常用积分表绝对有帮助
常用积分表
常 用 积 分 公 式（一）含有的积分() ax b +0a ≠1．d x ax b +∫＝1ln ax b C a ++2．＝()ax b x μ+∫d 11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠−）3．d x x ax b +∫＝21(ln )ax b b ax b C a +−++4．2d x x ax b +∫＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+−++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +∫＝1ln ax bC b x +−+6．2d ()x x ax b +∫＝21ln a ax bC bx b x+−++ 7．2d ()x x ax b +∫＝21(ln )bax b C a ax ++++b8．22d ()x x ax b +∫＝231(2ln b ax b b ax b C a ax b +−+−++9．2d ()x x ax b +∫＝211ln ()ax b C b ax b b x+−++的积分10．x ∫C +11．x ∫＝22(3215ax b C a −+12．x x ∫＝22232(15128105a x abx b C a−++13．x∫＝22(23ax b C a −+14．2x ∫＝22232(34815a x abx b C a −++15．∫＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．∫2a bx b −−∫17．d x x ∫＝b + 18．2d xx ∫＝2a x −+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +∫=1arctan xC aa +20．22d ()n x x a +∫=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n n a x a n a x a −−x−+−+−+∫21．22d x x a −∫=1ln 2x a C a x a−++（四）含有的积分2(0ax b a +>)22．2d x ax b +∫＝(0)(0)x C b Cb ⎧+>⎪⎪⎨+<23．2d x x ax b +∫＝21ln 2ax b C a ++24．22d x x ax b +∫＝2d x b xa a axb −+∫25．2d ()x x ax b +∫＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()x x ax b +∫＝21d a xbx b ax b −−+∫ 27．32d ()x x ax b +∫＝22221ln 22ax b a C b x bx+−+ 28．22d ()x ax b +∫＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++∫（五）含有的积分2ax bx c ++(0a >)29．2d x ax bx c ++∫＝22(4)(4)C b C b ac +<+>ac 30．2d x x ax bx c ++∫＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++−++∫(0a >)的积分31．∫＝1arshxC a +＝ln(x C ++ 32．∫C +33．x ∫C34．x ∫＝C +35．2x ∫2ln(2a x −++C36．2x ∫＝ln(x C +++37．∫1ln aC a x −+38．∫2C a x −+40．x ∫＝2243(25ln(88x x a a x C ++++43．d x x ∫ln a a C x −++44．2d x x∫＝ln(x C x −+++(0a >)的积分45．＝1arch x xC x a+=C + 46．∫C +47．x ∫C +48．x ∫＝C +49．2x ∫22a ++C50．2x ∫＝ln C ++51．∫1arccos aC a x+52．∫2C a x +53．x ∫2ln 2a −+C54．x ∫＝2243(25ln 88x x a a C −++55．x ∫C +56．xx ∫＝422(288x a x a C −−+57．d x x∫arccos aa C x −+58．2d x x ∫＝ln C x −++(0a >)的积分 59．∫＝arcsinxC a + 60．∫C +61．x ∫＝C +62．x ∫C +63．2x ∫＝2arcsin 2a x C a ++64．2x ∫C +65．∫1ln a C a x −+66．∫2C a x −+67．∫x 2arcsin 2a C a++x68．∫x ＝2243(52arcsin 88x x a x a a C −++69．∫x ＝C +70．x∫x ＝422(2arcsin 88x a x x a C a−++71．d x x ∫ln a a C x −++72．2d x x∫＝arcsin xC x a −−+(0a >)的积分73．∫C +74．x ∫2C ++75．x ∫C −+76．∫＝C +77．x ∫2C ++78．x ∫＝C ++79．x ∫＝((x b b a C −−++80．x ∫＝((x b b a C −−+81．∫C+()a b <82．x ∫C ++()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ∫＝cos x C −+84．cos d x x ∫＝sin x C + 85．tan d x x ∫＝ln cos x C −+ 86．cot d x x ∫＝ln sin x C + 87．sec d x x ∫＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ∫＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C −+ 89．2sec d x x ∫＝tan x C + 90．2csc d x x ∫＝cot x C −+ 91．sec tan d x x x ∫＝sec x C + 92．csc cot d x x x ∫＝csc x C −+93．2sin d x x ∫＝1sin 224x x C −+ 94．2cos d x x ∫＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ∫＝1211sin cos sin d n n n x x x n n−−−−+∫x 96．cos d n x x ∫＝1211cos sin cos d n n n x x x n n−−−+∫x 97．d sin n x x ∫＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n −−−−⋅+−−∫x 98．d cos n x x ∫＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n −−−⋅+−−∫x99．cos sin d m n x x x ∫＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x m n m n−+−x x −+++∫ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x m n m n +−−x x −−+++∫100．＝sin cos d ax bx x ∫11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b −+−−++−101．＝sin sin d ax bx x ∫11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b −++−++−102．＝cos cos d ax bx x ∫11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++−++−103．d sin xa b x +∫tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +∫C+22()a b <105．d cos xa b x +∫)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +∫C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +∫＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x 1tan ln 2tan b x a C ab b x a +−∫＝+−109．sin d x ax x ∫＝211sin cos ax x ax C a a −+ 110．2sin d x ax x ∫＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a −+++111．cos d x ax x ∫＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ∫＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+−+（十二）含有反三角函数的积分（其中）0a >113．arcsin d x x a ∫＝arcsin xx C a+114．