结构计算-结构力学2-杆系结构的单元分析
有限元 1-2-杆单元
第2章杆系单元和杆系结构整体分析2.1杆系单元2.2杆系结构整体分析第2章杆系单元和杆系结构整体分析2.1杆系单元2.2杆系结构整体分析对象、任务对象任务对象：研究有限大小的个体(element)对象研究有限大小的个体任务：1. 建立应变与结点位移分量之间的关系;2. 建立应力与结点位移分量之间的关系;33. 建立结点力与结点位移分量之间的关系;4. 把作用在单元内的外载转化成结点荷载，即单元等效节点力。
一、分离单元1 结构离散取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。
相邻两节点间的杆件段是单元。
节点编号时力求单元两端点号差最小。
YX2 坐标系有限元中的标系有体标系和局部标系有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。
对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。
并标系有很多个个单元就有个局部标并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。
YX杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。
它们都只有2个节点i 、j 。
¾约定：单元坐标系的原点置于节点i ；节点i 到j 的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x 轴的正向。
y 轴、z 轴都与x 轴垂直，并符合右手螺旋法则。
¾对于梁单元，y 轴和z 轴分别为横截面上的两个惯性主轴惯性主轴。
·x yj·z i土木工程学院有限单元法二、杆单元单元分析维杆单元下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A ，长1、一维杆单元度为l ，弹性模量为E ，轴向分布载荷为p x 。
单元有2，单元坐标为一维坐标轴个结点i ，j ，单元坐标为维坐标轴x 。
··i j x p x u ju i l LINK土木工程学院有限单元法P-8··i x p x j l u ju i LINK⎫⎧=i e u ⎧单元结点位移向量{}⎭⎬⎩⎨j u δ单元结点力向量：⎬⎫⎨=j i e F F F }{⎭⎩（1）位移模式和形函数①位移模式因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：12u a a x =+（3）式中a 1、a 2为待定常数，可由结点位移条件时x =x i 时，u =u ix =x j 时，u =u j确定。
2_杆系结构有限元分析1
( x) Nii N j j
x x N 1 , N 其中 i 为形函数。 j l l
由材料力学扭转可知
d dN e e M GI p GI p θ GI p B θ dx dx
其中 B
dN 1 1 dx l l
§1-2 扭转杆单元
e
外力势能 V u
e
e T
fe
e
1 e T e e e T 总势能 U V u K u u f e 2
e e
§1-1 拉(压)杆单元
1 e T e e e T U V u K u u f e 2
e e e
根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件
空间杆单元坐标变换矩阵
0 T 0
单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有
K e T T K ' T
e
矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵 中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。
§1-2 扭转杆单元
结点位移向量θe i , j
T
结点力向量
平衡关系
杆单元结点力向量
f U i
e
Uj
T
单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态 的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的 刚度方程。 最小势能原理：在满足连续条件和边界条件的位移中，满足 平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。 单元总势能
e U e V e
M e Mi , M j
T
杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角 ( x) 在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单 的单元位移函数可以设为
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
