定积分的几何应用PPT课件

(3)确定上下曲线 f上(x) x, f下(x) x2 (4)计算积分
S 01( x x2)dx
[
2 3
x
3 2
1 3
x3]10
1 3
S ab[ f上(x) f下(x)]dx
S
d
c
[右
(
y)Fra Baidu bibliotek
左(
y)]dy
例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.
解 (1)画图;
(2)确定在y轴上的投影区间: [-2, 4].
形的面积如何表示为定积分？
提示：
面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,
面积为
S
d
c
[右 ( y) 左 ( y)]dy
S ab[ f上(x) f下(x)]dx
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
例1 计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.
解 (1)画图;
(2)确定在x轴上的投影区间: [0, 1];
当所求量U 符合下列条件：
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a, b 有关
的量；
（2）U 对于区间a, b具有可加性，就是说， 如果把区间a, b分成许多部分区间，则U 相
应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U
围成的图形的面积.
解解
S
20
1 2
[a(1
c
os
]2
d
a2
0
(
1 2
2c
os
1 2
c
os2
)d
a2[23
2sin
1 4
sin
2
]0
3 2
a2
三、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一 周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.
1.旋转体的体积 旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及
例7
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1所成的图形绕x轴旋转而成的
旋转体(旋转椭球体)的体积
解 旋转椭球体可以看作是由半个椭圆 y b a2 x2 及 x a
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b
f ( x)dx
a
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
则 A A，并取A f ( x)dx，
面 积 元 素
dA
y f (x)
于是 A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
因为椭圆的参数方程为
xacost, ybsint,
所以
SS440a0ayyddxx 4400bbssininttdd((aaccoosstt)) 22
4ab0sin2 tdt
2ab02 (1cos2t)dt
2
2ab2 ab
2.极坐标情形
•曲边扇形
曲边扇形是由曲线()及射线, 所围成的图形.
（1）把区间[a, b]分成n 个长度为xi 的小区间，相应的曲
边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个小窄曲边梯形
n
的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和，得A的近似值 A f (i )xi . i 1
（4） 求极限，得A的精确值
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做元素法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长； 功；水压力；引力和平均值等．
二、平面图形的面积
1.直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线
yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线 xa与xb所围成.
在点x处面积增量的近似值为 [f上(x) f下(x)]dx,
它也就是面积元素. 因此平面图形的面积为
S ab[ f上(x) f下(x)]dx
S ab[ f上(x) f下(x)]dx
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
讨论：
由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及 上下两条直线yd与yc所围成的平面图
(3)确定左右曲线:
左 ( y)
1 2
y2,
右 ( y)
y4
(4)计算积分
S
4
2
(
y
4
1 2
y2)dy
[
1 2
y2
4y
1 6
y3]42
18
例例33 求椭圆 x2 y2 1 所围成的图形的面积 a2 b2
解 椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.
椭圆在第一象限部分的面积元素为 ydx,
于是
S 40a ydx
x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.
•旋转体的体积元素
考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片, 用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值, 于是体积元素为 dV[f(x)]2dx.
•旋转体的体积
V ab[ f (x)]2dx
旋转体的体积：V ab[ f (x)]2dx
•曲边扇形的面积元素
dS
1 2
[
(
)]2d
•曲边扇形的面积
S
1 2
[(
)]2
d
曲边扇形的面积：S
1 2
[
(
)]2
d
( ( ), )
例4 计算阿基米德螺线a (a>0)上相应于从0变到2
的一段弧与极轴所围成的图形的面积.
解解
S02
1(a)2d
2
1 2
a2[13
3]02
4 3
a2
3
例5 计算心形线a(1cos)(a>0)所
微元法的一般步骤：
1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x 为积分变量，并确定它的变化区间[a, b] ；
2）设想把区间[a, b]分成n 个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a, b]上的一个连续函数在x 处的值 f ( x) 与 dx 的乘积，就把 f ( x)dx 称为量U 的元素且记 作 dU ，即dU f ( x)dx ；
例6 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴围
成一个直角三角形. 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为
h的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.
解 直角三角形斜边的直线方程为 y r x
V
0h
(
r h
x)2
dx
h
r 2
h2
[1 3
x3]0h
1hr2
3
旋转体的体积：V ab[ f (x)]2dx
§6.2 定积分在几何学上的应用
一、元素法 二、平面图形的面积 三、体积 四、平面曲线的弧长
一、元素法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线x a 、
x b所围成。
oa
A
b
a
f
(
x)dx
y f (x)
bx
面积表示为定积分的步骤如下