第7章 相关与回归分析 ppt课件
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第七讲 相关分析与回归分析
DW检验。（零假设：总体的自相关系数ρ与0无显著差异。）
当随机扰动项存在序列相关时，进行Durbin-Watson检验：
2 ( e e ) i i 1 i 2 2 e i i 2 n n
DW
0<DW<dL:随机扰动项存在一阶正序列相关； 4-dL<DW<4：随机扰动项存在一阶负序列相关；
调整的可决系数： R 2 1 SSE /(n k 1) （多元线性回归方 SST /(n 1) 程） ① 解释变量增多时，SSE减少，R2增加；
② 有重要“贡献”的解释变量出现。
2）回归方程整体显著性检验
包含回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验两个部 分。 回归方程的显著性检验：检验线性关系是否显著
，
服从自由度为n-2的t分布。
定序变量的相关分析-Spearman
ui和vi分别表示变量 x和 y的秩变量，用di=ui-vi表示第i个样 n 本对应于两变量的秩之差。 2 Spearman秩相关公式：
rs 1 6 d i
i 1 2
n( n 1)
两变量正相关，秩变化有同步性，r趋向于1；
一般步骤： 1. 确定回归方程中的解释变量和被解释变量 2. 确定回归模型 3. 建立回归方程 4. 对回归方程进行各种检验 5. 利用回归方程进行预测
线性回归
数学模型： yi 0 1 xi1 2 xi 2 k xik i 使用最小二乘法对模型中的回归系数进行估计，得到样本 ^ ^ ^ ^ 回归函数：yi 0 1 xi1 2 xi 2 k xik ei
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
相关性分析及回归分析PPT课件
较好
t统计量的P值小于显著水平（0.05），可 认为该自变量对因变量的影响是显著的。
17
• 已知一种新牌子化肥的不同施用量对庄稼产量的影响如下表。请你 确定当化肥施用量为5.5克时估计预期的产量。
化肥施 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 01. 用产量量x(( 02 13 24 34 04. 55 65 75 85 95 04 公克斤) ) 1 5 1 6 5 2 3 3 3 1 9
y = -0.0066x2 + 0.0897x + 0.2419 R2 = 0.9742
2
4
6
8
10
12
化肥(克)
• 假设庄稼以每公斤4元的价格出售，化肥要以每克0.2元的价格购买。 请确定能产生最大利润的化肥施用量。(运用规划求解)
• 总收益=价格×产量=4元×(-0.0066X2+0.0897x+0.2419) • 总成本=化肥成本×化肥施用量=0.2X
7
• 根据表中的数据计算不良贷款、贷款余额、累计应收贷款、贷款项 目个数、固定资产投资额之间的相关系数
• 法1：数据/数据分析/相关系数/做如下图所示设置 • 可见，不良贷款与各项贷款余额的相关性最高
8
10
• 回归基本上可视为一种拟合
过程，即用最恰当的数学方
程去拟合一组由一个因变量
和一个或多个自变量所组成 y
• 工具-数据分析-回归。
• 回归方程检验；
• R2判断回归方程的拟合优度； • t 统计量及相伴概率值，自变量与因变量之间的关系； • F统计量及相伴概率值，判断方程的回归效果显著性趋势线
• 根据数据建立散点图
• 自变量放在X轴，因变量放在Y轴
统计学 第 七 章 相关与回归分析
3. 利用所求的关系式，根据一个或几个变量 的取值来预测或控制另一个特定变量的取 值，并给出这种预测或控制的精确程度
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
《统计学原理与应用》课件第07章 相关与回归分析
74.4 172.0 248.0 418.0 575.0 805.2 972.0 1,280.0
104,214
4,544.6
统计学基础
第七章 相关与回归分析
根据计算结果可知：Βιβλιοθήκη x 36.4y 880
n8
x2 207.54
y2 104,214
xy 4,544.6
Fundamentals of Statistics
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
公式7—3
公式7—3是实际工作中使用较多的计算公式
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（四）相关系数的运用
（1）相关系数有正负号，分别表示正相关和负相关。
（2）相关系数的取值范围在绝对值的0 之1 间。其值大小 反映两变量之间相关的密切程度。
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的种类
3.相关关系按照相关的方向分为正相关和负相 关 正相关：是指一个变量的数量变动和另一个变 量的数量变动方向一致.
负相关：当一个变量的数量变动与另一个变量 的数量变动方向相反时,称为负相关.
