钉子板上的多边形面积课件
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五级上册数学课件钉子板上的多边形∣苏教版ppt资料
①
②
③
① s=n÷2＋m－1 =15÷2+7-1=13.5（平方厘米） ② s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） ③ s=n÷2＋m－1 =12÷2一想：下面多边形的面积各是多少平方厘米？ 每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。
s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米） 当a=3时，S=n÷2＋2 数，n表示多边形边上的钉子数，那么钉子板上的多边形的面积
当a=m时，S=n÷2＋m－1
课堂练习
1.利用公式计算下图中多边形的面积（1个小正方形是1平方厘米）
解析：这道题是对教材内容的巩固，利用公式s=n÷2＋m－1，然 后根据找到公式中的字母在这道题中所表的数字进行计算。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
课堂练习
2.用公式求图中图形的面积，然后再用自己方法验证一下。
面积=钉子数÷2+1 如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。
如果不能，那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。 结论：当多边形里面有2枚钉子时，如果用S表示面积单位的个
教学新知
想一想：
比较这两个规律，你觉得a=3、4时会有怎 样的规律? 如果你能直接推想出规律，那就 写出你的猜想，然后举例验证。如果不能， 那也像刚才那样先画出图形内有3枚钉子的
多边形，再算一算，看看有什么规律。
知识梳理
当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积单位的个数等于多边形
五上《钉子板上的多边形》课件
数的关系； 2.验证：设计一个形内有3枚钉子、4枚钉子的多边形，将结果
记录下来，组长负责汇总； 3.结论：在小组里说说自己的想法。
形内钉子数（枚）
3 4
边上的钉子数（枚）
面积（平方厘米）
探究四：
活动要求：
1.猜想：任选一个a等于几，直接写出公式。 a=______时,公式：_____________
2.验证：画一画，算一算。
史
探究二：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚）
①
2
② ③
活动要求：
④
面积（平方厘米）
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
探究三：
活动要求： 1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子时，多边形的面积与边上钉子
苏教版五年级上册 综合与实践
1cm²
1cm 1cm² 1cm
多边形的面积和钉子数有怎样的关系？
探究一：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚） 面积（平方厘米）
①
1
② ③
活动要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
④ ⑤
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
记录下来，组长负责汇总； 3.结论：在小组里说说自己的想法。
形内钉子数（枚）
3 4
边上的钉子数（枚）
面积（平方厘米）
探究四：
活动要求：
1.猜想：任选一个a等于几，直接写出公式。 a=______时,公式：_____________
2.验证：画一画，算一算。
史
探究二：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚）
①
2
② ③
活动要求：
④
面积（平方厘米）
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
探究三：
活动要求： 1.猜想：形内有3枚钉子、4枚钉子时，多边形的面积与边上钉子
苏教版五年级上册 综合与实践
1cm²
1cm 1cm² 1cm
多边形的面积和钉子数有怎样的关系？
探究一：
形内钉子数（枚） 边上的钉子数（枚） 面积（平方厘米）
①
1
② ③
活动要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
④ ⑤
1.数一数：每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 2.算一算：每个多边形的面积各是多少平方厘米？ 3.画一画：画一个多边形，验证你的发现。 4.说一说：把你的发现和同桌互相说一说。
钉子板上的多边形课件
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激活猜想
1㎝
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1㎝
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①
②
③
④
