双币种期权就产生了,早在 20世纪 90年代,有不少的券商相继推出了不同的双币种期权(Quanto Options)。

例如在新加坡交易的日本 Nikkei指数期货,在美洲交易所上市的日本Nikkei认购权证及认售权证等等。

并且很多学者对双币种期权作了大量的研究,如文献[1～2]考虑外国股价和汇率服从几何布朗运动,这是与现实不相符的,大量的数据表明股价和汇率都会发生跳跃。

本文考虑的双币种期权与传统的双币种期权稍有区别,其期末的收益函数如下:其中 SF(*)表示外国股票价格(以外币为计价单位),SE(*)表示汇率(即 1外币等于多少本币),K为执行价格(以外币为计价单位),S0E(S0E＞0的常数)为保证汇率,即不低于某一个值的汇率。

假设外国股价和汇率都发生跳跃,即都服从Merton跳跃扩散模型[3],选取零息票债券作为计价单位,运用等价鞅和多元正态分布的知识得到跳跃扩散型欧式看涨双币种期权的显式解,并用零息票债券的定价得到在随机利率下跳越扩散型欧式看涨双币种期权的价格。

分数一跳扩散环境下的外汇期权定价模型

武文娜
（中国矿业大学理学院，江苏徐州２１１）２１６
摘
要：布朗运动由于具有自分数相似和长期相关等分彤特性，已成为数理金融研究中更为适合的工具．中在风险中性测文
度下，利用随机微分方程和拟鞅定价方法，出了加跳的分数布朗运动模型下的欧式外汇期权定价公式．给关键词：分数布朗运动；外汇期权；期权定价；一扩散过程跳中图分类号：１５８文献标志码：文章编号：０８－９４２１）８— ０２—００７．Ａ１０７７（０１００１３
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则对任意时刻ｔ∈［，］０Ｔ有：
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其中 ①０Ｈ＜１（具有持久陛；＜＜时，￡）反 ②÷
收稿日期：０１４—２２１ —０２
作者简介：武文娜（９８一）女，１８。安徽淮北人，中国矿业大学理学院在读硕士研究生．
近年来，际金融市场随着金融创新的蓬勃发国展，涌现出了大量新型期权，中就包括外汇期权．其
第３２卷第８期２１年８月０１
通化师范学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＯＮＧＨＵＡＮＦＴＯＲＭＡＬＵＮＩＲＳＴＶＥＩＹ
Ｖｏ＿２ № ８ｌ３Ａｕｇ０１．２１
分数一跳扩散环境下的外汇期权定价模型

