研究生数理统计第三章习题答案
概率论与数理统计教程第三章课后习题答案概率(03章)
P(X=0,Y=3)=1/8 P(X=2,Y=1)=3/8
X Y 0 1 2 3
P(X=1,Y=1)=3/8 P(X=3,Y=3)=1/8
3 1/8 0 0 1/8 1 0 3/8 3/8 0
例
一个口袋中有三个球, 依次标有数字1, 2, 2, 从中任 取一个, 不放回袋中, 再任取一个, 设每次取球时, 各球被 取到的可能性相等.以X、Y分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字, 求( X , Y ) 的联合分布列.
Probability
华南农业大学理学院应用数学系
第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其概率分布 第三章 二维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第三章
二维随机变量及其分布
二维随机变量及其联合分布 边缘分布与独立性 两个随机变量的函数的分布
§3.1 二维随机变量及其联合分布
RY
0
X(e)
x
二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点
(x,y) A
随机事件
y
(a,b)
X X
a, Y b a, Y b
Y)D
( X , ( X ,
Y ) ( a, b )
X
x
a, Y b
二维随机变量的联合分布函数
定义 若(X,Y)是随机变量,对于任意的实数x,y.
表格形式
X
Y
x1
x2
p11 p12 p21 p22
。。。...
... 。。。
y1
y2
。。。
。。。...
yj p1 j
... 。。。
数理统计课后答案-第三章
d ln L = dθ
n θ
+
n
ln xi
i =1
=0
,得到极大似然估计
θˆ = − n = −1 = −1 。
n
∑ ln X i
i =1
∑ 1 n
n i=1 ln X i
ln X
1
3.3 设总体 ξ 服从 Poisson 分布,概率分布为
P{ξ = k} = λk e−λ , k = 0, 1, 2,L , k!
Xi =
X
。
3.7 已知总体 ξ 服从 Maxwell 分布,概率密度为
⎧
ϕ
(
x)
=
⎪ ⎨
4x2 a3 π
− x2
e a2
⎪⎩
0
x>0 x≤0
其中, a > 0 是未知参数, ( X1, X 2 ,L, X n ) 是 ξ 的样本,求 a 的极大似然估计。
解 似然函数
∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
i =1
∏ ∏ ∏ L =
n
ϕ(xi )
=
⎪⎧ ⎨
n i =1
θ
xiθ −1 = θ n
n i =1
xiθ −1
i =1
⎪⎩
0
0 < xi < 1 ( i = 1,2,L, n) 其他
n
∑ 当 L ≠ 0 时,对 L 取对数,得到 ln L = n lnθ + (θ −1) ln xi 。 i =1
∑ 解方程
⎧aˆ = X − ⎩⎨bˆ = X +
3S 3S
。
(2) 似然函数
3
∏ ∏ L =
n
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计-第三章作业及答案
习题3-11.而且12{P X X . 求X 1和X 2的联合分布律.解 由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04P X P X =⋅==≠, 所以X 1和X 2不独立.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<<⎧⎨⎩其它 求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰, 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--⎰⎰⎰⎰1322011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰321113()d 828y y =-=⎰. (3) 1.51.5{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==⎰⎰⎰4 1.521d (6)d 8y x y x --=⎰⎰1.5422011(6)d 82y x x y =--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 421633()d 882y y =-⎰ 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)⨯的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =⎰⎰4421d (6)d 8x y x y x -=--⎰⎰4422011(6)d 82xy x x y -=--⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰ 42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----⎰ 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-⎰ 423211(4)(4)86y y =----⎡⎤⎢⎥⎣⎦23=. 图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =⎧⎨⎩≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.解 由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰,解得6=k .因而 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=⎰⎰⎰. 4. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=⎧⎨⎩≤≤≤≤其它 求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,y Y y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎨⎩⎰⎰其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-⎧⎨⎩若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>⎧⎨⎩若≤若试求:(1) X 和Y 的联合概率分布;(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2){22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. 而{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<<⎧⎨⎩其它求:(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===⎰⎰;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =. 故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=⎧⎨⎩当0<y <2时,12()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-⎰⎰;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0<z <2时, (){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y zz f x y x y -=⎰⎰≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =⋅+⋅⎰⎰⎰⎰24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z z zz f z F z -<<'==⎧⎪⎨⎪⎩(3) {}{}11311322161122442≤,≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上服从二维均匀分布.求:(1) (X , Y )的联合概率密度;(2) {1}P Y X -≤;(3) 关于X 的边缘概率密度. 解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=⎰⎰.其中0G S 为G 0的面积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-⎰. 当1<x 或3>x 时, 0)(=x f X .因此 ⎪⎩⎪⎨⎧∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:求二维随机变量(,)X Y 的分布律.解 由于X 与Y 相互独立, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =⋅====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独立? 解由于边缘分布满足23111,1i j i j p p ⋅⋅====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为 p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得方程组 21,3111().939αβα++==⋅+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i . p .j 成立.因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独立..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=⎧<<>⎨⎩其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独立? 