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图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积 多边形边上的
/平方厘米 钉子数/枚
2
4
3
6
3.5
7
4
8
观察上表，你有什么发现？
图形编号
五年级上册数学课件 钉子板上的多边形 苏教版(2014秋)(共14张PPT)
（S）
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
下面两个小岛，谁的面积大？
（1）
（2）
图（2）的面积大。
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
图形编号
（S）
（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
……
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
下面两个小岛，谁的面积大？
（1）
（2）
图（2）的面积大。
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
图形编号
（S）
（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
……
五级上册数学课件钉子板上的多边形∣苏教版(共10张PPT)
当a=2时，S=n÷2＋1 想数一，想 n表：示下多面边多形边边形上的的面钉积子各数是，多那少么平钉方子厘板米上？的每多个边多形边的形面边积上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。
想用一公想 式：求如图果中多图边形形的内面有积，2枚然钉后子再，用多自边己形方的法面验积证与一它下边。上的钉子数又有什么关系呢？ 想s=一n÷想2：＋下m面－多1 =边12形÷的2面+4积-1各=9是（多平少方平厘方米厘）米？ 每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。 如当果a=不m时能，S那=也n÷像2刚＋才m那－样1 先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。 当比多较边 这形两内个只规有律1，枚你钉觉子得时a，=3多、边4时形会面有积怎单样位的的规个律数?等如于果多你边能形直边接上推的想钉出子规数律÷，2那。就写出你的猜想，然后举例验证。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
课堂练习
2.用公式求图中图形的面积，然后再用自己方法验证一下。
①
②
③
① s=n÷2＋m－1 =15÷2+7-1=13.5（平方厘米） ② s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） ③ s=n÷2＋m－1 =12÷2+4-1=9（平方厘米）
的钉子数÷2。 当s=an=÷32时＋，mS－=n1÷=122＋÷22+9-1=14（平方厘米）
结当论a=：1时当，多S边=n形÷里2面有2枚钉子时，如果用S表示面积单位的个 用s=公n÷式2求＋图m中－图1 =形12的÷面2积+4，-1然=9后（再平用方自厘己米方）法验证一下。 比利较用这 公两式个计规算律下，图你中觉多得边形a=的3、面4积时（会1有个怎小样正的方规形律是?1如平果方你厘能米直）接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证。 如结果论不 ：能当，多那边也形像里刚面才有那2枚样钉先子画时出，图如形果内用有S3表枚示钉面子积的单多位边的形个，再算一算，看看有什么规律。
想用一公想 式：求如图果中多图边形形的内面有积，2枚然钉后子再，用多自边己形方的法面验积证与一它下边。上的钉子数又有什么关系呢？ 想s=一n÷想2：＋下m面－多1 =边12形÷的2面+4积-1各=9是（多平少方平厘方米厘）米？ 每个多边形边上的钉子各有多少枚？ 先数一数、 算一算， 将结果填表中。 如当果a=不m时能，S那=也n÷像2刚＋才m那－样1 先画出图形内有3枚钉子的多边形，再算一算，看看有什么规律。 当比多较边 这形两内个只规有律1，枚你钉觉子得时a，=3多、边4时形会面有积怎单样位的的规个律数?等如于果多你边能形直边接上推的想钉出子规数律÷，2那。就写出你的猜想，然后举例验证。
s=n÷2＋m－1 =12÷2+9-1=14（平方厘米）
课堂练习
2.用公式求图中图形的面积，然后再用自己方法验证一下。
①
②
③
① s=n÷2＋m－1 =15÷2+7-1=13.5（平方厘米） ② s=n÷2＋m－1 =14÷2+6-1=12（平方厘米） ③ s=n÷2＋m－1 =12÷2+4-1=9（平方厘米）
的钉子数÷2。 当s=an=÷32时＋，mS－=n1÷=122＋÷22+9-1=14（平方厘米）
结当论a=：1时当，多S边=n形÷里2面有2枚钉子时，如果用S表示面积单位的个 用s=公n÷式2求＋图m中－图1 =形12的÷面2积+4，-1然=9后（再平用方自厘己米方）法验证一下。 比利较用这 公两式个计规算律下，图你中觉多得边形a=的3、面4积时（会1有个怎小样正的方规形律是?1如平果方你厘能米直）接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证。 如结果论不 ：能当，多那边也形像里刚面才有那2枚样钉先子画时出，图如形果内用有S3表枚示钉面子积的单多位边的形个，再算一算，看看有什么规律。
