梁的应力及强度条件
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工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成，下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似，该部分上的切 应力仍用下式计算：
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上，并沿中性轴均匀分布，计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开，并保留下部脱离体，由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ，根据 切应力互等定理可知，在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ '，且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切应力的 总和，如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的，其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同，即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩；Iz横截面对中性轴的 惯性矩；δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明，在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看，它们好象是两股沿截面流动的水流，从上 （或下）翼缘的两端开始，共同朝向中间流动，到腹 板处汇合成一股，沿着腹板向下（或上）到下（或上） 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆，其 横截面上切应力的方向，都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性，则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8 梁的弯曲应力与强度计算
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
工程力学梁的正应力强度条件及其应用1
ymax
对矩形截面
Wz
bh3 12 h2
bh2 6
Wz
bh2 6
对圆形截面
Wz
d 4
d
64 2
d 3
32
Wz
d 3
32
各种型钢的截面惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz的 数值，可以在型钢表中查得。
为了保证梁能安全的工作，必须使梁横截面上的
最大正应力不超过材料的许用应力，所以梁的正应力
强度条件为
σmax
M max Wz
σ
二、三种强度问题的计算
σmax
M max Wz
σ
（1）强度校核 （2）选择截面 （3）确定许用荷载
σmax
M max Wz
σ
Wz
M max σ
M max Wz σ
例题10-2 一矩形截面简支木梁如图所示，已知l=4m， b=140mm，h=210mm，q=2kN/m，弯曲时木材的许 用正应力[σ]=10MPa，校核该梁的强度。
σc,max
MC Iz
y1
2.7 103 0.072 0.573105
33.9 106 Pa
33.9MPa [σc]
由以上分析知该梁满足强度要求。
例题10−4 如图所示的简支梁由工字钢制成，钢的 许用应力[σ ]=150MPa，试选择工字钢的型号。
解：先画出弯矩图如图b所示。 梁的最大弯矩值为
y1
1.8103 0.072 0.573105
22.5106 Pa
22.5MPa
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
别求出每个矩形对 z 轴的惯性矩，然后求其和，就得到 T 形截面对 z 轴的惯性矩
Iz 。用 I z1 和 I z2 分别表示矩形 1 和矩形 2 对 z 轴的惯性矩，由式（5-22）得
I z I z1 I z2
1 12
200 303
200 30 (48 15)2
mm4
1 12
20 1603
5-21（a）所示，即
Iz Iy
因
2 y 2 z 2
故有
或
（5-18） 抗弯截面系数为
Ip
2dA
A
(y2
A
2
πD4 6
4
πD4
Wz Wy
64 D
πD3
32
2
（5-19）
同理，可得外直径为 D、内直径为 d 的圆环形截面，如图 5-21（b）所示， 对其形心轴 y 和 z 的惯性矩为
的强度条件如下：
max
M max Wz
[ ]
（5-27）
如图 5-24 所示的 T 形截面，它的最大拉应力和最大压应力分别不得超过弯 曲许用拉应力和弯曲许用压应力，即
1 max y max
[ t ] [ c ]
（5-28）
式中，[ t ] 和 [ c ] 分别为材料的弯曲许用拉应力和弯曲许用压应力。
（5-24） （5-25）
例 5-7 求图 5-23 中，T 形截面对通过形心 C 的 z 轴的惯性矩。
图 5-23
解 将 T 形截面视为由 1，2 两个矩形组成的组合图形。它们对形心轴 z1
和