arcsin d xx x a ∫＝C +115．2arcsin d xx x a∫＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d xx a ∫＝arccosxx C a−+117．arccos d xx x a ∫＝C +118．2arccos d xx x a∫＝3221arccos (239x x x a C a −++ 119．arctand x x a ∫＝22arctan ln()2x a x a x C a −++ 120．arctan d x x x a∫＝221()arctan 22x aa x x C a +−+121．2arctan d xx x a∫＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a −+++ （十三）含有指数函数的积分122．＝d xa x ∫1ln xa C a + 123．e d axx ∫＝1e ax C a +124．e d axx x ∫＝21(1)e ax ax C a −+125．e d n axx x ∫＝11e e n ax n ax n d x x x a a−−∫126．d xxa x ∫＝21ln (ln )x xx a a a a C −+ 127．d nxx a x ∫＝11d ln ln n x n xn x a x a a a −−∫x 128．＝e sin d axbx x ∫221e (sin cos )ax a bx b bx C a b −++ 129．＝e cos d ax bx x ∫221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．＝e sin d ax n bx x ∫12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n−−+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n−−++∫ 131．＝e cos d ax n bx x ∫12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n−++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n−−++∫ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ∫＝ln x x x C −+ 133．d ln x x x ∫＝ln ln x C +134．ln d n x x x ∫＝111(ln )11n x x C n n +−+++ 135．(ln )d n x x ∫＝1(ln )(ln )d n n x x n x −−∫x 136．(ln )d m n x x x ∫＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x m m +−−++∫x （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ∫＝ch x C +138．ch d x x ∫＝sh x C +139．th d x x ∫＝ln ch x C + 140．2sh d x x ∫＝1sh224x x C −++ 141．2ch d x x ∫＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．＝＝0 cos d nx x π−π∫sin d nx x π−π∫143．＝0 cos sin d mx nx x π−π∫144．＝ cos cos d mx nx x π−π∫0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．＝ sin sin d mx nx x π−π∫0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩146．＝＝0sin sin d mx nx x π∫0cos cos d mx nx x π∫0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π∫＝20cos d n x x π∫ n I ＝21n n I n−− 134225n n n I n n −−=⋅⋅⋅⋅−"3（为大于1的正奇数），n 1I ＝1 13312422n n n I n n −−π=⋅⋅⋅⋅⋅"n （为正偶数），0I ＝2π −。
三角函数常用积分表
三角函数常用积分表三角函数常用积分表_________________________三角函数是数学中非常重要的函数，它是在研究三角形和各种复杂几何图形时经常用到的。
三角函数可以用来求解空间几何图形的形状和面积，还可以用来计算一些复杂的数学表达式。
本文将介绍常见的三角函数积分表，并详细说明每个积分表的具体含义和用途。
一、正弦函数积分表正弦函数的定义为：y=sin x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}sin tdt=1-cos x$$$$\int_{0}^{x}cos tdt=sin x$$$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$正弦函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
二、余弦函数积分表余弦函数的定义为：y=cos x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}cos tdt=sin x$$$$\int_{0}^{x}sin tdt=1-cos x$$$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$余弦函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
三、正切函数积分表正切函数的定义为：y=tan x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$$$\int_{0}^{x}sec^2tdt=tan x+C$$正切函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
四、反正切函数积分表反正切函数的定义为：y=cot x，它的积分表如下：$$\int_{0}^{x}cot tdt=-ln|sin x|+C$$$$\int_{0}^{x}tan tdt=ln|sec x+tan x|+C$$$$\int_{0}^{x}csc^2tdt=-cot x+C$$反正切函数的积分表可以用来求解各种三角形面积、复杂几何图形面积、曲线面积以及各类复杂数学表达式。
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分
【高等数学】秒杀必背积分表三角部分欢迎纠错常用极限，导数，级数秒杀必背积分表实数部分秒杀必背积分表三角部分基本三角公式sec 2 x − tan 2 x = 1 csc 2 x − cot 2 x = 1 ∫ sec x d x = l n ∣ sec x + tan x ∣ + C ∫ csc x d x = l n ∣ csc x − cot x ∣ + C ∫ tan x d x = − ln ∣ cos x ∣+ C ∫ cot x d x = ln ∣ sin x ∣ +C \sec^2x-\tan^2x=1\\\ \\ \csc^2x-\cot^2x=1\\\ \\ \int \sec x dx=ln|\sec x+\tan x|+C\\\ \\ \int \csc x dx=ln|\csc x-\cot x|+C\\\ \\ \int \tan xdx=-\ln |\cos x |+C\\\ \\ \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\\ \\sec2x−tan2x=1 csc2x−cot2x=1 ∫secxdx=ln∣secx+tanx ∣+C ∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C ∫tanxdx=−ln∣cosx ∣+C ∫cotxdx=ln∣sinx∣+C∫ arcsin x d x = x arcsin x + 1 − x 2 +C ∫ arccos x d x = x arccos x − 1 − x 2 + C ∫ arctan x d x = x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C ∫ a r c c o t x d x = π 2 x − ∫arctan x d x \int \arcsin x dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\\\ \\ \int \arctan x dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\\\ \\ \int arccot xdx=\frac{\pi}{2}x-\int \arctan x dx∫arcsinxdx=xarcsinx+1−x2ln(1+x2)+C ∫arccotxdx=2πx−∫arctanxdx简单积分策略∫ sin n x cos m x d x m ， n 