Fundamentals of Statistics
统计学基础
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的测定 （一）相关系数的含义：
相关系数是在直线相关的条件下，用来说明两个 变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（二）相关系数的作用
1.说明直线相关条件下,两变量的相关关系的密切程 度的高低. (见教材第159页说明)
第七章__相关与回归分析
统 计 学
第九章 相关与回归分析
第一节 相关分析的一般问题 第二节 相关关系的判断 第三节 回归分析的一般问题 第四节 回归模型的建立与检测
2019年7月30日2时18
分
1
统 计
学 第一节 相关分析
一、相关分析的意义 二、相关关系的测定
2019年7月30日2时18
分
2
变量间的关系
变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。 函数关系—— 是一一对应的确定关系。
按模型形态分，有线性回归和非线性回归。
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分
19
二、一元线性回归方程的确定
具有线性相关关系的两个变量的关系可 表示为：
y = α+ bx
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化.
α 和 b 称为模型的两个待定参数。
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分
20
（总体）回归方程
x
y
a
x
+
b
x
2
b
nxy x y n x 2 ( x)2
a
y
bx
y n
b
x n
2019年7月30日2时18
分
24
三、回归估计标准误差 S yx
（一）回归估计标准误差的概念
实际观察值y与估计值 yˆ 之间差异的平
均程度，是用来说明回归方程推算结果
分
4
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
第九章 相关与回归分析
第一节 相关分析的一般问题 第二节 相关关系的判断 第三节 回归分析的一般问题 第四节 回归模型的建立与检测
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1
统 计
学 第一节 相关分析
一、相关分析的意义 二、相关关系的测定
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2
变量间的关系
变量间的关系有两种类型：函数关系和相关关系。 函数关系—— 是一一对应的确定关系。
按模型形态分，有线性回归和非线性回归。
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二、一元线性回归方程的确定
具有线性相关关系的两个变量的关系可 表示为：
y = α+ bx
线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化.
α 和 b 称为模型的两个待定参数。
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（总体）回归方程
x
y
a
x
+
b
x
2
b
nxy x y n x 2 ( x)2
a
y
bx
y n
b
x n
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三、回归估计标准误差 S yx
（一）回归估计标准误差的概念
实际观察值y与估计值 yˆ 之间差异的平
均程度，是用来说明回归方程推算结果
分
4
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
生物统计学课件 7、回归与相关分析
第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：
生物统计学第7章 回归与相关
假设H0： β1=β2 ，HA： β1≠β2
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
相关分析 PPT
y 1.0000
15
三、相关系数的密切程度Байду номын сангаас
相关系数的范围在-1到1之间，即-1≤r≤1, 当r=1为完全正相关， r=-1,为完全负相关， r=0为不相关。
r的绝对值范围在 0.3-0.5是低度相关; 0.5-0.8是显著相关; 0.8以上是高度相关.
16
第三节 直线回归分析
回归分析:就是对具有相关关系的变量之间 的数量关系进行测定,确定一个相应的数学 表达式。
5
5 115
6 6.1 132
7 7.2 135
8
8 160
200 150 100
50 0 0
生产费用与产量散点图
2
4
6
8
10
生产费用 (万元)y
21
⑴列表计算：
n 8, x 36.4, x2 207.54 y2 104214, y 880, xy 4544.6, x 4.55, y 110
3
２．相关关系的主要特点 （1）相关关系表现为数量上的依存关系 （2）现象之间数量依存关系的具体关系
值不是固定的。
4
二、相关关系的种类
㈠根据因素的多少划分 ⒈单相关：两个变量间的相关关系。 ⒉复相关：多个变量间的相关关系。
㈡根据相关关系的形态不同划分 ⒈直线相关：线性相关 ⒉曲线相关：非线性相关
b
n xy n x2
x
y x2
8 4544.6 36.4 880 8 207.54 36.42 12.9
a y bx 110 12.9 4.55 51.31
故直线方程为：
相关分析与回归分析PPT课件
有人测试出火灾现场的消防员人数和该场火灾造成的损 害之间有很强的正相关 ，可否认为派出的消防员越多造成 的损害越大 ？
确定因果关系的方法——定性分析。
22.10.2020
h
9
自变量与因变量
自变量：是引起某种结果变化的原因，它是可以控制、给 定的值，常用x表示；
因变量：是自变量变化的引起结果量，它是不确定的值， 常用y表示。
函数关系与相关关系的联系
函数关系往往通过相关关系表现出来。把影响因变量变 动的因素全部纳入方程，这时的相关关系就有可能转化 为函数关系。 相关关系经常可以用一定的函数形式去近似地描述。
22.10.2020
h
8
（二）相关关系与因果关系
