二重极限与二次极限与一次极限的比较
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二重极限与二次极限与一次极限的比较
如果二重极限是lim
x→a
y→b f(x,y),二次极限分别为lim
x→a
lim
y→b
f(x,y)=lim
x→a
g(x),和
lim y→b lim
x→a
f(x,y)=lim
x→a
h(y).其中，g(x)=lim
y→b
f(x,y),h(y)=lim
x→a
f(x,y), a, b是常数。
则二重极限lim
x→a
y→b
f(x,y)存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)
时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限lim
x→a
y→b
f(x,y)存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。
二次极限lim
x→a lim
y→b
f(x,y)=lim
x→a
g(x)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近
(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然后再沿直线y=b逼近(a,b)时[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限lim
x→a lim
y→b
f(x,y)=lim
x→a
g(x)存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于
x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。
二次极限lim
y→b lim
x→a
f(x,y)=lim
x→a
h(y)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近
(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然后再沿直线x=a逼近(a,b)时[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限lim
y→b lim
x→a
f(x,y)=lim
x→a
h(y)存在，则，2维动点(x,y)先沿垂
直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，
1),若二重极限lim
x→a
y→b f(x,y)存在且等于A, 则二次极限lim
x→a
lim
y→b
f(x,y)和
lim y→b lim
x→a
f(x,y)一定都存在且都等于A.比如，lim
x→0
y→0
xy=0, 而且，显然 lim
x→0
lim
y→0
(xy)
和lim
y→0lim
x→0
(xy)也都存在，且都等于0。
2), 若二次极限lim
x→a lim
y→b
f(x,y)或者lim
y→b
lim
x→a
f(x,y)中至少有1个不存在，则，若
二重极限lim
x→a
y→b
f(x,y)一定不存在。
比如，lim
x→0lim
y→0
(y
x
)=0, 但lim
y→0
lim
x→0
(y
x
)不存在。则lim
x→0
y→0
y
x
一定不存在。
3), 若二次极限lim
x→a lim
y→b
f(x,y)和lim
y→b
lim
x→a
f(x,y)都存在但不等于，则，若二重极限
lim x→a y→b f(x,y)一定不存在。再如，lim
x→0
lim
y→0
(y(x+1)
x+y
)=0, lim
y→0
lim
x→0
(y(x+1)
x+y
)=1。则
lim x→0 y→0(y(x+1)
x+y
)=0一定不存在。
4), 即使二次极限lim
x→a lim
y→b
f(x,y)和lim
y→b
lim
x→a
f(x,y)都存在且等于，也不能保证，二重
极限lim
x→a
y→b
f(x,y)一定存在。
比如，lim
x→0lim
y→0
(xy
x2+y2
)=0, lim
y→0
lim
x→0
(xy
x2+y2
)=0。但lim
x→0
y→0
(xy
x2+y2
)不存在。因为，如
果lim
x→0
y→0(xy
x2+y2
)存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存
在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，xy
x2+y2
)恒等于1/2,不等
于0。所以，lim
x→0
y→0(xy
x2+y2
)一定不存在。
其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。
比较一：
二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。
一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。
比较二：
二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不存在。
一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。
本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.
首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时,该函数是无穷小与有界函数的乘积,结果为0.
但是若先求y的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在,先求x的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.