2016年考研数学(一、二、三)真题与答案解析

2016考研数学（一）真题及答案解析
考研复习最重要的就是真题，所以跨考教育数学教研室为考生提供2016考研数学一的真题、答案及部分解析，希望考生能够在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设{}n x 是数列下列命题中不正确的是（ ） （A ）若lim n n x a →∞
=，则221lim lim n n n n x x a +→∞
→∞
==
（B ）若221lim lim n n n n x x a +→∞
→∞
==，则lim n n x a →∞
=
（C ）若lim n n x a →∞
=，则321lim lim n n n n x x a -→∞
→∞
==
（D ）若331lim lim n n n n x x a -→∞
→∞
==，则lim n n x a →∞
=
【答案】（D ）
（2）设211
()23
x x y e x e =
+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）3,2,1a b c =-==-
（B ）3,2,1a b c ===- （C ）3,2,1a b c =-== （D ）3,2,1a b c === 【答案】（A ）
【解析】将特解代入微分方程，利用待定系数法，得出3,2,1a b c =-==-。

故选A 。

（3）若级数
1
n
n n a x
∞
=∑在2x =
处条件收敛，则x =
3x =依次为幂级数1
(1)n n n na x ∞
=-∑的（ ）
（A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】（A ） 【解析】因为级数
1
n
n n a x
∞
=∑在2x =处条件收敛，所以2R =，有幂级数的性质，
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛半径
也为2R =，即13x -<，收敛区间为13x -<<，则收敛域为13x -<≤
，进而x =3x =依次为幂
级数
1
(1)
n
n
n na x ∞
=-∑的收敛点，收敛点，故选A 。

（4）下列级数发散的是（ ） （A ）
18
n
n n ∞
=∑ （B
）
1
1)n n ∞
=+
（C ）2
(1)1
ln n n n ∞
=-+∑
（D ）
1
!
n
n n n
∞
=∑
【答案】（C ）
【解析】（A ）12212 (888)
n n n n
S u u u =+++=
+++， 231211127111817()......(1())8888888884988
n n n n n n n n n n n
S S S ++=+++⇒=+++-⇒=--，8lim 49n n S →∞=
存在，则收敛。

(B)3
3
1
2
2
1
11)
n n u n n
n
∞
==+⇒∑
收敛，所以（B ）收敛。

（C ）222(1)1(1)1ln ln ln n n n n n n n n ∞
∞∞===-+-=+∑∑∑，因为22
(1)1
,ln ln n n n n n ∞∞==-∑∑分别是收敛和发散，所以2(1)1ln n n n ∞
=-+∑发散，故选（C)。

（D)!,n n n u n =11lim lim 11n
n n n n u n e u n -+→∞→∞⎛⎫
==< ⎪
+⎝⎭
，所以收敛。

（5）设矩阵22
111112,14A a b a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，若集合{}1,2Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件为（ ） （A ）,a α∉Ω∉Ω （B ）,a α∉Ω∈Ω （C ）,a α∈Ω∉Ω （D ）,a α∈Ω∈Ω 【答案】（D ）
【解析】Ax b =有无穷多解⇔()()
3,0r A r A A =<⇒=，即(2)(1)0a a --=，从而12a a ==或
当1a =时，221111111
1
121
010
114100032A ααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝
⎭⎝⎭ 从而2
32=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解
当2a =时，22111
11111
122
011
1144000
32A ααααα⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝
⎭⎝⎭
从而2
32=0=1=2αααα-+⇒或时Ax b =有无穷多解 所以选D.
（6）二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222
1232y y y +-，其中123(e ,e ,e )P =，若
132(e ,e ,)Q e =-，123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准型为（ ）
（A ）222
1232y y y -+ （B ）222
1232y y y +- （C ）222
1232y y y -- （D ）222
1232y y y ++
【答案】（A ）
【解析】由已知得222
123123(,,)2T T f x x x Y P APY y y y ==+-，232(1)Q PE E =-，
从而
123223232(,,)(1)(1)T T T T
T T f x x x Y Q AQY Y E E P APE E Y
==--222
223232123(1)(1)2T T Y E E P APE E Y y y y =--=-+，其中23100001010E ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100(1)010001E ⎡⎤
⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
均为初
等矩阵，所以选A 。