上海交大计算结构力学课件ppt杆系结构有限元01
第5章 杆系结构有限元(1)有限元方法是在结构力学中的结构矩阵位移法的基础上发展起来的。
杆系结构：几何形状简单 杆系结构矩阵位移法：（直接有限元法）： 杆的力与位移的关系容易求得 几乎包含了有限元的主要思想 （没有位移插值的问题）(2)基于最小势能原理的杆系结构FEM 分析5．1 直杆受轴向力杆的有限元受力特点： 只有轴向力的作用主要的控制方程：几何关系： x ux ε∂=∂应力应变关系： x x uE E xσε∂==∂边界条件： u u = （给定位移）uA E P x ∂⋅=∂ （给定载荷）平衡方程： 22()()x A uAE f x x x σ∂∂==∂∂最小势能原理的描述：200()2LLp EA u dx uf x dx x ∂⎛⎫∏=- ⎪∂⎝⎭⎰⎰直杆的解u 满足上述控制方程等价于u 使得势能p ∏取最小值。
同样的划分单元，并且单元和节点编号 单元编号：1,2,.....e N =节点编号：1,2,...i n =节点的位移和力向量[][][][]i ii i u p P δ==单元节点位移和节点力向量（总体编号）[][]i i e e j j u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单元节点位移和节点力向量（局部编号）[][]1122e e u P p u P δ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以下讨论基于变分原理的有限元。
假定直杆单元内任意一点的位移可以表示为两个节点位移的线性插值。
取单元的局部坐标 11ξ-≤≤ 1212()[(),()][,]Tu N N u u ξξξ= 多个节点参数eu N u ]][[=)1(21)(1ξξ-=N)1(21)(2ξξ+=N)(2c x x l-=ξN 的将单元节点位移和单元内任意一点的位移建立了联系。
这个联系（线性插值）是我们假定的，因此不同的单元，可以采用不同插值模式，也就形成了不同精度的单元。
由势能极小 0pe u ∂∏=∂并注意到 2ld dx ξ=1012()()()()l eT T dN dN EA dN dN K EA dx d dx dx l d d ξξξ+-==⎰⎰101()()2leTTlP N f x dx N f d ξξ+-==⎰⎰可以直接给出刚度矩阵的积分以及等效载荷（均布轴向载荷）列阵的计算类似的三节点单元以及其他更高级的单元。
05结构力学第二章
例8:对图示体系作几何组成分析
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加. 方法4: 去掉二元体. 方法5: 从基础部分(几何不变部分)依次添加.
规律2 规律
II I
III
2. 两个刚片之间的组成方式 规律1 规律 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连, 且 两个刚片之间用一个铰和一根链杆相连 三铰不在一直线上,则组成无多余约束的几何 三铰不在一直线上 则组成无多余约束的几何 体系。 或 两个刚片之间用三根链杆相 不变 体系 且三根链杆不交于一点,则组成无多余约束 连,且三根链杆不交于一点 则组成无多余约束 且三根链杆不交于一点 的几何不变体系。 的几何不变体系。
例4: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为瞬变体系. 该体系为瞬变体系. 方法3: 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的 刚片看成链杆. 刚片看成链杆.
方法1: 若基础与其它部分三杆相连, 方法1: 若基础与其它部分三杆相连,去掉基础只分析其它部分 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆. 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆.
二元体( 二元体(片)规则 二元体: 二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆连 接一个新结点的装置。 接一个新结点的装置。
在一个体系上加减二元体不影响原体系的几何组成
杆系结构单元解析
(5) 等效节点力
(x j x)
1
{Fp}e
xj xi
1 l
0 (xi
x)
pdx
pl 0 2 1
0
0
(6) 局部坐标单元刚度矩阵
静力等效 （5-16）
对于等截面铰接杆单元，
1 0 1 0
[k ]e
EA
0
0
0
0
l 1 0 1 0
0
0
0
0
[k ]e
EA 1 l 1
1
l
（4）应力矩阵
[S] E [1 0 0 1 0 0] l
（5-12）
单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍
