一类非线性算子的不动点定理
一类非混合单调算子的不动点定理
ｌ 或 ）一 ｌ （ ｕ ｌ Ｎ ｌ 一“ ｌ ｒ （ ） ） ｒ Ｔ ）＋ｒ ）＋ｒ ）＋ｒ ） ＜ｒ＜１ ＿≤ ｒ ＿ 。Ｉ， （ ，～ （ （ （ （ （ ）
．
＝ （ ） Ａ ， ）一Ａ（ ，）一 （ 一“ ） ，一 一（ （ ／ ／ ， ｕ ）
（ 谱半 径 ０＜ （ ， ） ） ｒ １ Ｈ） ｒ （ 一 （（ ）＋ｒ ）＋ｒ ）＋ｒ ） （ （ （ ）＜１ ， 则 算子 Ａ（ ，） ［。 ］ 有唯 一不 动点 ， 造 迭代序 列 “ 在 ｕ ，。上 构
收稿 日期 ：０ ７１ －１ ２０ —０２
基金 项 目 ： 曲阜 师 范 大 学 青 年基 金 （ ０ １ ） ￣ ７２ ．
中的相应 结果 ．
以下 总假 设 Ｅ是 一个 实 Ｂｎｃ 间 ， ａａｈ空 Ｐ是 Ｅ中的正 规锥 ， Ⅳ为锥 Ｐ的正 规常数 ， 表示 中 的零 元 素 ， Ｅ
中半序 ≤是 由锥 Ｐ导 出 ， １ ＥＥ，。 设 ｌ ∈Ｅ， ， 。 有 ０ ， Ｄ＝［ ｏ ］＝｛ Ⅱ ≤ ＜ 称 Ｍ ，。 ｉｏ ≤ ｝ 。 为 中的序 区 间．
（ 曲阜师范大学数学科学学 院， ７ １５ 山东省曲阜市） ２３６ ，
摘要 ： 利用锥理论和非对称迭代方法， 讨论了 Ｂｎｃ 空间中不具有单调性 、 ａａｈ 连续性和紧性条件而只满
足某些 序条 件的非混合单调算子方程解 的存在唯一性 及迭代收敛性 ， 并给 出了此 迭代 的误 差估 计 ， 所得结果
第３ ４卷
第 ４期
２０ ０ ８年 ｌ ０月
曲 阜 师 范 大 学 Ｊｕｎ ｌ ｏ Ｑ ｆ Ｎ ｒ ａ ｏｒａ ｆ ｕｕ ｏｍ ｌ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ ４ １３ ．
关于非线性算子的几个不动点定理
≤ Ⅱ１ ≤ …
本文的一些相关文献参见［ ２—９ 。 ］
２ 主 要 结 果
定理 １ 设 Ⅱ ， ∈Ｅ，ｏ＜ ， ｏｏ Ⅱ ０并且 Ａ：Ⅱ ， ］ ［ｏ ｏ
×［ 。 。 Ⅱ ， ］一 是 一 个 混 合 单 调 算 子 ， 得 Ⅱ 使 。≤
Ａ Ⅱ ，０ ， （ ０Ⅱ ）≤ 。 设 Ｐ是正 规 锥 ， ［ ｏ （ ０ ） Ａ ｕ ，ｏ ｏ 假 Ａ｛ Ⅱ ，
。
设 Ｄｃ ， 于是 Ｄ ×Ｄ ｃ Ｅ×Ｅ， 算 子 Ａ： ×Ｄ 设 Ｄ — ， 果 Ａ（ Ｙ 如 ，）关 于 增 ， 于 Ｙ （ 关 减 即 。 ：Ｙ ， ， ，
Ｙ ２∈Ｄ； ≤ ，１ Ｙ＝ Ａ ｌＹ ）≤Ａ ２Ｙ ） ， ０ ｌ ２Ｙ ≥ ｚ （ ，１ （ ，２ ） 贝
≤
一
［ 。 。 一 是一个混合单调算子 ， Ⅱ， ］ 使得 Ⅱ ≤Ａ Ⅱ ， 。 （。 ）Ａ ，。 ， 设 Ｐ是 正 规 的 ， ，（。Ⅱ）≤ 假 同时 Ａ｛ Ⅱ ， ［。 ］×［ ， ｝ ％］ 是拟弱紧集 ， Ａ是次连续算子 ， 且 那 么 Ａ有一个耦合不动点（ ， Ｙ ）∈［ 。 。 Ⅱ ， ］×［。 Ⅱ，
Ｙ 含有 Ａ ， 蕴 （ Ｙ）
于 ， 么我们 称 算子 Ａ是弱 连 续 的。 那
引理 １
设 Ⅱ， ｏｕ ０∈ Ｅ 并且 Ａ： Ⅱ ， ］× ， ［０ ０
（） ２ 式成立。。假设 ｎ＝ｋ ２ 式也成立 ， Ⅱ ２． 时（ ） 即 ㈦
≤ Ⅱ ≤ 一， 当 ｎ＝ｋ＋１ ， 一 ≤ ≤ ≤ １则 时 由 １
时存 在 ０ ＜口 ＜ １ 使 ，
Ａ（ ， ）＝Ｙ 则 称 （ ， ） Ａ的耦 合不 动 点 。 Ｙ ， Ｙ 是 如 果 ∈Ｄ满足 Ａ（ ）＝ ， 称 是 Ａ的一 个 ， 则
一类非混合单调算子的不动点定理
一类非混合单调算子的不动点定理
非混合单调算子指的是一类常用的非线性运算符，以特定的次序执行计算。
值得注意
的是，这类运算符在执行运算时，元素的顺序不会影响计算结果，因此构成一个单调函数。
典型的非混合单调算子有max、min、+、×、→max等。
在数学分析和应用数学中，非混
合单调算子的不动点定理是一种很重要的理论工具，它可用来证明和推导一定类型的不动
点定理。
这里先来说明一类非混合单调算子的不动点定理。
假设f（x）是一个确定的单调函数。
若当f（x）=f（y）时，对任意的x和y，都存在g（x）=g（y），则可以说给定非混合单调算子G，对应函数f存在满足条件的（可能非唯一）不动点。
即，G（x）的不动点的值
即为f（x）的不动点的值。
此外，这类非混合单调算子是比较常用的，一般来说，它们是凸函数，也就是说，在
定义域内，它们是单调递增或者单调递减的。
因此，关于不动点定理，它们也满足对称性，也就是说，无论任意x u属于定义域内，G（x）+G（y）=2G（x+y）/2,这样就可以说明全
局最小或者最大值存在于定义域内的某一点上。
通过上面的讨论，可以看出，一类非混合单调算子的不动点定理在确定单调函数的不
动点位置上具有重要的作用。
当单定函数被定义域内的点约束时，它可以用来求解最小值、最大值等问题。
同时，它的应用也不仅局限于证明特定的函数不动点，还可以应用于其他
类型的函数求解，因此，在日常的科学研究中也大有作为。
一类新型“增”算子的不动点定理及应用
Ａ
，＝ ＝、
面一Ｕ （ Ｖ ） Ｘ（ 一 Ｉｏ ｏ （ 为正规常数） ｎ或 ｌ ｌ １ ） ｌ —ｕ ｌ Ｎ Ｖ Ｊ ，当 Ｅ 为 Ｉ型空间。 Ｉ
证 Ａｏ ｖ
先证 Ａ 有最大不动 点。设 （１ 成立 ，由（） ２有 札 ＝Ｕ ＋ｗＡｖ —Ｕ） Ｕ ，Ｖ ｙ） １、（） １ Ｏ （ ｏ Ｏ Ｏ ｌ ｏ １ １＝ （ ） ｏ—Ｕ） ０ ＋ 一 ，Ｖ 一 １一 （ ｕ Ｏ ， ｌ Ａ 一
ｓｐ ｕ ） ｕ ｛ 。显然，在 Ｉ型空间，有下界 的减列 ｆ ｝有下确界 ＝ｉｆｖ ｝ ｎ｛ ，且有 Ａ ｃｉ ｄｓ ｒｈｍｅｅ 原
理 ［ 成立 。 ９ 】
称 Ｅ 为 Ｉ型空间。若 Ｅ 为实 Ｂ ｎ ｃ Ｉ ａ ａｈ空间且具 有正规锥 。 在本文 中，设 Ｅ 既为 Ｉ 型也为 Ｉ型空间 ，札 ， ｎ∈Ｅ，札 Ｉ ０Ｖ ｎ＜Ｖ 。 ｎ
Ｘ Ｘ 则 Ａ 存在唯－ ； 动点 （ｏ －Ｖ
几］ 几］
Ｃ） ｏ ，对 于迭代
∈
∈
＋￣（ｖ ｚＡ 一Ｕ ） ＂４ ＝ Ａ Ｖ ∈（，） ｎ＝０１２ ｎ， － １ ｖ， ０１， ，，