跳扩散过程的期权定价模型

跳扩散过程的期权定价模型在理论概述部分，我们将简要介绍跳扩散过程的基本理论。

跳扩散过程是一个随机过程，其中资产价格在每个时间段内的变化服从正态分布，但在某些随机时间点上可能发生跳跃。

跳跃的幅度和方向均服从某种随机分布，且跳跃幅度与时间之间存在关系。

在金融市场中，跳扩散过程可以更好地刻画资产价格的波动行为，更准确地预测金融衍生品的价格。

接下来，我们将详细介绍跳扩散过程的期权定价模型。

我们需要确定标的资产的价格动态。

在跳扩散过程中，标的资产的价格变化由两部分组成：连续部分和跳跃部分。

连续部分服从几何布朗运动，跳跃部分则服从某种随机分布。

然后，我们需要计算期权的价值。

期权的价值取决于标的资产的价格、行权价格、剩余到期时间、无风险利率及波动率等因素。

通过将标的资产的价格动态方程与无风险利率及波动率等参数相结合，我们可以得到期权的定价公式。

我们可以通过数值方法求解该定价公式，得到期权的价值。

为了验证跳扩散过程的期权定价模型的正确性，我们收集了实际数据进行分析。

我们选择了某只股票的每日收盘价作为标的资产的价格数据，并计算了该股票对应期权的价值。

通过将实际数据代入跳扩散过程的期权定价模型，我们得到了期权的理论价值，并将其与实际期权价格进行比较。

结果表明，跳扩散过程的期权定价模型能够较好地刻画标的资产的波动行为，并对期权价格进行较为准确的预测。

在分析应用部分，我们将探讨跳扩散过程的期权定价模型在实际金融市场中的运用。

该模型可以用于衍生品交易策略的制定。

通过计算不同衍生品的理论价值，投资者可以制定相应的交易策略，从而实现盈利目标。

跳扩散过程的期权定价模型可以为风险管理提供帮助。

通过比较理论价值与实际期权价格，投资者可以更加准确地评估其投资组合的风险水平。

在结论部分，我们将总结本文的主要内容及观点。

跳扩散过程的期权定价模型在金融衍生品定价中具有重要的应用价值，能够较为准确地预测期权价格，并为投资者提供有效的交易策略和风险管理工具。

基于跳跃——扩散过程的外汇期权定价模型实证分析

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当考虑突发事件的连续、连续发生时，些非这
重大市场信息对外汇汇率的影响就可以拆分为连续部分和非连续部分这两个过程。同时我们可以进
论：跃一跳扩散期权定价模型对于我国金融市场
同样适用，能够更好揭示各资产价格变量之间关它
键的内在变动关系。
件下我们进一步令外汇对数收益率ｘｌ，ｔｎ那么＝粤
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二、汇汇率行为模型外
（９１）女，１７一，福建泉州人，华侨大学经济与金融学院、数量经济研究院副教授。
贾品壹，武：陈燕基于跳跃—— 扩散过程的外汇期权定价模型实证分析变化，其价格可利用传统ＢａｋＳｈｌｓ则ｌ —ｃｏｅ公式进行ｃ
定价。具体而言，在无风险利率ｒ贴现下，若欧式看
，
Ｍｒｎ于１７推导出了在基础资产价格遵ｅｔｏ９６年循从跳跃—— 扩散过程下的欧式期权解析定价模
型。文结合国外学者所提出的跳跃—— 扩散期权本定价模型以及我国期权市场的实践，随机选取两只
基于跳跃一
扩散过程的夕汇期权定价模型实证分析卜
贾品壹，陈燕武
（华侨大学经济与金融学院，福建泉州３２２）６０１

外汇期权定价方法的研究综述

外汇期权定价方法的研究综述外汇期权是一种有效的规避外汇风险的金融衍生工具。

定价方法的讨论是讨论外汇期权的核心问题。

那么以下是为大家准备了外汇期权定价方法的讨论综述，欢迎参阅。

外汇期权定价方法的讨论综述目前，外汇期权定价方法的讨论主要集中于由Black-Scholes(下文简称B-S)模型衍生而来的闭合式解法。

1983年，German和Kolhage 在B-S模型的基础上求解了欧式外汇平均期权的定价问题，称为G-K 模型，这是首次明确提出的外汇期权定价模型。

G-K本身存在着一系列缺陷，随后的讨论大多是根据对它的修正和扩展而来。

1.对标的变量所服从随机过程的修正和改进。

起初的讨论一般假设汇率和利率分别为固定值或随机变量。

G-K模型即设定汇率变化为服从几何布朗运动的随机过程。

随后的讨论引入了均值回归过程和跳跃。

Niklas等(1997)考虑了一个将汇率的对数表示为回归平均值的过程，国内外利率通过未抛补平价与汇率的对数相联系的外汇期权定价公式，在汇率和国内外利率方方面对G-K模型进行了较好的修正。

G-K模型中假设外汇价格服从几何布朗运动，而现实中外汇价格常常会出现随机跳跃现象。

Bernard等(1995)发现了引入Merton跳跃扩散模型后G-K模型的西格尔悖论问题;屠新曙，巴曙松(20xx)考虑了外汇价格动态服从由连续布朗运动和一类特殊的间断跳跃点构成的马氏骨架过程时的外汇期权定价问题。

陈荣达(20xx)讨论了汇率回报呈厚尾分布的外汇期权定价问题。

2.进一步的讨论考虑到现实的状况，进展出了本国利率、外国利率和汇率均为随机变量时的外汇期权定价模型。

这一类的讨论比较多。

Hilliard,Madura和Tucker(HMT，1991)假设国内外利率均为随机的,通过构筑无风险套利并引入风险中性假设,得到了随机利率下封闭形式的期权定价模型;Chol和Marcozzi(20xx)考虑了随机利率下的外汇期权定价，并给出了欧式外汇期权的精确解和美式期权的定价公式。

