第三章力学量与算符

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第三章力学量的算符汇总

Fˆn Fnn
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。
问题：本征值、本征态、本征方程
§3-3 算符的运算规则线性厄米算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的算符 Ô 称为线性算符
第三章力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu
换的算符。
1）du / dx = v ， d / dx
n
综上所述，量子力学作如下假定：
就是算符，其作用是对函数 u 微商，故称为微商算符。
2）x u = v， x
也是算符。它对 u 作用是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描写时，坐标 x 的算符就是其自身，即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：
(12) 厄米算符
满足如右关系的算符称为厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
问题：厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。因为
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。

第三章-表示力学量算符-习题答案

第三章量子力学中的力学量 1. 证明厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确（3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定。

3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。

[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的几率为2k c 。

第3章力学量用算符表达：习题解答

第3章力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。

② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。

③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

量子力学讲义第三章讲义

第三章力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇，单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-，则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

力学量和算符

第三章力学量和算符内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。

用波函数描述粒子的运动状态。

本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。

§3.1 力学量算符的引入§3.2 算符的运算规则§3.3 厄米算符的本征值和本征函数§3.4 连续谱本征函数§3.5 量子力学中力学量的测量§3.6 不确定关系§3.7 守恒与对称在量子力学中。

微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。

在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。

一般说来。

当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。

既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。

力学量的平均值对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2(,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是:()2*(,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞∞-∞-∞==⎰⎰坐标r 的函数()f r 的平均值是：()()()*(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞-∞=⎰现在讨论动量的平均值。

量子力学第三章3.6算符与力学量的关系

定已归一）
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明： F dx

C d

ˆ [( C ' ' d' )F （ C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
n
C 其中： n n dx ； C dx ；
C
n
2
2
2 n
C d 1 ；
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率；
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率；
平均值公式： F
代表的力学量的 F 关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的级数收敛的厄米算符， ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
即：C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见：力学量在一般的状态中没有确定值，而有许多可能值，这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合，且每个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式在 ( x ) 所描写的状态中，F 在 ( x )态的统计平均值（由几率求平均值）为
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性证明： ( x )F

量子力学第三章算符

第三章算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符（1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

量子力学--力学量用算符表示与表象变换 ppt课件

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﹟
4
2、算符的运算性质（1）算符相等：
若 Aˆ Bˆ
★算符的运算离不开对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则 Aˆ Bˆ
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： (Aˆ Bˆ) Aˆ Bˆ
这是算符最基本的运算。
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交Байду номын сангаас律和结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ (Bˆ Cˆ) (Aˆ Bˆ) Cˆ
用在任意波函数上，看它们是否相等。
若相等，则对易；否则，不对易。
比如将要讨论的位置算符 x 和动量算符 pˆ x 的对易关系。
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7
因为对任意波函数ψ ：
xpˆ x
ix
d
dx
而
pˆ x x
i d dx
(x )
i( x d ) i ix d
dx
dx
那么
xpˆ x pˆ x x i
Hˆ pˆ 2 V (r) 2m
2 2 V (r) 2m
其中动量算符 pˆ i，
且
pˆ x
i x
又如前面引进的能量算符
Hˆ i 等 t
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2
§3.1 算符的运算规则
1、算符的定义
表示运算的符号叫算符，又叫作用量
如
d， dx
，
, ( )*等
线性算符：
如果算符 Â 满足下列条件
Aˆ(c11 c2 2 ) c1Aˆ 1 c2 Aˆ 2
第三章力学量用算符表示与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理
1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示；
2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程；

自主学习01 教材内容第三章力学量与算符

自主学习01 教材内容第三章力学量与算符知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测重点难点通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理，表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。

