4.4 奈奎斯特稳定判据汇总
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s s
Z=N+P
(4.68)
3)F(s) 平面变换到 G(s)H(s) 平面 :F(s)=1+G(s)H(s),将 F(s) 平面的虚轴向右平移1个单位,就是G(s)H(s)平面, F 绕 F平面的原点N圈等价于 F 绕G(s)H(s)平面的（-1，j0） 点N圈。因此，可以得到下列结论： 若 s 包围了F(s)的P个极点，即有P个开环极点在右半 S平面， F 绕G(s)H(s)平面的（-1，j0）点N圈，则 系统有Z=N+p个闭环极点在右半S平面。 4）G(s)H(s)平面变换到 G( j ) H ( j ) 平面：因为系统的 开环频率特性一般可以由实验得到.
当开环传递函数 G(s)H(s) 在原点存在极点时， 则取图4.6 （ b）所示奈氏路径，这时奈氏曲线 应再加上小半圆的映射。关于小半圆的映射， 在后面的例题中再具体讨论。
右半 S 平面，当 从 变到 时，若奈氏曲 线绕 G( j ) H ( j ) 平面的（-1，j0）点N圈（参考方 向为顺时针） , 则系统有 Z=N+P 个闭环极点在 右半S平面.当Z=0时奈氏曲线逆时针绕 G( j )H ( j ) 平 面的（ -1 ， j0 ）点 P 圈，系统稳定。当奈氏曲 线穿过（-1，j0）点时，系统临界稳定。
R
bm an j ( n m ) 0e
(4.70)
s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的 上式表明， 映射为G(s)H(s)平面上的原点或者实轴上的一点，而这 一点与频率特性 G( j ) H ( j ) 在 的映射重合。因 此 s 在平面G(s)H(s)上的映射，就是 G( j ) H ( j ) .
2）确定N的方法:为了确定N,将奈氏曲线从 平 面的下半部穿过负实轴的 (1,) 段,到 G( j ) H ( j ) 平面 的上半部1次,定义为1次正穿越; 反之奈氏曲线从 G( j ) H ( j ) 平面 [G ( j ) H ( j )] 的上半部穿过负实轴的 (1,) 正穿越 段,到平面 G( j ) H ( j ) -1 的下半部1次,定义为1次 0 负穿越 负穿越, 如图4.7所示。
下面考察 s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映 射,从而可以看出 s 在虚轴上的部分映射到G(s)H(s) 平面上就是开环频率特性 G( j ) H ( j ) 。 s 的无穷大 半圆上的点可以表达为: s lim Re j (4.69)
R
则无穷大半圆部分在平面上的映射为:
4.4 奈奎斯特稳定判据
前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系统的 状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程 上采用系统的频率特性等实验数据来分析、设计系 统。1932年，美国Bell实验室的奈奎斯特提出了这样 一种方法。这种方法是以系统的开环幅相频率特性 曲线判别系统的稳定性，称为奈奎斯特稳定判据。 奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论 中的幅角原理，或称为映射定理。
奎斯特稳定判据：设系统有个P开环极点在
应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要绘制 或者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕 平面的（-1，j0）点的圈数N，在右半S平面的 开环极点数 P 以及在右半源自文库S 平面的闭环极点数 Z=N+P。
1）确定P：开环传递函数在右半S平面 的极点数P是容易看出的。对于最小相位系统，P=0。
2）选择 s 包围整个右半S平面： s 选择包围整个右 半S平面,如图4.6（a）所示,称为奈氏路径.因为 s 不 能通过 F(s) 的任一零点和极点，所以，当开环传递函 数G(s)H(s)在原点存在极点时，选择奈氏路径如图4.6 （b）所示。 [S ] [S ] 根据幅角原理，若 包 R R 围了F(s)的P个极点，即 0 0 r0 P有个开环极点在右半平 面，绕平面的原点圈， (a) (b) 则系统有Z个闭环极点在 图4.6 奈氏路径 右半S平面 :
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下面将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
[s]
s1
s2
s3
F ( s3 ) F (s2 ) F ( s1 )
F ( s)
0
s
0
F
(a) 图4.5 从S平面到F平面的映射关系
(b)
F 幅角原理：若 s 包围了F(s)的Z个零点和 P个
极点，当s顺时针沿 s 取值时， 绕F平面的 原点的圈数N为： N=Z-P (4.67)
其中 F 的参考方向为顺时针方向 , 即当 F 顺 时针绕F平面的原点|N|圈时， N>0;当 F 逆时针绕平面的原点|N|圈时，N<0； 当 F 不 绕 平 面 的 原 点 时 ， N=0 。
G ( s ) H ( s ) s lim Re j
R
bm s m b1 s b0 a n s n a1 s a 0 ( lim bm ) e j ( n m ) n m R a R n nm nm
s lim Re j
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。
Z=N+P
(4.68)
3)F(s) 平面变换到 G(s)H(s) 平面 :F(s)=1+G(s)H(s),将 F(s) 平面的虚轴向右平移1个单位,就是G(s)H(s)平面, F 绕 F平面的原点N圈等价于 F 绕G(s)H(s)平面的（-1，j0） 点N圈。因此，可以得到下列结论： 若 s 包围了F(s)的P个极点，即有P个开环极点在右半 S平面， F 绕G(s)H(s)平面的（-1，j0）点N圈，则 系统有Z=N+p个闭环极点在右半S平面。 4）G(s)H(s)平面变换到 G( j ) H ( j ) 平面：因为系统的 开环频率特性一般可以由实验得到.