有 误 差估 计
１
ｌ
使
、＝ ＝，
｛ ＜￣－当 （ｎＵ …一 １（Ｏ －ｖ） ）， ０
收稿 日期： ０ ５ ９０． 作者简介：颜一２（９ ０ ２０ — —７ ０ Ｌ １３年生） ， ，男，教授 研 究方向：非线性算子理论
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９０ ４
Ｔ
程
数
学
学
报
第２ 卷 ４
若 Ａ 除满足 （１或 （２ 外 ，还满足下列条件之一 ｙ） ｙ） 一
２
“ ”算 子 增
实Banach空间中一类非线性算子不动点的收敛定理
因∑ Ｃ＝∞， ｎ 所以ｅ
一０故 ｌ川 一 ｌ （一 ∞ 。 ， ｌ 一０ｎ ）
：（ １一Ａ） ＋Ａ ｘ Ｔ 收敛于 的唯一 不动
推论 １ 设 为实 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空问 ， Ｄ为 的非空子 集 ， 映射 Ｔ Ｄ— Ｄ为 算子 ， ： 设 为 的不动 点 ， Ａ ∈（ ，） 常数 ， 对任 意 的 。∈Ｄ， ０１ 为 则 Ｋ迭代 序列 ｛ ｝ 。 ：：
收 稿 日期 ：０ ７ ０ ３ ２０ — ９—０
作者简介 ： 吕桂 稳
女
１７ ９４年 出生
讲 师
基金项 目： 石家庄铁道学院科研专项基金 （ ９ ） Ｑ ０ 资助项 目； 家庄铁道学院青年专项基金 （ ３ ） 石 Ｑ ３ 资助项 目
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７ ６
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２卷 第４ ０ 期
石 家庄铁 道 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｖ．０ ｏ 。２ ． １ Ｎ ４
２ ７ ２ ＯＲＡ ＩＡＨ ＡＧＲＩ Ａ ＳＴＴ ＮＴＲ Ｌ Ｃ ＮＥ Ｄｃ２ ７ ０ 年１月ＪＵ ＮＬ Ｆ Ｈ Ｉ ＵＮ Ｌ Ｙ ＮＴ ＵＥ（ＡＵ Ａ Ｉ Ｃ ） ｅ ０ ０ ０ ＳＪＺ ＡＷ Ｉ Ｉ ＳＥ ．０
石 家庄铁道 学院学报 （自然科学版 ）
第２ ０卷
中的实数 列 ，ｎ：。 ｎ ， 当 ∑ ／ ３ （ ）则
ｎ
ｎ
： ∞ 时 ，ｉ ｎ：０ ｍＡ ｌ 。
＝Ｉ
２ 主要 结 果
定 理 １ 设 Ｅ为实 Ｂ ｎ ｃ ａ ａ ｈ空问 ， Ｄ为 Ｅ的非 空子集 ， 映射 Ｔ Ｄ— Ｄ为 算 子 ， ： 设 为 的不动 点 ， 设
证明 ： 因为对 Ｖ０ ＜ ≤ １ 有 ｅｐ ＝ １＋ ＋ ＋… ＋ ＋… ， ， ｘ
一类非单调算子的不动点定理
Ｂｘ ｎ— Ｂｘ ｌ
一
… ，所 以由式 （ ） ３ 可得
Ｌｘ （ 一Ｘ －） （ ｎ１ ＝ ｌ ｘ 一） —Ｂ ｎ２ （ ， 一Ｘ－） …≤ （１ ） １ ｎ ２ 一．
由 的 规 知 ｎ Ｊ （一 ） Ⅳ 。ｘ ， 里 是 规 数 对 意 锥Ｐ 正 性 ｉ 一 Ｏ Ｂ Ｘ Ⅳ Ｘ Ｊ 一ｏ 这 Ｎ 正 常 ． 任 ｌ ｌ ｏ ０ ｉ ∈（ １因 Ｉ ＝ １故 在 然 ， 当ｌｔ ， Ｉ ，而 ｔｔ ， （ ，，为 Ｉ ｒ） ＜，存 自 数ｚ ｔ ｌ 有 Ｉ 从 当ｌｌ ｒ ） （＜ 。 ＞０ ， 时 ＞０ 时
＝
算子 ： Ｅ为单调增．再 由（ ） Ｄ 日２ 中式 （ ） １ 的右边不等式可知 一 ｘ ｙ Ｂ ：Ａ
－
一
Ａｘ ＋＿（ －ｘ ａ ｙ ）
Ｌ （ ｙ ） －ｘ ，
因此 式 （ ）成 立． ３
若分别以 和 Ｙ为初始元作迭代序列 ： ： ｘ ： ｏ Ｂ 垒
ｌ＋
，
） ： Ｂｙ ，
柯西序列 ，并利用上下解的方法讨论 了一类非单调算子的不动点 问题 ，而且文中的算子也不须具有连续
性．改进推广了文献【 ５中的结果． ３ 】 — 本文以下假设 Ｅ是实 Ｂ ｎｃ 空间 ，０ Ｅ中零元 ，Ｐ为 Ｅ中的锥 ，“ ａａｈ 为 ≤”是由锥 Ｐ确定的半序．锥 Ｐ
称为 规的， 果 正 如 存在常 数Ｎ＞ ， 对任 Ｙ Ｅ， ０ 使得 意 ， ∈ 当０
２ 主要 结 果
定理 设 Ｅ为由锥 Ｐ确定的实半序 Ｂ ｎｃ 空间， Ｉ。 Ｙ 】 Ｅ中的序 区间． ａａｈ Ｄ＝ ｘ ， ｏ为 如果算子 Ａ Ｄ Ｅ满 ：
足下列条件 ：
（Ｈ１ ０ ｘ ， Ａ ０ Ｙ ． ）Ｘ ≤Ａ ｏ ｙ ０
一类算子的不动点定理和一类映像的弱收敛定理的开题报告
一类算子的不动点定理和一类映像的弱收敛定理的开题报
告
不动点定理是数学分析中的一个重要定理，它描述的是在某个完备度量空间中，对于某些映射函数存在一个不动点，即这个映射函数将某点映射到了它自身。
常见的
不动点定理有Banach不动点定理、Schauder不动点定理等。
一类算子的不动点定理是指若干个映射函数的组合存在不动点，那么其中至少有一种映射函数存在不动点。
在某些特定情况下，这个定理可以用来解决一些实际问题，例如微分方程的解存在性、实数系统的近似等。
另一方面，弱收敛定理是指在某个给定空间中，如果一个序列中的每个元素都可以在另一空间中找到一个收敛的序列，而这个序列的极限点是序列中的元素极限点的
极限点。
这个定理在实际问题中应用广泛，例如极小化问题、对称性研究等。
一类映像的弱收敛定理是指在某个完备度量空间中，若干个映射函数的组合存在弱收敛极限，那么这个极限映射函数的某些特殊运算结果与原映射函数的相应特殊运
算结果也存在弱收敛。
这个定理也可以用来解决一些实际问题，例如波动方程的解存
在性、组合优化等。
在本开题报告中，我们将主要讨论一类算子的不动点定理和一类映像的弱收敛定理的相关内容，并探讨这两个定理在实际问题中的应用。
一类减算子不动点定理的推广
的结果； 作为其应用， 着重讨论 了非减算子方程解的存在唯～性， 并给出了迭代序列收敛于解的误差估计， 改 进和 推广 了某 些 已知 结果 ．
１ 预 备 知识
’
总假 设 Ｅ为 具 有 正规 锥 Ｐ的半 序 的实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 ， 示 Ｅ 中 的零 元 素 ， 为 Ｐ的正 规 常数 ． 设 ｕ， 表 Ⅳ 。