§3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示[本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示[重点难点] 力学量的算符表示[本节内容]粒子处于波函数)(rψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定的几率分布,因而有确定的平均值.粒子处于归一化状态)(rψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()xd r r r xd r r r r 33ψψψψ⎰⎰**==(1)波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此,不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(rψ后,测得粒子的动量在p 到pd p+之间的几率为pd p 32)(ϕ,其中xd e r p r p i 323)()2(1)(⋅-⎰∞-∞+=ψπϕ (2)其逆变换为()()()p d r p i e p r 32321⎰∞+∞-⋅=ϕπψ (3)因此,可借助)(pϕ来间接计算动量的平均值 ⎰⎰*=>=<)()()(332p p p p d p d p p pϕϕϕ (4)把式(2) 的复共轭代入式(4),得()()()()()()p e i r pxd dp p e r pxd p r p i r p iϕψπϕψπ⋅*⋅*∇-==⎰⎰23333332121d (5)再利用式(3),得()()()r i r x d pψψ⎰∇-=*3 (6)这样,我们就找到一个直接用)(rψ来计算动量平均值的公式.可是,这时就出现了一种新符号—算符.令∇-= i pˆ,称为动量算符,则⎰*=xd r p r p 3)(ˆ)( ψψ (7)在经典力学中, 势能、动能、角动量、哈密顿量等都是坐标和动量的函数, 可推广式(1) 和(7) 到其它有经典对应的力学量. 引进坐标和动量算符∇-== i pr r ˆ,ˆ (8)有经典对应的力学量),(p r A是r 和p 的函数,只需把A 的表达式中的r 和p 用算符r r =ˆ和∇-= i pˆ代替,就构成了相应的可观察量的算符. 例如，势能算符为()r V V=ˆ、动能算符为222ˆ212ˆpmmT=∇-=、角动量算符为p r L ˆˆ ⨯=及哈密顿算符为)(2ˆ22r V m H +∇-=.一般而言,任何一个力学量A 的平均值可表示为⎰=>=<*)ˆ,(ˆ3ψψψψA x d AA (9)式中A ˆ为与力学量A 相应的算符.§3.2 算符的一般运算规则[本节要求] 掌握算符的一般运算法则 [重点难点] 算符的运算法则 [本节内容]1. 线性算符对任意两个波函数1ψ和2ψ,凡满足下列运算规则的算符O ˆ,称为线性算符22112211ˆˆ)(ˆψψψψO C O C C C O +=+ (1)其中1C 和2C 是两个任意常数.量子力学中的算符不都是线性算符,但用来刻画力学量的算符则都是线性算符,这是态叠加原理的要求.例如,位置算符r r =和动量算符∇-= i pˆ都是线性算符.一个典型的非线性算符是平方根算符,这是由于22112211ψψψψC C C C +≠+ (2)又如取复共轭、时间反演也不是线性算符.2. 算符的基本运算单位算符：对任意波函数ψ,若ψψ=I ˆ,则称I ˆ为单位算符.算符相等：对任意波函数ψ,若ψψB Aˆˆ=,则称两个算符相等,B A ˆˆ=.算符之和：对任意波函数ψ,若ψψψψB A B A Cˆˆ)ˆˆ(ˆ+=+=,则称C ˆ为A ˆ与B ˆ之和.算符之和满足A B B A ˆˆˆˆ+=+ 加法交换律 (3)C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ 加法结合律 (4)算符之积：对任意波函数ψ,若)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆψψψB A B A C==,则称C ˆ为A ˆ与B ˆ之积.一般而言,算符之积不满足交换律,即A B B A ˆˆˆˆ≠ (5)算符的乘幂：对任意波函数ψ,算符A ˆ的n 次幂定义为nn A A A A A ˆˆˆˆˆ⋅⋅= (6)算符的函数：对任意波函数ψ,若)(x F 是x 的解析函数,则算符A ˆ的函数为()()()nnn AF n AF ˆ0!1ˆ0∑∞== (7)3. 算符的复共轭、转置及厄米共轭定义一个量子体系的两个任意的波函数ψ与ϕ的标积为⎰*=ϕτψϕψd ),( (8)显然),(),(),(),(),(),(),()*,(0),(2211221122112211ϕψϕψϕψψϕψϕψϕϕψψφϕψψψ**+=++=+=≥c c c c c c c c (9)(1) 算符的复共轭：算符O ˆ的复共轭是把O ˆ的表达式中所有复量换成其共轭复量.例如坐标表象中xx x p x i p xi p-=∂∂=∂∂-=*,所以pp ˆ -=* (10)(2) 算符的转置：算符O ˆ的转置算符O ~ˆ定义为），（），（*ˆ*~ˆψϕϕψO O = (11)即⎰**=ψτϕϕτψO d Od ˆ~ˆ例如x x∂∂-=∂∂~(12)因为ϕψϕψψϕxdx xdx ∂∂∞-∞+-∞-∞+=∂∂∞-∞+⎰⎰***设±∞→x 时,0→ψ条件满足,则 ϕψψϕxdx xdx ∂∂-=∂∂∞-∞+⎰⎰∞+∞-**(3) 算符的厄米共轭：算符O ˆ的厄米共轭算符+O ˆ定义为),ˆ()ˆ,(ϕψϕψO O=+ (13)由此可得）ϕψψϕψϕϕψ*+===O O O O ~ˆ,(*)*ˆ*,()*ˆ,()ˆ,(即*+=O O ~ˆˆ (14)例如x x ppˆˆ=+.可证明++++=A B CC B A ˆˆˆˆˆˆ( ） (15)(4) 厄米(Hermite)算符:凡是满足下列条件的算符,称为厄米算符.O O ˆˆ=+,或 ),ˆ()ˆ,(ϕψϕψO O = (16)例如,x pˆ,x 都是厄米算符.