3.1 时延分析解析
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第3章. 网络时延分析
chxli1@bjtu.edu.cn 2014-3-4
Content
1. 2. 3. 4. 排队系统的引入 Little定理 M/M/1排队系统 M/M/m排队系统
日常生活中的排队现象
• • • • • • • 食堂、饭店 银行、 ATM机 打电话 理发、买电影票 收发邮件、QQ聊天 网上选课 ……
• 两者在物理意义上有很大区别，Little定理把二者联系起来．有时 候，顾客平均容易统计获得，有时候时间平均容易理论分析．只 要知道一个就可分析出另外一个．
Little定理的应用条件
1. Little定理的使用条件只有一个，系统达到 平衡状态，除此之外适用于任何排队系统
2. 只关心三个统计量，对到达时间、服务时 间、排队规则没有任何要求 3. 三个统计量必须针对同一个顾客群;
Little定理的应用场合
• Little定理可用于整个系统 N = lT
N
• 或者系统的任意子系统 NQ = lTQ
NQ
l TQ
服 务 台
T
• 也包括这个子系统： 平均服务时间1/μ ；顾客到达速率l ； 则平均服务的顾客数r 是,
r = l /μ
N NQ
物理意义是什么？
l TQ T
服 务 台
l K
X
例题2
– K个服务窗口, 顾客平均服务时间ẍ； 顾客到达速率为λ，当服务窗口满员时顾客离 开 – 求:顾客被阻塞的概率β
没有被阻塞的顾客数为(1-β)λ 系统中的平均顾客数：k’=(1-β)λẍ 阻塞概率：
k' K b 1 1 lX lX
例题3
• 假设：某电话交换机可同时处理K=300个用户呼叫，每个用 户的平均通话时间ẍ=3分钟；已知该交换机服务区内有 N=3000个用户；忙时，每个用户至少30分钟打一次电话， 则呼叫到达率λ≥100次/分钟。讨论呼损率下限 • 根据前面的讨论:
• W: 窗口大小 • l: 分组到达速率 • T: 平均分组时延
– 根据Little定理 W >= l T
• 窗口固定，T 增加， l速率就要降低 • 网络拥塞导致 l 受到限制，增加拥塞窗口W 则只会 增大分组的传输时延T
N= λ(1-PB)T，其中PB为顾客的阻塞率
例题1
• 服务大厅有K个窗口，服务大厅最多容纳N(NK)个顾客。 假定服务大厅始终客满，即离开一个顾客立刻进入一个顾 客。假设每个顾客平均服务时间为
• 问顾客在大厅滞留时间T=?
N lT T
X
N
K个窗口 服务大厅
K lX l T NX K
1/μ
• 还可用于整个网路: 对于每一个节点，有：Ni=liTi 网络中总的分组数目、分组总到达率分别为：
根据little定理，有:
Baidu Nhomakorabea
Little定理应用于呼叫损失型系统
• 损失型排队系统：队列缓存满了，到达的分组就被 丢弃。 • Little定理中，平均队列长度、顾客平均逗留时间不 考虑那些被拒绝顾客，因此顾客的平均到达率也应 该排除这些顾客。对应的Little公式应变为：
日常生活中的排队现象
• 排队时，你最不愿意发生的事情是什么？
– 排队等候的时间过长 –…
什么是排队论？
• 专门研究各种排队现象的统计规律的数学知识
• 属于概率论与随机过程的一个部分
通信网络中，何时要用排队论？
• 电话网：
– 计算中继线的根数
• 分组交换网：
– 设计交换节点的缓存容量和链路速率 – 分析分组传输时延
• 局域网：
– 解决共享通信介质的随机访问竞争
衡量网络传输能力的重要指标
• 时延、吞吐量、分组丢失率 • 与排队系统关系密切
分组交换中时延产生的原因
dnodal dproc dqueue dtrans dprop
传输时延 dtrans
A
传播时延 dtrans
B
查找表等处 理时延dproc
，则：
• 如果系统达到稳态，则有
• 因此有
Little定理
• John Little in 1961.