z2
的惯性矩分别为 1 12
200 303
mm4 及 1 20 1603 12
梁的应力和强度计算
剪切应力的计算步骤和实例
实例 1. 一根简支梁，跨度为$L$，在跨中受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
2. 一根连续梁，跨度为$L$，在中间支座受到集中力$F$的作用。求该梁的剪切应力。
05
梁的强度计算
强度计算的原理和方法
极限应力法
根据梁的极限应力进行计算，确保梁在承受最大 载荷时不会发生断裂或屈服。
实例
假设有一根简支梁，跨度为L，承受均布载荷q，截面面积为A。根据正应力的计算公式，可以得出正应力的大小 为σ=q*L/2A。如果已知梁的材料和截面尺寸，可以通过查找或试验得到材料的屈服强度或极限强度，并与计算 出的正应力进行比较，以判断梁的强度是否满足要求。
04
梁的剪切应力计算
剪切应力的定义和计算公式
建立梁的力学模型
根据梁的几何形状、材料属性和载荷条件， 建立相应的力学模型。
强度校核
将计算得到的最大应力与材料的许用应力进 行比较，判断是否满足强度要求。
强度计算的注意事项和限制条件
材料属性
了解所用材料的机械性能，如弹性模 量、泊松比、屈服强度等。
支承条件
考虑梁的实际支承条件，如固定、简 支或滑动支承，对计算结果的影响。
剪切应力
在梁的剪切区域，由于相邻截面发生相对错动而产生的应力。
计算公式
剪切应力的大小与作用在剪切面上的外力成正比，与剪切面的面积成反比。公式为：$tau = frac{F}{A}$， 其中$tau$为剪切应力，$F$为作用在剪切面上的外力，$A$为剪切面的面积。
剪切应力的分布和影响
分布
剪切应力在梁的剪切面上是均匀分布的，但在剪切区域之外，由于弯曲应力的存在，剪 切应力会发生变化。
梁的应力和强度计算
梁的切应力及其强度条件
I z
t 1
FS
S
* z
I z
t1
FS
I z
h 2
2
FS 2Iz
h
t1max
tmax
t
max
FS 2Izd
b
h
d
h 2
2
y2
tmax O
t1
FS 2I z
h
y tmin 切应力流
最大剪应力一般发生在中性轴上
z
三、薄壁环形截面梁
tmax
r0
tmax
O
t
y
最大切应力tmax 仍
发生在中性轴z上。
FA 66kN D截面的剪力
FB 44kN FS 66kN
t max
FSS z,max dIz
140 10 103 47
220
2）求最大切应力
a
C
10 y 10
S
* z,max
10310
103 2
2
1061102 mm3
t max
FSS z,max dIz
66103 1061102 10 2 1152104
tmax
h
y
O
t' t A* s
y dA
d
Ot
y b
t
FS
S
* z
Izd
tmin
S
* z
b
h 2
2
d
h 2
y
h/
2
2
y
b
h
d
h
2
y2
2
2 2
2、翼缘上的切应力
FN*2
h
第9章 梁的应力
第9章 梁的应力
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称Байду номын сангаас最大拉应力：
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力
拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
本章主要讨论梁在外力作用下横截面上的应力和强
度条件及其应用。
工程中的弯曲杆件
9.1 梁内正应力、正应力强度条件
9.1.1 纯弯曲时梁内的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩 而无剪力的弯曲（横截面上只有 正应力而无切应力的弯曲），这 种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁的横截面上既有弯
矩又有剪力的弯曲（横截面上既 有正应力又有切应力的弯曲）， 这种弯曲称为横力弯曲。
3 3
压应力
3
3. C截面上最大正应力
C max
MC MC 60 10 6 92.6MPa 2 2 9 Wz bh 6 120 180 10
上压下拉
4.全梁上最大正应力
ql 2 60 32 M max 8 8 67.5kN m M max M max max 2 Wz bh 6
矩形截面：
bh 3 Iz 12
bh 2 Wz 6
圆形截面：
I y Iz
I y Iz
d
4
64
4
Wy Wz W
d
3
32
圆环截面：
D
64
(1 )
4
4
Wy Wz W
D3
32
(1 )
d D
②截面关于中性轴不对称Байду номын сангаас最大拉应力：
y1 yC 96.4mm
y2 200 50 96.4 153.6mm
4、计算弯矩最大截面 上的最大拉应力和最大压应力
拉 max
M max y2 Iz
16 103 153.6 103 1.02 108 1012 24.09 106 Pa 24.09 MPa
梁的切应力及强度条件
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强度. 解：加强后的梁是阶梯状
10
变截面梁. 所以要校核
2.2m
上的弯曲正应力； （2）F靠近支座时支座截面上的切应力； （3）F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力.