五年级上册数学课件-2 钉子板上的多边形丨苏教版 (共16张PPT)
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形边上的钉子
数/颗 （n）
3
多边形里面的钉子数
/颗 （a）
0
多边形的面积/平方
厘米
（S）
0.5
4
0
1
5
பைடு நூலகம்
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米
1
厘 米
①
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形边上的钉子
数/颗 （n）
3
多边形里面的钉子数
/颗 （a）
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米
1
厘 米
①
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形边上的钉子
数/颗 （n）
3
多边形里面的钉子数
/颗 （a）
0
多边形的面积/平方
厘米
（S）
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米
1
厘 米
①
②
0
多边形的面积/平方
厘米
（S）
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米 1
厘 米
（7－2）×0.5＝2.5（平方厘米） （7－2）×0.5＝2.5（平方厘米）
(五上)数学PPT课件-2 钉子板上的多边形丨苏教版 (16张)
•
5.一切表现形式都应该是创造的成果 。今天 的浪漫 或许是 明天的 现实， 当下的 现实也 可能是 昨天的 浪漫。 重要的 是我们 的作品 是否揭 示生命 本质， 精神是 否向真 向善向 上，以 及手上 的“主 义”是 否与我 们的诉 求达成 一致。
•
6.而批评要做的，就是把真正的创造 性成果 点亮， 让不同 形式、 不同风 格、不 同创造 性诉求 的佳作 ，在反 复的研 读与辨 析中沉 淀价值 。
亲爱的同学们，再见！
•
2.但与此同时，诗歌批评庸俗化的趋 势越来 越明显 ，不少 诗歌批 评为了 应酬需 要，违 心而作 ，学术 含量可 疑，甚 至堕落 为诗人 小圈子 里击鼓 传花的 游戏道 具。这 类批评 对诗歌 创作来 说类同 饮鸩止 渴，还 不如索 性没有 的好。
•
3.批评文章却写得天花乱坠，一再上 演“皇 帝的新 衣”闹 剧。这 些批评 牵强附 会、肆 意升华 ，外延 无限扩 张，乃 至另起 炉灶， 使批评 成为原 创式的 畅想， 早已失 去了与 原作品 的联系 。
数/颗 （n） /颗 （a）
厘米
（S）
3
0
0.5
4
0
1
5
0
1.5
6
0
2
观察多边形边上的钉子数和面积，你们有什么发现？
1厘米 1
厘 米
（7－2）×0.5＝2.5（平方厘米） （7－2）×0.5＝2.5（平方厘米）
1厘米
1
厘 米
（8－2）×0.5＋3＝6（平方厘米）
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、n、a 三者数量关
系的“皮克公式”，并进行了证明，得 到“皮克定理”。
钉子板上的多边形优秀课件
（S） 7
多边形边上的钉子数/枚
（n） 8
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
图形编号
多边形的面积/平方厘米
（S） 2
多边形边上的钉子数/枚
（ 4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
1厘米
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米 1
厘 米
n=4 s=3
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
比较，猜想 验证，表达
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
多边形边上的钉子数/枚
（n） 8
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米 1
1
厘 米
16 2
17
2
6
187
2
6
3
3 45
2
4
3 45
3 45
图形编号
多边形的面积/平方厘米
（S） 2
多边形边上的钉子数/枚
（ 4
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
1厘米
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
1厘米 1
厘 米
n=4 s=3
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
比较，猜想 验证，表达
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
五年级上册数学课件-2 钉子板上的多边形面积
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那么S=n÷2+1
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。a表示图形内的格点数。 那么当 a=1时 S=n÷2 a=2时 S=n÷2+1 a=3时 S=n÷2+2
