格林公式

ydx y2
xdy x2
ydx y2
0.
即
xdy ydx xdy ydx xdy ydx ，
C x2 y2
x2 y2
x2 y2
其中 标识圆周 ，其方向与 相反.设 x r cos ， y r sin ， 0 2 .
由曲线积分计算公式，有
xdy ydx 2 r cos r cos r sin (r sin )d 2 ，
f(x)，看成是在矩形区域 D=[a,b] [c,d]上连续的二元函数，则由格林公式，有
f ' xdxdy C f (x)dx ，
D
即
b
f '(x) f (b) f (a) , a
即求区域 D 的面积 S 也可用区域 D 的边界闭曲线 C 的第二型曲线积分计算。
例 9 计算 xy2dy x2 ydx ，其中 C 是圆周 x2 y 2 a 2 ，取正向.
2) 3) 由全微分知，
P(x, y) ， Q(x, y) .
x
y
于是，
P 2 , Q 2 . y xy x yx
已知 P 与 Q 在 G 内连续，即 2 与 2 在 G 内连续，有
y x
xy yx
P Q . y x
3） 4）.对区域 G 内任意光滑或逐段光滑闭曲线 ，有格林公式，有
圆周为 ，使小圆域 D 包含在区域 G 内，函数
P（x, y） y ， Q(x, y) x
x2 y2
x2 y2
及其偏导数在区域 G\D 连续，由格林公式，有
xdy
C x2
ydx y2
x2 y2
G
\
[
D
(
x
2
y2 )2
(x
x
2
2
y
y2 2 )2
]dxdy
0
.
或
C
xdy x2
（正向） 图 14.7
负向 图 14.8
规定其中曲线 C 总是取正方向。格林公式给出了平面区域上的二重积分与沿着该区域边界的 闭曲线的曲线积分之间的关系。
设 D 是有向的 x 型或 y 型闭区域，即
,如图 14.9，
或
{(x,y)│φ1 (y)≤y≤φ2 (y),a≤x≤b}，如图 14.10.
这里的 ， 按上面的规定。
1） 曲线积分
Pdx Qdy 与路径 C 无关，即只与始点 A 与终点 B 油罐；
C ( A,B)
2） 在 G 内存在一个函数 (x, y) ，使
d Pdx Qdy ；
3） (x, y) G, 有
P Q ； y x
4） 对 G 内任意光滑或逐段光滑曲线 ，有
Pdx Qdy 0
证法 只需真名四个命题成立：1） 2），2） 3），3） 4），4） 1）. 证明 1） 2）.只需找出一个函数 (x, y) 使
c
方向为正，如图 14.17.
解 P(x,y)= 1 xe2 y ,Q(x,y)= x2e2 y y .
证明
(2 f 2 f )dxdy [f (f ) (f )]dxdy .
G x2 y 2
G x x y y
P(x, y) f ,Q(x, y) f .
y
x
由格林公式，有
2 f 2 f
f
f
( )dxdy ( )dx dy .
G x 2 y 2
C y
x
由公式（20）， dx sin'ds, dy cos'ds ，其中 ' 是 x 轴正向与法线 n 的夹角，上式
或
(x x, y) - (x, y) P(x x, y) . x
已知函数 P(x, y) 在点 B（x,y）连续，有
(x x, y) - (x, y)
lim
x0
x
lim P(x x, y) P(x, y)， x0
即
P(x, y) . x
同法可证，
Q(x, y) . y
于是，
d dx dy P(x, y)dx Q(x, y)dy . x y
P(x, y), Q(x, y)
x
y
已知曲线积分与路径 C 无关. A(x0 , y0 ) G 暂时固定，B(x, y) G ，则曲线积分是终点
B(x, y) 的二元函数，表为 (x, y) ，即
( x, y)
(x, y)
Pdx Qdy . （26）
( x0 , y0 )
下面证明。二元函数 (x, y) 就满足 2）的要求.为此求 及 .设终点是 N(x x, y) ， x y
(H,K)
(K,M )
(M ,N)
(N,H )
其中
b
P(x, y)dx a P[x,1(x)]dx ，
(H ,K)
a
b
P(x, y)dx b P[x,2 (x)]dx a P[x,2 (x)]dx
(K,M )
因为线段 KM 与 NH 都平行于 y 轴，有
P(x, y)dx P(x, y)dx 0 .
