材料力学第四章
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学课件第四章
3kN
C
2kN m
1kN m
A D
FA
6kN m
E
F
B
FB
G
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
4.3
例 题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、 4－4和5－5各截面上的内力
6kN m
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
A
C
2m
FA 13kN
3m
3m
FB 5kN
A
35kN
B
FS x1 20kN
M x1 20x1
0 x1 1 0 x1 1
1m
15
4m
2.5
25kN
FS x2 25 10 x2
25
2 x2 M x2 25 x2 10 2
20
20
kN
0 x2 4
0 x2 4
D
FD
MA
FB
B A
FA
7 qa 4
a
C
a
a
7 qa 4 5 2 qa 4 1 qa 4
7 2 M A qa 4
kN
1 qa 2 32
7 2 qa 4
1 2 qa 4
kNm
例题 4.13
F
叠加法作弯矩图
F
q
B
q
＋
A
A
l
F
l
B
A
l
B
qL F+qL
1/2qL2+FL 1/2qL2
材料力学 第四章 本构关系
W t
ijij
(9)
其中 ij 为应变张量对时间的变化率，称为应变率张量。
§4-1 热力学定律与应变能
令初始状态的应变能W=0，则
W Wdt d t
ij (t )
t0
ij (t0 ) ij ij
(10)
W
ij
ij
(11)
此式给出了弹性物质的应力-应变关系，称之为格林公式。
§4-2 各向异性材料的本构关系
y C12 x C22 y C23 z
具有这种应力-应变关系的 材料称为正交各向异性弹
z C13 x C23 y C33 z
性材料，这时独立的弹性 常数只有9个。
yz C44 yz zx C55 zx
xy C66 xy
(17)
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
x ' y, y ' x, z ' z
由应力分量和应变分量之间的坐标变换得 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy 'x y , 'y x, 'z z 'yz zx , 'zx yz , 'xy xy
§4-3 具有弹性对称面的弹性材料的本构关系
（四）完全弹性对称与各向同性材料
其中kk xx yy zz ， 和 称为拉梅系数。
（20）称为各向同性线性弹性介质的广义胡克定律。 各向同性线性弹性材料只有2个独立的弹性常数； 伴随正应变只有正应力，同时伴随切应变也只有切 应力。 由（20）可得
第四章 本构关系
静力学问题和运动学问题是通过物体的材 料性质联系起来的。力学量（应力，应力 速率等）和运动学量（应变，应变速率等） 之间的关系式称之为本构关系或本构方程。 本章仅讨论不考虑热效应的线弹性本构关 系——广义胡克定律。
材料力学第四章 扭转
max
T GI p
180
(/m)
×
例５ 图示圆轴，已知mA =1kN.m， mB =3kN.m， mC
=2kN.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；[]=60MPa，[ ]=0.3°/m，
G=80GPa；试选择该轴的直径。
mA
mB mC 解： ⑴按强度条件
A
l1
B l2 C
max
9.55
200 300
6.37
(kN m)
×
n D
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
②求扭矩（扭矩按正方向假设）
m 0 , T1 m2 0, T1 m2 4.78kN m m 0; T2 m1 m2 0
T2 m2 m3 (4.78 4.78) 9.56kN m
T
2 r02
t
T 2 A0
t
T
A0为平均半径所作圆的面积。
×
三、切应力互等定理：
´
a
b
dy
´
c
z
dx
d t
mz 0; t dxdy t dxdy
'
这就是切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个截面
上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平
面的交线，其方向或共同指向交线，或共同背离交线。
垂直，则杆件发生的变形为扭转变形。
A
B O
A
BO
m
m
——扭转角（两端面相对转过的角度）
——剪切角，剪切角也称切应变。
×
§4–2 扭转的内力—扭矩与扭矩图
一、扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成
结果为一合力偶，合力偶的力偶 矩称为截面的扭矩，用T 表示之。 m
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
材料力学第4章扭转变形
1 1
T
1 1
T
1
Me
+
B
x
T Me
Me
B
T图 x
例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
2 T
1
1 T
1
材料不同），可见在两
杆交界处的切应力是不
同的。
d
D
§4. 7 非圆截面杆扭转的概念
对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面 杆的扭转。
试验现象
横向线变 成曲线
横截面发生 翘曲不再保 持为平面
平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力
自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力
T
max
O
max
D
d
T
Ip
max
T Wp
圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp —几何性质 实心圆截面：
d
O
d
O
d D d
Ip
2 d A πd 4
A
32
Wp
Ip d /2