至少一奇数，凑偶数项 m ， n 均为偶数，倍角降幂 s e c 偶凑 t a n ， s e c 奇凑 s e c \int\sin^nx \cos^m xdx\\\ \\ m，n至少一奇数，凑偶数项\\m，n均为偶数，倍角降幂\\\ \\ sec偶凑tan，sec奇凑sec ∫sinnxcosmxdx m，n至少一奇数，凑偶数项m，n均为偶数，倍角降幂sec偶凑tan，sec奇凑sec三角有理函数积分① 若 R ( − sin x , cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d cos x ② 若 R ( sin x , − cos x ) = − R ( sin x , cos x ) ，凑 d sin x ③ 若 R ( − sin x , −cos x ) = R ( sin x , cos x ) ，凑 d tan x ∫ 0 π 2 f ( cos x , sin x ) d x = ∫ 0 π 2 f ( sin x , cos x ) d x ∫ 0 π x f( sin x ) d x = π 2 ∫ 0 π f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( sin x ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x ∫ 0 π x f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π2 ∫ 0 π f ( ∣ cos x ∣ ) d x = π ∫ 0 π 2 f ( cos x ) d x = ∫ 0 π x f ( sin x ) d x ∫ 0 1 x m ( 1 − x ) n d x = ∫ 0 1 ( 1 − x ) m x n d x 三角有理函数积分\\ ①若R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)，凑d\cos x\\ ②若R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)，凑d\sin x\\ ③若R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)，凑d\tan x\\\ \\ \\\ \\ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x,\sin x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sinx,\cos x)dx\\\ \\ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x) dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx\\\ \\ \int_0^\pixf(|\cos x|) dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(|\cos x|)dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx =\int_0^\pi xf(\sin x) dx\\\ \\ \int_0^1x^m(1-x)^ndx = \int_0^1(1-x)^mx^ndx 三角有理函数积分①若R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dcosx②若R(sinx,−cosx)=−R(sinx,cosx)，凑dsinx③若R(−sinx,−cosx)=R(sinx,cosx)，凑dtanx ∫02πf(cosx,sinx)dx=∫02πf(sinx,cosx)dx ∫0πxf(sinx)dx=2π∫0πf(sinx)dx=π∫02πf(sinx)dx=π∫02πf(cosx)dx ∫0πxf(∣cosx∣)dx=2π∫0πf(∣cosx∣)dx=π∫02πf(cosx)dx=∫0πxf(sinx)dx ∫01xm(1−x)ndx=∫01(1−x)mxndx三角秒杀积分∫ 0 π sin θ d θ = 2 ∫ 0 π 2 sin n θ cos θ d θ = ∫ 0 π 2 sin θ cos nθ d θ = 1 n + 1 ∫ 0 π sin 2 θ d θ =∫ 0 π cos 2 θ d θ = π 2 ∫ 0 π sin 3 θ d θ = 3 4 ; ∫ 0 π cos 3 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 4 θ d θ = ∫ 0 π cos 4θ d θ = 3 π 8 ∫ 0 π sin 5 θ d θ =16 15 ; ∫ 0 π cos 5 θ d θ = 0 ∫ 0 π sin 6 θ d θ = ∫ 0 π cos 6 θ d θ = 5 π 16 \int_0^\pi \sin \theta \space d\theta=2\\\ \\ \int_0^{\frac \pi 2}\sin^n \theta \cos \theta\space d\theta =\int_0^{\frac \pi 2}\sin \theta \cos^n \theta \space d\theta =\frac{1}{n+1}\\\ \\ \int_0^\pi \sin^2 \theta\space d\theta=\int_0^\pi \cos^2\theta\space d\theta=\frac \pi 2\\\ \\ \int_0^\pi\sin^3\theta\space d\theta=\frac 3 4 \space ; \space\int_0^\pi \cos^3 \theta\space d\theta=0\\\ \\\int_0^\pi \sin^4 \theta\space d\theta=\int_0^\pi\cos^4 \theta\space d\theta=\frac {3\pi} 8\\\ \\\int_0^\pi \sin^5\theta\space d\theta=\frac {16} {15} \space ; \space \int_0^\pi \cos^5 \theta\spaced\theta=0\\\ \\ \int_0^\pi \sin^6 \theta\spaced\theta=\int_0^\pi \cos^6 \theta\space d\theta=\frac {5\pi} {16}\\\ \\ ∫0πsinθdθ=2 ∫02πsinnθcosθdθ=∫02πsinθcosnθdθ=n+11 ∫0πsin2θdθ=∫0πcos2θdθ=2π∫0πsin3θdθ=43 ; ∫0πcos3θdθ=0 ∫0πsin4θdθ=∫0πcos4θdθ=83π∫0πsin5θdθ=1516 ; ∫0πcos5θdθ=0 ∫0πsin6θdθ=∫0πcos6θdθ=165π∫ 0 π 2 sin n θ d θ = { ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 4 ⋅ 2 n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ， n 为奇整数 ( n − 1 ) ( n − 3 ) ⋯ 5 ⋅ 3 ⋅ 1 n ( n −2 ) ( n − 4 ) ⋯ 4 ⋅ 2 π 2 ， n 为偶整数\int_0^{\frac \pi 2}\sin^n\theta d\theta=\left\{ \begin{array}{c} \frac{(n-1)(n-3)\cdots4\cdot2}{n(n-2)(n-4)\cdots5\cdot3}，n为奇整数\\\ \\ \frac{(n-1)(n-3)\cdots5\cdot3\cdot1}{n(n-2)(n-4)\cdots4\cdot2}\frac{\pi}{2}，n为偶整数 \end{array} \right. ∫02πsinnθdθ=n(n−2)(n−4)⋯5⋅3(n−1)(n−3)⋯4⋅2，n为奇整数n(n−2)(n−4)⋯4⋅2(n−1)(n−3)⋯5⋅3⋅12π，n为偶整数其他积分{ ∫ e a x sin b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣ ( e ax ) ′ ( sin b x ) ′ e a x sin b x ∣ + C ∫ e a x cos b x d x = 1 a 2 + b 2 ∣( e a x ) ′ ( cos b x ) ′ e a x cos b x ∣ + C \left\{ \begin{array}{c} \int e^{ax}\sin bx\spacedx=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\sin bx) ' \\ e^{ax} & \sin bx\\ \end{vmatrix}+C\\\ \\ \int e^{ax}\cos bx\space dx=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{vmatrix}(e^{ax}) ' & (\cos bx) ' \\ e^{ax} &\cos bx\\ \end{vmatrix}+C \end{array} \right.