解 (1) 由11()101(,)d d ed de d e d (1e )x y yx f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-⎰⎰⎰⎰⎰⎰,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=⎰1e ,01,1e 0,xx --<<=-⎧⎪⎨⎪⎩其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=⎰e ,0,0,y y ->=⎧⎨⎩其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =⋅,所以X 与Y 相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=⎧⎪⎨⎪⎩,≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的二次方程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=⎧⎨⎩其它, 21e ,0,()20,.yY y f y ->=⎧⎪⎨⎪⎩其它 因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,0(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==⎧⎪⎨⎪⎩其它(2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即244X Y ∆=-≥20X ⇔≥Y .因此事件{方程有实根}2{X =≥}Y .下面计算2{P X ≥}Y (参见图3-3).2{P X ≥}Y 2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-⎰⎰⎰⎰⎰2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈⎰.图3-3 第6题积分区域 习题3-41. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .解 首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+⨯. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为X 1 3 Y 2 4 P X 0.3 0.7 P Y 0.6 0.4求随机变量Z = X + Y 的分布律. 解 随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=⨯=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===⨯+⨯=,28.04.07.0}4,3{}7{=⨯=====Y X P Z P ,或写为Z 3 57 P Z0.180.540.283. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解 已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()e2x X f x μσπσ--=, ),(+∞-∞∈x ; ⎪⎩⎪⎨⎧-∉-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独立, 所以22()21()()()d e d 22z y a Z X Y a f z f z y f y y y a μσπσ---+∞-∞-=-=⎰⎰=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解 由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有 当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==⎰⎰≤≤21[42(2)]412u =-⨯- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=⎧⎪⎨⎪⎩其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解 首先2,01,()0,.(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==⎧⎨⎩⎰1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-<⎧⎪⎨⎪⎩⎰图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.当10<<x 时, |1,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=⎧⎪⎨⎪⎩取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .解 首先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有11121111{,}{}{,}6824P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利用X 和Y 的独立性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======.于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利用X 和Y 的独立性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======⨯=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======⨯=;1313111{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======⨯=.因此得到下表3. (34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=⎧>>⎨⎩其它(1) 求常数k ;(2) 求(X ,Y )的分布函数;(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ;(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立? 解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===⎰⎰⎰⎰,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=⎰⎰.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ; 当0,0>>y x 时, 34340(,)12e d e d (1e )(1e )x yuv x y F x y u v ----==--⎰⎰.即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --⎧-->>=⎨⎩(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -⎧>=⎨⎩类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -⎧>=⎨⎩ 显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈∀⋅=, 故X 与Y 相互独立. 4.解 已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P ,}1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P3112161121=++=, 316161}2,3{}3,2{}5{=+===+====Y X P Y X P Z P . 即Z X Y =+(3) max{,}V X Y =的可能取值为2, 3, 且21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 21}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P . 即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U V =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,}2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P31}2,2{}1,3{}3,1{===+==+===y X P Y X P Y X P ,31}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .5. 2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.(1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).解 (1) 1120227{2}(,)d d d (2)d 24yx yP X Y f x y x y y x y x >>==--=⎰⎰⎰⎰. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:()()(,)d d Z x y zF z P X Y Z f x y x y +=+=⎰⎰≤≤.当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时, 1()(,)d d d (2)d z z yZ D F z f x y x y y x y x -==--⎰⎰⎰⎰= z 2-13z 3; 当1≤z <2时, 2111()1(,)d d 1d (2)d Z z z yD F z f x y x y y x y x --=-=---⎰⎰⎰⎰= 1-13(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1.故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ⎧-<<⎪'==-<⎨⎪⎩≤其它.方法二: 利用公式()(,)d :Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰2(),01,01,(,)0,x z x x z x f x z x ---<<<-<⎧-=⎨⎩其它 2,01,1,0,.z x x z x -<<<<+⎧=⎨⎩其它当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0; 当0<z <1时, 0()(2)d (2);zZ f z z x z z =-=-⎰当1≤z <2时, 121()(2)d (2).Zz f z z x z -=-=-⎰故Z = X +Y 的概率密度为222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ⎧-<<⎪=-<⎨⎪⎩≤其它.6. 