第三章 力学量与算符
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力学量与算符
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
ˆ B ˆ B ˆ ˆ A A
~ * Adr A dr
*
~~ AB B A
~
力学量与算符
力学量与算符
3.2 算符函数和导数 一、算符函数
1 n 定义： B F A F 0An, n n!
A 为厄米，若 F 0
n
为实,则 几个定理 1.如果
B 厄米。
a ，则算符函数
A 的本征方程为 A
F A
满足同样的本征方程，即
F A F a 。
力学量与算符
复共轭 厄米共轭 逆 幺正算符 算符对易子
AB
*
*
AB
*
*
* * A dr A dr
A A
A
1
AB
B A
A A
1
线性算符
A, B AB BA A C AC
i i i i i
i
力学量与算符
厄米算符的性质 1.本征值为实 2.平均值为实 3.不同本征值之间的本征函数正交 4.假定：本征函数是完备，则
力学量与算符
3.3 算符的迹和行列式
一、算符的迹
则算符的迹为 TrA Aii i 2.性质 （1）算符的迹与表象无关，算符的迹等于 本征值之和， 1.定义 算符 A 在某个表象 ui 中的矩阵元为
Aij
Tr ABC Tr CAB Tr BCA （ 2）
力学量与算符
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
B
1 C 2
e B e Ae
1 C 2
A, e Ae
B
e B A C e B
i
i
i 1
厄米算符的判断1.实数算符是厄米的 2.两个厄米算符的和是厄米的 3.相互对易的厄米算符的积是厄米的 4.由定义判定
力学量与算符
1 证明
p L L p 2i p
F F iF
2证明，任何一个算符均可分解为 均为厄米算符，且
1 1 F F F , F F F 2 2i
力学量与算符
（4） U t , t0 （5）当 不是厄米，但是幺正的； 不显含时间，
i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
四、时间演化算符
定义 由
i
r , t H r , t t
r , t U t , t0 r , t0Байду номын сангаас U t , t0 是时间演化算符。
性质 （1）当 t t0 则 （ 2） （ 3）
U t , t0 1
U t , tU t, t U t , t ， 1 U t, t0 U t0 , t
力学量与算符
二、投影算符 定义 pn n n
n 是一个完备波函数中的一个函数。
性质 （1） p pn ，本征值为0，1； （2）完备性 pn 1 ；
2 n
n
（ 3）
pn
是厄米算符。
力学量与算符
三、宇称算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
二、算符的行列式
1.定义 在
a A的自身表象中，det A ，
i i
ai 为本征值。
2.性质 （1）行列式与表象无关，
（2）det AB det A det B
力学量与算符
证明
det AB det A detB
det S AS det A
Tr AB Tr BA
力学量与算符
2.如果知道算符的函数形式则可推知它的本征值情况。 3.如果在某个表象下，算符A 对角，则 F A 对角。 4.如果算符满足 Cn A Cn 1 A
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
（4）宇称算符的选择定律
A
具有相同的宇称积分项不为零；
A
为偶，当且仅当
与
A为奇，当且仅当
与 具有不相同的宇称积分项不为零；
力学量与算符
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
d
d A B A B A B d
Tr S AS TrA
1
Tr ABC Tr BCA Tr CAB
1
力学量与算符
4.几个重要的算符 一、幺正算符
A A1
性质 （1）本征值是模为1的虚数，本征函数正交； （2）两个幺正算符的乘积是幺正算符； （3）如果
A
是厄米算符，则
e
iA
是幺正算符；
（4）幺正算符所对应得矩阵一定是幺正的。
力学量与算符
算符的定义及运算 算符的定义 单位算符 算符的和 积 转置
ˆ F
I
ˆB ˆ B ˆ ˆ A A
ˆ B ˆ B ˆ ˆ A A
~ * Adr A dr
*
~~ AB B A
~
力学量与算符
力学量与算符
3.2 算符函数和导数 一、算符函数
1 n 定义： B F A F 0An, n n!