∫eaxsinbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(sinbx)′sinbx∣∣∣∣+C ∫eaxcosbx dx=a2+b21∣∣∣∣(eax)′eax(cosbx)′cosbx∣∣∣∣+C一些公式诱导公式唯几一个有负号的 cos （π / 2 + α ） = −sin α tan （π / 2 + α ） = − cot α cot （π / 2 + α ） = − tan α 唯几一个有负号的\\\cos（π/2+α）=-\sin α\\\tan（π/2+α）=-\cotα\\\cot（π/2+α）=-\tanα 唯几一个有负号的cos （π/2+α）=−sinαtan（π/2+α）=−cotαcot（π/2+α）=−tanα sin ( w ( π − x ) ) = sin w x , w 为奇数 sin ( k ( π − x ) ) = − sin k x , k 为偶数 \sin (w(\pi-x))=\sin wx,w为奇数\\\sin(k(\pi-x))=-\sin kx,k为偶数sin(w(π−x))=sinwx,w为奇数sin(k(π−x))=−sinkx,k为偶数 sin ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n − 1 2 , n ∈ 1 , 3 , 5 ⋯ cos ( n 2 π ) , n ∈ 1 , 2 , 3 ⋯ = ( − 1 ) n 2 , n ∈ 2 , 4 , 6 ⋯\sin(\frac n 2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n-1}2},n\in 1,3,5\cdots\\\ \\ \cos(\frac n2\pi),n\in1,2,3\cdots=(-1)^{\frac{n}2},n\in2,4,6\cdots sin(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n−1,n∈1,3,5⋯cos(2nπ),n∈1,2,3⋯=(−1)2n,n∈2,4,6⋯积化和差和差化积。
三十个基本积分公式
三十个基本积分公式1. 反比例函数的积分公式：∫ 1/x dx = ln|x| + C2. 幂函数的积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n≠-13. 常数函数的积分公式：∫ k dx = kx + C，其中k为常数4. 正弦函数的积分公式：∫ sin(x) dx = -cos(x) + C5. 余弦函数的积分公式：∫ cos(x) dx = sin(x) + C6. 正切函数的积分公式：∫ tan(x) dx = ln|sec(x)| + C7. 余切函数的积分公式：∫ cot(x) dx = ln|sin(x)| + C8. 指数函数的积分公式：∫ e^x dx = e^x + C9. 对数函数的积分公式：∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C10. 双曲正弦函数的积分公式：∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C11. 双曲余弦函数的积分公式：∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C12. 双曲正切函数的积分公式：∫ tanh(x) dx = ln(cosh(x)) + C13. 双曲余切函数的积分公式：∫ coth(x) dx = ln|sinh(x)| + C14. 分式函数的积分公式：∫ (1/x) dx = ln|x| + C15. 部分分式分解的积分公式：∫ (Ax + B)/(x^2 + cx + d) dx = (1/2)ln(x^2 + cx + d) + C16. 倒数函数的积分公式：∫ (1/(a + bx)) dx = (1/b)ln|a + bx| + C，其中b≠017. 平方差分式的积分公式：∫ (x + a)√(x^2 + bx + c) dx = (1/3)(x + a)^2√(x^2 + bx + c) + (2/3)a^2ln|x + (1/3)(2bx + c)| + C18. 三角函数积分的积分公式：∫ sin^n(x) cos(x) dx = ((sin^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 19. 双曲函数积分的积分公式：∫ sinh^n(x) cosh(x) dx = ((sinh^(n+1)(x))/(n+1)) + C，其中n≠-1 20. 对数和幂函数的积分公式：∫ ln^n(x) dx = x(ln^n(x) - n∫ ln^(n-1)(x) dx) + C，其中n≠0 21. 倒数和对数函数的积分公式：∫ x^(-1/2) ln(x) dx = -2√x(ln(x) - 2) + C22. 指数和三角函数的积分公式：∫ e^x sin(x) dx = (1/2)e^x (sin(x) - cos(x)) + C23. 分部积分法的积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du24. 三角函数和双曲函数的积分公式：∫ sin(x) cosh(x) dx = (1/2)sinh(2x) + C25. 分式和三角函数的积分公式：∫ (sin(x))/(a + b*sin(x)) dx = (1/b)ln|tan(x/2) + √(a/b) + C26. 分式和双曲函数的积分公式：∫ (sinh(x))/(a + b*sinh(x)) dx = (1/b)ln|tanh(x/2) + √(a/b) + C27. 三角函数和指数函数的积分公式：∫ sin(x) e^(ax) dx = (a/(a^2 + 1))e^(ax) - (1/(a^2 + 1))cos(x) + C28. 分式和指数函数的积分公式：∫ (e^(ax))/(1 + e^(ax)) dx = ln|1 + e^(ax)| + C，其中a≠029. 部分分式分解和多项式的积分公式：∫ (x^n)/(x-a) dx = (1/(n+1))x^(n+1) + a∫ (x^(n-1))/(x-a) dx，其中n≠-1，a≠030. 推广型积分法的积分公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C，其中F为f的原函数，g为可导函数以上是三十个基本积分公式，这些公式是数学中常用的积分技巧，熟练掌握它们可以在解决各种积分问题时提供很大的帮助。
(完整版)常用积分表
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分（0a ≠）1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-)3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦ 5．d ()xx ax b +⎰＝1lnax b C b x +-+ 6．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()xx ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++（二)的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a -+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+15．＝(0)(0)C b C b ⎧+><16．＝2a b - 17．d x x ⎰＝b ⎰18．x＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰ 21．22d xx a -⎰=1ln 2x a C a x a-++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++ 24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b--+⎰(完整版)常用积分表27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰（五)含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a +＝ln(x C + 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x＝ln(x C +++37．＝1C a + 38．2C a x -+ 39．x2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．x x ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x ln a a C x +44．x ＝ln(x C +++((0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．＝1arccos aC a x +52．2C a x +53．x 2ln 2a x C -++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．