（7）若,A B 为任意两个随机事件，则 （A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥
（C ）()()
()2
P A P B P AB +≤
（D ）()()
()2
P A P B P AB +≥
【答案】（C ）
【解析】排除法。

若AB =Φ，则()0P AB =，而(),()P A P B 未必为0，故
()()
()()(),
()2
P A P B P A P B P AB P AB +≥≥，故,B D 错。

若A B ⊂，则()()()()P AB P A P A P B =≥，故A 错。

（8）设总体123(,),,,X B m X X X θ~为来自该总的简单随机样本，X 为样本均值，则21()n i i E X X =⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎦
∑
（A ）(1)(1)m n θθ--
（B ）(1)(1)m n θθ-- （C ）(1)(1)(1)m n θθ--- （D ）(1)mn θθ- 【答案】（B ） 【解析】
()()2212
11(1)1(1)(1)
n
i i n
i i E X X ES DX m n E X X m n θθθθ==⎡⎤-===-⎢⎥-⎣⎦
⎡⎤
⇒-=--⎢⎥⎣⎦
∑∑
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上)． （9）2
0ln(cos )
lim
x x x →=_____.
【答案】12
-
【解析】2000sin ln cos 1sin 1cos lim lim lim 22cos 2x x x x
x x x x x x x →→→-
==-=- (10) 22sin 1cos x x dx x
π
π-
⎛⎫
+= ⎪+⎝⎭⎰_______.
【答案】
2
4
π
【解析】22
222202222
sin sin sin 21cos 1cos 1cos 4x x x x dx dx xdx dx xdx x x x π
ππππ
πππππ----⎛⎫+=+=+=
⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ (11) 若函数(,)z z x y =有方程cos 2z
e xyz x x +++=确定，则(0,1)
dz =_______.
【答案】dx -
【解析】对cos 2z
e xyz x x +++=两边分别关于,,x y z 求偏导，并将(0,1)这个代入，得到
(0,1)(0,1)
1,
0z
z x
y
∂∂=-=∂∂，所以(0,1)
dz
dx =-。

（12）设Ω 是由 1x y z ++= 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 ()23x y z dxdydz Ω
++=⎰⎰⎰
【答案】
14
【解析】由对称性，
()1
02366,Z
D x y z dxdydz zdxdydz zdz dxdy Ω
Ω
++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
其中
Z D 为平面 z z = 截空间区域 Ω所得的截面 其面积为 21
(1)2z -
所以：
()()1
12320011
2366(1)3224
x y z dxdydz zdxdydz z
z dz z z z dz Ω
Ω
++==-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(13) n 阶行列式
20
0212
02
_______00220
012
-=-
【答案】1
22n +-
【解析】按第一行展开得
111122*********
202002
2
12
2(1)2(1)222(22)2222222
22
n n n n n n n n n n D D D D D +------+-=
-=+--=+=++=++=+++=-
（14）设二维随机变量(),X Y 服从正态分布(1,0;1,1;0),N 则{}0.P XY Y -<=
【答案】
12
. 【解析】由0,XY ρ=故,X Y 独立。

{}(){}(){}(){}
(){}{}(){}{}01010,010,0100100.11111.22222
P XY Y P X Y P X Y P X Y P X P Y P X P Y -<=-<=-<>+-><=-<>+-><=⨯+⨯=
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）设函数3
()ln(1)sin ,(),f x x a x bx x g x kx =+++=若()f x 与()g x 在0x →时为等价无穷小，求
,,a b k 的值。

【解析】由题意，
3/1,2/1,1)()(6/3/)2/()1(lim ))(6/())(3/2/(lim 1sin )1ln(lim 1
)
()
(lim
3434320333332030x 0x -=-=-=⇒=++-+-++⇒=+-+++-+⇒=+++⇒=→→→→k b a k x x o x o bx ax x a b x a k x
x o x x bx x o x x x a x kx
x bx x a x x g x f x x （16）计算二重积分()D
x x y dxdy +⎰⎰
，其中{}
222
(,)2,D x y x y y
x =+≤≥。