两个厄米算符之和仍为厄米算符,但两个厄米算符之积却不一定是厄米算符,除非两者可以对易.这是因为：设A Aˆˆ=+,B B ˆˆ=+,则A B A B B A ˆˆˆˆˆˆ(==+++）,只当0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[=-=A B B A B A 时,才有B A B Aˆˆ)ˆˆ(=+,即 B A ˆˆ为厄米算符.厄米算符有下列重要性质:定理在任何状态下,厄米算符的平均值都是实数.反过来,在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符.证明：首先证明：厄米算符的平均值都是实数.对任意态ψ,按厄米算符的定义,可知*)*ˆ,(),ˆ()ˆ,(>=<==>=<O O O OO ψψψψψψ下面证明其逆也成立,即在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符.按假设,在任意态ψ下,*>>=<<O O ,即()()()ψψψψψψ,ˆ*ˆ,ˆ,O OO ==设1ψ和2ψ是任意的,C 也是任意的,取21ψψψC +=,则())]ˆ,(),ˆ[(*)],ˆ(ˆ,[12122121ψψψψψψψψO O C O O C -=-分别取C=1和i,代入上式,然后相加、减,即得>>=<<>>=<<12122121,ˆˆ,,,ˆˆ,ψψψψψψψψO O O O此即厄米算符定义式所要求的.厄米算符的重要性还在于：实验上可以观测的力学量,当然要求平均值为实数.因此,相应的算符必然要求为厄米算符.§3.3 量子力学的对易式[本节要求] 掌握量子力学的对易式[重点难点] 量子力学中力学量算符的对易关系 [本节内容]1. 量子力学的基本对易关系αββαδ i px =]ˆ,[ (1)证明于下：ψψxx i px x ∂∂-= ˆψψψψxx i i x xi x px ∂∂--=∂∂-= )(ˆ即有()ψψ i x ppx x x =-ˆˆ由于ψ是任意波函数,所以i x p px x x =-ˆˆ类似地还可以证明i z p pz i y p p y z z y y =-=-ˆˆ,ˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ=-=-=-z p p z y p p y x p px x x z z y y概括起来,就是αβαββαδ i x p px =-ˆˆ (2) 其中)ˆ,ˆ,ˆ()3,2,1(ˆ),,,()3,2,1(z y x p p p pz y x x ≡=≡=βαβα.引进对易子B A B A B Aˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-= (3)则式(2) 可改写成基本对易式(1),凡是经典对应的力学量之间的对易式都可由此式导出.2. 对易式满足下列恒等式]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A -=0]ˆ,ˆ[=A A为平常的数）C C A(0],ˆ[=]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆˆ[C A B A C B A，，，+=+ (4)C B A C A B C B Aˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆˆ[，，，+= B C A C B A C B Aˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆˆ[，，，+=恒等式），，，，，，Jacobi B AC A C B C B A (0]]ˆˆ[ˆ[]]ˆˆ[ˆ[]]ˆˆ[ˆ[=++3. 有关角动量算符的对易关系γαβγβαγαβγβαγαβγβαεεεL i l l p i pl x i x l ˆ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆ[ ===，，， (5)其中αβγε是 Levi-Civita 符号,其定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧-+=的奇次交换是同指标中有两个或两个以上相的偶次交换是123,1,0123,1αβγαβγαβγεαβγ证明于下：首先证明角动量算符与坐标算符的对易式.由角动量算符的定义,pr l ˆˆ ⨯=,可知τγαγταεpx l ˆˆ=所以[][][]βτγαγτβτγαγτβαεεx p x x px x l ,ˆ,ˆ,ˆ==[][]{}τβγβτγαγτεp x x x p x ˆ,,ˆ+=()βτγαγτδε i x -=γαβγεx i =即γαβγβαεx i x l =]ˆ[，其次证明角动量算符与动量算符的对易式.因为[][][][]{}()ταβττγβαγττβγβτγαγβτγαγτβαεδεεεp i pi p p x p p x p p x pl z ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ==+==即有[]γαβγβαεpi pl ˆˆ,ˆ =最后证明角动量算符与角动量算符的对易式.由于[][][][]{}τργλρλτγβλραγτρλτγβλραγτβαεεεεp p x x p x p x p x px l l ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ+==()τλγρργλτβλραγτδδεεp x i px i ˆˆ +-=()()τλβλγατγργβρλαγλργβλραγλτλβλγαγτεεεεεεεεp x px i p x px i ˆˆˆˆ-=-=利用βλαρβραλλργαβγδδδδεε-=,上式可化为[]()αββαβαp x pxi l l ˆˆˆ,ˆ-= (6)又τλγλτγεpx l ˆˆ=,此式两边同乘以αβγε,得()αββατλβλατβταλτλγλταβγγαβγδδδδεεεp x p x p x px l ˆˆˆˆˆ-=-== (7)由式(6) 和(7),得[]γαβγβαεl i l l ˆˆ,ˆ = (8)思考题1. 