x x ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰arccos aa C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++((0)a >的积分 59．＝arcsinxC a + 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x arcsinxC a-+65．＝1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x xa x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x ln a a C x ++72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C +++75．x2ax b C -+++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C ++(十)79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()arcsin 4b a C -+()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n-+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n +----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tanxa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin xa xb x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >)113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin xx C a +114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d xx x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos xx C a117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --+118．2arccos d xx x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x ax a x C a -++120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x aa x x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln xa C a +123．e d ax x ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a -+125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax nx x x a a --⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++ 130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n --+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n --++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln xx x⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++(十六)定积分 142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n ≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m nm n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数）,1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-(n 为正偶数），0I ＝2π(完整版)常用积分表换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法)。
三角函数常用积分表doc
三角函数常用积分表.doc 三角函数常用积分表是数学中常用的一种参考材料，它包含了常见的三角函数的积分公式和性质，对于求解相关的积分问题非常有帮助。
下面将对其中的一些重要的公式进行介绍。
1.sin(x)的积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C这是最基本的积分公式之一，它表示了sin(x)的不定积分是-cos(x)再加上一个常数C。
2.cos(x)的积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C这是cos(x)的不定积分公式，它表示了cos(x)的不定积分是sin(x)再加上一个常数C。
3.sin^2(x)的积分：∫sin^2(x)dx = x/2 - sin(2x)/4 + C这是sin^2(x)的不定积分公式，它可以通过积分的方法来求解。
4.cos^2(x)的积分：∫cos^2(x)dx = x/2 + sin(2x)/4 + C这是cos^2(x)的不定积分公式，它可以通过积分的方法来求解。
5.sin(x)cos(x)的积分：∫sin(x)cos(x)dx = -cos^2(x)/2 + C这是sin(x)cos(x)的不定积分公式，它可以通过积分的方法来求解。
6.tan(x)的积分：∫tan(x)dx = ln|sec(x)| + C这是tan(x)的不定积分公式，它可以通过换元法来求解。
7.sec(x)的积分：∫sec(x)dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C这是sec(x)的不定积分公式，它可以通过换元法来求解。
8.csc(x)的积分：∫csc(x)dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C这是csc(x)的不定积分公式，它可以通过换元法来求解。
积分公式表,常用积分公式表
积分公式表,常用积分公式表积分公式表1、基本积分公式:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (8) (10) (11)2、积分定理:,x，，，，，，ftdt,fx(1) ,,,a，，,bx，，，，,,，，，，，，，，，，ftdtf,,bxbxf,,axax,,(2) ,,，，,ax，，bbf(x)dx,F(x),F(b),F(a)a,a(3)若F(x)是f(x)的一个原函数，则 3、积分方法ax，b,t;设: ，，，，1fx,ax，b22x,asint;设: ，，，，2fx,a,x22 ;设: x,asect，，fx,x,a22x,atant ;设: ，，fx,a，xudv,uv,vdu，，3分部积分法: ,,附:理解与记忆对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.公式(1)为常量函数0的积分，等于积分常数.公式(2)、(3)为幂函数的积分，应分为与 .当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.特别当时，有 .当时，公式(4)、(5)为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故 ( ， )式右边的是在分母，不在分子，应记清.当时，有 .是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数;指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.公式(6)、(7)、(8)、(9)为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.公式(10)是一个关于无理函数的积分公式(11)是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.例1 求不定积分 .分析:该不定积分应利用幂函数的积分公式.解:(为任意常数 )例2 求不定积分 .分析:先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.解:由于，所以(为任意常数 )例3 求不定积分 .分析:将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.解:(为任意常数 )例4 求不定积分 .分析:用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.解:(为任意常数 )例5 求不定积分 .分析:基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式:解:(为任意常数 )同理我们有:为任意常数 ) (例6(为任意常数 )总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。