【解析】
1
22()2D
D
D
D I x x y dxdy x dxdy xydxdy x dxdy =+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，
其中{
}
222
1(,)2,,0D x y x y y x x =+≤≥≥， 则2
1
1
2
20
2
()224
5
x
D
D I x x y dxdy x dxdy dx dy π
=
+===
-
⎰⎰⎰⎰⎰。

（17）已知函数(,),f x y x y xy =++曲线22
:3,C x y xy ++= 求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数 【解析】因为(,)f x y 沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模
'(,)1,'(,)1,x y f x y y f x y x =+=+
{}(,)1,1,gradf x y y x =++
此题目转化为对函数
(,)g x y = 在约束条件 22:3,C x y xy ++=
下的最大值，即为条件极值问题。

本问题可以转化为对 22(,)(1)(1)d x y y x =+++ 在约束条件 22:3,C x y xy ++= 下的最大值，构造函数
2222(,,)(1)(1)(3)f x y y x x y xy λλ=++++++-
22
'2(1)(2)0'2(1)(2)0'30
x y F x x y F y y x F x y xy λλλ⎧=+++=⎪
=+++=⎨⎪=++-=⎩ 1234(1,1),(1,1),(2,1),(1,2),M M M M ---- 1234()8,()0,()9,()9,d M d M d M d M ====
3.=
故最大值为3.
（18）设函数()f x 在定义域I 上的导数大于0，若对任意的0x I ∈，曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且(0)2f =，求()f x 的表达式。

【解析】000()'()()y f x f x x x -=-
000'()()()y f x x x f x =-+
[]0
000()000'()
'()()()4x f x x f x f x x x f x dx -
-+=⎰
解得：23dy y dx
=
分离变量可得：1
3x c y
-=+ 因为 (0)2y = 所以 12
c =-
综上 2
()16f x x
=
- 19、已知曲线L
的方程为z z x
⎧=⎪⎨=⎪⎩
，起点为A
，终点为(0,B 计算曲线积分
2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz =++-+++⎰
【解析】由题意假设参数方程cos ,:22cos x y z θ
ππ
θθθ
=⎧⎪=→-⎨⎪=⎩
(
)
(
)
2
2
2
22
2
2
2
2
(cos)sin2sin cos1sin sin
cos sin1sin sin
sin
2
d
d
d
π
π
π
π
π
θθθθθθθθ
θθθθθθ
θθ
-
-
⎡⎤
-++++
⎣⎦
⎡⎤
=+++
⎣⎦
⎡⎤
==
⎣⎦
⎰
⎰
（20）向量组
123
,,是3R的一个基，
11322313
22,2,1,
k k
（Ⅰ）证明
123
,,为3R的一个基；
（Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量在基
123
,,与基
123
,,下的坐标相同，并求所有的. 【解析】（Ⅰ）证明：
()()
()()
12313213123
201
,,22,2,1 =,,020
201
k k
k k
βββαααααααα
⎛⎫
⎪
=+++ ⎪
⎪
+
⎝⎭
123
,,是3R的一个基
123
,,线性无关，即
123
,,3
r
()
123
201
,,020
201
r r
k k
βββ
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
+
⎝⎭
又
201
02040
201
k k
()
123
201
,,020
201
r r
k k
βββ
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
+
⎝⎭
=3
123
,,线性无关，为3R的一个基
（Ⅱ）由已知设
112233112233
,0
k k k k k k
11122233311322313
20 k k k k k k k k
即
有非零解，()
1
132132
3
2,,0
k
k k k
k
ααααα
⎛⎫
⎪
++=
⎪
⎪
⎝⎭
即有非零解
所以
13213123
101
2,,=,,0100
20
k k
k k
101
010=00
20
k
k k
⇒⇒=
从而1
1
2
2
3
1
0k k k
2130,k k k
111310,0k k k εαα=-=≠
（21）设矩阵02313312A a -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似于矩阵12000031B b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

