二次函数的图象与各项字母系数之间的关系

x
a-b+c的值 是负数
a
开口方向向上a>0 向下a<o
b c 2a+b
2a-b b2-4ac a+b+c a-b+c
对称轴与y轴比较 左侧ab同号 右侧ab异号 与y轴交点:交于上半轴c>o,下半轴c<0,交于原点c=0
- b 与1比较,等于1,大于1,小于1
2a
- b 与-1比较,等于-1,大于-1,小于-1 2a 与x轴交点个数
谈收获
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示，则点M（b,c/a)在( D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
图像如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为
( A)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m
的图像总是过点 ( C )
A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c
y
-1 0
1
x

5.二次函数图象的对称轴特殊情况
（5）当对称轴在直线x=-1的右侧
y
-1 0
1x
5.二次函数图象的对称轴特殊情况
（6）当对称轴在直线x=-1的左侧
y
-1 0
1x
6.二次函数y=ax2+bx+c，当x=1时，函数值y= a+b+c 。
（1）a+b+c的符号由__当_x_=_1_时__，__y_的__值__确定
3.( 河 北 省 ) 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ， 一 次 函 数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c的图像如图 所示，则函数值y＜0时，对应的x取值范围
是 -3＜x＜1 .
１
.-3
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的
y
（3）c
（4）2a+b （5）2a-b, （6）b2-4ac
-1 0
x 12
（7）a+b+c
（8）a-b+c
（9）4a+2b+c
（10）4a-2b+c
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
20
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
x
26
3、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
-1 o 1 x
27
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数
y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（C ）
21
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
22
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
23
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
24
1.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
数b的关系
对称轴是y轴
b x=- 2a
y
x

b 2a

0
x
0
b 0
对称轴是y轴，b=0
总结：图象的对称轴的位置和a、b的关系
1.对称轴在y轴的两侧:
“左同右异” 2.对称轴是y轴—— b=0
3.二次函数图象与y轴交点的位置和常数项c的关系
求抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的坐标 (0,C)
y
a+b+c的
值是正数
y
-1
0
1
x
●
●
x
-2 -1 o 1 2
a+b+c的 值是负数
6.二次函数y=ax2+bx+c，当x=-1时，函数值y= a-b+c 。
（2）a-b+c的符号由_当__x_=_-1_时__，__y_的__值__确定
y
y
●
-2 -1 o 1 2
x
-1
a-b+c的值 ●
是正数
0
1
第二十二章 二次函数 •22.2.2二次函数的图象与各项字母系数之间的关系
学习目标
1、能由a,b,c,∆的符号确定抛物线的位置；由 抛物线的位置确定a,b,c,∆等式子的符号；
2、经历探究问题的过程，加强推理技能训练， 体验类比、转化、符号表示及数形结合的思 想方法.
1.二次函数图象开口方向、大小和二次项系数a的关系
y
•(0,c)
x
0
• x 0 (0,0)
• x 0 (0,c)
交点在x轴上方 c>0
经过坐标原点 交点在x轴下方
c=0
c<0
4.二次函数图象与x轴交点的个数和△的关系
y
y
• • 0
(x1,0)
x
(x2,0)
0
•x (x,0) 0
•
x
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0
b2-4ac=0
x


b 2a

0
0
x
x

b 2a

1b 2a

0
对称轴在y轴的左侧， a和b的符号相同
2.二次函数图象的对称轴的位置和二次项系数a、一次项系
数b的关系
y
x


b 2a
对称轴在y 轴的右侧
x

b 2a

0
0
x
x

b 2a

1b 2a

0
对称轴在y轴的右侧， a和b的符号相异
2.二次函数图象的对称轴的位置和二次项系数a、一次项系
的图像如图，则下列a、b、
c间的关系判断正确的是( D )
A.ab < 0
B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为 A.x > a/b
(D)
B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b
则点M（
b ，a）在（ c
D
）
A、第一象限
y
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
o
x
25
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；
④（a+c)2＜b2，其中不正确的个数是 （ D ）
A、4个 B、3个
y
C、2个 D、1个
o x=1
y
y
O
x
O
x
二次项系数a≠0 ： 决定开口方向， 决定开 口的大小． （1）当a>0时，抛物线开口向 ；当a<0时，抛 物线开口向 ； （2） 的值越大，开口越 ，反之， 的 值越小，开口越 ．
a的作用
2.二次函数图象的对称轴的位置和二次项系数a、一次项系
数b的关系
x


b 2a
y
对称轴在y 轴的左侧
令x=1，y=a+b+c,看纵坐标是在y轴的正半轴 上（>0）还是在负半轴上（<0）
令x=-1，y=a-b+c,看纵坐标
4a+2b+c 4a-2b+c
令x=2，y=4a+2b+c,看纵坐标 令x=-2，y=4a-2b+c,看纵坐标
例、根据y=ax2+bx+c的图像，判断下列字母和 代数 式的符号
（1）a （2）b
y
o
x
(A)
y x
o (B)
y
o
x
(C)
y x
o (D)
5、抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？
变式： （1）不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的值永远是正值的条件是什么？
（2）不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0） 的值永远是非负数的条件是什么？
你真棒
b2-4ac<0
5.二次函数图象的对称轴特殊情况
（1）当对称轴是x=1
y
-1
0
1
x
5.二次函数图象的对称轴特殊情况
（2）当对称轴在直线x=1的右侧
y
-1 0 1
x
5.二次函数图象的对称轴特殊情况
（3）当对称轴在直线x=1的左侧
y
-1
0
1
x
5.二次函数图象的对称轴特殊情况
（4）当对称轴是x=-1