为以下形式
{F}e
T
[N ] pxdx
当分布力集度px为常数时，有
{Fpx }e
x xi
j
1 ( l
x(xj ixx))
px
dx
pxl 2
1 1
（5-13）
[N] [Ni
N
j
]
1[(x l
j
x)
(xi x)]
例5-1 一维拉杆
7 l 2
u2 8 E
15 l 2
u3 8 E
19 l 2
u4 8元应力 E
➢单元应变 N A
(1) u2 u1 7 l 2
l 8E
(2) u3 u2 l 2
l
E
(3) u4 u3 1 l 2
l 2E
2、平面桁架杆单元（2D LINK1）➢标看下成的局拉部压坐杆
① 位移模式
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
(完整)结构力学(二) 教案
第十章、矩阵位移法授课题目：第一节概述第二节单元坐标系中的单元刚度方程和单元刚度矩阵教学目的与要求：1．掌握整体刚度矩阵中的位移矩阵和结点力矩阵 2．掌握局部坐标系中刚度矩阵教学重点与难点：重点：结构的离散化，自由式杆件的单元刚度矩阵难点：无教学方法：讲授法教学手段：多媒体、板书教学措施：理论分析与实际工程相结合讲解讲授内容:第十章、矩阵位移法第一节概述结构矩阵分析方法是电子计算机进入结构力学领域而产生的一种方法。
它是以传统结构力学作为理论基础，以矩阵作为数学表述形式，以电子计算机作为计算手段，三位一体的方法。
1.结构的离散化由若干根杆件组成的结构称为杆件结构.使用矩阵位移法分析结构的第一步，是将结构“拆散”为一根根独立的杆件，这一步骤称为离散化。
为方便起见，常将杆件结构中的等截面直杆作为矩阵位移法的独立单元，这就必然导致结构中杆件的转折点、汇交点、支承点、截面突变点、自由端、材料改变点等成为连接各个单元的结点。
只要确定了杆件结构中的全部结点,结构中各结点间的所有单元也就随之确定了。
(a)(b)2。
结点位移和结点力由于矩阵位移法不再为了简化计算而忽略杆件的轴向变形,因此，对于平面刚架中的每个刚结点而言，有三个相互独立的位移分量：水平方向的线位移分量u，竖直方向的线位移分量v，和结点的转角位移分量q。
对于这三个分量，本章约定线位移与整体坐标系方向一致为正,转角以顺时针转向为正,反之为负.结点荷载是指作用于结点上的荷载.本章约定结点集中力和支反力均以与整体坐标系方向相同时为正，反之为负。
结点集中力偶和支座反力偶以顺时针转向为正，反之为负.()()N 1Q 23N 4Q 56e e i i e i i ee j j j j Ff F f M f F f F f M f ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦F F F()()123456e e i i e i i ee j j j j u v u v δδθδδδθδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦δδδ3。
第二章 杆系结构的有限元法分析
F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件
结构力学-2结构的计算简图
结构计算简图选择的主要原则：
⑴ “存本去末” — 保留主要因素，略去次要因素，使计算简图能 反映出实际结构的主要受力特征。
⑵ “计算简便” — 从实际出发，根据需要与可能，力求使计算简 图便于计算。
结构计算简图简化的内容：
⒈ 结构体系的简化：
空间杆系结构
平面杆系结构
⒉ 杆件的简化：
因为Δ本身又是荷载FP的函数, 所以柱子的变 形和内力都将是非线性的。
几何非线性： 结构的变形或位移较大, 乃至必须在结构变形后的位形上应
用平衡条件。
在竖向荷载作用下, 若柱顶的侧移Δ相对于荷 载偏心距 e 而言是微小的, 则可以近似地在柱子的 B 原始位形上应用平衡条件, 即认为柱底弯矩MA=FP·e ; 但若柱子的侧移Δ较大, 相对于偏心距 e 而言不能 忽略时, 则必须在变形后的位形上建立平衡条件, 此 时柱底弯矩MA=FP(e+Δ)。
变化, 此时数个荷载共同作用的结果也并不
Ⅰ
等于它们单独作用产生结果的叠加。
Ⅱ
Ⅱ
FP
FP
对于大部分实际结构来说, 在正常使用状态下材料的应力-应 变关系接近或近似为线性关系, 而且结构的变形和位移都是微小 的。线弹性体系的三条基本假设均成立, 于是可以应用解的唯一 性定理和叠加原理。本书前十章主要讨论结构的线性分析问题。
力和变形都是唯一的。 ☆ 根据假设(2)、(3)，可证明线弹性体符合叠加原理。即位
移u的表达式与加载次序无关，常数ai与荷载FPi无关。
对线弹性体系的受力分析称为线性分析。
非线性分析： 不满足线性弹性体系基本假设的结构体系称为非线性体系,
其受力分析称为非线性分析。引起结构受力性态为非线性的原 因可归结为材料非线性和几何非线性两个方面：
有限元第三章杆系结构单元分析
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