设随机变量(X , Y )得密度为21,01,02,(,)30,.其它x xy x y x y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩≤≤≤≤试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <12|X <12}.解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0.当0<x ≤1, 0<y ≤2时, φ(x , y ) = x 2+13xy ,所以 201(,)(,)d d [()d ]d 3x yx yF x y u v u v u uv v u -∞-∞==+⎰⎰⎰⎰ϕ32211312x y x y =+. 当0<x ≤1, y >2时,2(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d xyx y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ϕϕϕ22001[()d ]d 3xu uv v u =+⎰⎰21(21)3x x =+. 当x >1, 0<y ≤2时,1(,)(,)d d [(,)d ]d xyyF x y u v u v u v v u -∞-∞==⎰⎰⎰⎰ϕϕ12001[()d ]d 3y u uv v u =+⎰⎰1(4)12y y =+. 当x >1, y >2时,122001(,)[()d ]d 13F x y u uv v u =+=⎰⎰.综上所述, 分布函数为220,00,1(),01,02,341(,)(21),01,2,31(4),1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ⎧⎪⎪+<<⎪⎪⎪=+<>⎨⎪⎪+><⎪⎪>>⎪⎩(2) 当0≤x ≤1时,22202()(,)d ()d 2,33X xy x x y y x y x x ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 222,01,()30,.其它≤≤X x x x x ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩当0≤y ≤2时,12011()(,)d ()d ,336Y xy y x y x x x y ϕϕ+∞-∞==+=+⎰⎰ 故 11,02,()360,.其它≤≤Y y y y ϕ⎧+⎪=⎨⎪⎩(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y yϕϕϕ+==+当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为(,)3(|).()62X x y x yy x y x ϕϕϕ+==+(4) 参见图3-10.图3-10 第9题积分区域 图3-11 第9题积分区域1{1}(,)d d x y P X Y x y x y ϕ+>+>=⎰⎰12201165d ()d .372xx x xy y -=+=⎰⎰ 同理, 参见图3-11.{}(,)d d y xP Y X x y x y ϕ>>=⎰⎰122117d ()d .324xx x xy y =+=⎰⎰ 1111{,}(,)112222{|}1122{}()22X P X Y F P Y X P X F <<<<==<211(,)22121()534.32()d |Xy x y x x x ϕ+==⎰。
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下,某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X N .现在测试了5炉铁水,其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变,问总体的均值有无显著变化?如果均值没有改变,问总体方差是否有显著变化()0.05α=?解 由题意知,()24.55,0.108X N ,5n =,511 4.3645i i x x ===∑,0.05α=,()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=已知时,①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时,0.975121.96uu α-==,临界值120.1081.960.09475c unασ-==⨯=, 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为当方差没有改变时,总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=已知时,①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时,临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======, 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即均值没有改变时,总体方差有显著变化.2.一种电子元件,要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件,得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100X N μ ,问这批元件是否合格()0.05α=?解 由题意知,()2,100X N μ ,25n =,950x =,0.05α=,0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时,0.05 1.65u u α==-,临界值()1001.653325c u nασ==⨯-=-, 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准质量为500g ,现从某天生产的罐头中随机抽测9罐,其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495(单位:g ),假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常()0.05α=?2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=?解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量(单位:g ).由题意知()2500,X N σ ,方差2σ未知. 9n =,911500.88899i i x x ===∑,0.05α=,()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑,()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==,临界值()12 5.79751 2.306 4.45649s c t n n α-=-=⨯=, 拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即认为机器工作正常.2)当0500μ=已知时,①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时,临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======, 拒绝域为22220212222{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查,抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克,标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右,问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=?解 由题意知,()23.25,X N σ,20n =, 3.399x =,0.05α=,0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时,()()10.95119 1.729t n t α--==,临界值()10.2691 1.7290.106719s c t n n α-=-=⨯=, 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048X N μ ,某日抽测8根纤维,其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39,问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=?解 由题意知()2,0.048X N μ ,8n =,811 1.421258i i x x ===∑,0.05α=,()()22211110.0122118n ni i i i s x xx x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.②当0.05α=时,临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-,拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ,标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个,测得寿命均值为1950h ,标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球,在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数,以Y 表示取到红球的只数,求X 和Y 的联合分布律.(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f(1) 确定常数k ; (2) 求{}3,1<<Y X P (3) 求{}5.1<X P ; (4) 求{}4≤+Y X P . 分析:利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解:(1)∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴81=k (2)83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P (3)3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P (4)32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次,以X 表示前2次出现H 的次数,以Y 表示3次中出现H 的次数,求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案
