二重极限与二次极限与一次极限的比较

二重极限与二次极限与一次极限的比较

如果二重极限是lim

x→a

y→b f(x,y),二次极限分别为lim

x→a

lim

y→b

f(x,y)=lim

x→a

g(x),和

lim y→b lim

x→a

f(x,y)=lim

x→a

h(y).其中，g(x)=lim

y→b

f(x,y),h(y)=lim

x→a

f(x,y), a, b是常数。

则二重极限lim

x→a

y→b

f(x,y)存在，意味着，当2元变量(x,y)以任何可能的方式趋近于(a,b)

时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限lim

x→a

y→b

f(x,y)存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。

二次极限lim

x→a lim

y→b

f(x,y)=lim

x→a

g(x)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近

(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然后再沿直线y=b逼近(a,b)时[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。

换句话说，若二次极限lim

x→a lim

y→b

f(x,y)=lim

x→a

g(x)存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于

x轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。

二次极限lim

y→b lim

x→a

f(x,y)=lim

x→a

h(y)存在,表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近

(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然后再沿直线x=a逼近(a,b)时[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。

换句话说，若二次极限lim

y→b lim

x→a

f(x,y)=lim

x→a

h(y)存在，则，2维动点(x,y)先沿垂

直于y轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，

1),若二重极限lim

x→a

y→b f(x,y)存在且等于A, 则二次极限lim

x→a

lim

y→b

f(x,y)和

lim y→b lim

x→a

f(x,y)一定都存在且都等于A.比如，lim

x→0

y→0

xy=0, 而且，显然 lim

x→0

lim

y→0

(xy)

和lim

y→0lim

x→0

(xy)也都存在，且都等于0。

2), 若二次极限lim

x→a lim

y→b

f(x,y)或者lim

y→b

lim

x→a

f(x,y)中至少有1个不存在，则，若

二重极限lim

x→a

y→b

f(x,y)一定不存在。

比如，lim

x→0lim

y→0

(y

x

)=0, 但lim

y→0

lim

x→0

(y

x

)不存在。则lim

x→0

y→0

y

x

一定不存在。

3), 若二次极限lim

x→a lim

y→b

f(x,y)和lim

y→b

lim

x→a

f(x,y)都存在但不等于，则，若二重极限

lim x→a y→b f(x,y)一定不存在。再如，lim

x→0

lim

y→0

(y(x+1)

x+y

)=0, lim

y→0

lim

x→0

(y(x+1)

x+y

)=1。则

lim x→0 y→0(y(x+1)

x+y

)=0一定不存在。

4), 即使二次极限lim

x→a lim

y→b

f(x,y)和lim

y→b

lim

x→a

f(x,y)都存在且等于，也不能保证，二重

极限lim

x→a

y→b

f(x,y)一定存在。

比如，lim

x→0lim

y→0

(xy

x2+y2

)=0, lim

y→0

lim

x→0

(xy

x2+y2

)=0。但lim

x→0

y→0

(xy

x2+y2

)不存在。因为，如

果lim

x→0

y→0(xy

x2+y2

)存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存

在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，xy

x2+y2

)恒等于1/2,不等

于0。所以，lim

x→0

y→0(xy

x2+y2

)一定不存在。

其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。

比较一：

二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。

一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。

比较二：

二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不存在。

一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。

本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.

首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时,该函数是无穷小与有界函数的乘积,结果为0.

但是若先求y的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在,先求x的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.