你觉得a=4时会有怎样的规律呢、a=5、a=6时，会怎样呢？
你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的 奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关 系
教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 。
学具准备：钉子板或方格纸
教学目标：
1、使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉 子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程， 体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展 观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那么S=n÷2
图形内的格点数变成了2，多边形面积与它边上的格点数又有什么关系呢？
4
5
6
小组合作，在方格纸中围几个不同的多边形看看，完成下表
图形编号 多边Leabharlann 面积/平方厘米 多边形边上的格点数
4
3
4
5
5
8
6
5.5
9
这些图形与上组图比较又有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？
当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。
五年级苏教版数学上册《钉子板上的多边形》课件(片区公开课)
1厘米
1厘米
① 当a=②3时：s=n③÷2+2 ④
表格三
图形 编号
①
②
③
④
多 边 形 内 的 多 边 形 边 上 的 多边形的面积/cm²
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n
S
3
4
4÷2+2=4 4
3
12
12÷2+2=8 8
4
14
14÷2+3=10 10
4
6
6÷2+3=6 6
当a=4时：s=n÷2+3
a
米
表格三 图形 多 边 形 内 的 多 边 形 边 上 的
编号 钉子数/枚 a 钉子数/枚 n ① ② ③ ④
多边形的面积/cm²
S
1厘米
1厘米
表格三
①
图形 编号
①
②
③
④
②
③
多边形内的 多边形边上的
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n
④
多边形的面积/cm²
S
小组合作：
1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。 2.小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？ 3.再把字母关系式写完整。
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n 2 2 2
多边形的面积/cm²
S
1厘米
1厘米
①
表格二 图形 编号 ①
②
③
②
③
多边形内的 多边形边上的
钉子数/枚 a 钉子数/枚 n 2
2
2
多边形的面积/cm²
S
小组合作：
1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。 2.小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？ 3.再把字母关系式写完整。
苏教版小学数学五年级上册《探索规律钉子板上的多边形》ppt课件
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8
5
你们小组有什么发现？先在全班交流，再把表示 多边形面积与它边上钉子数关系的式子填写完整。
当多边形内有2枚钉子时，S= n÷2+1
如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上 钉子数的关系会怎样变化？如果多边形内没有钉子呢？
S=n÷2+2
S=n÷2+3 S=n÷2-1
S=n÷2+4
先在小组里说说自己的想法，再通过围一围、算一算进行验证。 回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？
要善于从不同的多 用含有字母的式
边形中找到它们的 子表示规律，简
相同点。
明易记。
探索规律时，要认 真观察、反复比较， 发现规律后要验证。
这些图形还有什么共同特点？ 图形内都只有1枚钉子。
多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？
当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表 示多边形的面积，那么面积公式可以写成这样的等式。
n S= 2
如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？ 小组合作，先在钉子板上围出内部有2枚钉子的不同多边形，再完成下表。
下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉 子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学 说说你的想法。
2
4
3
6
3.5
7
4
8
这些多边形，边 图形①边上钉子 上的钉子数越多， 数是4，面积是2 面积就越大。 平方厘米，图形