有限元分析——杆系系统计算
技术中心
18 /33
（3）建立整体刚度矩阵 将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；同时将 所有节点载荷进行组装。 刚度矩阵：
节点位移：
节点力：
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整体刚度方程为：
（4）边界条件的处理及刚度方程求解 边界位移条件为：
化简后有：
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（4）刚度方程求解 边界条件为：
=
，代入方程化简后有
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-2 0 0 u 2 4 0 0 2 0 0 - 2 v2 5 - 2 0 2.7 - 0.7 0.7 u3 10 0 u 4 0 0 - 0.7 1.4 0 3.4 0 - 2 0.7 v4
节点100100桁架结构节点及坐标江西五十铃发动机有限公司33技术中心24单元对应节点桁架结构的单元及对应编号单元各单元长度及方向余弦2单元分析求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵江西五十铃发动机有限公司33技术中心25江西五十铃发动机有限公司33技术中心263整体分析将各单元刚度矩阵按节点编号进行组装可得整体刚度矩阵
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对该方程进行求解，有
则所有的节点位移为：
（5）各单元应力的计算
同理，可 /33
（6）支反力的计算 根据整体刚度方程，可求得结果为
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算例三： 五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为E= P=2000N，求结构的节点位移、支反力和单元应力。 （1）结构离散与编号 结构离散后进行节点编号与单元编号， 有关节点与单元的信息见下表。
结构力学第二章
Ⅰ (a) 几何常变体系 [Ⅰ, Ⅱ] Ⅱ
Ⅰ (b) 几何常变体系
Ⅱ
2 1 3
Ⅰ (c) 几何瞬变体系
Ⅰ (d) 几何瞬变体系
图2.26 不满足二刚片规则表述二的几何可变体系
42
3）不满足三刚片规则的约束条件
如果三铰共线，且全是有限远铰，则体系几何瞬变，如
图2.27所示。
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
(a) W<0且几何不变
(b) W<0且几何可变
W<0，表明体系具备多余的约束装置，但若约束布置不合理，有可能为几何可变
27
4. 平面几何不变体系的基本组成规则
A ② B Ⅰ ≠ ③ C Ⅱ B Ⅰ A ③ C
(b) 二元体规则 ②
A ③ ① B C (a) 总规则
(c) 两刚片规则表述一
A Ⅱ ③ B ④ ⑤ Ⅰ C
在体系中添加或去掉二元体，不会改变体系的几何性质和多余约 束数。
2. 两刚片规则
I
表述一：平面上的两个刚片通过一铰和一链杆相连，如果链杆所在
直线不通过铰心，则组成内部几何不变且无多余约束的体系
A(∞) II
II I
A
II
I
I
表述二：平面上的两个刚片通过三根链杆相连，如果这些链杆不全平 行且所在直线不全交于一点，则组成内部几何不变且无多余约束的体 系。 30
Ⅰ A B ① C
图2.25 不满足二刚片规则表述一的几何瞬变体系
41
对表述二，可分为图2.26所示的两类四种情况来讨论： （1）三根链杆常交一点，则体系几何常变，如图2.26 (a)、 (b)，其中图2.26(b)中三根链杆全部平行且等长。 （2）三根链杆瞬交一点，则体系几何瞬变，如图2.26 (c)、 (d)，其中图2.26 (d)中三根链杆全部平行但不全等长
桥梁结构分析的杆系有限元法及结构模型的建立2015
结构的离散化
确定了结构的全部 节点，也就确定了 结构的单元划分， 然后对结构进行单 元编号和节点编号， 通常单元编号用①， ②，……表示，节 点编号用1， 2，……表示，如图 所示。
6 67
5
4
3
5
4
1
2
1
2
3
单元杆端力与杆端位移的表示方法
• 平面桁架单元的局部坐标和整体坐标：
y
y
x
3
x2
2
y
1
结构分析的杆系有限元法
• 概述 • 有限单元法的概念及应用 • 结构的离散化 • 单元杆端力与杆端位移 • 逆步变换 • 单元刚度矩阵 • 总刚度矩阵 • 边界条件的后处理法 • 线性代数方程组的数值解法
结构分析的含义
• 结构分析的含义，不仅指在一定的已知条件下对结构的变 形和内力等进行计算，而且包括分析构件刚度变化对内力 变化的影响，对结构的几何组成进行分析，以及选择合理 的结构形式等等。
结构分析的有限元法
