2020临沂高三模拟试题数学

2020年临沂市高三模拟试题
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合2
{2},{21},x
A x x
B x =∈<=>Z 则=B A
A ．{1}
B ．{1,2}
C ．{0,1}
D ．{1,0,1}- 2．已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为(1,1)-，(0,1)，则
1
2
z z 的共轭复数为 A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i --
D ．1i -
3. 若a ∈R ，则“||1a >”是“3
1a >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知向量,,a b c ，其中a 与b 是相反向量，且=a +c b ，3,3-=-（）a c ，则⋅a b =
A.
B.
2- C. 2 D. 2-
5．已知0.5
5ln π,log 2,e
x y z -===，则
A. x y z >>
B. x z y >>
C. z y x >>
D. z x y >> 6．已知函数21()2
21,[1,4]f x x x x =
-+∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数
||()x b g x a +=的大致图象为
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸（单位换算：1立方丈=106立方寸），
一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子 A.200两 B.240两
C.360两
D.400两
8．点M 为抛物线241x y =
上任意一点，点N 为圆04
3
222=+-+y y x 上任意一点，若函 数
()log (2)2(1)a f x x a =++>的图象恒过定点P ,则MN MP +的最小值为
A.
52 B. 114 C. 3 D. 13
4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．下列结论正确的是
A. 若tan 2α=，则3
cos 25
α=
B. 若sin cos 1αβ+=，则22
1sin cos 2
αβ+≥
C.“00,sin x x ∃∈∈Z Z ”的否定是“,sin x x ∀∈∉Z Z ”
D. 将函数|cos 2|y x =的图象向左平移π
4
个单位长度，所得图象关于原点对称
10．某同学在微信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的
折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是 A ．全国高考报名人数逐年增加 B ．2018年全国高考录取率最高 C ．2019年高考录取人数约820万
D ．2019年山东高考报名人数在全国的占比最小
11．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,3πb c A C ==+=，则下列
结论正确的是
A ．cos C =
B ．sin 3B =
C ．3a =
D ．ABC S =△
12．如图，点E 为正方形ABCD 边CD 上异于点,C D 的动点，将ADE △沿AE 翻折成
SAE △，在翻折过程中，下列说法正确的是
A ．存在点E 和某一翻折位置，使得S
B SE ⊥ B ．存在点E 和某一翻折位置，使得AE //平面SBC
C ．存在点E 和某一翻折位置，使得直线SB 与平面ABC 所成的角为45
D ．存在点
E 和某一翻折位置，使得二面角S AB C --的大小为60
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.三名旅游爱好者商定在疫情结束后前往武汉、宜昌、黄冈3个城市旅游，如果三人均等可能的前往上述3个城市之一，那么他们恰好选择同一个城市的概率是__________.
14.若2
1)n
x 展开式中的各项系数的和为1024，则常数项为_________.
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线方程为y =，左、右焦点分别为12,F F ，
点A 在双曲线上，且212AF F F ⊥，则该双曲线的离心率为______,12sin AF F ∠=______. （本题第一空2分，第二空3分.）
16.已知函数32232,0,
()e , 0.x x x x f x x x ⎧-++≥=⎨-<⎩
若方程()0f x a +=有两个不相等的实根，则实数
a 取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）
记n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知n n n n S a a a 432,02-=-<. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n a b =，求满足122311
7
n n b b b b b b ++++<
的正整数n 的最大值.
18．（12分）
已知函数π
()sin()(0,0)2
f x x m ωϕωϕ=++>-
<<满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：①3
2
ω=
，②周期πT =，③过点（0，0），④π3()32f =．
（1）写出所满足的3个条件的序号（不需要说明理由），并求()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离．
19．（12分）
如图，斜三棱柱111C B A ABC -中，ABC △是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，
1
AO ABC ⊥平面，点M 在AO 上，MO AM 2=，N 为1OC 与C B 1的交点，且1BB 与平面
ABC 所成的角为π
4
.
（1）求证：11//A ACC MN 平面； （2）求二面角11A OC B --的正弦值.