P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立 故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1
p·
16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5
p·
20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却 要写 X 的值域哦~
概率论与数理统计03-第三章作业及答案
概率论与数理统计03-第三章作业及答案习题3-1⽽且12{0}1P X X ==. 求1和2的联合分布律.解由12{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, ⽽121{0}{0}04P X P X =?==≠, 所以X 1和X 2不独⽴.2. 设随机变量(X ,Y )的概率密度为(,)(6),02,24,0,.f x y k x y x y =--<<<其它求: (1) 常数k ; (2) {1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.解 (1) 由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞, 得2424222204211d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-= , 所以 18k =. (2) 31201,31{1,3}d (6)d 8(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<==--??1322011(6)d 82y x x y =--321113()d 828y y =-=?. (3) 1.51.5 { 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞-∞-∞<==??4 1.521d (6)d 8y x y x --=22011(6)d 82y x x y =--?421633()d 882y y =-? 2732=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下⽅区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈(,)d d Gf x y x y =??44201d (6)d 8x y x y x -=--??4422011(6)d 82xy x x y -=--?42211[(6)(4)(4)]d 82y y y y =----? 42211[2(4)(4)]d 82y y y =-+-? 423211(4)(4)86y y =----?23=. 图3-8 第4题积分区域3. ⼆维随机变量(,)X Y 的概率密度为2(,),1,01,0,f x y kxy x y x =≤≤≤≤其它.试确定k , 并求2{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤. 解由2111401(,)d d d (1)d 26xk k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞-∞====-??,解得6=k .因⽽ 2112401{(,)}d 6d 3()d 4x xP X Y G x xy y x x x x ∈==-=. 4. 设⼆维随机变量(X , Y )概率密度为4.8(2),01,0,(,)0,.y x x y x f x y -=??≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因⽽, 有24.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(2),01,0,x X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞-<<==-<<=其它.其它. 124.8(2)d ,01,()(,)d 0,2.4(34),01,0,yY y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞-<<==-+<<=其它.其它.5. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量 1,1,1,1,U X U --=>-??若≤若 1,1,1, 1.U Y U -=>??若≤若试求:(1) X 和Y 的联合概率分布;(2){P X Y +≤1}.解 (1) 见本章第三节三(4).(2){P X Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144=-=. 习题3-21. 设(X , Y )的分布律为求: (1) 在条件X =2下Y 的条件分布律;(2) {22}P X Y ≥≤.解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件分布律为216.03.0}2{}1,2{}2|1{========X P Y X P X Y P ,06.00}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,616.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,316.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=. ⽽{2,2}{2,1}{2,2}{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤0.3000.20.5=+++=.因此{2,2}{22}{2}P X Y P X Y P Y =≥≤≤≥≤0.550.66==. 2. 设⼆维随机变量(X , Y )的概率密度为(,)1,01,02,0,.f x y x y x =<<<其它求:(1) (X , Y )的边缘概率密度(),()X Y f x f y ;(2)11{}.22P Y X ≤≤ 解 (1) 当01x <<时,20()(,)d d 2xX f x f x y y y x +∞-∞===?;当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.故 2,01,()0,其它.X x x f x <<=??当02()(,)d d 12y Y y f y f x y x x +∞-∞===-;当y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.故 1,02,()20,.Y yy f y -<<=其它 (2) 当z ≤0时,()0Z F z =; 当z ≥2时,1)(=z F Z ;当0z f x y x y -=≤2x12202-2d 1d d 1d zxz x zx y x y =?+24z z =-.故 1,02,()20,.()其它Z zzz f z F z -<<'== (3) {}{}11311322161122442≤,≤≤≤≤P X Y P Y X P X ===. 3. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三⾓形区域, ⼆维随机变量(,)X Y 在G 上服从⼆维均匀分布.求: (1) (X , Y )的联合概率密度;(2) {1}P Y X -≤;(3) 关于X 的边缘概率密度.解 (1)由于三⾓形区域G 的⾯积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为∈=.),(,0,),(,21),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则{1}P Y X -≤0011113d d (2)22224G G x y S ===-=??. 其中0G S 为G 0的⾯积.(3) X 的边缘概率密度()(,)d X f x f x y y +∞-∞=?. 所以,当]3,1[∈x 时, 311()d (3)22X xf x y x ==-?. 当1x 时, 0)(=x f X .因此∈-=.,0],3,1[),1(21)(其它x x x f X习题3-31. 设X 与Y 相互独⽴, 且分布律分别为下表:求⼆维随机变量(,)X Y 的分布律.解由于X 与Y 相互独⽴, 所以有}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =?====,6,5,2,0;0,21,1=--=j i .因此可得⼆维随机变量(,)X Y 的联合分布律2. 设(X , Y )的分布律如下表:问,αβ为何值时X 与Y 相互独⽴? 解由于边缘分布满⾜23111,1i j i j p p ??====∑∑, ⼜X , Y 相互独⽴的等价条件为p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).故可得⽅程组 21,3111().939αβα++==?+解得29α=,19β=.经检验, 当29α=,19β=时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i .p .j 成⽴. 因此当29α=,19β=时, X 与Y 相互独⽴..3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为()e (,)0,.,01,0,x y b f x y x y -+=?<<>?其它 (1) 试确定常数b .(2) 求边缘概率密度()X f x , ()Y f y . (3) 问X 与Y 是否相互独⽴?解 (1) 由11()101(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞-∞====-?,得 111e b -=-.(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞=?1e ,01,1e 0,xx --<<=-??