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一
１ 一 ０
河
南 科
学
第 ２卷 第 １ ６ 期
２Ａ － ） ｖ ＡＭ≤６ ｖ 当 ｕ ≤Ｍ ≤１ 时 ； （一 ） ｏ ≤ｖ ， ０ ３ Ａ Ａｖ ．ｔ — ） 当 ｕ ≤Ｍ ≤１ 时 ． ） — ＜ｏ（ Ｍ ｖ ｏ ≤ｖ ， ０
１∈ ， Ｍ＜２ 用 Ｄ ［【 ２表示 Ｅ中的序区间． ２ Ｅ 且 ｏ１ ０ ０ ， ＝ Ｍ， １ ｖ
定义 １ 算 子 Ａ： 一 若 Ｍ，２ Ｅ， ｌＭ∈Ｄ，１ ２ １ ， 称 Ａ 是 Ｄ 上 的减算 子 ． Ｍ≤ＭｊＡ ≥Ａ ２则
１
：
２ 主要 结 果
引理 １ 设 Ｅ是实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空问， Ｅ中的正规锥 ， ［。 ０ Ｐ是 Ａ：ｕ， ］ ｖ 一Ｅ是减算子， 且满足下列条件：
Ｘｔ ， 。）． 。 （） ３
证 明 ： 文献 ［３ 仿 ５ 中定 理 １的证 明方法 可得 ．
注 １ 若令 ｙ＝ ， ０ 即为 文献 ［３ 的定理 １若 令 ＝ ０ 即为文 献 ［３ ５中 ； ＝ ， ２ 中的 定理 ２４ ．． 定 理 ２ 设 Ｐ是 实 Ｂ ｎｃ ａａｈ空 间 Ｅ 中正 规锥 ， 存在 常 数 ∈（，） 卢， 若 ０ １， ｙ≥０ 且 ０ ＜ ， 得 算 子 Ａ： ， ≤６ １使
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第２ ６卷 第 １ 期
非线性算子不动点的迭代逼近的开题报告
非线性算子不动点的迭代逼近的开题报告在数学中，非线性算子不动点迭代逼近是指寻找一个非线性算子的不动点的一种方法，通过不断地迭代该算子，可以逐渐接近其不动点。
该方法在实际问题求解中有广泛的应用，比如数值分析、优化问题等。
本文将从以下几个方面阐述非线性算子不动点的迭代逼近：1.非线性算子不动点的定义和性质2.迭代逼近的基本思路及实例3.迭代逼近算法的收敛性分析4.应用及拓展首先，我们需要了解非线性算子不动点的定义和性质。
一个非线性算子F:X->X，其中X是一个函数空间，若存在x∈X，使得F(x)=x，则称x为F的一个不动点。
不动点是非线性算子理论中的基本概念，其具有重要的数学性质，如唯一性、稳定性、局部性等等。
然后，我们探讨迭代逼近的基本思路及实例。
迭代逼近的基本思路是通过不断地对非线性算子进行迭代，逐渐逼近其不动点。
一般来说，迭代逼近的算法是一种序列递推算法，根据前面的迭代结果得出下一步的迭代结果，直到满足一定的收敛条件为止。
例如，对于一个二次方程y=x^2+a，其中a是一个已知常数，我们希望求解方程的根。
可以通过迭代算法y(n+1)=y(n)-f(y(n))/f'(y(n))来求得方程的近似解，其中f(y(n))=y(n)^2+a，f'(y(n))=2*y(n)。
接着，我们分析迭代逼近算法的收敛性。
一般来说，迭代逼近算法的收敛性需要满足一定的条件，比如Lipschitz连续性、压缩映射定理等。
这些条件保证了迭代算法的收敛性及其收敛速度。
例如，对于一个具有连续导数的函数f，若其导数f'(x)的模长在区间[a,b]上有界，则f是一个Lipschitz连续函数。
根据Lipschitz定理，对于一个Lipschitz连续函数f，若存在一个常数L<1，使得|f(x)-f(y)|<=L*|x-y|，则f是一个压缩映射，其具有唯一的不动点，并且可以通过迭代算法逼近其不动点。
一类序非扩张算子的不动点定理
一类序非扩张算子的不动点定理左黎明;刘二根;郑雄军【摘要】引入了序非扩张算子的概念,并研究了这种算子不动点的存在问题,得到了几个不动点定理.【期刊名称】《华东交通大学学报》【年(卷),期】2007(024)001【总页数】3页(P133-135)【关键词】半序;序非扩张算子;锥;不动点【作者】左黎明;刘二根;郑雄军【作者单位】华东交通大学,基础科学学院,江西,南昌,330003;江西师范大学,数学与信息科学学院,江西,南昌,330022;华东交通大学,基础科学学院,江西,南昌,330003;江西师范大学,数学与信息科学学院,江西,南昌,330022【正文语种】中文【中图分类】O11 引言Milman和Brodski,Browder,Petryshin,Kirk等人深入地研究了非扩张算子,得到了许多著名的不动点定理和深刻结果[5],例如William O.Ray得到的一个非常著名的结果:设D是实Hilbert空间中的一个闭凸集,则D对于非扩张算子有不动点的充要条件是D有界. 目前仍有许多学者在研究非扩张算子的更深一步结果和非扩张算子的不动点应用问题.本文我们引入了一类新的序算子-序非扩张算子,然后在半序Banach空间研究了这种算子在不同条件下的不动点定理.2 定义与预备知识本文中我们用E表示实Banach空间, P是E中的锥,半序≤为P诱导，x≤y⟺y-x∈P.定义1 D为E中的子集,A∶D→E称为D上的序Lipschitz算子,如果存在一个常数K>0,∀x,y∈D,x≤y⟺Ay-Ax≤K(y-x),如果0<K<1,称A为序压缩算子;如果K=1,称A为序非扩张算子.显然序非扩张算子与非扩张算子有本质的区别, 如P是E中正规锥,若其正规常数为N,由x≤y⟺Ay-Ax≤y-x,有‖Ay-Ax‖≤N‖y-x‖.当0<N≤1时,A就是一般的非扩张算子或者Lipschitz压缩算子,故与此相关的所有结论都是成立的; 当1<N时,A就不是非扩张算子或者Lipschitz压缩算子.本文假定当P是E中正规锥时, 1<N.定义2[8] 设E为实Banach空间,D为E中子集,若x∈D,∀0≤t≤1,必有tx∈D,则称D为星形的.定义3[5] 设E为实Banach空间,D为E中闭凸子集.设A∶D→E,则称A为半紧的,如果它有性质:∀D中的有界序列,并且(I-A)(xn)是强收敛的,则{xn}存在一个强收敛子序列.引理1[7] 设P是(E,‖·‖)中的锥,则以下结论等价:(1)P是正规的;(2)存在E上等价范数‖·‖1,满足:θ≤x≤y⟺‖x‖1≤‖y‖1;(3)存在常数N>0满足:θ≤x≤y⟺‖x‖≤N‖y‖.