πd 3 16
Ip
2 d A πD4
A
32
1 4
Wp
Ip D /2
πD 3 16
1 4
4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计
B 0
按叠加原理：
B BB BM 0
BB、BM分别为MB、Me 引起的在杆端B的扭转角。
线弹性时，物理关系(胡克定理)为
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学第四章截面的几何性质
在材料力学中，剪切中心是剪切应力作用下截面 发生剪切变形的点。通过计算截面的形心，可以 近似确定剪切中心的位置。
确定截面的质心
质心是截面质量的中心点，通过计算截面的形心， 可以近似确定质心的位置，这对于动力学分析和 稳定性分析非常重要。
03 主轴和主惯性矩
主轴的定义与计算
主轴
截面上的各点处到截面形心距离最大的方向。
预测物体的变形和破坏
通过分析截面的几何性质，可以预测 物体在不同受力条件下的变形和破坏 行为，为工程实践提供指导。
02 截面的面积和形心
截面面积的定义与计算
截面面积的定义
截面面积是指通过截面边界轮廓 线围成的区域面积。
截面面积的计算
可以通过测量截面轮廓线的长度 ，然后使用公式计算面积。对于 不规则形状，可以使用微元法或 积分法计算。
截面几何性质的应用前景
随着科技的发展和工程需求的提高，截面几何性质在材料力学中的重要性将更加凸 显，其在航空航天、交通运输、建筑等领域的应用将更加广泛。
随着新型材料的不断涌现，截面几何性质的研究将有助于深入了解这些材料的力学 行为，为新型材料的优化和应用提供理论支持。
随着数值模拟和计算机技术的发展，截面几何性质的研究将更加精确和深入，有助 于提高工程结构的分析和设计水平。
在实际工程中，主轴和主惯性矩也是 进行有限元分析时的重要输入参数， 用于模拟结构的力学行为并优化设计。
在结构设计时，根据主轴和主惯性矩 可以合理地选择材料的类型和截面的 形状，以提高结构的刚度和稳定性。
04 极惯性矩和惯性积
极惯性矩的定义与计算
极惯性矩
截面对任意直径的极惯性矩等于截面 面积与该直径的平方的乘积。
截面是确定物体受力分布和变形程度 的关键因素，通过研究截面的几何性 质，可以深入了解物体的力学性能， 为工程设计和安全评估提供依据。
《材料力学》第四章 扭转
第四章 扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
4、钻井中的钻杆工作时受扭。
二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形的杆。
§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。
外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。
外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。
作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转 一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径） 实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。
⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。
材料力学04
第四章 应力应变关系前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。
应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。
这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。
本章开始将研究材料的性质。
这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。
下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。
作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
§4-1 低碳钢的拉伸试验在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。
事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。
它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。
低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。
这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。
固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。
力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。
材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。
这种试验通常是在常温（室温）下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。
805l d =一、低碳钢拉伸试验按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。
图4－1所示是一根中间直径为d 的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。
试件中间取一段长度为l 的等直部分作为标距。
对圆截面标准试件，规定标距l 与直径d 的关系为 ，或，分别称为10倍试件和5倍试件。
试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为10l d==l和l =，其中A 为试件的横截面面积。
