大学物理第9章静电场中的导体
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第9章 静电场中的导体
本章主要内容
§9.1 导体的静电平衡条件
§9.2 静电平衡导体上的电荷分布
§9.3 静电平衡导体的应用
§9.4 有导体时静电场分布的计算 §9.5 静电屏蔽
第9章
静电场中的导体
实际中，电荷总是分布在实物物体上的，电场中也往往 存在物体。通常按导电能力将物体分为导体和绝缘体。
S
A
B
于是
QA QB EI EIII 2 0 S
QA QB EII 2 0 S
（2）如果导体板 B 接地， EIII = 0(B = = 0 )，故有
QA QB
4 = 0，但 3 = 3 +4 QB/S，仍有
解得
1 2 3 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 3 0 1 2 QA S Q Q EI EIII 0 , EII A 1 0 , 2 3 A 0S S
3 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
E dS ES
S
σS / ε0
+
+
S
E 0
+
+
+ +
σ E ε0
+
4 导体表面电荷分布规律
σ E ε0
σ E ; σ , E
+ + +
+ +
++ + ++
尖端放电现象
带电导体尖端附 近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产 生放电现象．
(1)设导体球表面感 应出电荷q’
a.球心O处场强为零，是±q’的电场和q的电场 叠加的结果 q' q' 即
E0 E E 0
E ' E [
q q i (i )] 2 2 40 d 40 d
d O q R
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 2
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
[例2] 两块面积均为 S 的大金属平板 A 和 B，各带电量 QA 和 QB，求：
（1）两导体板之间及左右两侧的电场强度；（2）如将 B 板接地，电场如 何分布？假设金属板可看作无限大。 解：设四个导体平面上面电荷密度分别为 1，2，3 和 4 。
R2
R3
I II III IV
R1
QA QA QB EI EIII 0 , EII , EIV 2 40 r 40 r 2 利用 E dr 求得
QA QB QA QB QA 1 1 QA QB IV , III , II r R 4 R , 40 r 40 R3 40 2 0 3 QA 1 1 QA QB I 40 R1 R2 40 R3 §9.3 有导体存在时静电场分布的
σE
避雷针的工作原理
+ +
－
+ + + + + 带电云
－－ － － －
避雷针必须可靠接地
§9.4 静电屏蔽
静电屏蔽
带空腔导体的空腔中的电场不受外面 静电场的影响，这种现象称为静电屏蔽。 空腔内电场与空腔中带电体分布和空 腔几何形状有关；内壁上电荷分布是静电 平衡条件所要求的分布（内壁上电荷的场 与空腔中带电体的场在内壁以外区域叠加 相互抵消）。 应用：同轴电缆，抗干扰罩/网等
（1）每一面电荷单独存在时产生的场强为 i/20 ( i = 1, 2, 3, 4) ，取导体
板 B 中任一点，利用静电平衡条件，有
1 2 3 4 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 0 取如图所示的高斯面 S’ ，有 E dS S 2 3 0 0
例：设有两个相距很远的导体球，半径分别为R和r(R>r)，用 一导线将两球相连，求两个导体球的面电荷密度之间的关系
1 Q R 40 R
4R 2 R 40 R
R
Q
r q
R
r
R R
q 4r 2 r r r r 40 r 0 40 r 1
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
高斯 面
+
+
+ +
+ +
+
S +
+ +
实心带电导体
结论：导体内部无净电荷， 电荷只分布在导体表面.
2 空腔导体
空腔内无电荷时
E dS 0
S
qi 0
i
高斯 面
S
空腔带电导体
电荷分布在表面 内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号
qi SE dS ε0 0
0
r R R r
例1.
