线段的中点及角平分线

图12
1
A
M
C
B
（2）如图2所示，当点C在线段AB的延长线上时，
∵AB=8cm，BC=4cm， ∴ AC=AB＋BC=12cm. 1 ∵M为AC的中点，∴AM= AC=6cm
图2
2
A
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M
B
C
角平分线的概念：
从一个角的顶点出发，把这 个角分成相等的两个角的射线, 叫做这个角的平分线。
N AOB与BOC的角平分线 1 1 C 2＝ AOB＝50 ，1＝ BOC＝30 2 2
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（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm，①求线段AC的长 解：①有两种情况
A 10 B 甲 6 C
图甲：当点C在线段AB的延长线时 AC=AB+BC=10+6=16
10 A C 乙 B
6
图乙：当点C在线段AB上时 AC=AB –BC=10 – 6=4
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（3）已知线段AB=10cm,点C在直线AB上， BC=6cm， ②若M是AB的中点,点N是BC的中点,求MN的长 解：①有两种情况
10 A M B 甲 N C
＝
A
C
M N
6 乙
B
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解： 点M、N分别是AB、BC的中点
1 1 MB＝ AB＝ 10＝5， 2 2 1 1 NB＝ CB＝ 6＝3 2 2 ∴MN=MB –NB＝5－3＝2cm
=250+
=470
(2) ∠MOC= ∠ BOM－∠ BOC
220
=25 0－220
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=30
已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，若 OM平分∠AOB，ON平分∠BOC， 求∠MON的度数.
此题应有两种情况 （1）OC在∠AOB外面
A
M
2
B
1
解： OM、ON分别是
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已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且 BC=4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
解：（1）如图1所示，当点C在线段AB上时， ∵AB=8cm，BC=4cm， ∴AC=AB－BC=4cm. 1 ∵M为AC的中点，∴AM= AC=2cm.
2
C
O A
角平分线的条件： 1、在已知角内。 2、把已知角分成两个相等的角
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类似的,还有角的三等分线、四等分 线、五等分线等。 A C D E O 如图：射线OC、OD、OE是∠AOB的四 等分线。
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B
O A 解： OB、OD分别是AOC与COE的角平分线 1 1 2＝ AOC，1＝ COE 2 2
D
C B
1 2
讨论题：如果∠ AOB= 500 ,∠ BOC= 220 ， OM
A
是∠ AOB的角平分线，那么∠MOC=？
A
M
O B C
M
C
O
B
解：∵ OM是∠ AOB的角平分线
(1) ∠MOC = ∠ BOM+ ∠ BOC
1 1 ∴∠BOM=∠ AOM= ∠ AOB= ×500 = 250 2 2
1 1 MC＝ AC，CN＝ CB 2 2
b
例1 （2）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AB=8cm，点M是AC的中点,点N是BC的中点，求 线段MN的长
A M C N B
解： 点M、N分别是AC、BC的中点
1 1 1 1 ∴MN=MC+CN = AC+ CB = (AC+CB) = AB＝4 2 2 2 2
中点的概念：
• 点M把线段AB分成相等的两条线 段AM和BM,点M线段AB的中点。
A M B
1 AM=BM= AB； 2
AB=2AM
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AB=2BM
A
M
N
B
M、N为线段AB的三等分点 1 AM=MN=NB= AB；AB=3AM=3MN=3NB 3
A
N
M
P
B
答：线段 MN的长为 4cm www.xsjjyw.com 本网站版权所有
1 1 MC＝ AC，CN＝ CB 2 2
DB=3cm，BC=7cm，C是AD的中点， 求AB的长. C A D B 解：∵DB=3cm，BC=7cm ∴CD=BC－DB=7－3=4cm， ∵点C是AD的中点， ∴AC=CD=4cm， ∴AB=AC+CD+DB=4+4+3=11cm
1 1 2＋1＝ AOC＋ COE 2 2 1 1 1 ＝ AOE＝ 130 ＝65 ＝ （AOC ＋本网站版权所有 COE） www.xsjjyw.com 2 2 2
已知OB是∠AOC的平 E 分线, OD是∠COE的 平分线, 如果 ∠AOE=1300, 那么 ∠BOD是多少度?
B
例1 （1）已知：如图，点C是线段AB上一点，
AC=a，BC=b，点M是AC的中点,点N是BC的中点 求线段MN的长
A M C N B
a
解： 点M、N分别是AC、BC的中点
1 1 1 1 ∴MN=MC+CN = AC+ CB = (AC+CB) = (a+b) 2 2www.xsjjyw.com 2 本网站版权所有 2
M、N、P为线段AB的四等分点
1 AN=MN=MP=PB= AB；AB=4AN=4MN=4NP=4PB 4 www.xsjjyw.com 本网站版权所有
判断：
• 若AM=BM，则M为线段AB的中点。
M A
线段中点的条件： 1、在已知线段上。 2、把已知线段分成两条相等线段的点
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B
C A
符 ∵射线OC平分∠AOB 2 号 1 1 语 ∴∠1=∠2= 2 AOB O 言 (或∠AOB= 2∠1 , ∠AOB= 2∠3)
∵∠1=∠2 (或∠AOB= 2∠1 = 2∠2) ∴射线OC平分∠AOB
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判断：
B
• 若∠BOC＝ ∠AOC ，则OC为∠AOB的平分线。
n(n 1) 2
n(n-1) ①一条直线上有n个点，则这条直线上有 条线段 2
n(n-1) ②n条直线两两相交最多有 个交点 2 ③过同一平面上n个点中的任意两点最多
n(n-1) 形成 条直线 2 n(n-1) ④由一个端点引出n条射线则最多可形成 个角 www.xsjjyw.com 本网站版权所有 2