• MIT Sloan School of Management
Little定理
l
N
T
• l: 顾客的平均到达速率 • N: 系统存留的平均顾客数 • T: 顾客在系统中的平均滞留时间 假定系统处于稳态，则
b 1
k' K 300 1 1 0 lX lX 100 3
• 所以，肯定会出现打不通电话的情况
Summary of this section
• 理解排队系统；
• 重点是： • Little定理及其证明 • Little定理的各种应用
Little定理的应用 (3)
• 在窗口流量控制系统中：
(t )
N(t)
Ti
b(t)
• • • •
N(t) : t时刻存留在系统中的顾客数 (t) : t时刻以前累计到达的顾客数 b(t) : t时刻以前累计离开的顾客数 Ti : 第i个顾客在系统中滞留时间
t
到达/离开 的顾客数
T2
(t)
N(t)
T1
b( t)
0
t
时间t
• 对上式的时间取极限
N lT
Little定理的直观解释
• 在统计平衡状态下，一个顾客服务结束时，回头 看到的队列长度, 等于该顾客在排队等待过程中进 入排队系统的顾客数
Little定理说明
• N（队长）是一个时间平均的概念，它是不同时刻队列长度在很 长一段时间内的平均，是评价排队系统的一个指标
• T（等待时延）是顾客平均的概念，它是许许多多不同顾客等待时 间的平均，是顾客评价服务质量的一个指标。：
排队时延 dqueue
分组时延
• 处理时延：
– 差错校验、路由器查找表
• 排队时延
– 与缓存容量、服务器速度、队列长度、分组到 达速率相关
• 传输时延
– 与分组大小、链路速率（链路容量）相关
• 传播时延
– 与电磁波在媒质中的传播速度、通信距离有关， 与信道容量本身无关。
网络时延的排队模型
顾客到达 队列 queue
顾客到达 队列
服务台
顾客离开
服务台
顾客离去
排队模型的参数：
• 顾客到达行为
– 到达数目、到达的时间间隔、到达的方式
• 排队规则
– 等待制/损失制、单队列/多队列、是否可插队
• 服务规则/速率
– 单/多服务台、服务时间是否固定
• 未知量
– 平均顾客数目 – 顾客平均等待时间
问题：稳定的系统中，顾客到达 速率、逗留时间，和系统中存留 的顾客总数之间的关系
chxli1@bjtu.edu.cn 2014-3-4
Content
1. 2. 3. 4. 排队系统的引入 Little定理 M/M/1排队系统 M/M/m排队系统
日常生活中的排队现象
• • • • • • • 食堂、饭店 银行、 ATM机 打电话 理发、买电影票 收发邮件、QQ聊天 网上选课 ……
• 两者在物理意义上有很大区别，Little定理把二者联系起来．有时 候，顾客平均容易统计获得，有时候时间平均容易理论分析．只 要知道一个就可分析出另外一个．
Little定理的应用条件
1. Little定理的使用条件只有一个，系统达到 平衡状态，除此之外适用于任何排队系统
2. 只关心三个统计量，对到达时间、服务时 间、排队规则没有任何要求 3. 三个统计量必须针对同一个顾客群;
Little定理的应用场合
• Little定理可用于整个系统 N = lT
N
• 或者系统的任意子系统 NQ = lTQ
NQ
l TQ
服 务 台
T
• 也包括这个子系统： 平均服务时间1/μ ；顾客到达速率l ； 则平均服务的顾客数r 是,
r = l /μ
N NQ
物理意义是什么？
l TQ T
服 务 台
l K
X
例题2
– K个服务窗口, 顾客平均服务时间ẍ； 顾客到达速率为λ，当服务窗口满员时顾客离 开 – 求:顾客被阻塞的概率β
没有被阻塞的顾客数为(1-β)λ 系统中的平均顾客数：k’=(1-β)λẍ 阻塞概率：
k' K b 1 1 lX lX
例题3
• 假设：某电话交换机可同时处理K=300个用户呼叫，每个用 户的平均通话时间ẍ=3分钟；已知该交换机服务区内有 N=3000个用户；忙时，每个用户至少30分钟打一次电话， 则呼叫到达率λ≥100次/分钟。讨论呼损率下限 • 根据前面的讨论:
• W: 窗口大小 • l: 分组到达速率 • T: 平均分组时延
– 根据Little定理 W >= l T
• 窗口固定，T 增加， l速率就要降低 • 网络拥塞导致 l 受到限制，增加拥塞窗口W 则只会 增大分组的传输时延T
N= λ(1-PB)T，其中PB为顾客的阻塞率
例题1
• 服务大厅有K个窗口，服务大厅最多容纳N(NK)个顾客。 假定服务大厅始终客满，即离开一个顾客立刻进入一个顾 客。假设每个顾客平均服务时间为
• 问顾客在大厅滞留时间T=?