②……
这些多边形面积 的平方厘米数是 它们边上钉子数 的一半。
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你们小组有什么发现？先在全班交流，再把表示 多边形面积与它边上钉子数关系的式子填写完整。
当多边形内有2枚钉子时，S= n÷2+1
如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上 钉子数的关系会怎样变化？如果多边形内没有钉子呢？
S=n÷2+2
S=n÷2+3 S=n÷2-1
S=n÷2+4
先在小组里说说自己的想法，再通过围一围、算一算进行验证。 回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？
要善于从不同的多 用含有字母的式
边形中找到它们的 子表示规律，简
相同点。
明易记。
探索规律时，要认 真观察、反复比较， 发现规律后要验证。
这些图形还有什么共同特点？ 图形内都只有1枚钉子。
多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？
当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表 示多边形的面积，那么面积公式可以写成这样的等式。
n S= 2
如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？ 小组合作，先在钉子板上围出内部有2枚钉子的不同多边形，再完成下表。
下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉 子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学 说说你的想法。
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这些多边形，边 图形①边上钉子 上的钉子数越多， 数是4，面积是2 面积就越大。 平方厘米，图形
②……
这些多边形面积 的平方厘米数是 它们边上钉子数 的一半。
五年级上册数学课件-2 钉子板上的多边形
如果多边形内没有钉子，它的面积 与它边上钉子数可能会有什么样的 关系？
回顾探索和发现规律的过程， 你有什么体会？
（德）高斯
数学中的一些美丽定理具有这样 的特性:
它们极易从事实中归纳出来, 但证明却隐藏的极深。
你知道吗？
在1899年，奥地利数学家乔 治·皮克 给出的实用而有趣的定 理——“皮克定理”。
③
图形编 多边形内的钉子 多边形边上的钉 多边形的面积/
号 数/枚
子数/枚
平方厘米
①
2
②
2
③
2
小组合作，完成下表。
图形编 多边形内的钉子 多边形边上的钉 多边形的面积/
号 数/枚
子数/枚
平方厘米
①
2
②
2
③
2
如果多边形内有3枚、4枚钉子， 它的面积与它边上钉子数可能会有 什么样的关系？
小组活动： 1.在3枚或4枚钉子中选定一种研究的内容？ 2. 围出2个符合要求的多边形。 3.数一数、算一算，看看有什么发现，并作好 记录。
人一生中会遇到不顺心的事，会碰到不顺眼的人，如果你不学会原谅，就会活得痛苦，活得累。原谅是一种风度，是一种情怀，它像一把伞， 帮助你在雨季里行路。学会原谅，快乐至上。 人若软弱就是自己最大的敌人。 要想成为强者，决不能绕过挡道的荆棘，也不能回避风雨的冲刷。 儿童能力初期萌芽是尤其可贵的，我们引导儿童初期自然趋向的途径能固定儿童的基本习惯，能确定后来能力的趋向。——杜威
钉子板上的多边形
1cm 1cm
①
②
③
④
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积/ 平方厘米
2
3 3.5 4
多边形边上的钉子 数/枚
五年级上册数学课件-2.10 钉子板上的多边形丨苏教版 (共22张PPT)
今天的方法：
S=
S=
②我们发现：
多边形的面积=边上的钉子数÷2
+
2
——
③用含字母的式子表示发现：
当a= —3—时，s= —n——÷——2+—2——
验证单（自己围图形）
①当内部有—4—个钉子时，
用以前的方法：
今天的方法：
S=
S=
②我们发现：
多边形的面积=边上的钉子数÷2
+
3
——
③用含字母的式子表示发现：
钉子板上的多边形
︷ 1厘米 ｝1厘米
点子图
1
16
17
1 87
2
2
6
2
6
3
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
43 4 5 3 4 5 3 4 5
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积s(平方厘米) 2 3 3.5 4
多边形边上的钉子数n(枚) 4 6 7 8
多边形的S面积 == 多边形边n上的钉子数 ÷ 2
1 10
19
1 9 18
（算、数）
S=n÷2+2
S=4 ×2=8
=12÷2+2
=8
当a=3时， S=n÷ 2+2
以前的方法： （算、数）
S=9
今天的方法： S=n÷2+3
=12÷2+3
=9
当a=4时， S=n÷ 2+3
1 10
19
1 8
1 10
③
④
2
10
6
2
9
5.5
③
2
8
5
④
2
10
6
五上《钉子板上的多边形》课件
数学公式表示
A = (n - 1) / 2，其中A是多边形的面积，n是围绕多边形的 钉子数。
05
钉子板上的多边形应用
在数学中的应用
数学建模
