椭圆中焦点三角形的性质含答案

由椭圆的第一定义得 r1 r2 2a , (r1 r2 ) 2 4a 2.
2
2
在△ F1 PF2 中，由余弦定理得ห้องสมุดไป่ตู้ r1 r2 2 r1r 2 cos
2
(2c) .
配方得： (r1 r2 )2 2r1r2 2r1r2 cos
4c2.
即 4 a 2 2r1r 2(1 cos ) 4c2 .
2(a 2 c 2 )
S F1 PF2
b2 tan 2
b2 tan 45
b2 20 ，
又 ec a
a2 b2 a
5， 3
b2 1 a2
5 ，即 1 9
20 a2
5. 9
解得： a 2 45 .
所求椭圆的标准方程为
x2 y2 1或 y2 x2 1.
45 20
45 20
专题 2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为 ( )
2a 2 2c2 1
2r1r2
2r1 r2
2r1 r2
1
2a 2 2( r1
2c 2 r2 )2
1
2a2 2c 2 2a 2
1 1 2e2 .
2
命题得证。
例 1.
若 P 是椭圆 x2
y 2 1 上的一点， F1、 F2 是其焦点，且
F1PF2 60 ，
100 64
求△ F1 PF2 的面积 .
例 1．解法一：在椭圆 x 2 y 2 1 中， a 10, b 8, c 6, 而 100 64
个直角三角形的三个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（
）
若 P、 F1 、 F2 是一
A. 9
B.
5
97
C.
9
D.
7
4
9或9 7
4
7
解：若 F1 或 F2 是直角顶点，则点 P 到 x 轴的距离为半通径的长 b2 9 ；若 P 是直角顶点，
a4
设点 P 到 x 轴的距离为 h，则 S F1PF2
b2 tan 2
性质三： 已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1( a b 0), 两焦点分别为
F1, F2 , 设焦点三角形
PF1F 2 中 F1PF 2
性质三
, 则 cos
1 2e2 .
证明：设 PF1 r1, PF2 r2, 则在 F1PF 2中，由余弦定理得：
cos
r12 r22 F1F2 2
(r1 r 2) 2 2r1r2 4c 2
2 A. 2
3 B. 2
5 C. 3
6 D. 3
1.解析： 选 A. 如图所示， 四边形 B1F 2B2F1 为正方形， 则△ B2OF2 为等腰直角三 角形，
∴ ac＝
2 2.
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )
4
3
2
1
A. 5
B.5
C.5
D. 5
2.解析：选 B. 由题意知 2b＝ a＋ c，又 b2＝ a2－ c2，
若 PF1 PF2 | PF1 | | PF2 |
1 ，则△ 2
F1PF2 的面积为（
）
A. 3 3
B.
23
C.
3
D.
3
3
解：设 F1PF2 ，则 cos
PF1 PF2
1 ，
60 .
| PF1 | | PF2 | 2
S F1 PF2
b2 tan 2
9 tan 30
3 3. 故选答案 A.
2
例 3. 已知椭圆 x2 y 2 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上 . 16 9
2
3. 椭圆 x2 4
45 , 90 ， PF1 PF2 0 .故选 A.
y 2 1 的左右焦点为 F1、 F2 ， P 是椭圆上一点，当△
F1PF2 的面积最大时，
PF1 PF2 的值为（
）
A. 0
B. 2
C. 4
D.
2
解： a 2,b 1, c
3 ，设 F1PF2
，
S F1 PF 2
b2 tan 2
∴ 4(a2－ c2)＝a2 ＋c2＋ 2ac.
∴ 3a2－ 2ac－5c2＝ 0.∴ 5c2＋ 2ac－3a2＝ 0.
∴ 5e2＋ 2e－ 3＝0.∴ e＝ 35或 e＝－ 1(舍去 )．
4
3 ．若椭圆的短轴长为 6 ，焦点到长轴的一个端点的最近距离是
________ ．
3.解析：依题意，得 b＝ 3， a－ c＝ 1. 又 a2＝ b2＋ c2，解得 a＝ 5， c＝ 4，
2b 2
r1 r2
.
1 cos 1 cos
由任意三角形的面积公式得：
S F1 PF2
1 2 r1r2 sin
b 2 sin 1 cos
2sin cos
b2
22
2cos2 2
b 2 tan . 2
S F1 PF2
b2 tan . 2
y2 同理可证，在椭圆 a 2
x2 b2
1 （ a ＞ b ＞ 0）中，公式仍然成立 .
，从而 | PF1 | | PF2 | .
4
3
3
故答案选 C.
5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
F1 、 F2 为焦点，点 P 在椭圆上，
直线 PF1 与 PF2 倾斜角的差为 F1 PF2 90 ，△ F1PF2 的面积是 20，且 c/a=√ 5/3，
求椭圆的标准方程 .
解：设 F1PF2 ，则 90 .
b2＋
2 3b
＝
2
a，
整理得 3c2＝ 3a2－2ab.又 c2＝a2 －b2，
所以
3b
＝
2
a.