因果关系∈相关关系； 现象之间是因果关系同时是相关关系，但是相关关系不 一定是因果关系。 统计只能说明现象间有无数量上的关系，不能说明谁因 谁果。 例：有数据显示世界各国平均每人拥有电视机数x及居民预 期寿命y之间有很强的正相关，可否认为电视机很多的国家 ，居民预期寿命比较长？
（减少）而增加（减少），即两者同向变化时， 称为正相关。
如家庭收入与家庭支出之间的关系。
负相关：当一个变量随着另一个变量的增加
（减少）而减少（增加），即两者反向变化时， 称为负相关。
如产品产量与单位成本之间的关系，单位成本 会随着产量的增加而减少。
22.10.2020
h
12
3、 按相关的形式 线性相关：当变量之间的依存关系大致呈现为
函数关系指变量之间具有的严格的确定性的 依存关系。当一个或几个变量取一定的值时， 另一个变量有确定值与之相对应。
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)
确定因果关系的方法——定性分析。
22.10.2020
h
9
自变量与因变量
自变量：是引起某种结果变化的原因，它是可以控制、给 定的值，常用x表示；
因变量：是自变量变化的引起结果量，它是不确定的值， 常用y表示。
函数关系与相关关系的联系
函数关系往往通过相关关系表现出来。把影响因变量变 动的因素全部纳入方程，这时的相关关系就有可能转化 为函数关系。 相关关系经常可以用一定的函数形式去近似地描述。
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（二）相关关系与因果关系
因果关系∈相关关系； 现象之间是因果关系同时是相关关系，但是相关关系不 一定是因果关系。 统计只能说明现象间有无数量上的关系，不能说明谁因 谁果。 例：有数据显示世界各国平均每人拥有电视机数x及居民预 期寿命y之间有很强的正相关，可否认为电视机很多的国家 ，居民预期寿命比较长？
（减少）而增加（减少），即两者同向变化时， 称为正相关。
如家庭收入与家庭支出之间的关系。
负相关：当一个变量随着另一个变量的增加
（减少）而减少（增加），即两者反向变化时， 称为负相关。
如产品产量与单位成本之间的关系，单位成本 会随着产量的增加而减少。
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3、 按相关的形式 线性相关：当变量之间的依存关系大致呈现为
函数关系指变量之间具有的严格的确定性的 依存关系。当一个或几个变量取一定的值时， 另一个变量有确定值与之相对应。
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)
相关与回归分析PPT课件
不完全相关
变量之间存在着不严格的依存关系，即因 变量的变动除了受自变量变动的影响外， 还受其他因素的影响。它是相关关系的主 要表现形式。
不相关
自变量与因变量彼此独立，互不影响，其 数量变化毫无联系。。
相关分析的主要内容包括：
（1）确定现象之间有无相关关系，以及 相关关系的表现形态。
（2）确定相关关系的密切程度。 （3）确定相关关系的数字模型，并进行
• 学习目的：
（1）掌握相关分析与相关系数的概念、相关系 数的计算方法
（2）掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二乘 估计方法
（3）掌握回归方程的显著性检验
（4）利用回归方程进行预测
• 重点：（1）相关系数； （2）一元线性回归的基本原理。
• 难点：（1）相关系数的计算方法； （2）回归方程的显著性检验。
相关关系的测定
相关图
将变量之间的伴随变动绘于坐标图上 所形成的统计图。又称散点图。
简单相关图
根据未分组资料的原始数据直接 绘制的相关图。
分组相关图 根据分组资料绘制的相关图。
180
Y
170
身高
160
150
30
40
பைடு நூலகம்
50
60
70
80
90
体重
X
三、相关系数
（一）相关系数的含义和公式
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
30
40
50
60
70
80
90
体重
100
线性负相关
80
60
40
非线性相关
20
0
200
300
400
500
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
第七章 相关与回归分析
总体一元线性 回归方程:
Yˆ EY X
以样本统计量估计总体参数
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ a bx
（一元线性回归方程）
截距 斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的平均影响；回归系数b 表
明自变量x每变动一个单位，因变量y平均变 动b个单位。
n x2 x2 n y2 ( y)2
1637887 916 625
0.9757
16 55086 9162 16 26175 6252
r 2 0.97572 0.9520
第七章 回归分析与相关分析
第七章 相关与回归分析
STAT
★ 第一节 相关分析概述 ★ 第二节 一元线性回归分析
第七章 回归分析与相关分析
yˆ a bx是理论模型，表明x与y变量 之间的平均变动关系，而变量y的实际
值应为yi (a bxi ) i yˆ i
X对y的线性影响而形 成的系统部分，反映两 变量的平均变动关系， 即本质特征。
随机干扰：各种偶然 因素、观察误差和其 他被忽视因素的影响
体重（Y）
75 70 65 60 55 50 45 40
b
n xy x y
n x2 x2
16 37887 916 625 16 55086 9162
0.7961
a y bx 625 0.7961 916 6.5142
16
16
即线性回归方程为：
yˆ 6.5142 0.7961x
计算结果表明，在其他条件不变时，能源消耗 量每增加一个单位（十万吨），工业总产值将 增加0.7961个单位（亿元）。
函数关系 相关关系
第七章相关分析与回归分析资料
• 若相关系数是根据总体全部数据计算的，
称为总体相关系数，记为
• 若是根据样本数据计算的，则称为样本
相关系数，记为 r
15
总体相关系数的定义式是：
Cov( X ,Y )
ρ＝
Var( X )Var(Y )
（7.1）
式中，Cov（X，Y）是变量 X 和 Y 的协方差；
Var(X)和 Var(Y)分别为变量 X 和 Y 的方差。