引理2[6] P是E中的锥，≤是由P导出的半序，则：(1)x≤u,y≤v⟺x+y≤u+v;(2)x≤y,λ>0⟺λx≤λy;(3)xn≤yn,xn→x,yn→y⟺x≤y3 主要结果和证明文献[1][2]均在正规锥条件下,对序压缩算子进行了讨论,这里我们用不同的方法得到了一个序压缩算子不动点定理.定理1 设E为实Banach空间, D为E中闭集,A∶D→D是增的序压缩算子, P是E中的正规锥,且存在u0∈D,u0≤Au0,则A在D中有不动点.证明:因为P是E中的正规锥,由引理1, 存在E上等价范数‖·‖1,满足:θ≤x≤y⟺‖x‖1≤‖y‖1(1)因为A为D上增的序压缩算子,故∀x≤y⟺θ≤A y-Ax≤K(y-x),其中0<K<1.所以由(1)式,有:‖Ay-Ax‖1≤‖K(y-x)‖1=K‖y-x‖1(2)显然A在范数‖·‖1意义下为Lipschitz压缩算子.令un=Aun-1,显然有un-1≤un，即:u0≤u1≤…≤un≤…任给n,p∈N,有:≤(Kp-1+…+K+1)‖un+!-un‖1当n→∞时,‖un+p-un‖1→0,故{un}为闭集D中Cauchy列,故存在使得由于‖·‖1和‖·‖等价,所以同时也有注记1:实际上条件“u0≤Au0”可换成u0和Au0可比较条件,定理仍然成立.关于可比较的一些相关性质见文献[1].显然该证明比文献[1][2]中类似定理的证明要简洁的多.下面我们讨论的是序非扩张算子的不动点.定理2 设D为E中星形的闭集, A∶D→D是增的序非扩张算子,P是E中的正规锥,存在并且(I-A)(D)为E中闭子集,则A在D中有不动点.证明: 其中n=1,2,3….显然考虑映射族Anx=rnAx,显然An是D→D增的序压缩算子.⟺又因为所以θ≤u0≤A(rnu0).θ≤u0≤A(rnu0)⟺θ≤rnu0≤rnA(rnu0),令故有:根据定理1, 对所有固定的n,存在唯一的xn∈D,Anxn=xn .(I-A)(xn)=xn-Axn=xn-rnAxn+rnAxn-Axn=xn-Anxn+(rn-1)Axn=(rn-1)Axn 当n→∞时,rn→1,(I-A)(xn)→θ,注意到(I-A)(D)为E中闭子集,所以0∈(I-A)(D),故存在x0∈D,(I-A)(x0)=0,所以有Ax0=x0,因此A在D中有不动点.定理3 设E为实Banach空间,D为E中一个星形的闭集且按序有上界, A∶D→D 是增的序非扩张算子,P是E中正则锥, 存在则A在D中有不动点.证明取其中n=1,2,3….显然对于每个n,定义An∶D→D如下:Anx=rnAx(3)显然An为增的序压缩算子.⟺又因为所以θ≤u0≤A(rnu0).固定n,θ≤u0≤A(rnu0)⟺θ≤rnu0≤rnA(rnu0),取有定义迭代序列：由定理1,对所有固定的n,存在唯一的xn∈D,Anxn=xn .另外,易知：(4)设当m=k时,则当m=k+!时故由数学归纳法可证:根据定理1,知道再由引理2,知:x1≤x2≤…≤xn≤…,即序列{xn}按序单调增.D为实Banach空间E中一个星形的闭集且按序有上界, P是E中正则锥, 所以{xn}在D有极限,设该极限为x0,则xn≤x0,‖xn-x0‖→0,x0∈D(n→∞).(I-A)(xn)=xn-Axn=xn-rnAxn+rnAxn-Axn=xn-Anxn+(rn-1)Axn=(rn-1)Axn(5)因此当n→∞,Axn-xn→θ.由算子A的非扩张性和增性,所以xn≤x0⟺Ax0-Axn≤x0-xn.同时是E中正则锥,因此也为E中正规锥,设N为其正规常数,因此:‖Ax0-Axn‖≤‖x0-xn‖(6)‖x0-Ax0‖≤‖x0-xn‖+‖Axn-xn‖+‖Axn-Ax0‖≤‖x0-xn‖+‖Axn-xn‖+N‖x0-xn‖当n→∞时,‖x0-xn‖→0,‖Axn-xn‖→0,所以故x0为A的不动点.注记2 由(3)式定义的算子An的不动点称为A的渐进不动点.事实上,我们无法给出A的迭代式,因此只能通过An的迭代式逼近A的不动点.如果P是E中正规锥,则有下面结论成立:定理4 设E为实Banach空间,D为E中一个星形的紧集, A∶D→D是增的序非扩张算子,P是E中正规锥, 存在则A在D中有不动点.定理5 设E为实Banach空间,D为E中一个星形的有界闭凸集, A∶D→D是增的序非扩张半紧算子, P是E中正规锥, 存在u0∈D,θ≤u0≤A(u/2),则A在D中有不动点.证明仿定理3,取其中n=1,2,3….对于每个n,定义算子An∶D→D如下:Anx=rnAx(7)易知算子An为增压缩算子, 仿定理3前半部分类似可证,存在D中唯一点xn,使得:Anxn=xn,增序列{xn}按序单调.(I-A)(xn)=xn-Axn=xn-rnAxn+rnAxn-Axn=xn-Anxn+(rn-1)Axn=(rn-1)Axn (8)因此当n→∞,rn→1,Axn-xn→θ,即(I-A)(xn)是强收敛的.由于A是半紧算子,故{xn}存在一个强收敛子序列,不妨仍记为{xn},且xn→x0,故x0∈D.仿定理3后半部分即可证明x0为A的不动点.参考文献：[1]张宪. 序压缩映射的不动点定理[J]. 数学学报,2005,(5)：973-978.[2]董祥南. 序Lipschitz算子的不动点定理及迭代收敛程序的构造[J]. 江西师范大学学报(自然科学版),2003,(4)：347-352.[3]张庆政. 序对称压缩算子方程的迭代求解及其应用[J]. 工程数学学报,2000,(2)：131-134.[4]盛梅波,董祥南. 关于非扩张映象的不动点定理[J]. 华东交通大学学报,1993,(4)；37-40.[5](美)Istratescz.不动点理论及其应用[M].上海:上海科技文献出版社,1991.[6]钟承奎，等.非线性泛函分析引论[M].兰州:兰州大学出版社,2004.[7]郭大钧.非线性分析半序方法[M] .山东:山东科技出版社,2000.[8]郭大钧.非线性泛函分析[M].山东:山东科技出版社,2001.。
一类变序算子及其不动点定理
点， 且迭代序列 ｛“。 收敛于 的一个不动点 ． Ａ ｝
并有 ： ‘ 一 ‘ 。 ≤ ｌ 。一 ｌ ｌ 。ｌ
）≥ ， ， 那么称 为变序算子。 引理 １ １３ 或 ／和 口可 比较 ， ／～口和 口一 ．＿ ／ ， 则 ／ ，