1
2
2 0
1 2 0
无限大的带电平面的场中平行 放置一无限大金属平板。
求：金属板两面电荷面密度 解:设金属板面电荷密度 、
由对称性和电量守恒
P
2 2 0
1 2
导体体内任一点P场强为零
1
x
1 1 2
1 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 3 4
I II III
A
B
讨论： 如果两导体板带等量异号电荷，即 QB = QA ，则
1 4 0 , 2 QA S , 3 QB S
QA EI EIII 0 , EII 0S
此时，如果 B 板再接地，结果不变。
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
QA QB
1 4 0 2 3 0 1 2 QA S 3 4 QB S
(电荷守恒)
QA QB 1 4 2S Q Q 2 3 A B 2S
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
S
1 2 3 4
§9.4 静电屏蔽
§9.3 有导体存在时静电场 分布的分析与计算
在涉及导体的静电场问题中，静电平衡导体表面电荷和其 外部空间的电场分布是唯一的、确定的。求解这种问题需要考 虑以下规律：
静电场的基本性质（如场强叠加原理，Gauss 定理等）；
电荷守恒定律；
静电平衡条件。
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
课后作业：
教材：p.292: 2,3,4,5,6,8
预习：
教材 §10.1-§10.4
例5. 如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球 壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷 +q，设无限远处为电势零点，试求：
（1）球壳内外表面上的电荷。 （2）球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。 （3）球心O点处的总电势。
AB
AB
E dl 0
+ + +
＋
+
－
高斯 面
+
+ S
与导体是等势体矛盾
+
+ + 空腔带电导体
A
+
B
结论：空腔内无电荷时，电荷分布在外表面, 内表面无电荷.
空腔内有电荷时
E dS 0
S
q
i
0
+q
高斯 q 面
-q 空腔导体
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感 应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
E 0
AB
AB
E dl 0
+ +
en
+
E
+
dl
+
导体表面为等势面
E dl
AB AB
eτ
A
B +
E dl 0
§9.2 静电平衡导体 上的电荷分布
1 实心导体
E 0 q SE dS 0 ε0 q 0
b.因为所有感应电荷在O处的电势为
'
dq' 40 R
q'
0
而q在O处的电势为
q 40 d
0 '
q 40 d
q 40 d
(2) 导体球接地：设球上的净电荷为q1
0
解得
40 R
q1
0
q1
O
R q1 q d
d
R
q
本章结束
The End of This Chapter
分析与计算
P
[例4]半径为R的不带电导体球附近有一点 电荷q，它与球心O相距d，求(1)导体球上 感应电荷在球心处产生的电场强度及此时 球心处的电势；(2)若将导体球接地，球上 的净电荷为多少？
q' q' O R
解：建立如图所示的坐 标系
d
q x
导体——导电能力极强的物体。金属是最常见的导体。 金属导体的导电特征：金属内部存在自由电子，当导体
处于静电场中时，自由电子受到电场力作用而产生定向运动， 使导体上的宏观电荷重新分布。 本章主要是应用静电场的性质，讨论导体上电荷分布规律， 及其与周围的电场的关系。
第9章 静电场中的导体
§9.1 导体的静电平 衡条件
1 静电感应
+ +
++ + + +
+
+
+
感应电荷
2 静电平衡
——导体内部和表面的宏观电荷无定向移动。
E0
E0
＇ E
+ + + + + + + +
E0
静电平衡条件：
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
推论：导体为等势体 导体内各点电势相等
[例3] 一半径为 R1 的导体球，带电荷 QA，在它外面同心地放置一内、
外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷 QB。求各处的场强和电势分布。
解：中央球体电荷只分布在表面；球壳是一个
带空腔导体，内壁带电为 QA，再由电荷守恒知，