• 美国20世纪70年代推出的至今仍然是世界销售量最大的 NASTRAN(NAsa STRuctural Analysis，美国国家航空和 宇宙航行局结构分析程序系统)程序与当时西德推出的 ASKA(Automatic System for Kinematics Analysis，运动 分析的自动程序系统)齐名，同为当时最为著名和广泛应 用的程序，但几十年后的现在，ASKA已无法与 NASTRAN相比。原因是ASKA后来没有大规模的资金投 入，使程序不断得到滚动发展（维护）和组织推广、剌激 程序在竞争中不断改进各种功能。
向量
X
e i
Yi e
F
e
Fi e Fje
计算力学第四章杆系单元
○ ○ ○
x
y
○ ○
P
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。
约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的 杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y 轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
(a)
(c) (b)
（3）拱（图1.3c）arch
■ ■
通常：曲杆
(c)
主要力学特征：在竖直vertically向下的荷载下， 支座产生水平horizontal推力
(a) (b) (e)
拱式结构：拱式刚架（图1.3b）、拱式桁架…… （4）桁架（图1.3d）truss
■ ■
图1.
直杆、铰结点
(c) (d)
y
a2
a1 i
a5
l a6 j a 4 x
z
a3
（1）单元坐标单元位移向量
e
1 2 3 4
5 6
T
（2）形函数
1 [ N ] [( x j x ) l 0 0 ( xi x ) 0 0]
（3）应变矩阵
1 [ B] [1 l 0 0 1 0 0]
RN dv 0
v i
(i 1,2,, n)
上式即为伽辽金准则方程
6. 伽辽金残余法推导一维杆方程组
根据：A x P 而 则 du x E x E dx du AE P dx d du ( AE ) 0 dx dx
基本微分方程
6. 伽辽金残余法推导一维杆方程组
它在结构整体坐标系中的分量为在单元坐标x轴上投影的代数和给出在单元坐标y轴上投影的代数和给出cossinsincoscossinsincosi节点在单元坐标系中的位移向量i节点在结构整体坐标系中的位移向量x对xy的方向余弦y对xy的方向余弦注意旋转方cossinsincos同理可得单元j节点在单元坐标系和结构整体坐标系中的位移向量
有限单元法 第2章 杆系结构的有限元法分析
义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等 效 结 点 荷 载 矩 阵 ’ 这 里 要 指 出 的 是 ) 分 布 荷 载 ! .$
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! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并 进一步 计算各 单元 的应力 分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移 及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够 由计算 机自 动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #
杆件结构有限元分析
1.0e10 0.1 1 1 u6 1 1 u 1 5 u3 u2
1.0e10 0.2 1 1 u5 1 1 u 1 4
1.0e10 0.3 1 1 u4 1 1 u 1 3 u2 u1
u( x) N1u1 N2u2
通常来说形函数需满足以下条件：
• 在单元内，一阶导数必须存在；
• 在单元之间的连接处，位移必须连续；
推导该问题的单元刚度矩阵表达式
对于基本方程的最终弱形式：
l du d u dx f x udx 0 dx dx
l
0
AE
在一个单元内： u( x) N1u1 N2u2 因此：
K
(4)
1.0e10 0.4 1 1 u3 1 1 u 1 2
K
(5)
1.0e10 0.5 1 1 u2 1 1 u 1 1
确定该问题总体刚度矩阵
将得到的各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，可以形成整体刚度矩阵，同时将所有节点荷载也 进行组装。 刚度矩阵： K K (1) K (2) K (3) K (4) K (5)
le x2 x1
由上面的关系式可得到：
1 1 u1 dN 2 du dN1 u1 u2 dx dx dx le le u2
对δu取与u相同的形函数，并将上面的关系式带入基本方程的最终弱形式中可得：