其它.()(,)d Y f y f x y x ∞-∞=?e ,0,0,y y ->=其它.(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =?,所以X 与Y 相互独⽴.4. 设X 和Y 是两个相互独⽴的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为21e ,0,()20Y yy f y y ->=,≤0.(1) 求X 和Y 的联合概率密度.(2) 设关于a 的⼆次⽅程为220a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为1,01,()0,X x f x <<=??其它, 21e ,0,()20,.yY y f y ->=其它因X 和Y 相互独⽴, 故(X , Y )的联合概率密度为21e ,01,(,)()()20,.yX Y x y f x y f x f y -<<>==其它 (2) ⽅程有实根的充要条件是判别式⼤于等于零. 即244X Y ?=-≥20X ?≥Y .因此事件{⽅程有实根}2{X =≥}Y .下⾯计算2211221(,)d d e d (1e)d 2yxx Df x y xdy x y x --===-2121ed 12[(1)(0)]0.1445xx πΦΦ-=-=--≈?.图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设⼆维随机变量(X ,Y )的概率分布为YX 0 10 0.4 a 1 b 0.1若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独⽴, 求常数a , b .解⾸先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外,{0}0.4P X a ==+,{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====. 根据题意有{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=,即(0.4)0.5a a =+?. 解得0.4,0.1a b ==.2. 设两个相互独⽴的随机变量X ,Y 的分布律分别为求随机变量Z = X + Y 的分布律.解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.Z 的分布律为18.06.0.03}2,1{}3{=?=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}0.30.4070.60.54P Z P X Y P X Y ====+===?+?=,28.04.07.0}4,3{}7{=?=====Y X P Z P ,或写为3. 设X 和Y 是两个相互独⽴的随机变量, 且X 服从正态分布N (µ, σ2 ), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.解已知X 和Y 的概率密度分别为22()2()x X f x µσ--=,),(+∞-∞∈x ;-?-∈=).,(,0),,(,21)(a a y a a y ay f Y .由于X 和Y 相互独⽴, 所以22()21()()()d d 2z y a Z X Y f z f z y f y y y a µσ---+∞=1[()()]2z µa z µa ΦΦa σσ-+---. 4. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正⽅形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布, 试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为111,3,3,(,)40,.x y f x y =≤≤≤≤其它记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =-≤u }=0; 当u ≥2时,()1F u =;当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域||(){}(,)d d x y uF u P U u f x y x y -==≤≤21[42(2)]412u =-?- 211(2)4u =--.故随机变量||U X Y =-的概率密度为1(2),02,()20,u u p u -<<=其它..总习题三1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为<<<=.,0,10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.解⾸先(,)其它X x x f x f x y dy +∞-∞<<==??1,01,()1,10,0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞-∞-<<==+-图3-9第1题积分区域当01y <<时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=??取其它值.当1y -<≤0时, |1,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=??取其它值.当10<,||,(|)20,Y X y x f y x x y <=取其它值.2. 设随机变量X 与Y 相互独⽴, 下表列出⼆维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填⼊表中空⽩处 .解⾸先, 由于11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==, 所以有24P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=.在此基础上利⽤X 和Y 的独⽴性, 有11111{,}124{}1{}46P X x Y y P X x P Y y =======.于是 2113{}1{}144P X x P X x ==-==-=.再次, 利⽤X 和Y 的独⽴性, 有12211{,}18{}1{}24P X x Y y P Y y P X x =======. 于是 312111{}1{}{}1623P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.最后, 利⽤X 和Y 的独⽴性, 有2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======?=; 2323311{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======?=; 1313111{,}{}{}43123.(34)e (,)0,.,0,0,x y k f x y x y -+=?>>??其它(1) 求常数k ;(2) 求(X ,Y )的分布函数;(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤; (4) 计算(),x f x ()y f y ;(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独⽴?解 (1)由3401(,)d d e d e d 12xy kf x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞-∞===,可得12=k .(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞-∞=??.当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;当,0>>y x 时,34340(,)12e d e d (1e )(1e )x即 34(1e )(1e ),0,0,(,)0,.其它x y x y F x y --?-->>=??(3) {01,02}P X Y <<≤≤38(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.(4) (34)012ed ,0,()(,)d 0,其它.x y X y x f x f x y y +∞-++∞-∞>==所以 33e ,0,()0,其它.x X x f x -?>=??类似地, 有44e ,0,()0,其它.y Y y f y -?>=?显然2),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈??=, 故X 与Y 相互独⽴. 4.解已知),(Y X 的分布律为注意到41260}1{}1{=++====Y P X P , ⽽0}1,1{===Y X P ,可见P{X=1, Y=1}≠P{X=1}P{Y=1}. 因此X与Y不相互独⽴.(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且316161}1,2{}2,1{}3{=+===+====Y X P Y X P Z P , }1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P 3 112161121=++=, 3(3) V =21}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 2 1}2{1}3{==-==V P V P . 即max(,)V X Y =的分布律为(4) min{U =}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 21=, 21}1{1}2{==-==U P U P .即min{,}U X Y =的分布律为(5) W U =+31}1,2{}2,1{}2,1{}3{===+=======Y X P Y X P V U P W P ,。
概率论与数理统计第三、四章答案
第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解:由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====,得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2.用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。