收 稿 日期 ：０ ７１－７ ２ ０ ．１ ２
（） １
由于 。 Ａ 可 比较 ， 和 ‰ 条件 （ ）表 明对 所有 ｎ 和 １ ， 可 比较 ， 由条 件 ：Ｉ Ａ 一Ａ
下面考虑迭代序列 ：
１ ： Ａｘ０ ２ ＝ Ａｘ１ ＝ Ａ ０， ， ＋ ， … ｎ １
Ｉ 一 ｌ 对 上式 固定 ｍ， ｎ ＋∞ ， ０≤ Ｉ ｌ １ 令 一 则 ＋ 一Ｘ １ ｎｌ ≤ ｌ 一‰ ｌ — ０ 艮 ｛ｎ 是 ｌ １ ・ 口Ｘ ｝
Ａ ＝Ａ ０ ｘ ”’ …
基金项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７０ ８ ， １３ １６ ） 山西省 自然科学基金 （０ ４ ０ ３ ２ ０ １０ ） 作者简介 ： 李春平（ ９ ９一）女 ， １７ ， 硕士研究生 ， 主要研究 方向为非线性泛 函分析 。
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第 ２ 卷第 ３ ９ 期
文献标识码 ： Ａ
关键 词 ： 不动 点； ； 锥 变序 算子 中图分类 号： １７ ９ Ｏ ７．１
／也 可 比较 ， ０≤Ｉ ／ ， 且 口一／Ｉ ／ ，
１ 基本概 念及 引理
在序 Ｂｎｃ ａａｈ空间中… ， 研究非线性算子往往要 求其保序 ， 这是一个较强的条件。大约在上世纪未 出现 了一类所 谓 的变序算 子 ， 文在 较弱 的条件 本 下， 讨论了这类算子的不动点定理并给出 了详细 的
（ 中 ｈ Ａ， 均为 常数 ） 其 ， 。
李春平 ： 一类变序算子及其不动点定理
非线性算子的正不动点及多项式零点的分布
非线性算子的正不动点及多项式零点的分布
非线性算子的正不动点和多项式零点的分布一直都是数学领域里的一个重要的研究话题。
本文详细阐述了非线性算子的正不动点及多项式零点的分布特征。
一、非线性算子的正不动点
1、定义：非线性算子的正不动点是指线性操作符T作用于一个空间V后，得
到的结果与作用前是相同的，即T(x) = x, 其中x是V的元素，称为T的不动点。
2、特征：非线性算子的正不动点的分布特别有规律性，既有单元素生成，也
可以生成复杂的多元素集合，即存在不同的维度的成员共同形成的不动点集。
而且也可以发现部分的正不动点也会出现群体性的分布特征，即在特定的点上具有闭合性，形成固定的模式。
二、多项式零点
1、定义：多项式零点是一种由两个或以上函数同时取值为零的状态，其值可以是
实数，也可以是复数。
当所有函数具有一组共同的零点时，称该组零点为多项式零点。
2、特征：多项式零点主要集中分布在单调区域，处于交叉点的位置都可以构
成多项式零点，而且多项式零点的分布还遵循热带的原理，即位于同一领域内的多项式零点，分散在这个领域的重心附近，越靠近领域重心的零点数量越多。
总结：非线性算子的正不动点的分布有单元素生成，也有复杂的多元素集合，多项式零点主要集中分布在单调区域，也存在灰带原理等特性。
通过对其分布特征的研究，可以帮助我们更好地理解非线性算子的正不动点及多项式零点的分布状态，有助于我们更有效的解决数学问题。
一类krasnoselskii型不动点定理
一类krasnoselskii型不动点定理一类Krasnoselskii型不动点定理________________________________________Krasnoselskii型不动点定理是指一类关于函数的不动点定理，它是由俄罗斯数学家Krasnoselskii 在20世纪50年代发现的。
在这些定理中，Krasnoselskii型定理的特点是对函数的一般性描述，可以应用于许多不同的场合。
一、Krasnoselskii定理的基本内容Krasnoselskii定理的基本内容是：设f是某一区域G上一个单调可微函数，若存在数x0，使得f(x0)小于或等于f(x)，对任意x属于G，则x0必然是f在G上的不动点。
二、Krasnoselskii定理的应用Krasnoselskii定理可以应用于几乎所有函数的求解，甚至可以用来证明某个函数的极值。
例如，当求解某一函数的极小值或极大值时，可以利用Krasnoselskii定理来证明其存在性。
此外，Krasnoselskii定理还可以用来解决许多复杂的最优化问题，例如最小路径问题、最大流问题等。
三、Krasnoselskii定理的推广Krasnoselskii定理还有一些推广版本，例如著名的Minty-Browder定理就是其中之一。
Minty-Browder定理是在Krasnoselskii定理的基础上添加了一些条件，使得它可以应用于更复杂的情况。
此外，还有一些关于Krasnoselskii定理的变体，如Fichera-Browder定理、Minty-Browder-Fichera定理等，这些变体都可以用来证明特殊情况下函数的不动点性质。
四、Krasnoselskii定理的引申Krasnoselskii定理也可以引申到动力系统中。
例如，当一个动力系统存在某些不变量时，Krasnoselskii定理就可以用来证明其不变量性质。
同样，Krasnoselskii定理也可以用来证明复杂动力系统中存在的均衡状态。
《几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》范文
《几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》篇一一、引言不动点定理是数学领域中重要的研究工具之一，广泛应用于微分方程、拓扑学、泛函分析等多个领域。
本文旨在探讨几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一，以期为相关研究提供新的思路和方法。
二、经典的不动点定理1. 布洛赫不动点定理布洛赫不动点定理是泛函分析中重要的不动点定理之一，主要应用于研究非线性算子的不动点问题。
该定理通过构造一个压缩映射，将问题转化为寻找该映射的不动点，从而得到原问题的解。
2. 斯卡尔不动点定理斯卡尔不动点定理是拓扑学中的经典定理，主要应用于研究连续映射的不动点问题。