1 le l du d u AE dx u u 1 2 0 dx dx 1 l e 1 AE le 1 l 1 e u1 u2 AEle 1 le l e 1 u1 le 1 1 d le u2 2
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桁架单元可作为刚架杆单元的特例；而空间刚 架则可以将平面刚架的结果加以扩展而得到(但 是必须注意正号的规定差异)。 考虑扭转时，虚功方程、总势能表达式与拉(压) 时类似。需考虑扭转变形能和外力势能。
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第二章 杆系结构的单元分析 §2-2 平面杆单元分析
l
d 0 l
g(0) 2
g( ) 1 2
按此思路确定N2 N3 N4
N1( ) (1 )2(1 2 ) 1 3 2 2 3
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第二章 杆系结构的单元分析
二、单元刚度方程
d2v dx 2
d2N
dx 2
e
B
e
M EIκ EIB e EI eT B T
EP
1 2
dx
dx
1 2
eT l 0
BTGIP Bdx
e
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第二章 杆系结构的单元分析
单元外力势能
E
* P
l
0 mx ( x) dx
F
eT
e
单元总势能
EP
Ve
E
* P
1 2
eT
l
0
BTGIP Bdx
e
l
0 mx ( x) dx
F
eT
e
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第二章 杆系结构的单元分析
Pi Pn
1
2
xe p( x)
m( x)
y δv
1
δu 2
x
xk
e
δ
单元荷载及 正向规定
单元徐位移 及正向规定
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第二章 杆系结构的单元分析
F e F1 F2 F3 F4 F5 F6 T
F
e
F F
1 2
δ e δ1 δ 2 δ 3 δ4 δ5 δ6 T
δ
e
δ δ
1
F eTδ e
l 0
qT δ
d
n
Pi ( x xi ) δ
i 1
dx
δW变e δWie
l 0
FNδ Mδκ dx
δWee δW变e δWie
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第二章 杆系结构的单元分析
l
0 f ( x)δ( x xi )dx
xi 0
f ( x) 0dx
xi f ( x) dx xi
l 0
q
T
d
dx
i
Pi ( xi )
F eT
e
EPe Ve EPe*
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第二章 杆系结构的单元分析
E* P ,结
点
FPd
i
F
ej 1
F ek 2
T
i
i
j
j
F
2 2
F
1 1
②
Fiy
Mi
①i
Fix FPd i Fix Fiy Mi T
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第二章 杆系结构的单元分析
FNδ
Mδκdx
结点荷载总虚功
l qTδ d
0
dx
n Piδ ( xi )
i 1
Pdjδ j δWe
j
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第二章 杆系结构的单元分析
2-1-2 杆系结构总势能表达式
Ve
1 2
l 0
EI
d2v dx 2
2
dx
1 2
l EA du 2dx 0 dx
EPe*
l
0
p( x)N dx
e
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第二章 杆系结构的单元分析
单元的总势能
EP
1 2
eTBT EAl B
e
F
eT
l
0
p( x)N
dx
e
1 eTk e
2
e
F e
FEe
T
e
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第二章 杆系结构的单元分析
由总势能的一阶变分等于零 δEP 0
k e e F e FEe
k
N i 为发生
i 1, j 0
( j 1,6; j i)
N4 l 2 l 3
时,杆中位移。
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第二章 杆系结构的单元分析
N1 为表示发生
1 1, 2 3 4 0
杆端位移时,杆中竖向位移。
1 1
3 1
2 1
4 1
N1(0) 1 N1(1) 0 N3(0) 0 N3(1) 1
二、确定应变矩阵(建立几何方程)
du d
κ
x x
dx d2v
dx2