（1）求,a b 的值。

（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵。

【解析】（1）
由5
,5,4)],
32([132)2(,~]
32)2()[1(2
13313
2
,10)()1(130
000
213223212===---=-++-∴∴-++--=-------=-===⇒=--=----=
-b a a a a B A B A a a a E A b b b E B 故得）（特征值相同
λλλλλλλλλ
λ
λλλλλλλλ
λλ
λ
（2）由（1）得023133124A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，其中特征值1231,5λλλ===， 当121λλ==时，解()0A E x -=方程的基础解系为12231,001αα-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦； 当35λ=时，解(5)0A E x -=方程的基础解系为3111α-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
， 从而1231231231231(,,)(,,5)(,,)(,,)15A A A A αααααααααααα⎛⎫
⎪
=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭
， 因为123,,ααα线性无关，所以令123,,P ααα=可逆，即231101011P --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦，使得1
115P Ap -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

（22）设随机变量X 的概率密度为2ln 20
()0
0x x f x x -⎧>=⎨≤⎩，对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于
3的观测值出现为止，记Y 的观测次数。

（1）求Y 的概率分布。

（2）求EY 。

【解析】
（1）2ln 2,0
()0,0x x f x x -⎧>=⎨≤⎩，
{}31
32ln 28x p P X dx +∞
-=>==
⎰
所以Y 的概率分布为{}2
22
11
1717(1),2,3
8888n n n P Y n C
n n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===-= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
（2）22
2
21717(1)(1)88648n n n EY n n n n -∞
∞==⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑
令
2
2
()(1)n n S x n n x
∞
-==-∑，
2
12
()n n S x nx
∞
-==∑，
2
210
2
()()1x
n
n x S x S t dt x x ∞
====
-∑⎰
()
2
2122()11x x x S x x x '⎛⎫-== ⎪--⎝⎭，()()2
13212(2)()()1x x x S x S x x -+-'==- 1716
648EY S ⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
（23）设总体X 的概率密度为1
1
(;)10
x f x θθθ
⎧≤≤⎪
=-⎨⎪⎩其他
，其中θ为未知参数，12,,...,n X X X 为随机样
本。

（1） 求θ的矩阵估计量； （2）求θ的最大似然估计量。

【解析】 （1）2
1
1
0111(;)112
2
x EX xf x dx x dx θθθθ+∞
-∞
+=
==⋅
=
--⎰
⎰ˆ2121EX X θθ⇒=-⇒=-。

（2）设12,,...,n X X X 为观测值，则11111,1,2,...,()(;)1(1)0n n
i n
i i i x i n L f x θθθθθ==⎧=<<=⎪==--⎨⎪⎩∏∏其他
ln ()ln(1),1,i 1,2,...,i L n x n θθθ=--<<=，ln ()1011d L n n d θθθθ
-=-=>--，取ˆmin{}i
X θ=。

