基本不等式-市优质课
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ab a b (a 0,b 0)称为基本不等式.
2
关于基本不等式的几点注意：
1、基本不等式成立的条件是：a 0,b 0
2、当且仅当 a b时取 “=”
ab a b (a 0,b 0)的几种变形：
2
（1）a b ab(a 0,b 0)
（2）
证明： Q a 0
b a 2 ab
b2 a2 2ab ab
(a b)2 0 ab
ba 2 ab
a 1 2 a
a2 1 2a
a
(a 1)2
0
a
a 1 2 a
例1、设 a, b为正数，证明下列不等式成立
（1） b a 2 ab
x2
求此函数的最小值.
回顾小结： 1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另
一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体
的质量为 a ，如果天平制造的的两臂长 不等，其余均精确. 那么a 并非物体的实
际质量.可将物体调换在另一托盘再称一
次，质量为 b ，如何合理的表示物体的质
量呢？
l1
l2
定义：设 a,b 为正数，
则 a b 称为a,b的算术平均数，
ab
A
a C b B 则CD=＿a＿b,半径=＿＿2＿＿
E
半弦不大于半径
２、你能用这个图形得出 基本不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
几何解释吗?
例1、设 a, b为正数，证明下列不等式成立
（1） b a 2 ab
源自文库
（2） a 1 2 a
证明： Q a 0,b 0
2 ab
a
2
b
2
(a
0,
b
0)
（3）a b 2 ab(a 0,b 0)
（4） a2 b2 2ab(a 0,b 0)
探究：
D
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
2
ab 称为a,b的几何平均数。
ab 问题： 2 与 ab 哪个大呢？
ab a b 2
（当 a b 时取“ ”）
当 a,b是正数时，有 ab a b
2
如果a,b 是正数，那么 ab a b
2
（当且仅当 a b 时取“ ”）
a 0,b 0 时，这个不等式仍然成立.
（2） a 1 2 a
变：
若a,b 同号，上述两个不等式仍然成立吗？
练习： 判断下列不等式是否正确:
(1) sin x 2 2 2, x (0, )
sin x
(2)
2a
1 2a
2
(3) lg x lg y 2 lg x lg y (x 0, y 0)
例2、已知函数 y x 16 , x (2, )
2
关于基本不等式的几点注意：
1、基本不等式成立的条件是：a 0,b 0
2、当且仅当 a b时取 “=”
ab a b (a 0,b 0)的几种变形：
2
（1）a b ab(a 0,b 0)
（2）
证明： Q a 0
b a 2 ab
b2 a2 2ab ab
(a b)2 0 ab
ba 2 ab
a 1 2 a
a2 1 2a
a
(a 1)2
0
a
a 1 2 a
例1、设 a, b为正数，证明下列不等式成立
（1） b a 2 ab
x2
求此函数的最小值.
回顾小结： 1.基本不等式其应用条件； 2.不等式证明的三种常用方法； 3.利用基本不等式去证明其它不等式或求最值。
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另
一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体
的质量为 a ，如果天平制造的的两臂长 不等，其余均精确. 那么a 并非物体的实
际质量.可将物体调换在另一托盘再称一
次，质量为 b ，如何合理的表示物体的质
量呢？
l1
l2
定义：设 a,b 为正数，
则 a b 称为a,b的算术平均数，
ab
A
a C b B 则CD=＿a＿b,半径=＿＿2＿＿
E
半弦不大于半径
２、你能用这个图形得出 基本不等式
ab a b (a 0,b 0) 2
几何解释吗?
例1、设 a, b为正数，证明下列不等式成立
（1） b a 2 ab
源自文库
（2） a 1 2 a
证明： Q a 0,b 0
2 ab
a
2
b
2
(a
0,
b
0)
（3）a b 2 ab(a 0,b 0)
（4） a2 b2 2ab(a 0,b 0)
探究：
D
1、如图,AB是圆的直径，C 是AB上与A、B不重合的一 点，AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE，连AD,BD,
2
ab 称为a,b的几何平均数。
ab 问题： 2 与 ab 哪个大呢？
ab a b 2
（当 a b 时取“ ”）
当 a,b是正数时，有 ab a b
2
如果a,b 是正数，那么 ab a b
2
（当且仅当 a b 时取“ ”）
a 0,b 0 时，这个不等式仍然成立.
（2） a 1 2 a
变：
若a,b 同号，上述两个不等式仍然成立吗？
练习： 判断下列不等式是否正确:
(1) sin x 2 2 2, x (0, )
sin x
(2)
2a
1 2a
2
(3) lg x lg y 2 lg x lg y (x 0, y 0)
例2、已知函数 y x 16 , x (2, )