解:方法一:先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二:利用习题二地30题的计算结果(见下表),按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,(1)计算圆半径的期望值;(2)(2)E R π是否等于2ER π?(3)能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算?其结果是什么?解(1)100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==(3)因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4. 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5.计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差(参看习题二第16题)。
概率论与数理统计第3章课后题答案
概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率:(1)P( a);(2)P( a);(3)P( a);(4)P( a) 解:(1)P( a) F(a 0) F(a);(2)P( a) F(a 0);(3)P( a)=1-F(a);(4)P( a) 1 F(a 0)。
3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果(1) x(2)0 x ,在其它场合适当定义;(3)- x 0,在其它场合适当定义。
解:(1)F(x)在(- , )设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x),即p(x) p( x),证明:对任意的a 0,有(1)F( a) 1 F(a)12ap(x)dx;(2)P( a) 2F(a) 1;(3)P( a) 2 1 F(a) 。
证:(1)F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 (2)P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx;ap(x)dx 2 p(x)dx,由(1)知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1;12ap(x)dx。
(3)P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数,又a 0,b 0是两个常数,且a b 1。
证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数,并由此讨论,分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型?证:因为F1(x)与F2(x1) F2(x2),于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数,当x1 x2时,F1(x1) F1(x2),又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以,F(x)也是分布函数。
概率论与数理统计第三、四章答案
概率论与数理统计第三、四章答案第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解:由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====,得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2.用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。
解:方法一:先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二:利用习题二地30题的计算结果(见下表),按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,(1)计算圆半径的期望值;(2)(2)E R π是否等于2ER π?(3)能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数,则ξ的分布表如下表所示(a=188)ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解 记ξ为种子甲的每公顷产量,η为种子乙的每公顷产量,则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8.一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少(假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响)?解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则 题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。
概率论与数理统计第三、四章答案
第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解:由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====,得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2.用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长期望的分布计算。
解:方法一:先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二:利用习题二地30题的计算结果<见下表>,按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题,〔1〕计算圆半径的期望值;〔2〕(2)E R π是否等于2ER π?〔3〕能否用2()ER π来计算远面积的期望值,如果不能用,又该如何计算?其结果是什么?解〔1〕100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯= 〔2〕由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==〔3〕因为22()()E R E R ππ≠,所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果,按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4. 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ,求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得2,3a k ==5.计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差〔参看习题二第16题〕。
数理统计第三章作业参考解答(部分)
第三章作业参考解答3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布()2N μσ,,其中40σ=(kg / cm 2)。
现从一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产时的μ相比,X 较μ大20(kg / cm 2)。
设总体方差不变,问在0.01α=下能否认为这批钢索质量有显著提高?解:本题需检验0H :0μμ=,1H :0μμ>.钢索的断裂强度服从正态分布,0σ已知,∴当0H成立时,选取统计量u =,其拒绝域为{}1V u u α-=>. 其中040σ=,9n =,020X μ-=,0.01α=.则 1.5u ==. 查表得10.990.01 2.33u u u u αα-==-=-=,得0.99u u <,未落在拒绝域中,接受0H ,即认为这批钢索质量没有显著提高。
3.5 测定某种溶液中的水分。
它的10个测定值给出0.452%X =,0.035%S =。
设总体为正态分布()2N μσ,,试在水平5%检验假设:(i )0H :0.5%μ>; 1H :0.5%μ<.(ii )0H :0.04%σ≥; 1H :0.04%σ<.解:(i )总体服从正态分布,0σ未知,当0H成立时,选取统计量t =(){}1V t t n α=<-. 查表得()()0.050.9599 1.8331t t =-=-.而()4.114 1.83311t t n α==-<-=-. 落在拒绝域中,拒绝0H .(ii )总体服从正态分布,μ未知,当0H 成立时,选取统计量2220nS χσ=,其拒绝域为(){}221V n αχχ=<-.查表得()20.059 3.325χ=. 而()()()2222100.035%7.65610.04%n αχχ⨯==>-. 未落在拒绝域中,接受0H .3.10和3.13见课件。
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下,某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水,其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变,问总体的均值有无显著变化?如果均值没有改变,问总体方差是否有显著变化()0.05α=? 解 由题意知,()24.55,0.108XN ,5n =,511 4.3645i i x x ===∑,0.05α=,()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=时,①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时,0.975121.96uu α-==,临界值121.960.0947c α-===, 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为当方差没有改变时,总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=时,①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时,临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======, 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即均值没有改变时,总体方差有显著变化.2.