证明()[]x f i x f px ∂∂-= ,ˆ,()[]x xpxf i xf x f pˆ2,ˆ2222∂∂-∂∂-=2. 令,ˆˆˆy x l i l l ±=± 证明±±±=l l l z ˆ]ˆ,ˆ[ ,zz l l l l l ˆˆˆˆ22±-=±,[]zl l l ˆ2ˆ,ˆ =-+3. 证明[]0ˆ,ˆ2=pl α,[],ˆ2=r l α,[]0ˆ,ˆ=⋅p r l α,0ˆ,ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡l lα§3.4 厄米算符的本征值与本征函数[本节要求] 掌握厄米算符的本征值与本征函数的概念 [重点难点] 厄米算符的本征值与本征函数[本节内容]对处于ψ态的量子体系, 当人们去测量其力学量O 时, 一般而言, 可能出现各种不同的结果, 各自有一定的几率. 而对都用ψ描述其状态的大量的完全相同的体系, 进行多次测量的结果的平均值将趋于一个确定值. 每一次具体测量的结果, 围绕平均值有一个涨落. 平方涨落可定义为()()τψψd OOOOO 222ˆˆ-=-=∆⎰*(1)因为O 为厄米算符,O 必为实数, 因而O O -ˆ也是厄米算符.()ˆ22≥-=∆⎰τψd O OO(2)如果体系处于一种特殊的状态, 在该状态下测量力学量O 所得结果是完全确定的, 即平方涨落2=∆O,则这种状态称为力学量O 的本征态. 在这种状态下, 由式(2) 可见, 被积函数必须为零,即ψ必须满足()ˆ=-ψO O或ψψC O=ˆ,常数C 即为在ψ态下测量O 所得结果. 为下面讨论方便,记此常数为O , 则ψψO O=ˆ (3)式中O 称为算符O ˆ的本征值,ψ称为算符O ˆ的属于本征值O 的本征函数.若O 取分立值,则全部本征值构成分离谱；若O 连续地取值,则构成连续谱；O ˆ的本征谱也可能部分是分立谱,部分是连续谱.如果一个本征值对应f 个线性无关的本征函数,则称该本征值是简并的,其简异度为f .量子力学的一个基本假定是：测量力学量O 时,所有可能出现的值,都是相应的线性厄米算符O ˆ的本征值.1. 厄米算符的本征值为实数证明：式(3) 的两边左乘*ψ积分,得 ),()ˆ,(ψψψψO O= (4)根据厄米算符的定义),(),ˆ()ˆ,(ψψψψψψ*==O O O(5)比较式(4) 和(5) ,得*O O = (6)2. 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交证明：设O ˆ的本征值取分立值,其本征值方程为ll l k k k O O O O ψψψψ==ˆˆ (7)且lk O O ≠.利用ll O O =*得***=ll l O O ψψˆ (8)右乘kψ积分,得),(),ˆ(kl l k l O O ψψψψ= (9)利用厄米算符的特性),()ˆ,(),ˆ(kl k k l k l O O O ψψψψψψ== (10)从而),)((=-k l k l O O ψψ (11)因此,如kl O O ≠,则必须),(=k l ψψ若本征函数己归一化,则有lkk l δψψ=),( (12)3. 厄米算符的简并本征函数可通过线性组合使之正交归一证明：设算符O ˆ的本征值nO 是nf 度简并的,即有),,2,1(,ˆn n n n f O O⋯==αψψαα(13)在此情况下,给定nO ,并不能把相应的nf 个本征态确定下来,而且一般而言,nf 个本征函数αψn 不一定彼此正交.令),,2,1(,1n n f n f a n⋯==∑=βψφααβαβ (14)显然,βφn 仍为O ˆ的本征函数,均属于本征值nO ,因为βααβαααβαβφψψφn n n f nn f n O a O O a O nn===∑∑==11ˆˆ (15)选择βαa ,使βφn 具有正交性,即要求ββββδφφ''=),(n n (16)这相当于)1(21)1(21+=+-n n n n n f f f f f 个条件,而系数βαa 共有2nf 个,当nf >1时,)1(212+〉n n n f f f ,因此,总可以找到一组nf 个βαa ,使),,2,1(n n f ⋯=βφβ彼此正交.实际上,当出现简并时,为了要把O ˆ的本征态确定下来,往往是用除O ˆ以外的其它某力学量的本征值来对体系的状态进行分类.此时,正交性问题可自动得到解决.这涉及到两个或多个力学量的共同本征态的问题.4.厄米算符本征函数的完备性和封闭性设)(r nψ是厄米算符O ˆ的属于本征值nO 的本征函数,即nn n O O ψψ=ˆ,则O ˆ的所有本征函数nψ构成完备的本征函数系.函数nψ的完全性是指,体系的任意波函数ψ都可以用n O 的本征函数系n ψ展开,即∑=nn n r C r )()( ψψ (17)其展开系数由正交归一条件确定.以)(*r mψ乘上式两边,再对自变量变化的整个空间积分,可得()()mnmnn n m n n nn n m m C C C C ===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑δψψψψψψ,,,即有()ψψ,n n C = (18)下面讨论本征函数系nψ的封闭性.将式(16)代回式(15) ,得∑⎰∑⎰∑'''='''==nn n nnn n nn d r r r r d r r r C r τψψψψτψψψψ)]()(*[)()(])()(*[()((19)利用δ函数的性质τδψψ'-''=⎰d r r r r )()()((20)比较式(19) 和(20),并由)(r 'ψ的任意性,即有 )()()(*r r r r n nn '-='∑δψψ (21)此即本征函数系nψ的封闭性关系.