现象之间客观存在的不严格、不确定的数量 依存关系。
6
（相关关系）
（1）变量间关系不能用函数关 系精确表达；
（2）一个变量的取值不能由另 y 一个变量唯一确定；
（3）当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几个；
（4）各观测点分布在直线周围。
x
7
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
（2）设有两个变量 x 和 y ，
变量 y 随变量 x 一起变化，y
并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定
的关系取相应的值，则称
y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y
称为因变量
x
（3）各观测点落在一条线上
4
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价)
温度(x3)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
8
二、相关关系的种类
称为总体相关系数，记为
• 若是根据样本数据计算的，则称为样本
相关系数，记为 r
15
总体相关系数的定义式是：
Cov( X ,Y )
ρ＝
Var( X )Var(Y )
（7.1）
式中，Cov（X，Y）是变量 X 和 Y 的协方差；
Var(X)和 Var(Y)分别为变量 X 和 Y 的方差。
现象之间客观存在的不严格、不确定的数量 依存关系。
6
（相关关系）
（1）变量间关系不能用函数关 系精确表达；
（2）一个变量的取值不能由另 y 一个变量唯一确定；
（3）当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有几个；
（4）各观测点分布在直线周围。
x
7
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ▪ 商品的消费量(y)与物价(x)之间的关系 ▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 ▪ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、
（2）设有两个变量 x 和 y ，
变量 y 随变量 x 一起变化，y
并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定
的关系取相应的值，则称
y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量，y
称为因变量
x
（3）各观测点落在一条线上
4
函数关系的例子
▪ 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关 系可表示为 y = p x (p 为单价)
温度(x3)之间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
8
二、相关关系的种类
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：误差项（随机变量），含义为说明在 y 中不能
被 x 和 y之间线性关系解释的变异性。
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25
在有关 假设中，有一个假设就是的期望值
或均值等于0，即
E 0
（7.5）
如果简单线性回归模型满足了这个条件，那
么就意味着 y 的均值或期望值就是一个线性函数。
描述 y 的均值与 x 的关系如何的方程称为
回归方程。
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26
Ey 0 1x
在简单线性回归中
（7.6）
1.回归方程的图形是一条直线（如图7.3所示）；
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27
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28
2. 0 ：y 的截距；
3.1：斜率（回归系数）；
1 的含义：当自变量 x 给定一个具体变动值时，因
变量 y 平均变化的量。
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34
（一）画散点图，以初步观察成本与乘客数量之间 是否呈回归直线。
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35
（二）建立估计回归方程
yˆi b0 b1xi i 1，2，，12 （7.8）
最小平方法运用样本数据求出 b0和 b1 的值，使
得因变量的实际观察值 yi与其估计值 yˆi之差的平方
和最小，即
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13
2.相关系数的应用 a.相关系数的取值范围
r 的取值在-1和1之间，即 r 1
b.正负相关的判断 当 r >0时为正相关；当 r <0时为负相关。
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14
c.相关密切程度的判断
当 r 1 时，相关关系越密切，当 r 1 说明X与Y之间完全相关，即函数关系；当rxy 0 时，
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7
（二）相关图法
销售量（百美元）
70
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
广告次数
图7-1 立体声音响设备商店数据散点图
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8
（三）相关系数法 相关系数是用以衡量两变量间线性相关关系情
况下，相关方向和密切程度的相对数。
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9
1.相关系数的计算 样本相关系数的定义公式
rxy
sxy sxsy
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12