常用积分表(绝对有帮助)
7
(a < b)
84． ∫ cos xdx ＝ sin x + C
85． ∫ tan xdx ＝ − ln cos x + C
86． ∫ cot xdx ＝ ln sin x + C
∫ 87．
sec
xdx
＝ ln
π tan(
+
x)
+C
＝ ln
sec
∫ 93． sin2 xdx ＝ x − 1 sin 2x + C 24
∫ 94． cos2 xdx ＝ x + 1 sin 2x + C 24
∫ ∫ 95． sinn xdx ＝ − 1 sinn−1 x cos x + n − 1 sinn−2 xdx
n
n
∫ ∫ 96． cosn xdx ＝ 1 cosn−1 x sin x + n − 1 cosn−2 xdx
∫ 76．
dx
＝ − 1 arcsin 2ax − b + C
c + bx − ax2
a
b2 + 4ac
∫ 77． c + bx − ax2 dx ＝ 2ax − b c + bx − ax2 + b2 + 4ac arcsin 2ax − b + C
4a
8 a3
b2 + 4ac
∫ 78．
x
dx ＝ − 1 c + bx − ax2 + b arcsin 2ax − b + C
8
8
∫ 43． x2 + a2 dx ＝ x2 + a2 + a ln x2 + a2 − a + C
147个积分表
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 ) 1．
∫ ax + b ＝ a ln ax + b + C
∫
1 (ax + b) μ +1 + C （ μ ≠ −1 ） a ( μ + 1) (ax + b − b ln ax + b ) + C
dx
1
2． ( ax + b) μ dx ＝
80．
x−a x−a x−a dx ＝ ( x − b) + (b − a ) arcsin +C b− x b− x b− x dx x−a +C ＝ 2 arcsin b− x ( x − a )(b − x )
81．
( a < b)
82．
2x − a − b (b − a ) 2 x−a ( x − a )(b − x ) + arcsin +C ( x − a )(b − x )dx ＝ 4 4 b− x
+C
49．
∫
∫
x2 x2 − a2
x2
dx ＝
x 2 a2 x − a 2 + ln x + x 2 − a 2 + C 2 2
x x −a
2 2
50．
(x − a )
2
2 3
dx ＝ −
+ ln x + x 2 − a 2 + C
51．
∫x ∫x
2
dx x2 − a2 dx
＝
1 a arccos + C a x x2 − a2 +C a2 x
高等数学常用积分公式查询表
导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：ax x aa a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， （一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+ 6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax bC b ax b b x+-++的积分10．x C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a bx b --17．x＝b 18．x＝2a +（三）含有22x a ±的积分19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()xx ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+>30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．＝C +33．x＝C +34．x＝C +35．2x ＝2ln(2a x C -++36．2x ＝ln(x C ++37．1C a +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．x a C +44．x ＝ln(x C +++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C + 46．C +47．x ＝C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C +++50．2x ＝ln x C +++51．1arccos aC a x +52．C +53．x ＝2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰＝arccos a a C x +58．x ＝ln x C +++(0)a >的积分59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a ++ 64．2x arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x ＝2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．d x x⎰a C +72．2d x x ⎰＝arcsin xC x a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++08070141常用导数和积分公式74．x ＝2n 2a x b c C+++75．xn 2a x b c C+++ 76．C +77．x ＝2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C -+-81．C ()a b <82．x 2()4b a C -+ ()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2secd x x ⎰＝tan x C +90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin x a b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x+⎰C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a+114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++116．arccos d x x a ⎰＝arccos x x C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+ 119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+ 121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d x a x ⎰＝1ln x a C a+ 123．e d ax x ⎰＝1e ax C a+ 124．e d ax x x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+ 125．e d n ax x x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a --⎰ 126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d n x x a x ⎰＝11d ln ln n x n x n x a x a x a a--⎰ 128．e sin d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b-++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b +++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e s i n d a x n n n b b x x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e c o s d a x n n n b b x x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C + 134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147．n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n -- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π。
常用积分表
2
4
8
-4-
(二)递推型
∫ 1设In =
1 dx (x2 + a2 )n
= 则I n
2n − 3 a2 (2n − 2)
I n −1
+
2a2
(n
x − 1)( x 2
+
a2
)n−1
= I1 arctan x + C
∫ 2设In = sinn xdx
则I n
= − cos x sinn−1 n
x
+
n
−2 −1
In−2
I0 =x + C, I1 = ln tan x + sec x + C
-5-
第二部分：定积分与反常积分
∫1
π
2 sinn
xdx =
(n −1)!!, (n为奇数)
0
n!!