该定理通过构造一个连续映射，并利用拓扑性质，证明该映射存在至少一个不动点。
3. 纳什均衡不动点定理纳什均衡不动点定理是博弈论中的经典结果，主要应用于研究非合作博弈的均衡解。
该定理通过构造一个自映射，并证明该映射存在至少一个不动点，即博弈的均衡解。
三、Edelstein不动点定理Edelstein不动点定理是一种较为一般的不动点定理，可以应用于多种不同的问题。
该定理通过构造一个自映射，并利用某些特定的条件，证明该映射存在至少一个不动点。
四、几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一虽然几类经典的不动点定理形式各异，但它们在本质上具有相似性。
通过对这些定理的深入研究，我们发现它们都可以通过Edelstein不动点定理进行统一。
具体而言，我们可以将这些问题转化为寻找某个自映射的不动点问题，然后利用Edelstein不动点定理的条件进行证明。
这种统一的方法有助于我们更好地理解这些不动点定理的本质和相互关系，同时也为相关研究提供了新的思路和方法。
五、结论本文探讨了几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一。
通过对布洛赫不动点定理、斯卡尔不动点定理和纳什均衡不动点定理的深入研究，我们发现这些定理在本质上具有相似性，都可以通过Edelstein不动点定理进行统一。
非线性算子的正不动点及多项式零点的分布
(H4)算子A=BF是全连续算子.则A存在正不动点.定理3.2.2设E是实Banach空间,P是E中的正规锥,A∶P→P是-α凹的全连续算子(α>0),且
sup{||Ax‖∶||x|=1}<∞,inf{||Ax‖∶||x=1}>0则A在P中至少有一个正不动点.
全文分四章。在第一章中,主要介绍了半序Banaeh空间非线性算子的研究历史背景、现状以及半序Banach空间中的预备知识;在第二章中,利用半序方法研究了Banach乘积空间中严格集压缩减算子不动点存在唯一性问题,在弱连续的条件下,得到了不动点的存在唯一性和迭代收敛性,同时,给出了它们的一些应用;在第三章中,建立了拟弱连续减算子的正不动点定理,并证明了算子C=A+B,C=D-A的正不动点存在唯一性定理;在第四章中,得到了半序Banach空间中混合单调算子的不动点存在性及唯一性定理。
4.学位论文孙单单半序Banach空间中非线性算子的若干问题的研究2007
非线性泛函分析已成为现代数学中的重要研究方向之一,而非线性算子理论又是非线性泛函分析的重要内容。自二十世纪八十年代初以来,郭大钧、孙经先、杜一宏、刘兆理、朱传喜、李福义等利用半序方法研究了缺乏紧性或缺乏连续性条件的非线性问题,并获得一系列新的结果。本文分别对半序Banach空间中非线性算子一些问题进行了研究。
1),(n=1,2…),且对任给的δ,inf{|λ|∶λ∈σ(I+T)}<δ<1存在n0,当n≥n0时,有下面的误差估计‖xn-u*‖≤Nδn‖x0-u0‖+1Nδnδ‖u1-
非线性膨胀型映射的不动点定理
非线性膨胀型映射的不动点定理
非线性膨胀型映射的不动点定理是 20 世纪概率论和数学统计领域里的一项重要定理，主要用来描述一类非线性膨胀型映射（即多元分布）的保护指示率（PIR）。
它是由爱尔
兰数学家约翰威尔斯雷德克利夫提出的，在其论文“The Steady-state Indicator Rate of a Class of Nonlinear Expansion Functions”中。
它原本是用于模拟一类真实生活中的非线性过程，比如某种典型的食物生态系统，而
现在它被广泛用于统计建模、诊断和控制的尺度化算法、金融市场、社会建模以及免疫系
统研究中。
这个定理十分有用，因为它能给出一个定量的方法来评价分布的稳定性（即PIR），
以及保证某些稳定的不动点存在。
以下是它的定理原文：“对于一类非线性膨胀型映射，
存在一个稳定的保护指示率，使不动点存在且稳定（收敛）。
”
简而言之，这个定理告诉我们，如果一个映射具有PIR，那么就能保证某类特定条件
下存在不动点，而不动点也是稳定的。
不动点具有极大的灵活性，可以用来进行各种统计
建模，诊断和控制等活动，进而改善生活质量，从而受到业界的越来越多的关注和重视。
一类非线性算子的耦合不动点定理及其应用
文 献 标识 码 ：Ａ
文 章 编 号 ： ２５７ ９ １０ ２ ０－ １２． ０ ５ －７ ７ ２ ０ ］２０ ６－３ ０
ｌ 引 言
设 是一 个半序 ８ Ⅱｃ ａａ＾空间 ， 其序 由正锥 引入 ； 一 是 一 个非 线 性算 子． 果 Ｆ； 如
对所有 的 ≤ｙ 都有 ≤ 毋 ， 称算 子 Ｆ为 增算 子 ． ， 则 增算 子是 一 类 应 用 广 泛 的 非线 性 算 子 ， 研究一 些 缺乏紧性 或缺乏 连续 性 的非线 性 问题 中很 有用 ． 在 在增算 子 的不动 点 定理 中 ， 算 子 的性 质 和空 间的几何性 质之 间存在很 有趣 的关 系 ， 即空 间的几何性 质越好 ， 对算子 的要
・
收 稿 日期 ：２ ０ ．６ １ ０ １０ －８
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Ｎ ． ｏ２
，
蔡新民
一 类非 线 性 算 子 的耦 台 动 点定 理 及其 应 用
１３ ６
＝Ｅ， ｎ 毋 ＝中 ： ｉ 墨 ≠ ． 令 ＝ ｆ Ｅｉ １ ， ＝ｌ２ … ， 则 Ｋ 是 子 空 间 的 正 锥 ， 在 子 空 间 定 义 的 序 与 Ｅ 中 的 ，， ｍ， 它
隹 且
定理 ２ 设 Ｆ是半 序 Ｂ ｎｅ ａａｈ空间 （ ） 的斜增 算 子 ． Ｅ， 上 假设 存在 ｎ ｂ ， ∈Ｅ， 足 ｎ 满 ≤ｂ 啦 ≥ Ｆ （ （ ， ， ｉ） ｂ ≤ Ｆ （ ｉ （ ， ， ｉ） ｉ Ⅱ， 口 ｂ Ａ ） ， ｆ ｉ ｂ， ｂ Ⅱ Ａ ） ， 在 条件 （ ）式下 映射 Ｆ有 一对耦合不 动点 （ ， ）并满 足 Ｐ Ｙ ，
，
设 Ｅｌ Ｅ ， ， 都 是 Ｅ 的子 空 间 ， 们 满 足 Ｕ Ｅ２ … Ｕ ， ２… Ｅ 它 Ｕ
关于非线性算子不动点收敛定理等价性的探讨
ｓｗ代为 ｈａ ｉ迭 ｋ ａ