2016年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
１．当+
→0x 时，若)(ln x 21+α
，α1
1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）
（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2
10
【详解】α
ααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα2
11
21
1x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪
⎨⎧>>121
α
α
所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）．
2．下列曲线有渐近线的是
（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2
（C ）x
x y 1sin
+= （D ）x x y 12
sin +=
【详解】对于x
x y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01
==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =
应该选（C ）
3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）
（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）
【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是
)()(x g x f ≤，应该选（D ）
4．曲线⎩⎨⎧++=+=1
472
2t t y t x ,
上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）
（Ａ）5010（Ｂ）100
10
(Ｃ）1010 （Ｄ）105
【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)
'("y y K +=，曲率半径K R 1
=．
本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222
122
t
t t dx y d -=-
=，
对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)
'("y y K ，曲率半径10101
==K R ． 应该选（C ）
5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→2
2
x
x ξlim
（ ）
（Ａ）1 （Ｂ）
32 （Ｃ）21 （Ｄ）31
【详解】注意（1）2
11x x f +=)('，（2）
)(arctan ,3
3310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，2
2
)(arctan arctan x x x -=ξ，
3131333
02022
0=+--=-=→→→x
x o x x x x x x arx x x x x x )()(lim )(arctan tan lim lim ξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
02≠∂∂∂y x u
及02222=∂∂+∂∂y u
x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部； （C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上； （D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．
【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂y u
x u ，在这个点处x y u y x u B y
u C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02
<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值
点必定都在区域D 的边界上． 所以应该选（A ）．
7．行列式
d
c d c b
a b a 00000000等于
（A ）2
)(bc ad - （B ）2
)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2
222c b d a +- 【详解】
20000000000000000)(bc ad d
c b
a bc d c
b a ad d
c c b
a b d c d
b a a d
c d c b
a b a --=+-=+-=
应该选（B ）．
8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的
（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则
（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于
2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．
而当⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但
321ααα,,线性相关；故选择（A ）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
9．
⎰∞-=++1
2521
dx x x ．
【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++111228
32421212141521π
ππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．
【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=
⎰
2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即
x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．
11．设),(y x z z =是由方程472
2=+++z y x e yz 确定的函数，则=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz ．
【详解】设4722-+++=z y x e
z y x F yz
),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21
=
=y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21
-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭
⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．
12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫
⎝
⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ． 【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩
⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π
==y x ,，
πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭
⎫
⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即
.2
2
π
π
+
-
=x y
13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122
++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标
=x ．
【详解】质心坐标20
1135
1211
1221021
2
3101
0=
=++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dx
x x x )()()()(ρρ． 14．设二次型32312
22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是 ．
【详解】由配方法可知
2
3
2
2322313
2312
2213214242x
a x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=
由于负惯性指数为1，故必须要求042
≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．
三、解答题
15．（本题满分10分）
求极限)
ln())((lim
x
x dt t e t x t
x 1
1121
12+--⎰+∞
→．
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
21
1211111
11222121
1
2
2
1
12
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞
→+∞→+∞
→⎰⎰x x o x x x x e x x
dt
t e t x x dt
t e t x x
x x
t
x x t
x )((lim )
)((lim ))((lim
)
ln())((lim
16．（本题满分10分）
已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12
2
，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值． 【详解】
解：把方程化为标准形式得到22
11x dx
dy
y -=+)
(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得3
2
=C ，
即32313133+-=+x x y y ． 令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知322
2222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=； 当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ； 当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ．
17．（本题满分10分）
D
【详解】由对称性可得
43
211212121
202
2
2
22222-==+=
+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰D
D
D D dr r r d dxd y x dxdy
y x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππ
sin )sin()
sin()()sin()sin(
18．（本题满分10分）
设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x
=满足x
x e y e z y
z x z 22
2224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．
【详解】
设y e u x
cos =，则)cos ()(y e f u f z x
==，
y e u f y e u f x z e u f x z
x
x y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂222
2; y e u f y e u f y
z
y e u f y
z
x x x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂222
2； x x x e y e f e u f y
z
x z 22222
2)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件x x e y e z y
z
x z 22
2224)cos (+=∂∂+∂∂， 可知
u u f u f +=)()("4
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为u y 4
1
-=*．
故非齐次方程通解为u e
C e C u f u
u 412221-+=-)(． 将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16
116121-==C C ,． 所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4
1
16116122--=-)(． 19．（本题满分10分）
设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤⎰
0；
（2）
⎰⎰
≤⎰+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
【详解】
（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx x
a
x a
x
a
,)(∈≤≤⎰⎰⎰
10．
即[]b a x a x dt t g x
a
,,)(∈-≤≤
⎰
0．
（2）令⎰
⎰
⎰-=
+
x
a dt
t g a a
x
a
du u f du u g u f x F )()()()()(，
则可知0=)(a F ，且⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰x
a dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，
因为,)(a x dt t g x
a
-≤≤
⎰
0且)(x f 单调增加，
所以)()()(x f a x a f dt t g a f x