钉子板上的多边形可以作为数学 建模的实例，帮助学生理解数学 概念和原理，如面积计算、周长
计算等。
几何学
钉子板上的多边形可以用于研究 几何图形的性质，如对称性、角 度、边长等，有助于培养学生的
钉子板上的多边形定义
总结词
钉子板上的多边形定义
详细描述
钉子板上的多边形是指在钉子板上用皮筋围成的多边形。这种多边形在数学中具有特殊的意义，其研究有助于深 入理解几何学中的一些基本概念和原理。
03
钉子板上的多边形面积计算
面积计算公式
01
02
03
格点数与边数关系
格点数与多边形的边数之 间存在一定的关系，这是 计算面积的基础。
数学文化的传承
引导学生了解数学的历史背景和文化内涵， 培养其对数学的兴趣和热爱。
THANKS
感谢观看
空间思维和几何直觉。
数论
钉子板上的多边形可以用于探讨 数论中的一些问题，如整数的性 质、数学归纳法等，有助于培养
学生的数学逻辑思维。
在物理中的应用
电路设计
钉子板上的多边形可以模拟电路中的电子元件布局，帮助学生理 解电路的工作原理和设计原则。
力学
钉子板上的多边形可以用于研究物体的运动和力学的关系，如重力 、摩擦力等，有助于培养学生的物理直觉和实验技能。
五上《钉子板上的多边形》课件
汇报人： 202X-12-23
目 录
• 引言 • 钉子板上的多边形定义与性质 • 钉子板上的多边形面积计算 • 钉子板上的多边形规律探究 • 钉子板上的多边形应用 • 总结与展望
A = (n - 1) / 2，其中A是多边形的面积，n是围绕多边形的 钉子数。
05
钉子板上的多边形应用
在数学中的应用
数学建模
钉子板上的多边形可以作为数学 建模的实例，帮助学生理解数学 概念和原理，如面积计算、周长
计算等。
几何学
钉子板上的多边形可以用于研究 几何图形的性质，如对称性、角 度、边长等，有助于培养学生的
钉子板上的多边形定义
总结词
钉子板上的多边形定义
详细描述
钉子板上的多边形是指在钉子板上用皮筋围成的多边形。这种多边形在数学中具有特殊的意义，其研究有助于深 入理解几何学中的一些基本概念和原理。
03
钉子板上的多边形面积计算
面积计算公式
01
02
03
格点数与边数关系
格点数与多边形的边数之 间存在一定的关系，这是 计算面积的基础。
数学文化的传承
引导学生了解数学的历史背景和文化内涵， 培养其对数学的兴趣和热爱。
THANKS
感谢观看
空间思维和几何直觉。
数论
钉子板上的多边形可以用于探讨 数论中的一些问题，如整数的性 质、数学归纳法等，有助于培养
学生的数学逻辑思维。
在物理中的应用
电路设计
钉子板上的多边形可以模拟电路中的电子元件布局，帮助学生理 解电路的工作原理和设计原则。
力学
钉子板上的多边形可以用于研究物体的运动和力学的关系，如重力 、摩擦力等，有助于培养学生的物理直觉和实验技能。
五上《钉子板上的多边形》课件
汇报人： 202X-12-23
目 录
• 引言 • 钉子板上的多边形定义与性质 • 钉子板上的多边形面积计算 • 钉子板上的多边形规律探究 • 钉子板上的多边形应用 • 总结与展望
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图形内的格点数变成了2，多边形面积与它边上的格点数又有什么 关系呢？
5 6 4 小组合作，在方格纸中围几个不同的多边形看看，完成下表
图形 多边形面积/平 多边形边上的格 3 4 编号 方厘米 点数 8 5 4 9 5.5 这些图形与上组图比较又有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？ 5 6 S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那 如果用
么S=n÷2+1
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。b表示图形内的格点数。 那么当 b=1时 S=n÷2 b=2时 S=n÷2+1 b=3时 S=n÷2+2 你觉得a=4时会有怎样的规律呢、a=5、a=6时，会怎样呢？
你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边 上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子 数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。
下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的格 点各有多少个？（每个小格子是面积为1平方厘米的正方形）
图形 多边形的面积（ 钉子个 编号 平方厘米） 数 2 4 1 3 6 7 3.5 2 8 4 3 这些图形有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？ 4
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那么S=2
S=n÷2+b-1
我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理 （一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式： S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示 多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。