N lT T
X
N
K个窗口 服务大厅
K lX l T NX K
1/μ
• 还可用于整个网路: 对于每一个节点，有：Ni=liTi 网络中总的分组数目、分组总到达率分别为：
根据little定理，有:
Baidu Nhomakorabea
Little定理应用于呼叫损失型系统
• 损失型排队系统：队列缓存满了，到达的分组就被 丢弃。 • Little定理中，平均队列长度、顾客平均逗留时间不 考虑那些被拒绝顾客，因此顾客的平均到达率也应 该排除这些顾客。对应的Little公式应变为：
日常生活中的排队现象
• 排队时，你最不愿意发生的事情是什么？
– 排队等候的时间过长 –…
什么是排队论？
• 专门研究各种排队现象的统计规律的数学知识
• 属于概率论与随机过程的一个部分
通信网络中，何时要用排队论？
• 电话网：
– 计算中继线的根数
• 分组交换网：
– 设计交换节点的缓存容量和链路速率 – 分析分组传输时延
• 局域网：
– 解决共享通信介质的随机访问竞争
衡量网络传输能力的重要指标
• 时延、吞吐量、分组丢失率 • 与排队系统关系密切
分组交换中时延产生的原因
dnodal dproc dqueue dtrans dprop
传输时延 dtrans
A
传播时延 dtrans
B
查找表等处 理时延dproc
，则：
• 如果系统达到稳态，则有
• 因此有
Little定理
• John Little in 1961.
• MIT Sloan School of Management
Little定理
l
N
T
• l: 顾客的平均到达速率 • N: 系统存留的平均顾客数 • T: 顾客在系统中的平均滞留时间 假定系统处于稳态，则
b 1
k' K 300 1 1 0 lX lX 100 3
• 所以，肯定会出现打不通电话的情况
Summary of this section
• 理解排队系统；
• 重点是： • Little定理及其证明 • Little定理的各种应用
Little定理的应用 (3)
• 在窗口流量控制系统中：
(t )
N(t)
Ti
b(t)
• • • •
N(t) : t时刻存留在系统中的顾客数 (t) : t时刻以前累计到达的顾客数 b(t) : t时刻以前累计离开的顾客数 Ti : 第i个顾客在系统中滞留时间
t
到达/离开 的顾客数
T2
(t)
N(t)
T1
b( t)
0
t
时间t
• 对上式的时间取极限
N lT
Little定理的直观解释
• 在统计平衡状态下，一个顾客服务结束时，回头 看到的队列长度, 等于该顾客在排队等待过程中进 入排队系统的顾客数
Little定理说明
• N（队长）是一个时间平均的概念，它是不同时刻队列长度在很 长一段时间内的平均，是评价排队系统的一个指标
• T（等待时延）是顾客平均的概念，它是许许多多不同顾客等待时 间的平均，是顾客评价服务质量的一个指标。：
排队时延 dqueue
分组时延
• 处理时延：
– 差错校验、路由器查找表
• 排队时延
– 与缓存容量、服务器速度、队列长度、分组到 达速率相关
• 传输时延
– 与分组大小、链路速率（链路容量）相关
• 传播时延
– 与电磁波在媒质中的传播速度、通信距离有关， 与信道容量本身无关。
网络时延的排队模型
顾客到达 队列 queue
顾客到达 队列
服务台
顾客离开
服务台
顾客离去
排队模型的参数：
• 顾客到达行为
– 到达数目、到达的时间间隔、到达的方式
• 排队规则
– 等待制/损失制、单队列/多队列、是否可插队
• 服务规则/速率
– 单/多服务台、服务时间是否固定
• 未知量
– 平均顾客数目 – 顾客平均等待时间
问题：稳定的系统中，顾客到达 速率、逗留时间，和系统中存留 的顾客总数之间的关系