F A C 5m FSmax B
FS max FRA F 30kN
查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
5m 37.5 kN· m
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
+
3
(Stresses in Beams)
（b）切应力强度校核 在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支 座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应 力也就最大.
两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A1
dFS’
A
B1
m’
梁应力强度计算
纵向对称面仍为平面在同一截面上变形公式共同作用横截面翘曲纵向截面间有挤压
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
第五章 平面弯曲梁的强度
内容： 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10－9
=150
MPa
（－）
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时，测出A、B两点间长度
Δl=27×10－3mm，材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解：
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10－3 50
=5.4×10－4
σ=Eε=200×109×5.4×10－4=108MPa
BC段： d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知：[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
试选工字钢梁的型号。
解： Fsmax=6kN
1.σ计算：
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
梁的正应力强度条件
梁的正应力强度条件
梁的正应力强度条件是指在梁受到载荷作用时，梁内部所产生的正应力不能超过材料的承载能力。
这是保证梁结构不会发生破坏的重要条件之一。
一、梁的正应力
在静力学中，梁是指一种长条形结构，在两端支撑下承受外部载荷。
当外部载荷作用于梁上时，会在梁内部产生正应力。
正应力是指垂直于截面的单位面积上所受到的拉伸或压缩作用。
二、强度条件
为了保证梁结构的安全可靠，需要满足强度条件。
强度条件是指在外部载荷作用下，材料内部所产生的应力不能超过其承载能力，即：
σ≤σmax
其中，σ为材料所受到的应力；σmax为材料允许承受的最大应力。
三、正应力强度条件
对于梁而言，其内部产生的正应力必须满足以下强度条件：
σx≤f
其中，σx为沿着x轴方向产生的正应力；f为材料允许承受的最大正应力。
四、梁的截面形状对强度条件的影响
梁的截面形状对其正应力强度条件有重要影响。
一般来说，截面形状越大，正应力强度条件就越好。
例如，在相同载荷作用下，矩形截面的梁比圆形截面的梁更加稳定。
五、应力集中
应力集中是指在梁结构中存在某些地方的应力异常集中现象。
这种现象可能会导致材料发生裂纹或破坏。
为了避免应力集中，可以通过改变梁的截面形状或采用合适的支撑方式来解决。
六、总结
梁的正应力强度条件是保证其结构安全可靠的重要条件之一。
在设计
和使用梁结构时，需要考虑其截面形状和支撑方式等因素，并避免出现应力集中现象，以确保其正应力不超过材料承载能力。
梁的切应力及强度条件
在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度
2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲
正应力[]=152MPa，许用切应力 []=95MPa.试校核此梁的强
度解.：加强后的梁是阶梯状
变截面梁. 所以要校核
（1）F位于跨中时跨中截面
2.2m
z
上的弯曲正应力；
（2）F靠近支座时支座截面上的切应力；
h/2 y
y1bdA1
b (h2 24
y2)
FS Sz
FS
h2 (
y2)
Izb 2Iz 4
z
y1 y
O A1 B1
dy 1 m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.
y
y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0
y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
max
FS h2 8I z
FS h2 8 bh3 12
假设求应力的点到中性轴的距离为y.
y
FS
S
z
Izd
d — 腹板的厚度
z
O
y
S
* z
—
距中性轴为y的横线以外部分的横截
面面积A对中性轴的静矩.