所以
b2 a2
＝
4 9.
∴
e2＝
ca22＝
a2－ a2
b2 ＝
1－
b a
2
2＝
5， 9
∴ e＝
5 3.
法二：设椭圆方程为
ax22＋ by22＝ 1(a>b>0) ， 则 M (c，23b)．代入椭圆方程，得
tan ， 2
当△ F1PF2 的面积最大时， 为最大，这时点 P 为椭圆短轴的端点，
120 ，
PF1 PF2 | PF1 | | PF2 | cos a2 cos120
2.
故答案选 D.
4．已知椭圆 x 2 a2
y2
1 （ a ＞ 1）的两个焦点为
且 F1PF2 60 ，则 | PF1 | | PF2 | 的值为（
9 tan 45
9 ，又 S F1PF 2
1 (2c) h 2
7 h,
7h 9 ， h 9 7 . 故选 D. 7
1. 椭圆 y2 x2 1 上一点 P 与椭圆两个焦点 F1、 F2 的连线互相垂直，则△
49 24 （）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24
F1PF2 的面积为
解： F1PF2
90 , b2 24 ，
S F1PF2
b2 tan 2
24 tan 45
24 .故选 D.
2. 椭圆 x2 y2 1 的左右焦点为 F1 、 F2 ， P 是椭圆上一点，当△ 4
F1PF2 的面积为 1 时，
PF1 PF2 的值为（
A. 0
B. 1
） C. 3
D. 6
解：设 F1PF2
，
S F1PF 2
b2 tan 2
tan 1 ， 2
ca22＋
4b 9b
2
2＝
1
，
a、b、c.则焦点为 F1(－ c,0) ，F 2(c,0)，
5
所以 ca22＝ 59，所以
ca＝
35，即
e＝
5 3.
椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案） 性质二
离心率求法：
y P
F1
O
F2
x
6
.
3
S F1 PF2
1 r1r2 sin 2
1 256 3 64 3 .
23 2
3
解法二：在椭圆 x2 y2 1 中， b 2 64 ，而
100 64
60 .
S F1 PF2
b2 tan 2
64 tan 30
64 3 .
3
例 2. 已知 P 是椭圆 x 2 25
y2 9
1上的点， F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点，
焦点三角形习题
性质一： 过椭圆焦点的所有弦中通径
( 垂直于焦点的弦 ) 最短，通径为 2 b2 a
性质二： 已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1( a b 0), 两焦点分别为
F1, F2 , 设焦点三角形
PF1F2 中 F1PF2
S , 则
F1PF2
b2 tan . 2
证明：记 | PF1 | r1,| PF2 | r2 ，
5. 解：法一：设椭圆的长半轴、 短半轴、 半焦距长分别为 2
M 点的坐标为 ( c，3b)，
则△ MF 1F2 为直角三角形． 在 Rt△ MF 1F2 中， |F 1F2|2＋ |MF 2 |2＝ |MF 1|2，
即
4c2＋
4 9
b2＝
|MF
1|2.
而 |MF 1|＋ |MF 2|＝
4
c2
＋
4 9
60 .
记 | PF1 | r1 ,| PF2 | r2.
点 P 在椭圆上，
由椭圆的第一定义得： r1 r2 2a 20.
2
2
在△ F1 PF2 中，由余弦定理得： r1 r2 2 r1r 2 cos
(2c) 2.
配方，得： (r1 r2 )2 3r1r2 144.
256
400 3r1r2 144. 从而 r1r2
4.解：设 |AF 2|＝ m，则 |AF 1|＝ 3m， ∴ 2a＝|AF 1|＋ |AF2|＝ 4m. 又在 Rt△ AF 1F2 中， |F1 F2|＝ |AF 1|2－ |AF 2|2＝ 2 2m.
∴
e＝
22ac＝
|F1F 2a
2|＝
2
4
m2m＝
2 2.
F 2，且与
5．如图所示， F1、F 2 分别为椭圆的左、 右焦点， 椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标， 其纵坐标等于短半轴长的 23，求椭圆的离心率．
F1 、 F2 ， P 为椭圆上一点， ）
3
A．1
B． 1 3
C． 4 3
D． 2 3
解： F1PF2
60 ， b 1 ， S F1PF2
b2 tan 2
tan 30
3， 3
又
S F1PF 2
1 | PF1 | | PF2 |sin
2
3 | PF1 | | PF2 | ， 4
3
3
4
| PF1 | | PF2 |
∴椭圆的离心率为
e＝
c＝ a
4 5.
4 答案： 5
1 ，则椭圆的离心率为
4.已知 A 为椭圆 ax22＋ yb22＝ 1(a>b>0) 上的一个动点，直线 AB、 AC 分别过焦点 F1、 椭圆交于 B、 C 两点，若当 AC 垂直于 x 轴时，恰好有 |AF 1|∶ |AF2|＝3∶ 1， 求该椭圆的离心率．