§3.5力学量完全集[本节要求] 掌握力学量完全集的概念 [重点难点] 力学量完全集的概念 [本节内容]1.力学量同时具有确定值的充要条件是它们的算符彼此对易首先证明必要性若力学量A 和B 总是同时具有确定值,即它们有共同的完备的本征函数系,则0]ˆ,ˆ[=B A(1)设nψ是A ˆ和B ˆ共同的、完备的本征函数系,则nn n nn nB BA A ψψψψ==ˆˆ (2)任意波函数ψ可用完备集n ψ展开为∑=nnnCψψ (3)则][]ˆˆˆˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=-==∑∑∑n n n n n nnnnnnnnA B B A CA B B A CB A CB Aψψψψ (4)由ψ的任意性,可知：0]ˆ,ˆ[=B A.其次证明充分性若力学量算符A ˆ和B ˆ对易,则它们必有共同的、完备的本征函数系,因而力学量A 和B 同时有确定值.设nψ是A ˆ的相应于本征值A n 的本征态,即nn nA Aψψ=ˆ (5)(a) 考虑A n 不简并情况,利用0]ˆ,ˆ[=B A,可知n n n n n n B A A B A B B A ψψψψˆˆˆˆ)ˆ(ˆ=== (6)即nBψˆ也是A ˆ的本征态,本征值为A n .按假定A n 不简并,所以n B ψˆ与n ψ至多差一常数因子,记为B n ,则nn n B B ψψ=ˆ (7)这样nψ就是A ˆ和B ˆ的共同本征态.本征值分别为A n 和B n .(b) 考虑A n 是nf 重简并的情形,即nn n n f A A ,,2,1,ˆ ==αψψαα(8)假定αψn 已正交归一化,考虑到)ˆ(ˆˆˆˆαααψψψn n n n B A A B B A == (9)即αψn Bˆ仍为A ˆ的本征态,本征值为A n ,因此,αψn B 最普通的表达式为∑'''=αααααψψn n B Bˆ (10)其中)ˆ,(ααααψψn n B B ''=可见,一般而言,αψn 还不是B ˆ的本征态.我们不妨把αψn 作线性迭加∑=ββαβαψφn n C (11)并有ααααβαααβαφψψφn n n nn n A A C AC A ===∑∑ˆˆ (12)即αφn 仍是A ˆ的本征态,而且对应本征值A n.试问αφn 是否可能又是B ˆ的本征态呢？即能否满足βββφφn n B B =ˆ呢？为此αααααβαααβαβψψφ'''∑∑==n n n B C BC B ,ˆˆ (13)而αααββββψφ'''∑=n n C B B (14)则αββαααβα''=∑C B B C (15)或)(=-''∑βαααβαααδC B B (16)这是βαC 的线性齐次代数方程,有非平庸解的充要条件是其系数行列式等于零,即det =-''ααβααδB B (17)左边是nn f f ⨯行列式,上式是βB 的nf 次幂代数方程.由于B B ˆˆ=+,即有*''=ααααB B ,可证明此nf 次代数方程的根是存在的.假定没有重根,将nf 个根),2,1(n f B ⋯=ββ分别代入βαC 的线性齐次代数方程,求出一组解),,2,1n f C ⋯=αβα（,即相应的波函数为∑==nf n n C 1ααβαβψφ (18)这样的波函数βφn 共有nf 个（β=1,2,…,nf ）,满足nn n n n n f B B A A ,,2,1,ˆ,ˆ ===βφφφφβββββ (19)即βφn 是我们要找的A ˆ和B ˆ的共同本征态.2. 力学量完全集设有一组彼此独立而且彼此对易的厄米算符集{}⋯≡,ˆ,ˆˆ21A A A ,它们的共同本征态为αψ,α实际上表示一组量子数.若给定一组量子数α之后,就能够确定体系的一个可能状态,则称{}⋯≡,ˆ,ˆˆ21A A A 构成体系的一组力学量完全集.体系的任何一个状态ψ均可用αψ展开,即∑=αααψψC (20)利用αψ的正交归一性,可知),(ψψαα=C (21)任意力学量A 在此态的平均值为∑∑∑∑=====><**αααβααβββααββαββααββαβαδψψψψψψA C A C C A C C A C C A A 2,*),()ˆ,()ˆ,( (22)由此可见,2αC 表示在ψ态下,测量力学量A 得到A α值的几率.展开系数C α也称几率幅.几点讨论：(1) 力学量完全集中包含有体系的哈密顿量时,完全集中各力学量都是守恒量,所以又称守恒量完全集.包括H 在内的守恒量完全集的共同本征态是定态,所相应的量子数是好量子数.不论ψ是什么态,在用守恒量完全集的共同本征态展开中,展开系数2αC 是不随时间改变的.(2) 构成力学量完全集的力学量应满足相互独立、彼此对易的条件,且这样的力学量的个数应等于体系的自由度数.§3.6 基本力学量的本征函数系[本节要求] 掌握基本力学量的本征函数系的概念 [重点难点] 掌握基本力学量的本征函数系的概念 [本节内容]1.坐标算符的本征函数系先考虑一维空间,坐标算符的本征方程为)()(ˆx x x xx x '''=ψψ (1)式中x '是算符xˆ的本征值,)(x x 'ψ是算符xˆ的属于本征值x '的本征函数.由于坐标空间中x x =ˆ,易见 )(x x x '-='δψ(2)即)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (3)本征函数系的正交归一条件)()()()()(*x x dxx x x x dx x x x x '-''=''-'-∞-∞+=∞-∞+⎰⎰''''δδδψψ(4)其中利用了δ函数的重要性质)()()(00x f dx xx x f =-∞-∞+⎰δ算符xˆ的本征谱是连续谱,不是平方可积的,因此只能归一化为δ函数. 对三维空间,()z y x ,, 的共同本征函数系为)()()()()()()(ˆz z y y x x r r r r r r r r r r '-'-'-='-='='''δδδδψψψ(5)2.