∫π
2 2 si= nn xdx
(n −1)!!⋅ π , (n为偶数)
0
n!! 2
∫3
π 2
cosn
xdx
=
(n
− 1) !! ,
(n为奇数)
0
n!!
∫π
4 2 co= sn xdx
(n −1)!!⋅ π , (n为偶数)
0
n!! 2
∫5 ∞ e−x2 dx = π −∞
6"γ "函数 :
∫ γ (α ) = ∞ xα −1e−xdx 0
(1= )γ (1) 1,= γ ( 1 ) π
2
(2)γ= (α +1) αγ (α ),γ= (n +1) n!
1 ln ε −1t + = ε +1 + C,(ε >1) (t arctan x)
基本积分公式表
作业： P207 2(2)-(34)(双)
The end of Part 1
1 cos2 x dx 2
(1 2
cos2x ) 2
dx
1
dx
2
cos2 2
x
dx
x 2
1 2
co s2 x
dx
x 2
1 4
cos 2xd (2x)
x sin2x C 24
例14 cos 4 xdx
(1 cos2x )2 dx
2
( 1 cos2x cos2 2x ) dx
12
C.
12
12
例24
求
1
1 cos
x
dx.
解
1
1 cos
x
dx
1
1 cos x
cos x1 cos
x
dx
1 cos 1 cos2
x x
dx
1 cos x
sin2 x
dx
(
si
1 n2
x
cos x sin2 x
)dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
基本积分公式表
(1) kdx kx C (k是常数)
(2) xdx x1 C, ( 1) 1
(3)
dx x
ln| x | C
(4)
1
1 x
2
dx
arctan x C
(5)
1 dx arcsin x C 1 x2
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
常用积分表(绝对有帮助)
∫ ax ∫
∫ ∫ ∫
2
1 b dx x dx ＝ ln ax 2 + bx + c − 2 ∫ 2a 2a ax + bx + c + bx + c
（六）含有 31．
x 2 + a 2 ( a > 0) 的积分
＝ arsh
dx x +a
2 2
x + C1 ＝ ln( x + x 2 + a 2 ) + C a
51．
dx x2 − a2 dx
2
＝
1 a arccos + C a x x2 − a2 +C a2 x
52．
∫x
∫
∫
x2 − a2
＝
53．
x 2 − a 2 dx ＝
x 2 a2 x − a 2 − ln x + x 2 − a 2 + C 2 2
x 3 ( x 2 − a 2 ) 3 dx ＝ (2 x 2 − 5a 2 ) x 2 − a 2 + a 4 ln x + x 2 − a 2 + C 8 8 1 55． ∫ x x 2 − a 2 dx ＝ ( x 2 − a 2 )3 + C 3
∫ ax
2
1 x dx ＝ ln ax 2 + b + C 2a +b
2
x2 x b dx 24． ∫ 2 dx ＝ − ∫ 2 ax + b a a ax + b dx 1 x2 25． ∫ ＝ ln +C x ( ax 2 + b) 2b ax 2 + b
26．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∫ ∫ 30．
ax 2
x + bx
+
dx c
＝
1 2a
ln
ax 2
+
bx
+
c
−
b 2a
dx ax2 + bx + c
（六）含有 x2 + a2 (a > 0) 的积分
∫ 31．
dx x2 + a2
＝ arsh x a
+ C1 ＝ ln( x +
x2 + a2 ) + C
∫ 32．
dx
＝
x
+C
(x2 + a2 )3 a2 x2 + a2
n
n
∫ ∫ 97．
dx sinn
∫ 76．
dx
＝ − 1 arcsin 2ax − b + C
c + bx − ax2
a
b2 + 4ac
∫ 77． c + bx − ax2 dx ＝ 2ax − b c + bx − ax2 + b2 + 4ac arcsin 2ax − b + C
4a
8 a3
b2 + 4ac
∫ 78．
x
dx ＝ − 1 c + bx − ax2 + b arcsin 2ax − b + C
∫ 33．
x dx ＝ x2 + a2 + C
x2 + a2
∫ 34．
x dx ＝ − 1 + C
(x2 + a2 )3
x2 + a2
3
∫ 35．
x2 dx ＝ x x2 + a2 − a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
x2 + a2
2
2
∫ 36．
x2
dx ＝ − x + ln(x + x2 + a2 ) + C
＝
1 a2
(ln
ax
+
b
+
b ax +
) b
+
C
∫ 8．
(ax
x2 +
b)2
dx
＝
1 a3
(ax
+
b
−
2b ln
ax
+
b
−
