(完整版)三角函数的图像和性质(复习课教案,含解答)

三角函数的图像与性质

知识梳理：

题组1：基础再现 1.函数sin

2

x

y =的最小正周期为 . 2.函数sin()4

y x π

=+

的单调增区间为 .

3.函数tan(2)3

y x π

=-

的定义域为 .

4.不求值，判断下列各式的符号：

（1）tan138tan143-o

o

（2）1317tan()tan()45

ππ---

题组2：三角函数的定义域与值域问题 例1求函数y =lgsin x +

cos x －1

2

的定义域．

解：要使函数有意义，只需

sin 0,

1

cos .2x x >⎧⎪⎨≥⎪⎩，∴22,22.33k x k k x k πππππππ<<+⎧⎪

⎨-≤≤+⎪⎩ ∴定义域为(2,2]3

k k π

ππ+

（k ∈Z ）

． 例2（1）求函数y ＝cos 2x +sin x ，x ∈[－4π，4

π

]的值域； （2）求函数cos 3

cos 3

x y x -=

+的值域；

（3）若函数f (x )=a －b cos x 的最大值为52 ，最小值为－1

2 ，求a ， b 的值．

解：（1）令sin x ＝t ，∵x ∈[－4π，4

π

]，∴t ∈[－2，2]．

∴y ＝－t 2+t +1＝－(t －12)2+5

4

．

∴当t ＝12时，y max ＝5

；当t ＝－2时，y min ＝12．

∴所求值域为，5

4

]．

（2）∵cos 3

cos 3

x y x -=+，∴33cos 1y x y +=-．

∵|cos x |≤1，∴33||1y y +-≤1，∴－2≤y ≤－1

2

．

∴所求值域为[－2，－1

2

]．

题组3：三角函数的单调性与对称性问题

一般地，函数y ＝A sin(ωx +ϕ)的对称中心横坐标可由ωx +ϕ＝k π解得，对称轴可由ωx +ϕ＝k π+π

2

解得；

函数y ＝A cos(ωx +ϕ)的对称中心、对称轴同理可得．

例3求函数y ＝sin(

4

π

－2x )的单调减区间. 解：∵定义域为R ，又sin(2)4

y x π

=--，

∴要求sin(2)4y x π=-的减区间即求sin(2)4y x π

=-的增区间．

∴222242k x k πππππ-≤-≤+ ∴388

k x k ππ

ππ-≤≤+（k ∈Z ）．

∴ 函数的定义域为3,88k k ππππ⎡

⎤-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）． 变1求函数12

log cos y x =的单调减区间．

解：∵cos 0x >，∴定义域为(,)44

k k ππ

ππ-

+（k ∈Z ）

． ∴要求12

log cos 2y x =的减区间即求cos2y x =在定义域内的增区间． ∴2222

k x k π

ππ-

<≤，∴函数的定义域为(,]4

k k π

ππ-

（k ∈Z ）

． 变2已知函数tan y x ω=在(,)22

ππ

-

内是增函数，则ω的取值范围为 ． 例4判断下列函数的奇偶性：

（1）3()cos()2

f x x x π

=-；

（2

）()lg(sin f x x =；

（3）2

1sin cos ()1sin x x

f x x

+-=

+．

答案：（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶函数．

变1已知函数f (x )=sin(x +θ

cos(x －θ )为偶函数，求θ 的值．

解 ∵f (x )为偶函数，∴sin(x +θ

x －θ )＝sin(－x +θ

－x －θ )， ∴sin(x +θ)+ sin(x －θ

x +θ )－cos(x －θ )]，化简得tan θ =

，∴θ =6

k π

π-（k ∈Z ）．

题组4：综合与创新

1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π

2”的________条

件．必要不充分

2．函数f (x )＝2 cos 2⎝⎛⎭⎫12x －12－x

x －1的对称中心坐标为________．(1，－1)

3.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （1）求函数()f x 的最小正周期；

（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上的最小值和最大值．

解：（1

）π()2cos (sin cos )1sin 2cos224f x x x x x x x ⎛

⎫=-+=-=- ⎪⎝

⎭．

因此，函数()f x 的最小正周期为π． （2）∵

8π≤x ≤34π，∴0≤2x －4π≤54π

sin (2x －4

π

)≤1，

∴函数()f x 在区间π3π84⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，

，最小值为3π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．

3.设函数232()cos 4sin cos 43422

x

x f x x t t t t =--++-+，x ∈R ，其中1t ≤，将()f x 的最小值记

为()g t ．

（1）求()g t 的表达式；

（2）讨论()g t 在区间(－1，1)内的单调性并求极值．

解：（1）f (x )232sin 12sin 434x t x t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+

23(sin )433x t t t =-+-+．

由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．

（2）2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，

．列表如下：

由此可见， ()g t 在区间(1)2--，和(1)2，

上单调递增，在区间()22

-，上单调递减，极小值为1()2g =2，极大值为1

()2

g -=4． 2．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π

2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；

(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 2．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦

⎤0，π2，