一种电子元件,要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件,得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100XN μ,问这批元件是否合格()0.05α=?解 由题意知,()2,100XN μ,25n =,950x =,0.05α=,0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时,0.05 1.65u u α==-,临界值()1.6533c α==-=-, 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准质量为500g ,现从某天生产的罐头中随机抽测9罐,其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495〔单位:g1)机器工作是否正常()0.05α=?2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=?解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量〔单位:g 〕.由题意知()2500,XN σ,方差2σ未知. 9n =,911500.88899i i x x ===∑,0.05α=,()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑,()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==,临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==,拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即认为机器工作正常.2)当0500μ=时,①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时,临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======,拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查,抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克,标准差为()0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右,问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=?解 由题意知,()23.25,XN σ,20n =, 3.399x =,0.05α=,0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时,()()10.95119 1.729t n t α--==,临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==, 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年. 5.某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ,某日抽测8根纤维,其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39,问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=? 解 由题意知()2,0.048XN μ,8n =,811 1.421258i i x x ===∑,0.05α=,()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=. ②当0.05α=时,临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-,拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ,标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个,测得寿命均值为1950h ,标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
概率论与数理统计课程第三章练习题及解答
第三章 多维随机变量及其分布一、判断题(在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” )1、若X ,Y 均服从正态分布,则(X ,Y )服从二维正态分布 ( × )2、随机变量(X ,Y )的概率密度为22,1(,)0,k x y f x y ⎧+≤=⎨⎩其它,则π1=k (√ )3、有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布。
(√) 二、单选题1、随机变量X ,Y 相互独立且~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,则下列各式成立的是( B )A .21}0{=≤+Y X P ; B .21}1{=+≤Y X P ; C .21}0{=≥+Y X P ; D .-≤=1{1}2P X Y 。
分析 因X ,Y 相互独立,它们又都服从正态分布,因此X +Y 与X -Y 也都服从正态分布,且(1,2)X Y N + ,(1,2)X Y N --,由于1{1}(0)2P X Y +≤=Φ=Φ=,选B2、设随机变量21,X X 的分布律为:101111424iX p- i =1,2且满足1}0{21==X X P ,则==}{21X X P ( A )A .0;B .41;C .21; D .1。
分析 从1}0{21==X X P ,可知12{0}0P X X ≠=,即12121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0P X X P X X P X X P X X =-=-==-====-==== 根据联合分布与边缘分布的关系,求出21,X X 的联合概率分布12121212{}{1,1}{0,0}{1,1}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===,选A 3、设随机变量X ,Y 相互独立且同分布:1{1}{1}2P X P Y =-==-=,1{1}{1}2P X P Y ====,则下列各式成立的是( A )A .1{}2P X Y ==; B .{}1P X Y ==; C .1{0}4P X Y +==; D .1{1}4P XY ==。
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习 题 三1.正常情况下,某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108X N :.现在测试了5炉铁水,其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变,问总体的均值有无显著变化?如果均值没有改变,问总体方差是否有显著变化()0.05α=?解 由题意知,()24.55,0.108X N :,5n =,511 4.3645i i x x ===∑,0.05α=,()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=已知时,①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时,0.975121.96uu α-==,临界值121.960.0947c α-===, 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为当方差没有改变时,总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=已知时,①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=.②当0.05α=时,临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======, 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即均值没有改变时,总体方差有显著变化.2.一种电子元件,要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件,得其均值950x h =.已知该种元件寿命()2,100X Nμ:,问这批元件是否合格()0.05α=?解 由题意知,()2,100X Nμ:,25n =,950x =,0.05α=,0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时,0.05 1.65u u α==-,临界值()1.6533c α==-=-, 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准质量为500g ,现从某天生产的罐头中随机抽测9罐,其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495(单位:g ),假定罐头质量服从正态分布.问1)机器工作是否正常()0.05α=?2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=?解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量(单位:g ).由题意知()2500,X N σ:,方差2σ未知. 9n =,911500.88899i i x x ===∑,0.05α=,()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑,()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==,临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==, 拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即认为机器工作正常.2)当0500μ=已知时,①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=.