20．（12分）
动点P 在椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A ，点B 满
足
3AB AP =，已知点B 的轨迹是过点)3,0(Q 的圆．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(M ，N 在x 轴的同侧），12,F F 为椭圆的左、
右焦点，若12//F M F N ，求四边形12F F NM 面积的最大值．
21．（12分）
2020年新冠肺炎疫情暴发以来，中国政府迅速采取最全面、最严格、最彻底的防控举措，坚决遏制疫情蔓延势头，努力把疫情影响降到最低，为全世界抗击新冠肺炎疫情做出了贡献． 为普及防治新冠肺炎的相关知识，某高中学校开展了线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从大批参与者中随机抽取200名幸运者，他们的得分（满分100分）数据统计结果如下图：
（1）若此次知识竞答得分X 整体服从正态分布，用样本来估计总体，设σμ,分别为这200名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求σμ,的值（σμ,的值四舍五入取整数），并计算)7937(<<X P ；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家积极参与这次活动，对参与此次知识竞答的幸运者制定如下奖励方案：得分低于μ的获得1次抽奖机会，
得分不低于μ的获得2次抽奖机会．假定每次抽奖中，抽到18元红包的概率为
3
2
，抽到36元红包的概率为31
．已知高三某同学是这次活动中的幸运者，记Y 为该同学在抽奖中获得红
包的总金额，求Y 的分布列和数学期望，并估算举办此次活动所需要抽奖红包的总金额． 参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈；
(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈．
22．（12分）
已知函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x bx b =
++，,a b ∈R . （1）设)()(x xf x F =，求()F x 在]2,[a a 上的最大值；
（2）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4
e 2
a b +≤.
高三模拟考试数学试题答案及评分标准
2020.04
说明：
一、本解答只给出了一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准酌情赋分.
二、当考生的解答在某一步出错误时，如果后继部分的解答未改该题的内容与难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数一半；如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题：每小题5分，满分40分
1．A 2．B 3．B 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A 二、多项选择题：每小题5分，满分20分 9．BC 10．BCD 11．AD 12．ACD 三、填空题：每小题5分，满分20分
13．
19 14．405 15 12
16．2
{|62,4e }a a a --<≤-=或 四、解答题：满分70分
17.解：（1）当1n =，2
2
11111234,230,a a a a a -=-+-=--------------------------------1分
又10, 3.n a a <∴=------------------------------------------------------------------------------------------------2分
n n n S a a n 43222
-=-≥时，当， ①
112
1432----=-n n n S a a ，②----------------------------------------------------------------3分
① —②整理得，21-=--n n
a a ，----------------------------------------------------------------------4分
32(1),2 1.n n a n a n ∴=---∴=-------------------------------------------------------------------------5分
（2）因为1n n a b =，所以1
21
+-=n b n ，---------------------------------------------------------------6分 所以11111
()(21)(23)22123
n n b b n n n n +=
=-++++，--------------------------------------------7分
所以12231111111
1
111()()23557
2123
2323
n n b b b b b n n n b +++
+=
-+-++
-
=
-+++，---8分 9,71)32131(21<<+-n n 解得令，-----------------------------------------------------------------------------9分 所以n 的最大值为8． ----------------------------------------------------------------------------------------10分 18．解：（1）所满足的三个条件是:②③④，-----------------------------------------------------------1分
()f x 的周期πT =，2ω=∴，()sin(2)f x x m ϕ=++∴，---------------------------------2分
又过点(0,0)，且π3()32f =
，π3
0,)2
m m ϕϕ∴=+=2sin +sin(
+3，--------------------------3分
2π3
sin(
)sin 32ϕϕ∴+-=， 13cos sin sin 222
ϕϕϕ--=，------------------------------4分
133(cos )2
2
ϕϕ=，πsin()62ϕ∴-=
，---------------------------------------------5分 又π02ϕ-
<<， π
6
ϕ∴=-， -----------------------------------------------------------------6分 又11
sin 0,0,22
m m m ϕ+=+=∴-
∴=，-------------------------------------------------------------7分 π1
()sin(2)62
f x x ∴=-+． ----------------------------------------------------------8分
注：如果学生选取条件①③④，
3
2ω=，3()sin()2
f x x m ϕ=++∴， ---------------------------------------------------------1分
又过点（0，0），且π3()3
2
f =
， π30,)2m m ϕϕ∴=+=sin +sin(+2，π3
)2ϕϕ∴+=sin(-sin 2，-------------------------------2分
3π3
cos ,sin()242
ϕϕϕ∴=-=-sin ，------------------------------------------------------------3分
又
3
22
<
，故此种选择不满足． ---------------------------------------------------------------4分 第（1）问学生选条件①③④求解，能正确做到以上步骤的可给4分． （2）由π1()sin(2)162f x x =-+
=，得π1
sin(2)62
x -=，------------------------------------9分 ππ22π,66x k ∴-
=+或π5π
22π,66