dx
0
0
u
d2
v
dx2
d
dx
0
0 d2
N 1
dx2
N
2
1 2
e
AN e B e
微分算子 矩阵
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第二章 杆系结构的单元分析
二、单元刚度方程
由总势能的一阶变分等于零 δEP 0
k e e F e FEe
k
e
GIP l
1 1
1
1
满跨均布力偶时
FE
e
1 2
m
x
l
1 2
m
x
l
T
跨间集中力偶时
FE
e
M
x
(1
xi l
)
xi
T
l
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第二章 杆系结构的单元分析
2-2-3 弯曲杆单元
一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移
l 8
1 2
l
T
8
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第二章 杆系结构的单元分析
2-2-4 一般杆单元（平面自由式单元）
一、确定形函数
d
u v
N1 0
0 N2
0 N3
N4 0
0 N5
d
N 1
N
N
e
2
1 2
1
12
3
0 N6
1 6
2
4 5
6
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第二章 杆系结构的单元分析
l
f ( x) 0dx
x
i
f (xi )
l n
n
0 Piδ( x xi )δdx Piδ ( xi )
i 1
i 1
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第二章 杆系结构的单元分析
δWe
l 0
q
Tδ d
dx
n Piδ ( xi )
i 1
j
Pdjδ j
δW变 δW变e δWie
l
0
l
---自然坐标
则单元位移场
u( ) (1 )1 2
N1
N1 1 N2
N
2
1 2
N
e
形(状)函数
N N1 N2 形函数矩阵
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第二章 杆系结构的单元分析
形函数性质
本端为1，它端为0
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0
N2 (1) 1
任意一点形函数之和为0
EP
EPe
E* P ,结点
1 2
l 0
EI
d2v dx 2
2
dx
1 2
l EA du 2dx 0 dx
l qTδ
0
d
dx
n i 1
Piδ ( xi )
FPd
T j
j
j
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第二章 杆系结构的单元分析
2-1-3 几点说明
单元的虚功方程式和单元总势能表达式是进行 杆件单元分析的理论依据。
dx l
dx l
f (1) 0
设 f ( ) (1 )g( )
N1 (1 )2 g( )
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第二章 杆系结构的单元分析
dN1 2 (1 )g( ) (1 )2 dg( ) 1
dx l
d l
又 0, N1 1 g(0) 1
dN1 dx
0 0
2 g(0) dg( ) 1 0
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第二章 杆系结构的单元分析
单元分析的一般步骤： 用广义坐标法或试凑法建立形函数，从而 建立满足变形协调的单元位移场，也即单元 内任意一点的位移由单元结点位移(对杆件单 元为杆端位移)表示。 由几何方程建立单元应变场，也即单元内 任意一点的应变由结点位移表示
由物理方程建立单元应力场，也即单元内 任意一点的应力由结点位移表示
B B1 B2
B1
Hale Waihona Puke 1 l应变矩阵1 B2 l
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第二章 杆系结构的单元分析
三、应力分析---用杆端位移表示杆中内力
杆中任一点应力
E
EB e
杆中任一截面的轴力
FN A
EAB e
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第二章 杆系结构的单元分析
四、单元分析 --- 用杆端位移表示杆端力
单元应变能
Ve
e
EA 1 l 1
1
1
满跨均布力时
FE
e 1 pl 2
1
pl
T
2
跨间集中力时
FE
e
FP
(1
xi ) l
FP
xi l
T
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第二章 杆系结构的单元分析
2-2-2 扭转杆单元
一、建立位移模式 ---用杆端位移表示杆中位移