有不同的值，即曲线积分与路径油罐.那么在什么条件下，曲线积分
Pdx Qdy
C ( A,B)
与路径 C 无关（只与始点 A 与终点 B 有关）呢？下面定理回答了这个问题：
定理 4 若二元函数 P(x, y),Q(x, y) 以及 Q ， P 在但连通区域 G 连续，下列四个断语是 x y
等价的：
P y
x2 y2 (x2 y2)2
，
Q x
x2 y2 (x2 y2)2
有
xdy ydx [ x2 y2 x2 y2 ]dxdy 0 .
C x2 y2
G (x2 y2)2 (x2 y2)2
2）闭曲线 C 内部包含原点，如图 14.13 以原点为圆心，以充分小正数 r 为半径作一小圆域 D，
直线段，把区域 D 转化为 2）的情况.
G
E L3
C
DF
L2 B
L1 A
图 21 15
在图 14.12 中，连接 AB 与 CE 线段后，则边界曲线的正向由 AB，1 ，BA，AC，CE, 2 ,EC,CGA
构成闭曲线，由第二步的结果，有
(Q P)dxdy ( )Pdx Qdy
Pdx
Qdy
0
D
( Q x
P )dxdy y
0
，
其中 D 是闭曲线 所围成的区域.
4）1）.在区域 G 内，以 A 为始点，B 为终点，任取两条光滑或逐段光滑的曲线 C1 与 C2 .
C1 ( A, B) C2 (B, A) 是 G 内一条封闭曲线，如图 14.16.由条件 4），有
Pdx Qdy
C
解 由格林公式， P x2 y ， Q xy 2 ， P x2 , Q y 2 ，有
y
x
xy2dy x2 ydx ( y2 x2 )dxdy，
C G
其中 G 是圆域 x2 y 2 a 2 .设 x r cos, y r sin ,有
xy2dy x2 ydx ( y2 x2 )dxdy
C1 ( A,B)C2 ( B, A)
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
C1 ( A,B)
C2 (B, A)
或
Pdx Qdy Pdx Qdy
C1 ( A,B)
C2 (B, A)
Pdx Qdy ，
C（2 A,B）
即曲线积分与路径无关.
例 12 计算 (1 xe2y )dx (x2e2y y)dy, 其中 C 是（x-2）2 +y 2 =4 的上半圆周，顺时针
(K,M )
(N,H )
于是，
b
b
P(x, y)dx a P[x,1(x)]dx a P[x,2 (x)]dx
b
= a {P[x,2 (x)] P[x,1 (x)]}dx 。
由（22）式与（23）式，有
（23）
D
P y
dxdy
P(
x,
y)dx
（24）
若 D 又是 y 型闭区域（如图 14.10）.同理可证
五、曲线积分与路径无关的条件
从例 5 看到，自始点（0，0）到终点（1，1），不论曲线 C 是直线 y=x,抛物线 y x 2 或立
方抛物线 y x3 ，而曲线积分
2xydx x2dy 1，
C
即曲线积分与路径无关.但是，例 6 不同，尽管始点与终点相同，曲线 C 不同，曲线积分
C xydx ( y x)dy
从而，
，
,
,
, 有
. (20) 四、格林公式 平面曲线积分，当曲线 C（A,B）的始点 A 与终点 B 重合时（即 C 是一条闭曲线），在力学、 电学等有很多应用。因为第二型曲线积分与所沿平面闭曲线的曲线积分要规定闭曲线的正方 向。按右手坐标系，当一个人沿着平面闭曲线环行时，闭曲线所围成的区域位于此人的左侧， 规定这个方向是曲线的正方向，如图 14.7，反之是负方向，如图 14.8 沿闭曲线 C 的曲线积分，记为
如图 14.11，可将 D 分成三个既是 x 型又是 y 型区域 D1，D2，D3.于是，有
D
(
Q x
P y
)dxdy
(
D1
D2
Q P
D3
)( x
)dxdy y
= ( )Pdx Qdy Pdx Qdy .
1 2
3
3） 若围成闭区域 D 的边界曲线不止一条，及非单连通区域，如图 14.12，这是可适当添加
在[a,b]上是连续函数，φ1 (y)，φ2 (y)在[a,b]上是连续函数，D 的正负向
N M
DHຫໍສະໝຸດ K图 14.9N M
D H
K 图 14.10