材料力学课件ppt-4弯曲内力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
材料力学课件 第四章扭转
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
材料力学课件 第四章 扭 转
3）结论：
①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相 对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
第四章
扭转
取微端变形
第四章
微小矩形单元体如图所示：
①无正应力
扭转
´
a
b
dy
②横截面上各点处，只产生垂
直于半径的均匀分布的剪应力 ， 沿周向大小不变，方向与该截面的
第四章
扭转
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这
种应力状态称为纯剪切应力状态。
3.剪切虎克定律：
第四章
T=m
扭转
T ( 2 A 0t)
( L ) R
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时 （τ ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。
第四章
扭转
G
功率 角速度
每分钟 的转数
时间
60103 P( KW ) P M 9549 ( N m) 2n(r / min) n
第四章
3.扭矩及扭矩图
扭转
（1）扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记“T”。 （2） 截面法求扭矩
m
x
0
m m
T m 0 T m
（3）扭矩的符号规定：
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
第四章
②求扭矩（扭矩按正方向设）
扭转
m2 1 m3 2 m1 3 m4
材料力学 第四章 弯曲内力
3－3截面
Fy 0; FA Fs 3 P 0
Fs3 7kN
M3 0; M 3 FA 2 0
M 3 10kN.m
F=12kN
1 A1
23 2D 3
2m
2m
q=2kN/m 4
B C4 2m
2
A FA
2 Fs2 M2
P=12kN
A
3 3
M3
FA
Fs3
F=12kN
建立剪力与弯矩方程，画剪力与弯矩图
解：1. 支反力计算
FCy qa,
MC
qa2 2
2. 建立剪力与弯矩方程
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
AB 段
BC 段
FS1 qx1
M1
qx12 2
(0 x1 a) (0 x1 a)
FS2 qa (0 x2 a)
M2
qax2
qa2 2
(0 x2 a)
3. 画剪力与弯矩图
剪力图：
FS1 qx1
FS2 qa
弯矩图：
M1
qx12 2
M2
qax2
qa2 2
剪力弯矩最大值:
FS max qa
简单静定梁：
悬臂梁
简支梁
外伸梁
§4-2 剪力和弯矩
FS－剪力
M－弯矩
剪力－作用线位于所切横截面的内力。 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩。
第四章 材料力学性能(材料科学基础)
对于某一确定的点，其应力由K1决定，K1越 大，则应力场各点的应力也越大。
按线弹性断裂力学的分析，裂纹尖端应力场强度因子K1的一般表达式为： K1 = Yσa1/2（MN/m3/2）
• δ=ΔL/L0=[(L-L0)/L0]×100% （是塑性“伸长”的度量） • 式中L0为试样原始标距长度；L为试样断裂后标距的长度。 •
ψ=ΔAf/A0=[(A0-Af)/A0] ×100% （是塑性“收缩”的度量） • 式中A0为试样原始截面积；Af为试样断裂处的截面积。
• 材料的延伸率和断面收缩率数值越大，表示材料的塑性越好。 塑性好的材料可以发生大量塑性变形而不被破坏，这样当受力 过大时，由于首先产生塑性变形而不致发生突然断裂，比较安 全。
材料的刚度和零件的刚度不是一回事，零件刚度的大小取决于零件的 几何形状和材料的弹性模量。
（2）弹性行为 • 弹性变形的特点是当载荷卸除后，试样的尺寸形状完全回复到原始状态。 • 根据材料的不同，其变形行为可分为三类：线弹性、非线弹性以及滞弹性。
理想的线弹性行为，应力 非线性弹性行为，如橡胶
和应变之间满足虎克定律。 之类的变形能力极好的弹
反映，用焦耳（J）来表示 • 在强度相等的情况下，延性材料断裂时所需要的能量比脆
性材料多，因此它的韧性也比脆性材料高。 • 评定材料韧性高低的方法，最常用的有两种： ➢ 一是用冲击试验所得的冲击韧性； ➢ 二是用断裂力学方法与试验测得的断裂韧性。
冲击韧性
一只重摆锤从高度h开始，沿着弧形轨迹向下摆动，冲击到试样上并把试 样打断，最后达到一个比较低的高度h` 。知道摆锤的初始高度h和最终高 度h`，就能算出势能差别。这一差别就是试样在断裂过程中所吸收的冲击 能Ak（冲击总功），如果除以缺口处试样的截面积，即得材料的冲击韧 性，用αk表示，单位为J/cm2。
材料力学课件-第四章 扭转-薄壁杆件的扭转
例2：某等壁厚d闭口薄壁杆受扭矩T，中心线周长S，轴的最大扭转切应力与扭转变形:(1)在 S/2中心线长度上壁厚增加一倍到2d；(2)在很小的局部受损伤壁厚减薄到d/2。
解：(2)第2种情形
局部减薄对积分值影响甚微，可以忽略不计。
最大应力增加一倍。
定性研究结论：强度是局部量，刚度是整体量。
例3：比较扭转切应力与扭转变形
解：
R0
R0
比较
（1）闭口薄壁圆管
（2）开口薄壁圆管
(狭长矩形)
作业 4-22 4-27 4-35 4-36
谢谢
薄壁圆管
思考：公式的精度？
在线弹性情况下，精确解为
思考：公式（1）和（2）的适用范围？
(1)
(2)
误差
T
dx
a
b
c
d
二、闭口薄壁杆的扭转变形
dx
ds
分析方法讨论:
由静力学、几何和物理三方面求解所遇到的困难：几何形状复杂。
新方法探索：
尝试能量法。
一未知量
无未知量
问题可解
二、闭口薄壁杆的扭转变形
假设：切应力沿壁厚均匀分布，其方向平行于中心线 假设依据：
T
dx
a
b
c
d
a
b
c
d
2
1
dx
1
1
2
2
薄，切应力互等定理
利用切应力互等定理，转化为研究纵向截面切应力，利用平衡方程求解.
