二次函数型综合问题

二次函数型综合问题

这类综合题是以二次函数为中心，综合二次方程、二次三项式、不等式或几何、三角等知识，组成一个题组，重点、难点集中，综合性较强，灵活性较大，是当前各地中考命题的一个热门题型。

3．2．1直接与代数知识相结合的问题

这类问题主要是代数知识的综合，解题时牢牢抓住二次函数的有关性质和其它二次三项式的有关知识和解题方法，并结合函数的图象就能找到解题的思路。

例1． 已知二次函数1)1(22-++-=m x m x y 。（1）求证：无论m 为何值时，函数y 的图象与x 轴

总有交点，并指出当m 为何值时只有一个交点？（2）当m 为何值时，函数y 的图象经过原点，并求出此时图象与x 轴的另一个交点的坐标。（3）如果函数y 的图象的顶点在第四象限，求职m 的取值范围。

例2． 已知二次函数m x m x m y (1)2()1(2--+-=为实数）。求：（1）m 取何值时，抛物线与x 轴

有两个交点？（2）如果关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 的两个不相等的实数根倒数平方和等于2，求m 的值。（3）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且2=∆ABC S 确定m 的值。

例3． （1）已知一个二次函数的图象经过)0,2(),3,2(),2

3,0(--三点。求这个二次函数的解析式；（2）

如果（1）中所求的二次函数图象的开口方向和形状保持不变，平行移动这个函数的图象，使之与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，若B 点坐标为)0,1(-，且|AC|=|AB|，求此时二次函数的解析式。

例4． 以x 为自变量的二次函数)34()22(2

2-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于0的整数，它

的图象与x 轴交于点A ，B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边。（1）求这个二次函数的解析式；（2）一次函数b kx y +=的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且10=∆ABC S ，求一次函数的解析式。

例5． 设抛物线1222+-+-=m m mx x y （m 为实数）。（1）求证：如果抛物线与x 轴有交点，那

么交点都在x 轴的正半轴上；（2）在抛物线与x 轴的所有交点中，求与原点距离最近的交点坐标，并求此时m 的值。

例6． 已知抛物线)0(2<++=a c bx ax y 与坐标轴有两个且只有两个公共点，这两个公共点到原点

的距离分别为21,d d ，而21,d d 是方程02754522=++-+-x x x x 的两个实数根。求符合条件的抛物线的解析式。

习题：

移后函数图象的解析式；（2）若平移后函数图象的顶点在第三象限内两条坐标轴夹角的平分线上，求m 的值。

2． 已知抛物线122)4(222--+-=m x m x y 。（1）证明：不论m 取任何实数，抛物线与x 轴

恒有两个交点，且一个交点是)0,2(-。（2）求m 为何值时，两交点之间的距离为12？（3）求m 为何值时，两交点之间的距离最小？

3． 已知抛物线12++=kx x y 与x 轴的正方向相交于A 、B 两点，顶点为C ，ABC ∆是等腰直角

三角形。（1）求证：42-=

k AB ；

（2）求k 的值。

4． 已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 经过（0，1）和（23,-）两点。（1）如果抛物线开口向下，

对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围；（2）若对称轴为1-=x ，求抛物线的解析式。

5． 如图，已知抛物线c x b x y +++=)2(212与d x b x y +-+=)2(2

12其中一条的顶点为P （0，1），另一条与x 轴交于M ，N 两点，且点N 的坐标为（2-，0）。（1）试判断哪条抛物线经过M ，N ，两点；（2）求两条抛物线的解析式。

6． 设二次函数)0(122

>++-=b bx x y 的图象与x 轴的两个交点为A ，B ，抛物线顶点为C ，若ABC ∆为等边三角形，求此函数的解析式。

7． 如图，已知抛物线862

+--=x x y 与x 轴交于A ，B 两点。（1）通过配方，求抛物线的对称

轴和顶点坐标；（2）利用图象，说明x 取哪些值时，函数值0≤y ；（3）如果平行于x 轴的直线与抛物线交于C ，D 两点，且点C 在横坐标为5，画出直线CD 并求梯形ABCD 的面积。

8． 已知抛物线2223ab abx ax y +-=不经过第三象限。（1）求a 和b 的取值范围；（2）若抛物

线与x 轴有交点)0,1(-a ，且顶点在正比例函数ax y -=的图象上，求该抛物线。

9． 已知方程组)0(0

0122>⎩⎨⎧=-+=+-a a y ax y tx 有两组相同的解。（1）求t 和a 的关系 ；（2）求t 的取值范围；（3）把a 看成是t 的函数，画出这个函数的图象。

10．已知两条抛物线),4

1,0(:;)1(41:2221≠≠+=-=a a b ax y c x y c 21,c c 有且仅有一公共点P 。（1）证明：1)14)(14(=--b a ；并求出用b 表示公共点P 的坐标；（2）如果21,c c 与y 轴的交点为Q ，R ，证明P 点横坐标的绝对值等于QR 长的4倍；（3）当PQ=PR 时，求2c 的表达式。

11．已知抛物线c bx ax y ++=2

经过（1，0），（5，0），（4，3）三点。（1）求抛物线的解析式和

顶点坐标；（2）若抛物线顶点的横坐标、纵坐标是方程0)(4)4(22=+++-n m x n m x 的两个根，求m,n 的值。

12．已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为21,x x ，二次方程02022=++x b x 的两根分别为43,x x ，且43x x <，34132=-=-x x x x 。求b,c 的值。