外表面带电为 QA + QB。所有导体表面电荷均为均 匀分布。 利用 Gauss 定理可求出各区域的场强
q q qQ q 1 1 1 Q U ( ) 4 0 r 4 0 a 4 0b 4 0 r a b 4 0b
解： （1）由静电感应和高斯定理 可知，球壳内表面带电－q， 外表面带电q＋Q。
Q
r
q
a
O
b
（2）球壳内表面上电荷分布不均匀，但距球 心O点都是a，由电势叠加原理，在O点产生的 电势为：
U
q
dq 4 0 a
0
q 4 0 a
（3）由电势叠加原理知，点电荷+q，内 表面电荷－q，外表面电荷q＋Q共同产生球 心O处电势，且为：
本章主要内容
§9.1 导体的静电平衡条件
§9.2 静电平衡导体上的电荷分布
§9.3 静电平衡导体的应用
§9.4 有导体时静电场分布的计算 §9.5 静电屏蔽
第9章
静电场中的导体
实际中，电荷总是分布在实物物体上的，电场中也往往 存在物体。通常按导电能力将物体分为导体和绝缘体。
S
A
B
于是
QA QB EI EIII 2 0 S
QA QB EII 2 0 S
（2）如果导体板 B 接地， EIII = 0(B = = 0 )，故有
QA QB
4 = 0，但 3 = 3 +4 QB/S，仍有
解得
1 2 3 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 3 0 1 2 QA S Q Q EI EIII 0 , EII A 1 0 , 2 3 A 0S S
3 导体表面附近场强与电荷面密度的关系
作扁圆柱形高斯面
E dS ES
S
σS / ε0
+
+
S
E 0
+
+
+ +
σ E ε0
+
4 导体表面电荷分布规律
σ E ε0
σ E ; σ , E
+ + +
+ +
++ + ++
尖端放电现象
带电导体尖端附 近的电场特别大，可 使尖端附近的空气发 生电离而成为导体产 生放电现象．
(1)设导体球表面感 应出电荷q’
a.球心O处场强为零，是±q’的电场和q的电场 叠加的结果 q' q' 即
E0 E E 0
E ' E [
q q i (i )] 2 2 40 d 40 d
d O q R
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1 2
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
[例2] 两块面积均为 S 的大金属平板 A 和 B，各带电量 QA 和 QB，求：
（1）两导体板之间及左右两侧的电场强度；（2）如将 B 板接地，电场如 何分布？假设金属板可看作无限大。 解：设四个导体平面上面电荷密度分别为 1，2，3 和 4 。
R2
R3
I II III IV
R1
QA QA QB EI EIII 0 , EII , EIV 2 40 r 40 r 2 利用 E dr 求得
QA QB QA QB QA 1 1 QA QB IV , III , II r R 4 R , 40 r 40 R3 40 2 0 3 QA 1 1 QA QB I 40 R1 R2 40 R3 §9.3 有导体存在时静电场分布的
σE
避雷针的工作原理
+ +
－
+ + + + + 带电云
－－ － － －
避雷针必须可靠接地
§9.4 静电屏蔽
静电屏蔽
带空腔导体的空腔中的电场不受外面 静电场的影响，这种现象称为静电屏蔽。 空腔内电场与空腔中带电体分布和空 腔几何形状有关；内壁上电荷分布是静电 平衡条件所要求的分布（内壁上电荷的场 与空腔中带电体的场在内壁以外区域叠加 相互抵消）。 应用：同轴电缆，抗干扰罩/网等
（1）每一面电荷单独存在时产生的场强为 i/20 ( i = 1, 2, 3, 4) ，取导体
板 B 中任一点，利用静电平衡条件，有
1 2 3 4 Eint,B 0 2 0 2 0 2 0 2 0 取如图所示的高斯面 S’ ，有 E dS S 2 3 0 0
例：设有两个相距很远的导体球，半径分别为R和r(R>r)，用 一导线将两球相连，求两个导体球的面电荷密度之间的关系
1 Q R 40 R
4R 2 R 40 R
R
Q
r q
R
r
R R
q 4r 2 r r r r 40 r 0 40 r 1
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
高斯 面
+
+
+ +
+ +
+
S +
+ +
实心带电导体
结论：导体内部无净电荷， 电荷只分布在导体表面.
2 空腔导体
空腔内无电荷时
E dS 0
S
qi 0
i
高斯 面
S
空腔带电导体
电荷分布在表面 内表面？ 外表面？
若内表面带电，必等量异号
qi SE dS ε0 0
0
r R R r
例1.