截面中心线所围面积 的2倍
思考：O点位置可否任选，如截面外？
ds
o
ds
第四章 材料力学概述
4.5 应力、应变及其相互关系
例题：两边固定的薄壁板，边变形后 ab 和 ad 两边保持
为直线a点沿垂直方向向下位移 0.025mm。试求 ab 边 的平均应变和ab， ad 两边夹角的切应变。
250
b
200
a d
0.025mm
a
4.5 应力、应变及其相互关系
250
b
200
a d
0.025mm
荷载未作用时 F 荷载去除后 荷载作用下
4.1 材料力学的研究内容
对构件在荷载作用下正常工作的要求: Ⅲ. 具有足够的稳定性要求——对于理想中心受压杆件，指构件 在荷载作用下保持原有的直线平衡形式的能力，不丧失稳定。
4.1 材料力学的研究内容 实际工程中
在满足上述强度、刚度和稳定性要求的同时，还 须尽可能合理选用材料和降低材料消耗量，以节约投 资，即解决安全与经济的矛盾。
要多小 有多小 p
k
A
4.5 应力、应变及其相互关系
单向应力：微体仅 在一对相互平行的 截面上承受正应力
纯剪切：微体仅 承受切应力
微体两种最基本的受力形式
4.5 应力、应变及其相互关系
M
y
0
dxdy dz 'dydz dx 0
面积
力
面积
力
'
拉 压 实 验 表 明
在弹性范围内，有变形 x 与外 力 F 成正比的弹性定律。
它是由英国力学家胡克（Robert Hooke, 1635-1703) 于1678年发现的，被称作胡克定律。 推广
4.5 应力、应变及其相互关系
单 向 应 力 实 验 表 明
应力与应变也有的类似关系，即 应力与应变成比例关系，也被叫 做 Hooke’s law。 弹性范围内，正应力与正应 变成正比： 引入比例常数E，于是可得：
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一、 传动轴如图19-5（a ）所示。
主动轮A 输入功率kW N A 75.36=，从动轮D C B 、、输出功率分别为kW N kW N N D C B 7.14,11===，轴的转速为n =300r/min 。
试画出轴的扭矩图。
解 （1）计算外力偶矩：由于给出功率以kW 为单位，根据（19-1）式：117030075.3695509550=⨯==n N M A A (N ·m )3513001195509550=⨯===n N M M B C B (N ·m )4683007.1495509550=⨯==n N M D D (N ·m )（2）计算扭矩：由图知，外力偶矩的作用位置将轴分为三段：AD CA BC 、、。
现分别在各段中任取一横截面，也就是用截面法，根据平衡条件计算其扭矩。
BC 段：以1n M 表示截面Ⅰ－Ⅰ上的扭矩，并任意地把1n M 的方向假设为图19-5（b ）所示。
根据平衡条件0=∑x m 得：01=+B n M M3511-=-=B n M M (N ·m )结果的负号说明实际扭矩的方向与所设的相反，应为负扭矩。
BC 段内各截面上的扭矩不变，均为351N ·m 。
所以这一段内扭矩图为一水平线。
同理，在CA 段内：M n Ⅱ＋0=+B C M MⅡn M = －B C M M -= －702(N ·m ) AD 段：0=D n M M －Ⅲ468==D n M M Ⅲ(N ·m )根据所得数据，即可画出扭矩图[图19－5（e ）]。
由扭矩图可知，最大扭矩发生在CA 段内，且702max =n M N ·m二、 如图19-15所示汽车传动轴AB ，由45号钢无缝钢管制成，该轴的外径D =90mm ，壁厚t =2.5mm ，工作时的最大扭矩M n ＝1.5kN·m ，材料的许用剪应力][τ＝60MPa 。
求（1）试校核AB 轴的强度；（2）将AB 轴改为实心轴，试在强度相同的条件下，确定轴的直径，并比较实心轴和空心轴的重量。
