冀教版初中数学九年级知识点

第二十三章 数据分析1、平均数一般地，我们把 n 个数 x 1，x 2，…，x n 的和与 n 的比，叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，记作 x ，读作“x 拔”.()n x x x n x 211+=平均数是一组数据的代表值，它反映了数据的“一般水平”.加权平均数：已知n 个数n x x x 21,，若n ωωω,,,21 为一组正数，则把nnn x x x ωωωωωω++++++ 212211叫做n 个数的加权平均数。

⑴数据的权能够反映数据的相对“重要程度”， 加权平均数的分母恰好为各权的和.，⑵平均数可看做是权数相同的加权平均数.新数据的平均数：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。

其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。

)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。

2、众数与中位数众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

一组数据的众数可能不止一个，也可能没有众数.当一组数据中某数据多次重复出现时，常可以用众数作为这组数据的数值的一个代表值.中位数：将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列。

如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。

3、方差 方差：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。

当数据分布比较分散时，方差较大；当数据分布比较集中时，方差较小.因此，方差的大小反映了数据波动（或离散程度）的大小.极差：最小值最大值x x -4、用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估第二十四章 一元二次方程1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0)。

其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)直接开方法。

适用形式：x 2=p 、(x +n )2=p 或(mx +n )2=p 。

(2)配方法。

套用公式a 2+2ab +b 2=(a +b )2；a 2-2ab +b 2=(a -b )2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成x 2+2bx +b 2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。

(3)公式法。

当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0的实数根可写为：aacb b x 242-±-=的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的求根公式。

这种解一元二次方程的方法叫做公式法。

⑵b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根。

a acb b x 2421-+-=，aacb b x 2422---= ②b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根。

ab x x 221-== ③b 2-4ac ＜0时，方程无实数根。

定义：b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b 2-4ac 。

(4) 因式分解法。

主要用提公因式法、平方差公式、十字相乘法。

3、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根分别是21x x ，，那么acx x a b -x x 2121=•=+，4、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。

认真读题，分析题中各个量之间的关系。

第2步：设未知数。

根据题意及各个量的关系设未知数。

第3步：列方程。

根据题中各个量的关系列出方程。

第4步：解方程。

根据方程的类型采用相应的解法。

第5步：检验。

检验所求得的根是否满足题意。

第6步：答。

5、类型如：增长率（降低率）问题 病毒传染问题单循环问题（握手问题） 双循环问题（互送礼物问题） 利润问题（每每问题）几何图形面积问题（围篱笆问题）第二十五章 图形的相似1、比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，nmb a =或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条线段a ，b ，c ，d 满足dcb a =或a ：b=c ：d ，那么我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2、比例的性质 （1）基本性质 ⑵a ：b=c ：d ⇔ad=bc ⑵a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=dc b a a cb d =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：cd a b d c b a =⇒= （4）合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒= （5）等比性质：ba n f db m ec a n fd b n m fe d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 4、平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例。

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

（2）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

5、相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形。

定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。

6、相似三角形的判定定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比叫做它们的相似比。

判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

（“∥”）判定2：两角对应相等的两个三角形相似。

（“AA ”）判定3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

（“SAS ”） 判定4：三条边对应成比例的两个三角形相似。

（“SSS ”）判定5：直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。

（“HL ”） 7、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。

8、相似三角形模型 模型一：A 、8模型已知：12∠=∠，结论ADE ABC ∆∆∽模型二：共边共角型已知：12∠=∠结论：ACD ABC ∆∆∽模型三：一线三角型模型四：相似与旋转模型五：垂直相似如图，在Rt 三角形ABC 中，∠C=90°，CD 为斜边AB 上的高 结论：222ACD BCD ABC AC AD ABBC BD AB CD AD BD∆∆∆===∽∽9、位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线交于一点，对应边平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，对应顶点所在直线的交点叫做位似中心。

这时的相似比又叫位似比。

性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。

由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。

利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。

第二十六章 解直角三角形1、锐角三角函数1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A 的正弦记作__sinA _.2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A 的余弦记作_cosA _ .3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A 的正切记作__tanA _.正弦：caA A =∠=斜边的对边sin余弦：cbA A =∠=斜边的邻边cos ； 正切：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan 。

邻边斜边对边a b cCB A2、解直角三角形解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。

除直角外，还有三条边和两个锐角共5个元素，由这五个元素中的已知元素求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

在Rt⑵ABC 中，⑵C=90°，⑵A ，⑵B ，⑵C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：⑵A+⑵B=90° （3）边角之间的关系：sin ,cos ,tan ;sin ,cos ,tan a b a b a bA A AB B B c c b c c a======3．解直角三角形的类型一锐角与对边(如∠A ，a ) ∠B ＝90°－∠A ；b ＝atan A； c ＝a sin A斜边与一锐角(如c ，∠A )∠B ＝90°－∠A ；a ＝c ·sin A ； b ＝c ·cos A4、锐角三角函数的实际应用1．日常生活中的很多问题可以转化为直角三角形的问题，因此，锐角三角函数在解决实际问题中有较大的作用，在应用时要注意以下几个环节：(1)审题，认真分析题意，将已知量和未知量弄清楚，找清已知条件中各量之间的关系，根据题目中的已知条件，画出它的平面图或截面示意图．(2)明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等． (3)是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形进行 解决．(4)确定合适的边角关系，细心推理计算．(5)在解题过程中，既要注意解有关的直角三角形，也应注意到有关线段的增减情况．5、锐角三角函数实际应用中的相关概念 (1)仰角、俯角如图⑵，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．(2)坡度(坡比)、坡角如图⑵，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫坡面的坡度(或坡比)，即i ＝tan α＝hl ，坡面与水平面的夹角α叫坡角．(3)方向角指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．如图⑵，OA 是表示北偏东60°方向的一条射线．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。