A 为厄米，若 F 0
n
为实,则 几个定理 1.如果
B 厄米。
a ，则算符函数
A 的本征方程为 A
F A
满足同样的本征方程，即
F A F a 。
力学量与算符
复共轭 厄米共轭 逆 幺正算符 算符对易子
AB
*
*
AB
*
*
* * A dr A dr
A A
A
1
AB
B A
A A
1
线性算符
A, B AB BA A C AC
i i i i i
i
力学量与算符
厄米算符的性质 1.本征值为实 2.平均值为实 3.不同本征值之间的本征函数正交 4.假定：本征函数是完备，则
力学量与算符
3.3 算符的迹和行列式
一、算符的迹
则算符的迹为 TrA Aii i 2.性质 （1）算符的迹与表象无关，算符的迹等于 本征值之和， 1.定义 算符 A 在某个表象 ui 中的矩阵元为
Aij
Tr ABC Tr CAB Tr BCA （ 2）
力学量与算符
力学量与算符
3.2.2设算符 A、B 不可对易： A , B C ，但
A, C ， B , C ，试证明Glauber公式：
e A B e A e B e
B
1 C 2
e B e Ae
1 C 2
A, e Ae
B
e B A C e B
i
i
i 1
厄米算符的判断1.实数算符是厄米的 2.两个厄米算符的和是厄米的 3.相互对易的厄米算符的积是厄米的 4.由定义判定
力学量与算符
1 证明
p L L p 2i p
F F iF
2证明，任何一个算符均可分解为 均为厄米算符，且
1 1 F F F , F F F 2 2i
力学量与算符
（4） U t , t0 （5）当 不是厄米，但是幺正的； 不显含时间，
i H t t 0
H
U t , t0 e
力学量与算符
• • • • • 作业： 1、分析厄米算符 2、讨论幺正算符（投影算符、宇称算符） 3、算符运算的证明 4、讲课过程中的简单证明，一些概念、或 是各算符的特性
四、时间演化算符
定义 由
i
r , t H r , t t
r , t U t , t0 r , t0Байду номын сангаас U t , t0 是时间演化算符。
性质 （1）当 t t0 则 （ 2） （ 3）
U t , t0 1
U t , tU t, t U t , t ， 1 U t, t0 U t0 , t
力学量与算符
二、投影算符 定义 pn n n
n 是一个完备波函数中的一个函数。
性质 （1） p pn ，本征值为0，1； （2）完备性 pn 1 ；
2 n
n
（ 3）
pn
是厄米算符。
力学量与算符
三、宇称算符
定义
r r
性质 （1） 2 1 ，本征值为 1 ； （2）是厄米、幺正算符 （3）波函数和算符按宇称分类
二、算符的行列式
1.定义 在
a A的自身表象中，det A ，
i i
ai 为本征值。
2.性质 （1）行列式与表象无关，
（2）det AB det A det B
力学量与算符
证明
det AB det A detB
det S AS det A
Tr AB Tr BA
力学量与算符
2.如果知道算符的函数形式则可推知它的本征值情况。 3.如果在某个表象下，算符A 对角，则 F A 对角。 4.如果算符满足 Cn A Cn 1 A
n n 1
C1 A C 0，则
A有 n 个本征值，且满足
Cnan Cn 1an 1 C1a C 0
A, 0
r r
偶宇称
奇宇称
A, 0 r r
力学量与算符
（4）宇称算符的选择定律
A
具有相同的宇称积分项不为零；
A
为偶，当且仅当
与
A为奇，当且仅当
与 具有不相同的宇称积分项不为零；
力学量与算符
。
力学量与算符
二、算符导数 1.定义
F F ，
为参量，
dF F F lim 0 d
2.基本性质 d A B A B
d
d A B A B A B d
Tr S AS TrA
1
Tr ABC Tr BCA Tr CAB
1
力学量与算符
4.几个重要的算符 一、幺正算符
A A1
性质 （1）本征值是模为1的虚数，本征函数正交； （2）两个幺正算符的乘积是幺正算符； （3）如果
A
是厄米算符，则
e
iA
是幺正算符；
（4）幺正算符所对应得矩阵一定是幺正的。