a =-+≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰．从而
0=-≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F x
a ， []
b a x ,∈
也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到
⎰⎰
≤⎰+
b
a
dt
t g a a
dx x g x f dx x f b
a )()()()(．
20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=
x x
x
x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=
设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞
→lim ．
【详解】
x x
x x x x
x f x f x f x x x f 21111111121+=
++
+=+=+=)()()(,)(， ,)(x x x f 313+=， 利用数学归纳法可得.)(nx
x
x f n +=
1 ))ln(()()(n
n n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰11111111101010，
111=⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足
)(12+=∂∂y y
f
，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
由于函数),(y x f 满足
)(12+=∂∂y y
f
，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数． 又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212
，从而可知y y y C ln )()(--=21， 得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=21222
2
．
令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212
．且当1-=y 时，2121==x x ,． 曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为
πππ)ln (ln )()(4
5
222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V
22．（本题满分11分）
设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=3021111
04321A ，E 为三阶单位矩阵．
（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，
得到方程组0=AX 同解方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧==-=43
424132x
x x x x x 得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211ξ．
（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4443
33222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=14131001312010162100114131000101110001
4321101134001011100014321100302101011100014321)(AE
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ， 即满足E AB =的所有矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321
313431212321162c c c c c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数．
23．（本题满分11分）
证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛111111
111 与⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 相似．
【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛111111
111 ，=B ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛n 00200100 ． 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
11
1
1
1
11111
--=---------=
-n n A E λλλλλλ)( ，
所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλ ,；
而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛00
λ~A ； 1002
010--=---=-n n n
B E λλλλλλ)(
所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλ ,；
对于1-n 重特征值0=λ，由于矩阵B B E -=-)(0的秩显然为1，所以矩阵B 对应1-n 重特征值0=λ的特征向量应该有1-n 个线性无关，进一步矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角
化，且⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛00 λ~B
从而可知n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛n 00200100
相似．
2016年考研数学（三）真题
（3）填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim
0=--→b x a
e x
x x ，则a =______，b =______.
(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2f
u v
∂=
∂∂.
(3) 设⎪⎩
⎪⎨⎧≥
-<≤-=21,12121,)(2
x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰. (4) 二次型2
132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .
(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>
}{DX X P _______.
(6) 设总体X 服从正态分布),(2
1σμN , 总体Y 服从正态分布),(2
2σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则
12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤
-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑∑.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2
)
2)(1()
2sin(||)(---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).
(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ ]
(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞
→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00
,)1()(x x x f x g ，则
(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.
(C) x = 0必是g (x )的连续点.
(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则
(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.
(C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.
(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ]
(10) 设有下列命题：
(1) 若
∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞
=1
n n u 收敛.
(2) 若
∑∞
=1
n n u 收敛，则∑∞
=+1
1000n n u 收敛.
(3) 若1lim
1
>+∞→n
n n u u ，则∑∞
=1
n n u 发散. (4) 若
∑∞=+1
)(n n n v u 收敛，则∑∞=1
n n u ，∑∞
=1
n n v 都收敛.
则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ]
(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .
(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.
[ D ]
(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有
(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.
(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ]
(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*
≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ ] (14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,
若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2
αu . (B) 2
1αu
-
. (C) 2
1αu -. (D) αu -1. [ ]
三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
求)cos sin 1(lim 2220x
x
x x -→. (16) (本题满分8分)
求
⎰⎰++D
d y y x σ)(2
2，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的
平面区域(如图).
(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x a
x
a
dt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )证明：
⎰⎰≤b
a
b
a dx x xg dx x xf )()(.
(18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；
(II) 推导
)1(d E Q dP
dR
-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数
)(8
642642428
64+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：
(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)
设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T
β)3,3,1(-=,
试讨论当b a ,为何值时,
(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;
(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;
(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=111 b b b b b b A .
(Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;
(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1
-为对角矩阵.
(22) (本题满分13分)
设A ，B 为两个随机事件,且41)(=
A P , 31)|(=A
B P , 2
1)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.
0,1不发生，发生，
B B Y
求
(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 2
2
Y X Z +=的概率分布.
(23) (本题满分13分)
设随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,
(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;
(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.
2016年考研数学（三）真题解析
（4）填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
(1) 若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则a =1，b =4-.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，且0)(cos sin lim 0
=-⋅→b x x x ，所以。