动量算符的本征函数系先考虑一维情形.动量算符x i px ∂∂-= ˆ的本征方程为)()(ˆx p x pxxp x p x ψψ= (6)其解为xp ipxx Aex=)(ψ采用δ归一化⎰⎰'-=∞-∞+=∞-∞+-')'()()(*)'(2x x xp p i pxx p p p dx eAdx x x x x δψψ则21)2(1 π=A归一化的本征函数为xp ipxx e x21)2(1)(πψ= (7)对三维情形,()z y xp ppˆ,ˆ,ˆ 的共同本征函数系为r p i ppper r p r p⋅==23)2(1)(),()(ˆπψψψ (8)3.角动量算符的本征函数系角动量算符的定义为∇⨯-=⨯=r i p r l ˆˆ,其三维直角坐标系中的分量表达式为()z y x x x i l ,,3,2,1,,,ˆ=∂∂-=γβαεγβαβγα (9)球坐标系中,利用直角坐标与球坐标的关系xy tgzy x z z y x r r z r y r x 12221222,cos,cos ,sin sin ,cos sin --=++=++====ϕθθϕθϕθ (10)并利用复合函数的微商法则,可得：ϕθϕθϕθϕθϕϕθθ∂∂-∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin sin 1cos cos 1cos sin r r x xx rx rxϕθϕθϕθϕθϕϕθθ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin cos 1sin cos 1sin sin r rryy ry ryθθϕϕϕθθ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin 1cos rrzz rz rz推导上述公式（如计算x r∂∂）时,应采用r,θ和φ与x,y,z 的关系,而不是x,y 和z 与r,θ和φ的关系,因为y,z 与x 无关,而θ,φ与x 有关.从而)cos (sin ˆϕϕθθϕ∂∂+∂∂=ctg i l x)sin (cos ˆϕϕθϕϕ∂∂-∂∂-=ctg i l y (12) ϕ∂∂-=i l z ˆ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=++=22222222sin 1)(sin sin 1ˆˆˆˆϕθθθθθ z y x l l l l (13)(1) 角动量子分量z l ˆ的本征函数系z l ˆ的本征值方程为)()()(ˆϕφϕϕφϕφ∂∂-== i l l z z (14)解之得ϕϕφz l iAe=)( (15)由于)(ϕφ在空间各点可微.所以)(ϕφ为ϕ的连续函数.考虑到()πϕθ2,,+r 与()ϕθ,,r是空间同一点,故由)(ϕφ的连续性,得)()2(ϕφπϕφ=+ (16)即ϕπϕz z l il iAeAe=+)2(从而12=πz L ie由此得,2,1,0,±±==m m l z (17)A 由归一化条件122=⎰ϕϕφπd ）（确定为π21=A (18)z l ˆ的属于本征值 m L z =的归一化本征函数为ϕπϕφim m e21)(=(19)(2) 角动量平方算符⎪⎭⎫ ⎝⎛z l l ˆ,ˆ2的共同本征函数系 ),(),(]sin1)(sin sin 1[22222ϕθλϕθϕθθθθθY Y =∂∂+∂∂∂∂- (20)令)()(),(ϕφθϕθm Y Θ= (21)代入方程(19),得()πθθλαθθθθ≤≤=Θ-+Θ0,0)sin()(sin sin 122m d d d(22)令θζcos = ()1≤ξ,则上式化为)1(])1[(222=Θ--+Θ-ζλζζζmd d d d (23)或)1(2)1(22222=Θ--+Θ-Θ-ζλζζζζmd d d d (23')此即为连带勒让德（associated Legendre ）方程,在1≤ζ（或0≤θ≤π）范围中,方程有两个正则奇点ξ=±1,其余各点均为常点.可证明() ,2,1,0,1=+=l l l λ (24)情况下,方程有一个多项式解（另一个解为无穷级数,即连带勒让德函数lm p ml ≤),(cos θ (25)它在1≤ζ范围中是有界的,是物理上允许的解.利用正交归一性公式'')!()!()12(2sin )(cos )(cos 0llmlml m l m l l d pp δθθθθπ-++=⎰ (26)可得一个归一化波函数)(),(cos )!()!(212)1()(l m p m l m l l ml mlm ≤+-+-=Θθθ (27)则''sin )()(ll lm ml d δθθθθ=Θ'Θ⎰ (28)利用mlmmlp m l m l p )!()!()1(+--=-,可证lmmm l Θ-=Θ-)1(, (29)这样()l m ep m l m l l Y im m l mlm ≤+-+-=,)(cos )!()!(412)1(),(ϕθπϕθ (30)它们具有性质m m ll m l m l lm mlm d d Y Y Y Y '-*=-=⎰⎰δδϕθθϕθϕθππϕθϕθ'''sin ),(),(02),()1(),(,* (31)且),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y l += (32)),(),(ˆϕθϕθlm lm z Y m Y l =l l l l m l ,1,,1,,,2,1,0-+--==即),(ϕθm Y 是zl l ˆ,ˆ2的共同本征函数,2ˆl 的本征值为2)1( +l l ,z l ˆ的本征值为 m .l 称为轨道角动量量子数,m 称为磁量子数.在给定l 的情况下,m 可以取()12+l 个不同值,即有()12+l 个态,因此对2ˆl 而言,),(ϕθlm Y 是()12+l 重简并的,而lm Y 正是用z l ˆ的本征值来对态进行分类。