[7-2] 根据表7-2相关数据，利用样本数据计算相
关系数。
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
101629 - 30 510
10110 - 302 10 26576 - 5102
990 0.93 1063.9548
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22
表7-3是每年相同季节波音737飞机在12条500公里 的不同航线不同乘客数时的飞行成本。我们用这些数 据以乘客数作为自变量构造模型来预测成本。
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23
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24
y 0 1x
y ：因变量（随机变量）
x ：自变量（给定变量）
0、1 ：参数
（7.4）
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19
用回归分析可以预测运行一条商业航空线的成本 吗？
如果可以，那么哪些变量与这一成本有关呢？
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20
飞机型号
飞行距离 乘客数量
行李或货物重量
飞机运行成本
天气状况
……
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21
为了减少自变量个数，我们做如下假定： 飞机类别——波音737飞机 飞行距离——500公里 航线——可比，而且在每年的相同季节 在这种条件下，可以用乘客数来预测飞行的成 本吗？
0.8≤ r 1 ，称为高度相关。
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16
计算结果表明，歌乐立体音响设备商店在过去 10周内，周末所做的广告次数与下一周的销售额之 间存在着高度线性正相关关系。
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17
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18
只涉及两个变量（一个自变量和一个因变量）之 间关系的回归分析称为简单回归分析。
两个变量之间的关系大约呈一条直线的简单回归 分析称为简单线性回归分析。
29
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30
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31
估计回归方程 就是用样本统计量作为参数的 估计值所建立的回归方程。
yˆ b0 b1x
yˆ ：y 的估计值
b0 ：0 的估计值
b1 ： 1 的估计值
（7.7）
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32
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33
最小平方法，也称最小二乘法，是将回归模型的 方差之和最小化，以得到一系列方程，从这些方程中 解出模型中需要的参数的一种方法。
相关关系越不密切，当 r =0，说明X与Y之间不存
在直线相关关系，但也许存在非线性相关关系。
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15
在做具体判断时，有几个数量标准： r 0.3 ，称为微弱相关。一般情况下，将其视为
没有线性相关关系； 0.3≤ r 0.5 ，称为低度相关；
0.5≤ r 0.8 ，称为显著相关；
(7.1)
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10
2
sx
xi x n 1
2
sy
yi y n 1
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11
样本数据的简捷公式
r
n xy x y
(7.2)
n x2 x2 n y2 y2
总体数据的相关系数
xy x y
(7.3)
4
【例7-1】歌乐音响设备商店于2014年7~9三个 月份中，连续10周使用了周末电视广告来提高商店的 销售额。商店经理想调查这段时间内播出的广告次数 和店内销售额之间是否存在某种关系。
问题：如果该经理将这项工作交给你，你该怎 样做呢？
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5
（一）相关表法 1.编制原始数据表如下表 7-1 立体声音响设备商店的原始数据
yi yˆi 2 min （7.9）
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36
(三)估计回归方程斜率和截距的计算公式
b2
nx
b1
n xi yi xi
周次
广告次数
下一周销售额（百元）
1
2
2
5
50
3
1
57
4
3
41
5
4
54
6
1
54
7
5
38
8
3
63
9
4
48
10
2
59
11
46
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6
2.将原始数据表编制成相关表
表7-2 立体声音响设备商店的广告次数与销售额相关表
广告次数
销售额（百元）
1
38
1
41
2
46
2 3 3 4
50 48 54
4
54
5
59
5
63
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1
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2
（一）双变量相关关系的含义
函数关系
相关关系
现象之间确定性的 数量依存关系
现象之间非确定性的 数量依存关系
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3
（二）双变量相关关系的种类
相 相关方向 关 关 相关形式 系 的 种 类 相关程度
正相关和负相关
线性相关和 非线性相关
完全相关、不完 全相关和不相关
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