max
FS BH 2 Izb 8
(B
b)
h2 8
（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二
次抛物线规律变化；
A*
y
max
τmax
（b）最大切应力也在中性轴上.这也是
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进
行试算
查表得
Iz
S
* z max
18.9cm,
梁的应力及强度计算
Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max
M maxy1 IZ
1106 15.2 25.6 104
59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax
M maxy2 IZ
1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压
23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论：矩形截面最省料；圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上：在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法：
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围： ①弹性范围—正应力小于比例极限； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
材料力学 正应力及其强度条件
中性层
中性轴
对 称 z o 轴 中 性 y 轴
中性层
F
F
m
n
2．纯弯曲正应力公式的推导 （一）几何关系： o
中性层
d q
m
n
中性轴
m
n o
z m o 1
m
n
z
r
o
o 2
n
中性轴
y
dx
n m dx
y
变形前:
y
l = dx = r × dq
变形后:
100
例题 4.22 &
图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形 截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。 y
F
150 50
A l 2 l 2
B
96 . 4 C 50
F
实验现象：
F
ü1、变形前互相平行的纵向直
m
n
线、变形后变成弧线，且凹边纤 维缩短、凸边纤维伸长。
ü2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
§由现象1
j靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的 一侧，纤维伸长； k由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出 一侧的缩短或伸长是连续变化，故中间一定 有一层，其纤维长度不变，这层纤维称为中 性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； l弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
28 . 1
kNm
13. 16
第七章 梁的应力和强度计算
28
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m）
截面木梁如图，[s]=7MPa，[t]=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解：画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图，铸铁的[sL]=30MPa，
1m
[sy]=60 MPa，其截面形心位于G
点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理？ 解：画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
M max s 校核强度： s max 、校核强度： Wz M max 设计截面尺寸： Wz [s ]
确定许可载荷：M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的 变形，作出如下的两点假设：
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转
动，距中性轴等高处，变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 （横截面上只有正应力）
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
梁横截面的切应力和切应力强度条件.
A
FS qL/ 2
L3m
M
qL²/ 8
Fsmax 5400 (N )
B
z M max 4050 (N.m)
x
-qL/ 2 x
求最大应力并校核强度
max
M max Wz
6M max bh2
6 4050 0.12 0.182
6.25MPa [ ] 7MPa
(1) 沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处 ( y=0 )；
(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。
二、非矩形截面梁——圆截面梁
d
Fs
max
切应力的分布特征：
边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应 力分布与 y 轴对称；与 y 轴相交各点处的 切应力其方向与 y 轴一致。
向与圆周相切；
max
(3) y 轴是对称轴 → 切应力分布与 y 轴
对称；与 y 轴相交的各点处切应力
为零。
r0 O
y
max
最大切应力max 仍发生在中性轴z上。
max
r0
max
O
y
A 2πr0
O
2r0 /p
C
y
薄壁环形截面梁最大切应力的计算
Ip
2
A
d
A
2πr0
r02
2πr03
Ip Iz I y 2Iz
梁的跨度较短，M 较小，而 Fs 较大时，要校核切应力强度; 铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的
相应比值时，要校核切应力强度; 各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力强度。
q 3.6kN / m
A
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M y