1
2
2 0
1 2 0
无限大的带电平面的场中平行 放置一无限大金属平板。
求：金属板两面电荷面密度 解:设金属板面电荷密度 、
由对称性和电量守恒
P
2 2 0
1 2
导体体内任一点P场强为零
1
x
1 1 2
1 2 0 2 0 2 0 2 0
1 2 3 4
I II III
A
B
讨论： 如果两导体板带等量异号电荷，即 QB = QA ，则
1 4 0 , 2 QA S , 3 QB S
QA EI EIII 0 , EII 0S
此时，如果 B 板再接地，结果不变。
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
QA QB
1 4 0 2 3 0 1 2 QA S 3 4 QB S
(电荷守恒)
QA QB 1 4 2S Q Q 2 3 A B 2S
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
S
1 2 3 4
§9.4 静电屏蔽
§9.3 有导体存在时静电场 分布的分析与计算
在涉及导体的静电场问题中，静电平衡导体表面电荷和其 外部空间的电场分布是唯一的、确定的。求解这种问题需要考 虑以下规律：
静电场的基本性质（如场强叠加原理，Gauss 定理等）；
电荷守恒定律；
静电平衡条件。
§9.3 有导体存在时静电场分布的 分析与计算
课后作业：
教材：p.292: 2,3,4,5,6,8
预习：
教材 §10.1-§10.4
例5. 如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球 壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷 +q，设无限远处为电势零点，试求：
（1）球壳内外表面上的电荷。 （2）球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势。 （3）球心O点处的总电势。
AB
AB
E dl 0
+ + +
＋
+
－
高斯 面
+
+ S
与导体是等势体矛盾
+
+ + 空腔带电导体
A
+
B
结论：空腔内无电荷时，电荷分布在外表面, 内表面无电荷.
空腔内有电荷时
E dS 0
S
q
i
0
+q
高斯 q 面
-q 空腔导体
S
结论: 空腔内有电荷+q时，空腔内表面有感 应电荷-q，外表面有感应电荷+q．
E 0
AB
AB
E dl 0
+ +
en
+
E
+
dl
+
导体表面为等势面
E dl
AB AB
eτ
A
B +
E dl 0
§9.2 静电平衡导体 上的电荷分布
1 实心导体
E 0 q SE dS 0 ε0 q 0
b.因为所有感应电荷在O处的电势为
'
dq' 40 R
q'
0
而q在O处的电势为
q 40 d
0 '
q 40 d
q 40 d
(2) 导体球接地：设球上的净电荷为q1
0
解得
40 R
q1
0
q1
O
R q1 q d
d
R
q
本章结束
The End of This Chapter
分析与计算
P
[例4]半径为R的不带电导体球附近有一点 电荷q，它与球心O相距d，求(1)导体球上 感应电荷在球心处产生的电场强度及此时 球心处的电势；(2)若将导体球接地，球上 的净电荷为多少？
q' q' O R
解：建立如图所示的坐 标系
d
q x
导体——导电能力极强的物体。金属是最常见的导体。 金属导体的导电特征：金属内部存在自由电子，当导体
处于静电场中时，自由电子受到电场力作用而产生定向运动， 使导体上的宏观电荷重新分布。 本章主要是应用静电场的性质，讨论导体上电荷分布规律， 及其与周围的电场的关系。
第9章 静电场中的导体
§9.1 导体的静电平 衡条件
1 静电感应
+ +
++ + + +
+
+
+
感应电荷
2 静电平衡
——导体内部和表面的宏观电荷无定向移动。
E0
E0
＇ E
+ + + + + + + +
E0
静电平衡条件：
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导 体表面垂直.
推论：导体为等势体 导体内各点电势相等
[例3] 一半径为 R1 的导体球，带电荷 QA，在它外面同心地放置一内、
外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷 QB。求各处的场强和电势分布。
解：中央球体电荷只分布在表面；球壳是一个
带空腔导体，内壁带电为 QA，再由电荷守恒知，
外表面带电为 QA + QB。所有导体表面电荷均为均 匀分布。 利用 Gauss 定理可求出各区域的场强
q q qQ q 1 1 1 Q U ( ) 4 0 r 4 0 a 4 0b 4 0 r a b 4 0b
解： （1）由静电感应和高斯定理 可知，球壳内表面带电－q， 外表面带电q＋Q。
Q
r
q
a
O
b
（2）球壳内表面上电荷分布不均匀，但距球 心O点都是a，由电势叠加原理，在O点产生的 电势为：
U
q
dq 4 0 a
0
q 4 0 a
（3）由电势叠加原理知，点电荷+q，内 表面电荷－q，外表面电荷q＋Q共同产生球 心O处电势，且为：