解 （1）校核AB 轴的强度：944.0905.22902=⨯-=-==Dt D D d α(a )(c )m(d ) (e )图19-5(b ))(29400)944.01(1690)1(1634343mm D W n =-⨯=-=παπ轴的最大剪应力为 ：69max max 105110294001500⨯=⨯==-n n W M τ(N /m 2)＝51MPa ﹤[τ] 故AB 轴满足强度要求。
（2）确定实心轴的直径：按题意，要求设计的实心轴应与原空心轴强度相同，因此要求实心轴的最大剪应力也应该是 ：)(51max MPa =τ设实心轴的直径为1D ，则631max 1051161500⨯===D W M nn πτ )(1.53)(0531.01051161500361mm m D ==⨯⨯⨯=π在两轴长度相同，材料相同的情况下，两轴重量之比等于其横截面面积之比，即 31.01.538590222＝－＝实心空心A A三、 如图19-16所示的阶梯轴。
AB 段的直径1d =4cm ，BC 段的直径2d =7cm ，外力偶矩1M ＝0.8kN ·m ，3M =1.5kN ·m ，已知材料的剪切弹性模量G ＝80GPa ，试计算AC ϕ和最大的单位长度扭转角max θ。
解 （1）画扭矩图：用截面法逐段求得：8.011==M M n kN ·m 5.132-=-=M M n kN ·m 画出扭矩图[图19-16（b ）]（2）计算极惯性矩：1.25324324411=⨯==ππd I P （cm 4）图19-15（a ）图19-16M （kN .m （b ）236327324422=⨯==ππd I P （cm 4）（3）求相对扭转角AC ϕ：由于AB 段和BC 段内扭矩不等，且横截面尺寸也不相同，故只能在两段内分别求出每段的相对扭转角AB ϕ和BC ϕ，然后取AB ϕ和BC ϕ的代数和，即求得轴两端面的相对扭转角AC ϕ。
0318.0101.251080800108.0436111=⨯⨯⨯⨯⨯==p n AB GI l M ϕ（rad ） 0079.01023610801000105.1436222-=⨯⨯⨯⨯⨯-==p n BCGI l M ϕ（rad ） 0239.00079.00318.0=-=+=BC AB AC ϕϕϕ（rad ）=1.37°(4)求最大的单位扭转角max θ：考虑在AB 段和BC 段变形的不同，需要分别计算其单位扭转角。
AB 段 m m rad l AB AB /28.2)/(0398.08.00318.01︒====ϕθ BC 段 m m rad l BC BC /453.0)/(0079.00.10079.02︒-=-=-==ϕθ 负号表示转向与AB θ相反。
所以 max θ＝AB θ＝2.28º/m四、 实心轴如图19-17所示。
已知该轴转速n ＝300r /min ，主动轮输入功率C N =40kW ，从动轮的输出功率分别为A N =10 kW ，B N =12 kW ，D N =18 kW 。
材料的剪切弹性模量G ＝80GPa ，若[]τ＝50MPa ，[]θ＝0.3º/m ，试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
解 （1）求外力偶矩：3183001095509550=⨯==n N M A A (N ·m )3823001295509550=⨯==n N M B B (N ·m )12733004095509550=⨯==n N M C C ( N ·m )5733001895509550=⨯==n N M D D ( N ·m )(2) 求扭矩、画扭矩图：3181-=-=A n M M (N ·m )7003823182-=--=--=B A n M M M (N ·m ) 5733==D n M M (N ·m )根据以上三个扭矩方程，画出扭矩图[图19-17（b ）]。
由图可知，最大扭矩发生在BC 段内，（a ）M (N·m 图19-17( b )其值为：700max=nM N ·m因该轴为等截面圆轴，所以危险截面为BC 段内的各横截面。