｛ １Ｏ Ｏ： ０ 。 【 ’ ｌ 一 ｎ 羔 １ Ｒ。 ｌ ｙ＞ １
中图分 类号 ： １ ７ ９ 文献 标识码 ： ０ ７ ．１ Ａ 文章 编号 ： ６ ４— ３ ０ ２ ０ ） ４—０ ４— ３ １ ７ ０ ０ （０ ７ ０ ０ ５ ０
１ 预 备知 识
定 义 １ 设 Ｅ是 一个 Ｂｎｃ ａａｈ空间 ， Ｄ是 Ｅ的一 个 非空 闭 凸子 集 ， 是 Ｄ 的一 个 自映射 ， Ｐ ，。 。 令 。ｕ ， ，
引理 １
＝ ｍ ａｘ
对 每一个 ｚ算 子 ， 满足 Ｓ不等式 ｌ 一 ｌ≤６ 一Ｙｌ＋ ６ 一 ｌ， 中 Ｙ∈Ｄ， 必 ｌ ｌ ２ ｌ其 ， ｌ
，
）＜ 。 ’ ０
引理 ２ ［ 设 ｛ ，Ｂ ｝ 两个非 负 实数 序 列 ， 满 足 不等 式 Ａ ≤ （ Ａ ｝ ｛ 是 且 １一Ａ） ＋Ｂ ， Ａ Ａ∈（ ， ）若 ０１，
当 至 少满足 下述三个 条件 之一 时 ， 为 ｚ算子 一 ： Ｔ称 ］
（ ）ｌ 一 ｌ≤Ｏ ｌ —Ｙｌ； １ ｌ ｌ ／ｌ ｌ
（ ）ｌ 一 ｌ≤卢 ｌ —Ｔ ＋ ｌ ｌ ； ２ ｌ ｌ （１ ｘｌ ｌ ｌ Ｙ一 １ ） （ ）ｌ 一 ｌ≤ ３ ｌ ｌ （１ 一 ｌ＋ ｌ ｌ 。 ｌ ｌ ｌ Ｙ— １ ）
＋ ＝（ ） ＋ Ｉ 一 ，
其 中 ，Ｏ ｝ ｛ ｝ ［ ，］ ｛ ， ｌ 为 ０ １ 中的正数序 列 。 定义 ２ 设 是 Ｄ－Ｄ的一个 映射 ， 在实数 ， 、 且 ０＜ ＜１０＜ ， 对 Ｄ 中的每 一对 ，， － ￣ 存 ／ ， ３ ， ／ ＜ １， ３ Ｙ
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一类非线性算子的不动点定理学生：阎继先 指导教师：李永金摘要： 运用锥与半序理论和迭代方法，讨论了一类不具有连续性和紧性条件的非线性算子方程:Bxu x x A =+0),(解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。
所得结果改进和推广了反向混合单调算子方程的某些已知相应结果。
关键词： 锥与半序；反向混合单调算子；非对称迭代；不动点0 引言在Banach 空间中，混合单调算子和反向混合单调算子是两类重要的算子，广泛存在于非线性积分方程和微分方程的应用中。
对于混合单调算子，应用迭代方法已得到了许多好的结果，但对反向混合单调算子方程解的存在性却很少涉及。
本文对算子的连续性和紧性不做任何限制，通过引入谱半径知识，利用迭代技巧，讨论了半序空间中一类算子方程Bx u x x A =+0),(解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。
1 预备知识总假设E 为实Banach 空间，θ表示E 中的零元。
定义1 如果对E 的某些元素x ，y 之间可以定义一种元素关系，记为：y x ≤。
具有：（a ）对任给E x ∈，都有x x ≤；（b ）如果x y y x ≤≤, 则y x =；（c ）如果z y y x ≤≤, 则z x ≤，则称“≤”是一种半序关系，E 在该半序下是一个半序集。
定义2 非空闭凸集E P ⊂，如果P 满足：（a ）P x P x ∈⇒≥∈λλ0,；（b ）θ=⇒∈-∈x P x P x ,，则称P 是一个锥。
于是在E 中可引入半序关系如下：y x ≤，如果P x y ∈-。
定义3 如果存在0≥N ，使得y x ≤≤θ时，有y N x ≤，N 为P 的正规常数，锥P 称为正规的。
定义4 设E v u ∈00,且00v u ≤，[]00,v u D =表示E 中的序区域。
若D i v u v v u u i i ∈=≥≤)2,1(,,,2121时，),(),(2211v u A v u A ≥，称二元算子E D D A →⨯:是反向混合单调算子。
定义5设)(x B T ∈则极限k k k k k T TT r 11inf )(lim ==∞→存在，并称()T r 为有界线性算子T 的谱半径。
定义6 设X 和Y 是半序集，X D ⊂，Y D A →:，如果2121,,x x D x x ≤∈蕴含着21Ax Ax ≤，则称A 是D 上的增算子。
定义7 如果E x ∈*，满足()***,x x x A =，则称*x 是算子A 的一个不动点。
2主要结果定理1 设P 是实Banach 空间E 中的正规锥，[]00,v u D =，E D D A →⨯:是反向混合单调算子，E E B →:是连续的非线性算子，若满足下列条件：（Ⅰ）存在正有界线性增算子E E K E E M →→:,:,且满足：1)(0<<+<αK M r ，且))((),(),,()(00000000u v K I v u A u v A u v M --≤≤-，其中I 为恒等算子；（Ⅱ）存在常数1,0<+>βαβ，满足)(),(),(u v u v A v u A -≤-β当00v v u u ≤≤≤时；（Ⅲ）00),(),(u v u A Bu Bv u u v A +≤≤≤+当00v v u u ≤≤≤时，则算子方程：Bx u x x A =+0),(在D 上有唯一的不动点*x 。
构造迭代序列：01)(),(u u v M u v A u n n n n n +--=+，01)(),(u u v K v u A v n n n n n +-+=+，n=1,2,…都收敛于*x 且有误差估计： 00*))((u v K M r N x u n n -++≤-β，00*))((u v K M r N x v n n -++≤-β（N 为常数）。