x k k -=+∈Z ，---------------------------------------------10分 ππ
π,π,62
x k x k k ∴=+=+∈或Z ， --------------------------------------------------11分
所以，函数()f x 的图象与直线1y =相邻两个交点间的最短距离为
πππ
263
-=．----12分
19．（1）证明：连结1AC ，----------------------1分
O 为BC 的中点，11//OC B C ，
1111
2
ON OC NC B C ==， 又MO AM 2=，11
2
OM ON AM NC ∴
==， 1//MN AC ∴. ----------------------------------------2分
又11111,MN ACC A AC ACC A ⊄⊂平面平面，-------------------------------------------------------3分 所以，11//A ACC MN 平面. -------------------------------------------------------------------------------4分
（2）因为ABC △是边长为2的正三角形，O 为BC 的中点，1
AO ABC ⊥平面， 所以，1,,AO BC AO 两两垂直，以1,,OC OA OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. -------------------------------------------------------------------------------------5分
1BB 与平面ABC 所成的角为π4，又11//AA BB ，1AA ∴与平面ABC 所成的角为π
4
，
又1
AO ABC ⊥平面，1AA ∴与平面ABC 所成的角为1A AO ∠，即1π
4
A AO ∠=.-------6分 又ABC △是边长为2的正三角形，O 为BC
的中点，1
AO AO ==
由题意知，11(1,0,0),(1,A B C -，----------------------------------------------7分 所以，11(0,0,3),(1,0,0),(1,3,3)OA OB OC ==-=-，----------------------------------8分 设平面11AOC 的法向量为1111(,,)x y z =n ，
所以，111100OA OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即111130330
z x y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，取1(3,1,0)=n ，-----------------------9分
设平面1BOC 的法向量为2222(,,)x y z =n ，
由22100
OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得22220330x x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取2(0,1,1)=n ，-----------------------------10分
所以12121212
cos |4
22⋅<>=
==n n n ,n |n ||n ，-------------------------------------------------------11分
设二面角11A OC B --的大小为θ，2212214sin 1cos ,1(
)44
θ∴=-<>=-=n n
所以二面角11A OC B --的正弦值为
14
.------------------------------------------------------------12分
20．解：（1）设点),(y x B ，),(00y x P ， 则点)0,(0x A ，0(,)x x y AB =-，
0(0,)y AP =，----------------------------------------------------1分
∵3AB AP =，∴000
3x x y y -=⎧⎨=⎩，∴003
x x y
y =⎧⎪⎨=
⎪⎩
，--------------------------------------------------------2分 ∵点),(00y x P 在椭圆C 上，∴22
2219x y a b +=，即为点B 的轨迹方程.-------------------------3分
又∵点B 的轨迹是过)3,0(Q 的圆，∴22
299
19a b b
⎧=⎪⎨=⎪⎩，---------------------------------------------------4分 解得2
291
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2219x y +=. --------------------------------------------------------5分
（2）如图，延长1MF 交C 于点M '， 由对称性可知：12||||F M NF '=，-----------6分 由（1）
可知1(F -）
，2F ）
， 设1(M x ，1)y ，2(M x '，2)y ，直线1MF
的方程为x my =-
由22
19x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩
可得22(9)10m y +--=， 0)9(43222>++=∆m m ，
12229m y y ∴+=
+，12
21
9
y y m =-+，----------------------------------------------------------------------7分 222
12121222223261
||()4(9)949m m y y y y y y m m m +∴-=+-=+=
+++，-------------------------------8分 设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 面积121
(||||)2
S F M F N d =+
21111
(||||)||22
MF M F M F M d MM d S '''=
+==△，----------------------------------------9分 而2212112121
||||2MF M F MF F M F S S S F F y y ''=+=-
△△△---------------------------------------10分
S ∴222
22216112112122=329911
22
2842
m m m m m m +⨯+=⨯⨯==++++
+，---------------11分
m=.
故四边形
12
F F NM面积的最大值为3．-------------------------------------------------------------------12分
21.解：（1）
20()350.545355465575 4.58529511300,
E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
()65.
E X
∴=
即65.
μ= -----------------------------------------------------------1分2222
()(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25
D X=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯
222
(7565)0.225(8565)0.1(9565)0.05210
+-⨯+-⨯+-⨯=. --------------2分由196<2
σ<225，则14<σ<15，而2
14.5210.5210
=>，故σ≈14，--------------------3分则X服从正态分布2
(65,14)
N， --------------------------------------------4分
(22)() (3779)(2)
2
P X P X
P X P X
μσμσμσμσ
μσμσ
-<<++-<<+ <<=-<<+=
0.95450.6827
0.8186.