(dA) z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz
A
对称
面
0
Mz
(dA) y
A
Ey 2
E
dA
A
y2dA EI z M
A
1 MZ
EIz
...... (3) EI z 杆的抗弯刚度。
1 M Z
第八章 梁的应力及其强度条件
§8–1 概述 §8–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §8–3 梁的正应力强度条件 §8–4 梁的剪应力和剪应力强度条件梁的合理截面
§8－１ 概述
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段
梁的变形称为纯弯曲。
P
P
a
a
A
B
Q
x x M
30
180
1 2z
（4）已知E=200GPa，求1—1
120
截面的曲率半径。
y
x 解：画M图，求截面弯矩
M
M1
M m a x qL²/ 8
M1
( qLx 2
qx2 2
)
x 1
60 kNm
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
1
A
1
1m
q=60 kN/m
B 2m
求应力
Iz
bh3 12
120 180 3
12
10 12
5.832 105 m4
Wz
bh2 6
6.48 10 4 m3
30
180
1 2z
1
2
M1y Iz
60 60 5.832
10 5
61.7MPa
120
y
x
M
M1
M m a x qL²/ 8
d
Ｏ
Ｏ１
x
y
...... (1)
A１
Ｂ１ x （二）、物理关系：
y
假设：纵向纤维互不挤压。于是，
任意一点均处于单项应力状态。
x
E x
Ey
...... (2)
（三）静力学关系：
Nx
AdA
A
Ey
dA
E
ydA ESz
A
0
Sz 0 z (中性)轴过形心
3:推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
M
ac
:各纵向纤维之间无挤压 M ③:横截面上只有正应力。
b
d
4. 几何方程：
x A1B1 AB A1B1 OO1
AB
OO1
d
y ) d d y
§8－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
ac
M
bd ac
b
中性层
一、 纯弯曲时梁横截面 中性轴 上的正应力
（一）变形几何规律：
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）
保持为直线，高度不变，
相互倾斜，仍垂直于纵
向线；纵向线变为弧线，
M
凸边伸长，凹边缩短，
中间有一纵向线长度不
变。
2:两个概念 中性层：长度不变的纵向纤维层； 中性轴：中性层与横截面的交线；
10 194 .4m
§8－3 梁的正应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；
M
2、正应力强度条件：
max
M max Wz
3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
● 强度校核:
max
M max Wz
[
M（x） Q（x）
N dA M
ydA
MS
z
A
I A z
Iz
图a
Q（x）+ d Q（ x）
Ah
M（x） + d M（x）
dx
图b
N1
(M
dM )Sz Iz
1
dM dx
S
z
bI z
QSz bI z
由剪应力互等定理
( y)
1
QSz bI z
]
● 截面设计:
max
M max Wz
[ ]
Wz [ ]Mmax
● 载荷设计:
max
M max Wz
[ ]
Mmax [ ]Wz
例5 3 3 : 有一承受管道的悬臂梁，用两根槽钢组成，管
道上作用重物各重G 5.39kN。许用应力 130MPa。
h
面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的
精度要求。梁的跨高比 l 越大，误差就越小。 h
max
M (x) Wz
例 :受均布载荷作用的简支梁
1
q=60 kN/m
如图所示，试求：
A
1
（1）1——1截面上1、2两点
B
的正应力；
1m
2m
（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
h
S
z
yc A
h( 2 2
y) b( h 2
1
q=60 kN/m
A
1
1m
B 2m
1m ax
M1 Wz
60 6.48
10 7
92.6MPa
max
M max Wz
67.5 107 6.48
104 .2MPa
30
180
1 2z
120
y
x
求曲率半径
M
M1 M m a x qL²/ 8
1
EI z M1
200 5.832 60
试选择槽钢型号。
G
A
C
G
DB
300
510 100
5.98 2.75
解：弯矩图如图。
M max 5.98kNm
max
M 2WZ
WZ
M
2
WZ
5.98103 2 130 106
23cm3
查表，应选8号槽钢两根。
§8－4 梁的剪应力和剪应力强度条件 梁的合理截面
h H
回字框____Wz
Iz ymax
Байду номын сангаас
BH 2
bh3
6 (1 BH 3 )
b
B
二、 纯弯曲理论的推广
横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横 截面是不仅有正应力，而且有剪应力。
梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的
假设不再成立。
l
对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁，横截
EIz
...... (3) EI z 杆的抗弯刚度。
x
M y Iz
...... (4)
（四）最大正应力：
m a x
M Wz
...... (5)
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
d
d
D
圆环 ____Wz
Iz ymax
D3 (1 4 )
32
D
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力
图a
M（x） Q（x）
Q（x）+ d Q（ x）
Ah
M（x） + d M（x）
dx
图b
1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力
相等。 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；
在微段上取一块如图c，平衡
X N1 N 1b(dx) 0