证明：运用数学归纳法证明012210v v v v u u u u n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ （*），事实上，当n=1时，由条件（Ⅰ）及A 是反向混合单调算子知01000000001000000)(),(),()(),(v v u u v K v u A u u v A u u u v M u v A u ≤=+-+≤+≤=+--≤， 则（*）式成立，假设n=k 时式（*）成立，即有11--≤≤≤k k k k v v u u ，从而有：)()(11---≤-k k k k u v M u v M ，)()(11---≤-k k k k u v K u v K ，则n=k+1时，由A 的反向混合单调性知：001101111)(),()(),()(),(u u v M u v A u u v M u v A u u v M u v A u k k k k k k k k k k k k k +--≤+--≤+--=------k k k k k k k k k k k k k v u u v K v u A v u u v K v u A u u v A u =+-+≤=+-+≤+≤=----++011111001)(),()(),(),( 则（*）式成立。
再由条件（Ⅱ）和A 的反向混合单调性知：)()()(),(),(1111111111-----------≤-+-+-=-≤n n n n n n n n n n n n u v u v K u v M u v A v u A u v βθ))(()()(111111-------++=-+-+n n n n n n u v K M I u v K u v M β ，令I K M H β++=，对任给的1)(<<+αK M r ，由1)()(1lim <++<=∞→βK M r H r Hn n n ，可知存在0n ，使得0,1))((n n K M r H n n ≥<++≤β。
根据P 的正规性递推得：00))((u v K M r N u v n n n -++≤-β。
又 )(00u v H u v u v u u n n n n m n n m n -≤-≤-≤-≤++θ，)(00u v H u v u v v v n n n m n n m n n -≤-≤-≤-≤++θ ，从而00))((u v K M r N u u n n m n -++≤-+β，00))((u v K M r N v v n m n n -++≤-+β，所以{n u }和{n v }是E 中的Cauchy 序列。
由E 的完备性知，存在E v u ∈**,，使)(,**∞→→→n v v u u n n 且n n v v u u ≤≤≤**，再由)(00**u v H u v u v n n n -≤-≤-≤θ与锥P 的正规性，易知：D x v u ∈==***。
由n p n n v u u ≤≤+，令∞→p 得：n n v x u ≤≤*，又由条件（Ⅲ）知：n n n n n n n n v u v u A Bu Bv u u v A u ≤+≤≤≤+≤----011011),(),(，再由 n n n n n n v u v u A u x x A u u v A u ≤+≤+≤+≤----0110**011),(),(),(，同时令∞→n ，得**0**),(Bx x u x x A ==+，即*x 是方程Bx u x x A =+0),(在[]00,v u 上的不动点。
下证*x 的唯一性。
设*y 也是方程Bx u x x A =+0),(在D 中的不动点，则仿照上述方法由归纳法可得： n n v y u ≤≤*，令∞→n 得**y x =，故*x 是Bx u x x A =+0),(在D 中的唯一不动点。
最后在00))((u v K M r N u u n n m n -++≤-+β和00))((u v K M r N v v n m n n -++≤-+β中， 令∞→m 便得到误差估计式。
证毕定理2 设P 是实Banach 空间E 中的正规锥，[]00,v u D =，E D D A →⨯:是反向混合单调算子，E E B →:是连续的非线性算子，若满足下列条件：（Ⅰ）存在正有界线性增算子E E K E E M →→:,:,且满足：))((),(),,()(00000000u v K I v u A u v A u v M --≤≤-，其中I 为恒等算子；（Ⅱ）存在正有界线性算子E E L →:，L 的谱半径:1)(0<<L r ，并且1)(0<<++<αL K M r ，使得)(),(),(u v L u v A v u A -≤-,当00v v u u ≤≤≤时；（Ⅲ）00),(),(u v u A Bu Bv u u v A +≤≤≤+当00v v u u ≤≤≤时，则算子方程：Bx u x x A =+0),(在D 上有唯一的不动点*x 。
构造迭代序列：01)(),(u u v M u v A u n n n n n +--=+，01)(),(u u v K v u A v n n n n n +-+=+，n=1,2,…都收敛于*x ,且有误差估计： 00*))((u v L K M r N x u n n -++≤-，00*))((u v L K M r N x v n n -++≤-（N 为常数）。
证明：运用数学归纳法证明012210v v v v u u u u n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ （*），事实上，当n=1时，由条件（Ⅰ）及A 是反向混合单调算子可知：01000000001000000)(),(),()(),(v v u u v K v u A u u v A u u u v M u v A u ≤=+-+≤+≤=+--≤， 则（*）式成立，假设n=k 时式（*）成立，即有11--≤≤≤k k k k v v u u ，从而有：)()(11---≤-k k k k u v M u v M ，)()(11---≤-k k k k u v K u v K ，则n=k+1时，由A 的反向混合单调性知：001101111)(),()(),()(),(u u v M u v A u u v M u v A u u v M u v A u k k k k k k k k k k k k k +--≤+--≤+--=------k k k k k k k k k k k k k v u u v K v u A v u u v K v u A u u v A u =+-+≤=+-+≤+≤=----++011111001)(),()(),(),( 则（*）式成立。