2
+
==-----------------------------------------------6分(2) Y的取值为18,36,54,72.------------------------------------------------------------------------------7分由题意知，
1
()()
2
P X P X
μμ
<=≥=，
121111227
(18),(36),
2332323318
P Y P Y
==⨯===⨯+⨯⨯=
12111221111
(54),(72),
233233923318
P Y P Y
==⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯=--------------9分的分布列为
18 36 54 72
1
3
7
18
2
9
1
18
---------------------------------------10分1721
()1836547236
318918
E Y=⨯+⨯+⨯+⨯=，-------------------------------11分估算所需要抽奖红包的总金额为：20036=7200
⨯（元）. ---------------------12分22．解：(1)法一：由题意知0
a>，()ln
F x ax x
=，()ln(ln1)
F x a x a a x
'=+=+，-------1分∴当
1
e
x
<<时，()0
F x
'<；当
1
e
x>时，()0
F x
'>，
∴()
F x的单调减区间是
1
(0,)
e
，单调增区间是
1
(,)
e
+∞. ---------------------------------------2分
从而{}
max
()(),(2)
F x F a F a
=，
于是222(2)()2ln 2ln ln 4F a F a a a a a a a -=-=，------------------------------------------------3分 当14
a >
时，(2)()0F a F a ->，∴2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==， 当104a <≤时，(2)()0F a F a -≤，∴2max ()()ln F x F a a a ==，-------------------------4分 综上，2max 21ln ,0,4()12ln 2,.4
a a a F x a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩---------------------------------------------------------------------5分 (1)法二：由题意知0a >，()ln F x ax x =，()ln (ln 1)F x a x a a x '=+=+，---------------1分 ∴当10e x <<
时，()0F x '<；当1e
x >时，()0F x '>， ∴()F x 的单调减区间是1(0,)e ，单调增区间是1(,)e
+∞. ---------------------------------------2分 ① 当12e a ≤时，即102e
a <≤时，2max ()()ln F x F a a a ==， ② 当1e
a ≥时， 2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==，---------------------------------------------------3分 ③ 当112e e a <<时，此时{}max ()(),(2)F x F a F a =， 又222(2)()2ln 2ln ln 4F a F a a a a a a a -=-=，
所以， 当
114e
a <<时，(2)()0F a F a ->，∴2max ()(2)2ln 2F x F a a a ==， 当112e 4a <≤时，(2)()0F a F a -≤，∴2max ()()ln F x F a a a ==，-----------------------4分 综上，当[,2]x a a ∈时，2max 21ln ,0,4()12ln 2,.4
a a a F x a a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩--------------------------------------------5分 （2）依题意知：21()()()ln 2G x f x g x a x x bx
b =+=+
++， 则2()(0)a x bx a G x x b x x x
++'=++=>，-------------------------------------------------------------6分 因为()G x 存在极大值，所以关于x 的方程20x bx a ++=有两个不相等的正根12,x x ， 不妨设120x x <<，则12x x a =，所以0a >，且10x a <<，-------------------------------7分 当1(0,)x x ∈时， ()0G x '>，()G x 在1(0,)x 上单调递增；
当12()x x x ∈,时， ()0G x '<，()G x 在12()x x ,上单调递减；
当2(,)x x ∈+∞时， ()0G x '>，()G x 在2(,)x +∞上单调递增.
所以()G x 有极大值211111()ln 2
G x a x x bx b =+
++，---------------------------------------------8分 又211bx x a =--，
所以，当10x <<21111()ln 02G x a x x a b =--+<恒成立，---------------------9分
设21()ln 2
v x a x x a b =--+，x ∈， 则2
()a a x v x x x x
-'=-=，---------------------------------------------------------------------------------10分
∵x ∈，∴2
()0a x v x x
-'=>，∴()v x 在上单调递增，
∴3()02v x v a a b <=+≤，∴32
b a a ≤-
∴55ln 222
a a
b a a a a +≤-=-，--------------------------------------------------------------11分 令5()ln (0)22a k a a a a =
->，则511()(1ln )(4ln )222k a a a '=-+=-， 当4(0,e )a ∈时，()0k a '>，所以()k a 在4(0,e )上为增函数；
当4(e ,)a ∈+∞时，()0k a '<，所以()k a 在4(e ,)+∞上为减函数. 所以44444511()(e )e e ln e e 222
k a k ≤=-=， 即4
e 2
a b +≤.----------------------------------------------------------------------------------------------------12分。