b2 ax +
) b
+
C
∫ 9．
dx x(ax + b)2
＝
1 b(ax + b)
−
1 b2
ln
ax + b x
+C
（二）含有 ax + b 的积分
∫ 10． ax + bdx ＝ 2 (ax + b)3 + C 3a
2
2
∫ 54． ( x2 − a2 )3dx ＝ x (2x2 − 5a2 ) x2 − a2 + 3 a4 ln x +
8
8
∫ 55． x x2 − a2 dx ＝ 1 ( x2 − a2 )3 + C
3
x2 − a2 + C
∫ 56． x2 x2 − a2 dx ＝ x (2x2 − a2 ) x2 − a2 − a4 ln x + x2 − a2 + C
8
8
∫ 43． x2 + a2 dx ＝ x2 + a2 + a ln x2 + a2 − a + C
x
x
∫ 44．
x2 + a2 dx ＝ − x2 + a2 + ln(x + x2 + a2 ) + C
x2
x
（七）含有 x2 − a2 (a > 0) 的积分
∫ 45．
dx x2 − a2
＝
x x
∫ 93． sin2 xdx ＝ x − 1 sin 2x + C 24
∫ 94． cos2 xdx ＝ x + 1 sin 2x + C 24
∫ ∫ 95． sinn xdx ＝ − 1 sinn−1 x cos x + n − 1 sinn−2 xdx
n
n
∫ ∫ 96． cosn xdx ＝ 1 cosn−1 x sin x + n − 1 cosn−2 xdx
∫ 4．
x2 ax +
dx b
＝
1 a3
⎡ ⎢⎣
1 2
(ax
+
b)2
−
2b(ax
+
b)
+
b2
ln
ax
+
b
⎤ ⎥⎦
+
C
5． ∫
dx x(ax + b)
＝−
1 ln b
ax + b x
+C
∫ 6．
dx ＝ − 1 x2 (ax + b) bx
+
a b2
ln
ax + b x
+C
∫ 7．
(ax
x +
b)2 dx
x2 dx ＝ x − arcsin x + C
(a2 − x2 )3
a2 − x2
a
∫ 65．
dx ＝ 1 ln a − a2 − x2 + C
x a2 − x2 a
x
∫ 66．
x2
dx ＝ − a2 − x2
a2 − x2 + C a2x
∫ 67． a2 − x2 dx ＝ x a2 − x2 + a2 arcsin x + C
(x2 + a2)3
x2 + a2
∫ 37．
dx ＝ 1 ln x2 + a2 − a + C
x x2 + a2 a
x
∫ 38．
x2
dx ＝ − x2 + a2
x2 + a2 a2x
+C
∫ 39． x2 + a2 dx ＝ x x2 + a2 + a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2
2
8
8
a
∫ 71． a2 − x2 dx ＝ a2 − x2 + a ln a − a2 − x2 + C
x
x
∫ 72．
a2 − x2
x2
dx
＝
−
a2 − x2 − arcsin x + C
x
a
（九）含有 ±ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 73．
dx
＝ 1 ln 2ax + b + 2 a ax2 + bx + c + C
∫ 83． sin xdx ＝ − cos x + C
7
(a < b)
84． ∫ cos xdx ＝ sin x + C
85． ∫ tan xdx ＝ − ln cos x + C
86． ∫ cot xdx ＝ ln sin x + C
∫ 87．
sec
xdx
＝ ln
π tan(
+
x)
+C
＝ ln
sec
2
2
a
∫ 68． (a2 − x2 )3dx ＝ x (5a2 − 2x2 ) a2 − x2 + 3 a4 arcsin x + C
8
8
a
∫ 69． x a2 − x2 dx ＝ − 1 (a2 − x2 )3 + C
3
∫ 70． x2 a2 − x2 dx ＝ x (2x2 − a2 ) a2 − x2 + a4 arcsin x + C
x
+
tan
x
+
C
42
∫ 88． csc xdx ＝ ln tan x + C ＝ ln csc x − cot x + C 2
∫ 89． sec2 xdx ＝ tan x + C
∫ 90． csc2 xdx ＝ − cot x + C
91． ∫ sec x tan xdx ＝ sec x + C
92． ∫ csc x cot xdx ＝ − csc x + C
∫ 11．
x
ax
+
bdx
＝
2 15a 2
(3ax
−
2b)
(ax + b)3 + C
∫ 12．
x2
ax
+
bdx
＝
2 105a3
(15a2 x2
−
12abx
+
8b2
)
(ax + b)3 + C
∫ 13．
x ax +
dx b
＝
2 3a 2
(ax
−
2b)
ax + b + C
1
∫ 14．
x2 ax +
dx b
b−x
b−x
b− x
∫ 81．
dx
＝ 2 arcsin x − a + C (a < b)