②当0.05α=时,临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======, 拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查,抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克,标准差为()0.269元/500克.已知往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右,问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=?解 由题意知,()23.25,X N σ:,20n =, 3.399x =,0.05α=,0.269s =. ①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时,()()10.95119 1.729t n t α--==,临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==, 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年.5.已知某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048X Nμ:,某日抽测8根纤维,其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39,问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=?解 由题意知()2,0.048X N μ:,8n =,811 1.421258i i x x ===∑,0.05α=,()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=.②当0.05α=时,临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-,拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈,所以拒绝0H ,接受1H ,即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件,要求平均寿命不得低于2000h ,标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个,测得寿命均值为1950h ,标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
试在显著性水平0.05α=下,确定这批元件是否合格.解 设X 表示这批元件的寿命,由题意知()22000,130X N :,25n =,1950x =,0.05α=,148s =.1)①设统计假设0010:2000,:2000H H μμμμ≥=<=.②当0.05α=时,()()0.05124 1.711t n t α-==-,临界值()()1 1.71150.6456c n α=-=-=-, 拒绝域为000{}{50.6456}K x c x μμ=-<=-<-.③001950200050x K μ-=-=-∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即认为这批元件平均寿命不得低于2000h .2)①设统计假设2222220010:130,:130H H σσσσ≤=>=.②当0.05α=时,临界值()()2210.9511124 1.5175124c n n αχχ-=-==-, 拒绝域为2202200{}{1.5175}s s K c σσ=>=>.③220220148 1.2961130s K σ==∉,所以接受0H ,拒绝1H ,即认为这批元件标准差不超过130h . 所以这批元件合格.7.设12,,,n X X X K 为来自总体(),4X N μ:的样本,已知对统计假设0:1;H μ=1: 2.5H μ=的拒绝域为{}02K X =>.1)当9n =时,求犯两类错误的概率α与β;2)证明:当n →+∞时,0,0αβ→→.解 1)(),4X N μ:,01:1,: 2.5,H H μμ=={}02K X =>,9n =.{}21 1.5X P X P αμ⎫=>==>=⎬⎭()1 1.50.0668=-Φ=,{}2 2.50.75X P X P βμ⎫=≤===-⎬⎭()()0.7510.750.2266=Φ-=-Φ=.2)(),4X N μ:,01:1,: 2.5,H H μμ=={}02K X =>.{}()2110,X P X P n αμ=>==>==-Φ→→+∞⎪⎭⎝⎭,{}()2 2.510,X P X P n βμ=≤==≤==-Φ→→+∞⎪⎭⎝⎭8.设需要对某一正态总体(),4X N μ:的均值进行假设检验01:15;:15H H μμ=<取检验水平0.05α=,试写出检验0H 的统计量和拒绝域.若要求当1H 中的13μ=时犯第Ⅱ类错误的概率不超过0.05β=,估计所需的样本容量n . 解 01~(,4),:15;:15X N H H μμμ=<. 拒绝域为{}015K X c =-<,统计量为 1.65c u α==-=151313P X P Xβ⎛⎫⎛⎫=-≥==-≥ ⎪ ⎝⎭⎝1.651 1.650.05X X P P ⎫⎫=≥=-≤≤⎪⎪⎭⎭,20.951.65) 1.65 3.30, 3.311u n Φ≥≥=≥=.所需的样本容量11n =.9.设12,,,n X X X K 来自总体()20,X Nμσ:的样本,20σ为已知,对假设00:H μμ=,11:H μμ=,其中01μμ≠,试证明()()2211210n u u αβσμμ--=+-. 解 由题意知()20,X Nμσ:,且20σ为已知,故1c u α-=001K x u αμ-=>+.01X βμμμ=≤P(+c =)110)?P u αμ-=≤=10(u α-=Φ,所以11u u βα--+=()()2210112nu u αβμμσ---+=,即()()2211210n u u αβσμμ--=+-. 10.设1217,,,X X X K 为来自总体()20,X N σ:样本,对假设2201:9,: 3.319H H σσ==的拒绝域{}204K s =<.求犯第Ⅰ类错误的概率α和犯第Ⅱ错误的β. 解 由题意知()20,X N σ:,{}2202499s P W K ασσ⎧⎫=∈==<⎨⎬⎩⎭,()24117917c αχ==,查表得0.025α=; {}220243.319 3.314s P W K βσσ⎧⎫=∉==≥⎨⎬⎩⎭,()2141173.31417c βχ-==,查表得0.25β=. 11.设总体的密度函数为()1,01,;0, .x x f x θθθ-⎧<<=⎨⎩其他,统计假设0:=1H θ,1:=2H θ.现从总体中抽取样本12,X X ,拒绝域02134K X X ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,求:犯两类错误的概率,αβ.解 当0:=1H θ成立时,()1,01,;0, .x f x θ<<⎧=⎨⎩其他{}0213114P W K P X X αθθ⎧⎫=∈==≤=⎨⎬⎩⎭1314321040.2510.250.75ln 0.75x dx dx =-=+⎰⎰;当1:=2H θ成立时,()2,01,;0, .x x f x θ<<⎧=⎨⎩其他{}0213224P W K P X X βθθ⎧⎫=∉==>=⎨⎬⎩⎭1314312210433994ln 0.7544168x x x dx dx =⨯+⋅=+⎰⎰. 12.设总体()2,X Nμσ:,根据假设检验的基本原理,对统计假设:()()20011101):,:H H μμμμμμσ==>已知;()200102):,:H H μμμμσ≥<未知,试分析其拒绝域.解 1)因为()2,X N μσ:,所以2,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()0,1X N :, 当2σ已知时,10X P u H αα-⎧⎫⎪>=⎬⎪⎭,即0P X μα⎧>=⎨⎩,所以拒绝域为00K X μ⎧=>+⎨⎩.2)因为()2,X N μσ:,所以2,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()0,1X N :,当2σ未知时,用2S 作为2σ()1X t n -:,()01X P t n H αα⎧⎫⎪<-=⎬⎪⎭,即01St n P X μα-⎧⎫<+=⎨⎩,所以拒绝域为001st n K X μ-⎧⎫=<⎨⎩. 13.设总体()2,X Nμσ:根据假设检验的基本原理,对统计假设:()222200101):,:H H σσσσμ=>已知;()222200102):,:H H σσσσμ≤>未知,试分析其拒绝域. 解1) 因为()2,X Nμσ:,当μ已知时,()222nSn χσ:,()22102nS P n H αχασ-⎧⎫⎪⎪>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,即()22201P S n n ασχα-⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭, 所以拒绝域为()222001K S n n ασχ-⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭.2) 因为()2,X N μσ:,当μ未知时,()()22211n S n χσ--:, ()()2210211n S P n H αχασ-⎧⎫-⎪⎪>-=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,即()()2220111P S n n ασχα-⎧⎫⎪⎪>-=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭, 所以拒绝域为()()22200111K S n n ασχ-⎧⎫⎪⎪=>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭. 14.从甲乙两煤矿各取若干个样品,得其含灰率()%为 甲:24.3,20.8,23.7,21.3,17.4, 乙:18.2,16.9,20.2,16.7假定含灰率均服从正态分布且2212σσ=.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异()0.05α=?解 设,X Y 分别表示甲乙两煤矿的含灰率.由题意知:2212(,),(,)X N Y N μσμσ::. 5,4,21.5,18n m x y ====,22127.505, 2.59333s s ==.问甲、乙两煤矿的含灰率有无显著差异,因此,可进行以下假设检验。