（3）按强度条件设计轴的直径：由强度条件：nn W Mmax max =τ≤][τ163d W n π=得 [])(5.4150107001616333maxmm M d n =⨯⨯⨯=≥πτπ（4）按刚度条件设计轴的直径：由刚度条件：πθ︒⨯=180max max p n GI M ≤][θm /︒ 324d I p π=得d ≥[])(2.64103.0108018010700321803243334max mm G M n =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-πθπ 为使轴同时满足强度条件和刚度条件，所设计轴的直径应不小于64.2mm 。
五、 油泵分油阀门弹簧工作圈数n ＝8，轴向压力P ＝90N ，簧丝直径d =2.25mm ，簧圈外径1D =18mm ，弹簧材料的剪切弹性模量G ＝82GPa ，[]τ＝400MPa 。
试校核簧丝强度，并计算其变形。
解（1）校核簧丝强度：簧丝平均直径：d D D -=1＝18－2.25＝15.75（mm ） 弹簧指数：10725.275.15<===d D c由表19-1查得弹簧的曲度系数k =1.21，则][)(38025.275.1590821.1833max τππτ<=⨯⨯⨯==MPa d PD k 该弹簧满足强度要求。
（2）计算弹簧变形： )(7.1025.21082875.15908843343mm Gdn PD =⨯⨯⨯⨯⨯==λ思 考 题19-1 说明扭转应力，变形公式⎰==l o pn n dx GI MI M ϕρτρρ，的应用条件。
应用拉、压应力变形公式时是否也有这些条件限制？19-2 扭转剪应力在圆轴横截面上是怎样分布的？指出下列应力分布图中哪些是正确的？19-3 一空心轴的截面尺寸如图所示。
它的极惯性矩I p 和抗扭截面模量W n 是否可按下式计算？为什么？）（44132απ-=D I p )1(1643απ-=D W n （Dd=α） 19-4 若将实心轴直径增大一倍，而其它条件不变，问最大剪应力，轴的扭转角将如何变化？19-5 直径相同而材料不同的两根等长实心轴，在相同的扭矩作用下，最大剪应力max τ、扭转角ϕ和极惯性矩P I 是否相同？19-6 何谓纯剪切？何谓剪应力互等定理？习 题19-1 绘制图示各杆的扭矩图。
19-2 直径为D =5cm 的圆轴，受到扭矩n M =2.15kN ·m 的作用，试求在距离轴心1cm处的剪应力，并求轴截面上的最大剪应力。
19-3 已知作用在变截面钢轴上的外力偶矩1m =1.8kN ·m ，2m =1.2kN ·m 。
试求最大剪应力和最大相对转角。
材料的G =80GPa 。
19-4 已知圆轴的转速n =300r /min ，传递功率330.75kW ，材料的][τ=60MPa ，G =82GPa 。
要求在2m 长度内的相对扭转角不超过1º，试求该轴的直径。
19-5 图示一圆截面直径为80cm 的传动轴，上面作用的外力偶矩为1m =1000N ·m ，2m =600N ·m ，3m =200N ·m ，4m =200N ·m ，（1）试作出此轴的扭矩图，（2）试计算各段轴内的最大剪应力及此轴的总扭转角（已知材料的剪切弹性模量G =79GPa ）；（3）若将外力偶矩1m 和2m 的作用位置互换一下，问圆轴的直径是否可以减少？思考题19-3图(b ) (c )M n(d )(a ) 思考题19-2图题19-1图(c )d )(b )(a)2kN·m 1kN·m 4kN·m 1kN·m19-6 发电量为15000kW 的水轮机主轴如图所示，D =55cm ，d =30cm ，正常转速n =250r /min 。
材料的许用剪应力][τ=50MPa 。
试校核水轮机主轴的强度。
19-7 图示AB 轴的转速n =120r /min ，从B 轮输入功率N =44.15kW ，此功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C ，另一半由水平轴H 输出。
已知D 1=60cm ，D 2=24cm ，d 1=10cm ，d 2=8cm ，d 3=6cm ，][τ=20MPa 。