第三章力学量与算符

i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或是各算符的特性
力学量与算符
定义
r r
性质（1） 2 1 ，本征值为 1 ；（2）是厄米、幺正算符（3）波函数和算符按宇称分类
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
性质12完备性三宇称算符定义2是厄米幺正算符3波函数和算符按宇称分类力学量与算符4宇称算符的选择定律力学量与算符四时间演化算符不显含时间力学量与算符力学量与算符力学量与算符
力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算算符的定义单位算符算符的和积转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
d
d A B A B A B d
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
Aij

算符与力学量的关系_第三章

2
(2a0 )
2i
3
2
e
0 1 2
1
e

i pr cos
r drd cos
2 i pr
p(2a0 )
3
re
0

r a0
[e

i pr
e
]dr
8
3.6 算符与力学量的关系（续８）

a p
2 0 2
( 2a 0 ) 2
3
2 2
2
3.6 算符与力学量的关系（续２）
| Cn |2 具有概率的意义，它表示在态中测量力学量 F 得到结果是 n 本征值的几率，故 Cn 常称为概率幅
基本假设
量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。当体系处于波函数所描写的状态时，测量力 ˆ 学量 F 所得的数值，必定是算符 F 的本征值之一，测得值为其本征值 n 的概率是 | Cn |2

C p 与动量值 P 的大小有关，与 p的方向无关，由此得到动量的概率分布 p
W ( p) C p
2
a p
2 2 0 2
8a
3 5 0
2 4

9
3.6 算符与力学量的关系（小结）
厄米算符本征函数组成正交、归一的完全函数系
任意函数可以用这些本征函数做线性展开（态叠加原理）
① 此假设的正确性，由该理论与实验结注果符合而得到验证意 ② 一般状态中，力学量一般没有确定的数值，而是具有一系列的可能值，这些可能值就是该力学量算符的本征值，测得该可能值的概率是确定的
3
3.6 算符与力学量的关系（续３）

苏汝铿量子力学讲义第三章矩阵力学基础

不同力学量同时有确定值的条件
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意：如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在得到零中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的

第三章力学量用算符表达

性质 II: 两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。
但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
ˆ ˆ x p p x i ˆ ˆ ˆ ˆ p p p p 0
, x, y, z
量子力学中最基本的对易关系。
ˆ ˆ ˆ ˆ xp y p y x 0 yp x p x y 0 ˆ ˆ ˆ z pz x 0 ypz pz y 0 ˆ xp ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ p x p y p y p x 0 p y pz pz p y 0
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数， ψ1, ψ1是任意两个波函数。例如：
动量算符单位算符
ˆ p i ˆ I
是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。
（2）算符相等
例如：体系Hamilton 算符
显然，算符求和满足交换率和结合率。
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。
（4）算符之积
一般来说算符之积不满足交换律，即 ÔÛ ≠ ÛÔ 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。
若Ô (Û ψ ) = (ÔÛ) ψ =Êψ 则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
ˆ iLz
同理 ˆ ˆ ˆ [ L , L ] iL
y z
x
ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iLy
合记之： ˆ ˆ [ L , L ] i

第三章-力学量的算符表示

px能够取-~+中连续变化旳一切实数，为了拟定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并：对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交，但总能够找到正交函数。
例题对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix

苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter3

⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ, B ˆ ⎤ = 0 。对于有三个分量 x，y，z 的算符，在证明中往往只证明 ˆ 对易，就是说， ⎡ A 和B
⎣ ⎦
其中的任一个分量，其余分量类推。证：
( p × l + l × p ) x = p y l z − pz l y + l y pz − lz p y
=⎡ ⎣ p y , lz ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , p z ⎤ ⎦
所以有
(3.1)
ˆ 2α ˆ ˆ ˆ 2 −β ˆ = 2β αβ
（2）如果
(3.2)
ˆ n −1α ˆ n−2 ˆ ˆ n −1 − β ˆ = nβ αβ
成立，利用数学归纳法可以证明第三式，实际上
(3.3)
ˆ n −1 α ˆ n−2 )β ˆ =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(β ˆ ˆ ˆ n = αβ ˆ ˆ n −1 β ˆ + (n − 1) β αβ ˆ n −1 (αβ ˆ n −1 ˆ ˆ ) +(n − 1) β =β ˆ n −1 ( βα ˆ n −1 ˆ ˆ + 1) +(n − 1) β =β ˆ =β
∫
∞
−∞
ˆ ( x)ψ ( x)dx 来算 ψ *n ( x ) F n
ˆ 写成 p ˆ 的对易形式 ˆx 和 H 其平均值，并巧妙的使用薛定谔方程而证得。而方法二是把 F 1 ˆ ⎤ ，进而证得命题。 ˆ = − d V ( x) = 1 [ p ˆx, H ˆ x , V ( x) ] = ⎡ p F ⎦ i= i= ⎣ dx
1 ˆ⎤ ˆ = − d V ( x) = 1 [ p ˆ x , V ( x)] = ⎡ p ˆx, H F ⎦ i= i= ⎣ dx ˆ 的期望值为于是在体系束缚定态ψ n ( x) 中，此力 F F= 1 1 ∞ ˆ ⎤ψ ( x)dx ˆ x , V ( x ) ] = ∫ ψ n* ( x ) ⎡ p ˆx, H [p ⎣ ⎦ n −∞ i= i= 1 ∞ * * ˆ ψ ( x)dx − ∞ ( H ˆxH ˆ xψ n ( x)dx = ψ n ( x) p n ∫−∞ ˆψ n ( x)) p ∫ i= −∞ =0