当开环传递函数 G(s)H(s) 在原点存在极点时， 则取图4.6 （ b）所示奈氏路径，这时奈氏曲线 应再加上小半圆的映射。关于小半圆的映射， 在后面的例题中再具体讨论。
右半 S 平面，当 从 变到 时，若奈氏曲 线绕 G( j ) H ( j ) 平面的（-1，j0）点N圈（参考方 向为顺时针） , 则系统有 Z=N+P 个闭环极点在 右半S平面.当Z=0时奈氏曲线逆时针绕 G( j )H ( j ) 平 面的（ -1 ， j0 ）点 P 圈，系统稳定。当奈氏曲 线穿过（-1，j0）点时，系统临界稳定。
R
bm an j ( n m ) 0e
(4.70)
s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的 上式表明， 映射为G(s)H(s)平面上的原点或者实轴上的一点，而这 一点与频率特性 G( j ) H ( j ) 在 的映射重合。因 此 s 在平面G(s)H(s)上的映射，就是 G( j ) H ( j ) .
2）确定N的方法:为了确定N,将奈氏曲线从 平 面的下半部穿过负实轴的 (1,) 段,到 G( j ) H ( j ) 平面 的上半部1次,定义为1次正穿越; 反之奈氏曲线从 G( j ) H ( j ) 平面 [G ( j ) H ( j )] 的上半部穿过负实轴的 (1,) 正穿越 段,到平面 G( j ) H ( j ) -1 的下半部1次,定义为1次 0 负穿越 负穿越, 如图4.7所示。
下面考察 s 的无穷大半圆部分在G(s)H(s)平面上的映 射,从而可以看出 s 在虚轴上的部分映射到G(s)H(s) 平面上就是开环频率特性 G( j ) H ( j ) 。 s 的无穷大 半圆上的点可以表达为: s lim Re j (4.69)
R
则无穷大半圆部分在平面上的映射为:
4.4 奈奎斯特稳定判据
前面介绍的几种稳定性判据，都是基于系统的 状态方程、微分方程、传递函数等参数模型。工程 上采用系统的频率特性等实验数据来分析、设计系 统。1932年，美国Bell实验室的奈奎斯特提出了这样 一种方法。这种方法是以系统的开环幅相频率特性 曲线判别系统的稳定性，称为奈奎斯特稳定判据。 奈奎斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论 中的幅角原理，或称为映射定理。
奎斯特稳定判据：设系统有个P开环极点在
应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要绘制 或者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕 平面的（-1，j0）点的圈数N，在右半S平面的 开环极点数 P 以及在右半源自文库S 平面的闭环极点数 Z=N+P。
1）确定P：开环传递函数在右半S平面 的极点数P是容易看出的。对于最小相位系统，P=0。
2）选择 s 包围整个右半S平面： s 选择包围整个右 半S平面,如图4.6（a）所示,称为奈氏路径.因为 s 不 能通过 F(s) 的任一零点和极点，所以，当开环传递函 数G(s)H(s)在原点存在极点时，选择奈氏路径如图4.6 （b）所示。 [S ] [S ] 根据幅角原理，若 包 R R 围了F(s)的P个极点，即 0 0 r0 P有个开环极点在右半平 面，绕平面的原点圈， (a) (b) 则系统有Z个闭环极点在 图4.6 奈氏路径 右半S平面 :
4.4.2 奈奎斯特稳定判据
判别系统的稳定性，实际上就是判别系统的特征 方程在右半平面有没有极点。下面将幅角原理应用于 稳定性分析。 为了应用幅角原理分析系统稳定性，需要进行下列几 项工作。 1）取 F(s)=1+G(s)H(s)：当 G(s)与 H(s) 没有零、极点对 消时， F(s) 的零点就是系统的全部闭环极点或特征根， F(s)的极点就是系统的开环极点；当G(s)与H(s)存在零、 极点对消时， F(s) 的零点加上对消掉的开环极点，就 是系统的全部闭环极点。 下面先讨论 G(s) 与 H(s) 没有零、极点对消的情况， 导出奈奎斯特稳定判据，最后用一个例子说明 G(s) 与 H(s)有零、极点对消时的处理方法。
[s]
s1
s2
s3
F ( s3 ) F (s2 ) F ( s1 )
F ( s)
0
s
0
F
(a) 图4.5 从S平面到F平面的映射关系
(b)
F 幅角原理：若 s 包围了F(s)的Z个零点和 P个
极点，当s顺时针沿 s 取值时， 绕F平面的 原点的圈数N为： N=Z-P (4.67)
其中 F 的参考方向为顺时针方向 , 即当 F 顺 时针绕F平面的原点|N|圈时， N>0;当 F 逆时针绕平面的原点|N|圈时，N<0； 当 F 不 绕 平 面 的 原 点 时 ， N=0 。
G ( s ) H ( s ) s lim Re j
R
bm s m b1 s b0 a n s n a1 s a 0 ( lim bm ) e j ( n m ) n m R a R n nm nm
s lim Re j
4.4.1 幅角原理
设为一单值复变函数，其零极点图如图 4.5(a)所示。在 s S平面上取一封闭曲线，记为 ，要求 s 不通过 s F(s)的任一极点和零点。设 包围了F(s)的Z个零点 s 和P个极点。记 在F平面上的映射为 F ，因为 F(s)为一单值复变函数，所以， F 是惟一的，也是 一个封闭曲线，如图4.5(b)所示。