跳跃-扩散模型下的期权定价

跳跃-扩散模型下的期权定价张瑜;童艳春【摘要】假设金融市场只有两种资产：一种是无风险资产，另一种是风险资产。

在股票价格服从一般的跳跃-扩散过程且利率为常数时期权定价的基础上，研究股票价格服从非齐次Poisson跳跃-扩散模型且利率为时间的连续函数条件下的期权定价理论。

运用随机微分方程方法，结合股票价格在有效期内无红利支付时满足的定价公式，找出其期权定价的解。

%With the supposition that the financial market only has two assets,the risk-free asset and the risk asset and on the basis of option pricing based on the stock price following the general leap-diffusion process and the con-stant rate,this paper researches into the stock pricing under the condition of obeying the non-homogeneous Poisson leap-diffusion process while the rate being continuous function of time.And by applying the stochastic differential equation method and combining the stock price without dividend payment in effective period to meet pricing formu-la,the paper tries to find out option pricing solution.【期刊名称】《洛阳理工学院学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(031)003【总页数】4页(P26-29)【关键词】随机微分方程;Poisson跳跃-扩散模型;期权定价【作者】张瑜;童艳春【作者单位】长治学院法律与经济学系，山西长治 046011;周口师范学院数学与统计学院，河南周口 466001【正文语种】中文【中图分类】F224.0自20世纪70年代以来，世界各国期权交易所相继出现，期权定价理论得到迅速发展，成为金融数学和计量经济学研究的一个重要领域。

次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价

次分数跳-扩散模型下重置期权的保险精算定价
孙明明
【期刊名称】《盐城工学院学报:自然科学版》
【年(卷),期】2022(35)4
【摘要】假设股票价格满足次分数跳-扩散过程驱动的随机微分方程,利用次分数布朗运动和跳过程随机分析理论,以及保险精算法,得到股票价格遵循次分数跳-扩散过程下重置期权的定价公式,在此基础上推广了一些已有的结论。

【总页数】4页(P29-32)
【作者】孙明明
【作者单位】南京财经大学应用数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O211
【相关文献】
1.跳-扩散模型下外汇期权的保险精算定价
2.跳-扩散模型下复合期权的保险精算定价
3.双分数跳-扩散过程下重置期权定价
4.分数环境下重置期权的保险精算定价
5.次分数跳扩散过程下亚式期权的保险精算定价
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标的资产服从分数跳-扩散过程的上限型买权的期权定价

标的资产服从分数跳-扩散过程的上限型买权的期权定价本文在假设标的资产服从分数跳-扩散过程,且无风险利率、波动率和期望收益率为时间的非随机函数的情况下,运用保险精算法得到了欧式期权定价公式。

并且得到了一类奇异期权——上限型买权的期权定价公式,该公式是标准跳-扩散模型下的推广。

标签：分数跳-扩散上限型买权保险精算法期权定价一、引言期权是一种风险管理的工具,它赋予持有者在规定的时间有权而非必须以约定的价格购买或出售一定数量的标的金融资产的权利。

自20世纪70年代Black 和Scholes发表的《The Pricing of options and corporate liabilities》被金融市场具体应用于期权定价以来,越来越多的学者致力于改进和发展这一经典的模型。

传统的期权定价模型一般用几何布朗运动来描述标的资产价格过程,但标的资产的波动性通常具有自相似性和长期依赖性等分形特征,而几何布朗运动不具有相应的性质。

我们知道分数布朗运动是自相似过程,具有长期依赖性,因此用分数布朗运动取代几何布朗运动来描述标的资产的价格过程,就可以得到更贴近市场的结果。

研究也发现,当市场出现一些重大信息时,价格的变化是不连续的,学者采用跳-扩散模型来反映这一不连续性。

本文综合考虑了上述两种情形,采用了保险精算定价的思想得到了资产价格过程服从分数跳-扩散模型的欧式期权定价公式,并且得到了一类奇异期权——上限型买权的定价公式。

二、分数跳-扩散模型1. 分数布朗运动分数布朗运动为一连续的高斯过程称为Hurst指数,满足协方差时,则为标准的几何布朗运动。

分数布朗运动是自相似过程,且在时,有长期依赖性,这些性质使得它成为研究数理金融更合适的工具。

在时,应用Wick积和分数白噪声理论定义了一种适用于分数布朗运动的随机积分:,本文采用这种积分定义,且设。

2.分数跳-扩散模型跳-扩散模型是为了反映股市变化的不连续性而采用的,不同的跳-扩散过程反映了不同的标的资产变化。