第三章力学量的算符.

若两个算符 Ô、Û 对体系的任何波函数ψ 有： ( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ 则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
例如：体系Hamilton 算符算符求和满足交换率和结合率。注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。
f
f
j , j 1,2,, f
ˆ F ˆ F A ji ni nj
f
ˆ A ji F ni
i 1
f
i 1
Fn A ji ni
i 1
f
Fn nj
算符 F 本征值 Fn简并的本质是当 Fn 确定后还不能唯一的确定状态，要想唯一的确定状态还得寻找另外一个或几个力学量算符，F 算符与这些算符对易，其本征值与 Fn 共同确定状态。
在势场中 V ( r ) 的粒子 H T V
2 ˆ T ˆ V (r ) 2 V (r ) H 2m
问题：算符、动量算符、 Hamilton算符
§3-2
算符的本征值和本征函数
ˆ F F n n n
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态，上式即是算符 F 的本征方程。求解时，ψ 作为力学量的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求即波函数的标准条件。
定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平
均值必为实数。
证：
F
ˆ d * F
ˆ ) * d ( F
ˆ ]* [ d * F
F*
逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄密算符。
定理II：厄密算符的本征值必为实。

第三章量子力学中的力学量

ˆ F(A)
∞
=∑
n=0
F
( n,m)
∞
F
( n)
(0) n!
ˆn A
∂n (n) F (x) = n F(x) ∂x
n m
ˆ ˆ ˆ ˆ 算符 A、B 的函数 F( A, B)为: ˆ ˆ F( A, B) =
n,m=0
∑
(0,0) n!m!
ˆ n Bm ；F(n,m) (x) = ∂ n ∂ m F(x, y) A ˆ
∂x ∂y
例:
将算符函数
ˆ ˆ F(H) = e
i − xt h
i ˆ − Ht h
展开成幂级数
解： F′(x) = d e
i = − te dx h i i 2 − xt − xt d i 2 h 2 h F (x) = 2 e = (− t) e dx h i i n − xt − xt d i n h n h ⋅ ⋅⋅, F (x) = dxn e = (− h t) e i n n F (0) = (− t) h
ˆ = h ∂ Px i ∂x
ˆ = − h ∂ = −P ˆ P x i ∂x
* x
r* r ˆ ˆ P = −P
~ ˆ ˆ （3）算符 F 的转置算符 F ） ~ ˆ ˆ 定义：定义： u * Fv dτ ≡ vFu * dτ ∫ ∫
~ ˆ ˆ (u, Fv) = ( v* , Fu * )
~ ∂ ∂ 性质：性质：ⅰ =− ∂x ∂x ~ ∞ ∞ ∞ ∂ * 证： * ∂ * ∞ * ∂ ∫−∞ u ∂x vdx = ∫−∞ v ∂x u dx = vu −∞ − ∫−∞ u ∂xvdx ~ ∞ ∂ ∂ * ∂ = = −∫ u vdx −∞ ∂x ∂x ∂x

第3章力学量用算符表达

证明如下:
设
Aˆn Ann,
Aˆ m Amm,
并设 m,n 存在, 对 Aˆm Amm, 取复共轭, 得到
* 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与
的标积
, d *
d 是指对体系的全部空间坐标进行积分,
d 是坐标空间体积元.
则可以证明:
, 0
,* ,
,c11 c22 c1 ,1 c2 ,2
c11 c22, c1* 1, c2* 2,
式中 c1 与 c2 为任意常数.
第3章
力学量用算符表达
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一种运算.例如
d ,V (r) , ,2
dx
讨论量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c22 c1Aˆ1 c2 Aˆ2
其中 1 和 2是任意两个波函数，c1 与 c2 是
F x eax, 可定义
F
d dx
a
e
d dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
a
算符
a
e
d dx
的物理意义,
是与体系沿 x方向平移a
有关的算符.
两个(或多个)算符的函数也可类似定义.
令
F n,m
x,
y
n xn
m y m
F
x,
y,
则
F ˆ, Bˆ Fn,m 0, 0 ˆ nBˆ m. n,m0 n!m!
r
将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：

第三章 力学量与算符

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第三章-表示力学量算符-习题答案

第3章 力学量用算符表达：习题解答

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力学量和算符

量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系

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