最新指数与指数幂的运算练习题

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指数函数与幂函数练习题

指数函数与幂函数练习题1. 指数函数练习题(1) 求解方程：2^x = 8(2) 计算：3^(1/2) × 3^(3/2)(3) 简化表达式：4^(x+2) × 2^(3-x) ÷ 8^2x(4) 求函数 y = 2^x 的定义域和值域2. 幂函数练习题(1) 求解方程：x^2 = 16(2) 计算：(2^3)^x - 2^(2x + 2)(3) 简化表达式：(5^3)^(x+2) ÷ (5^4)^x(4) 求函数 y = 3^x 的定义域和值域3. 综合练习题(1) 求解方程：2^x = x^2(2) 计算：(3^2)^(x+1) × 3^(2x-1) - (9^x) ÷ (3^2x)(3) 简化表达式：(4^x)^(1/3) × (8^x)^(1/2)(4) 求函数 y = 5^x - 2 的定义域和值域解答：1. 指数函数练习题(1) 2^x = 8由指数函数与对数函数的互反关系可知，等式两边取对数，得到 x = log2(8) = 3。

(2) 3^(1/2) × 3^(3/2)由指数函数的乘法法则可知，指数相加，底数不变。

因此，3^(1/2) × 3^(3/2) = 3^(1/2 + 3/2) = 3^2 = 9。

(3) 4^(x+2) × 2^(3-x) ÷ 8^2x首先简化指数部分：4^(x+2) × 2^(3-x) ÷ 8^2x = 2^2(x+2) × 2^(3-x) ÷ (2^3)^2x = 2^(2x+4) × 2^(3-x) ÷ 2^(6x) = 2^(2x+4+3-x-6x) = 2^(2-3x)。

简化后的表达式为 2^(2-3x)。

(4) 函数 y = 2^x 的定义域和值域指数函数的定义域为实数集，即 x ∈ℝ。

指数与指数幂的运算习题(含答案)

考点：函数的图象.
【方法点晴】本题考查指数函数的变换，形如的图象的作法：先做出的图象，再将轴下方的图象翻折到轴上方. 的图象的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，由于底数不确定，故应分和两种情况分别作图，结合图形可得最后结果.
23．4
【解析】原式，故答案为4.
试题解析：
(1) 原式＝
(2)
.
27．（1）（2）
【解析】试题分析：
（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解．（2）根据求得，解方程组求出后再求解．
试题解析：
（1）原式=3﹣3+（4﹣2）× = ．
（2）∵sinα+cosα= ，①
∴ 1+2sinαcosα= ，
∴2sinαcosα=﹣ ．
指数与指数幂的运算习题（含答案）
一、单选题
1．已知x，y为正实数，则
A．2lnx+lny=2lnx+2lnyB．2ln（x+y）=2lnx•2lny
C．2lnx•lny=2lnx+2lnyD．2ln（xy）=2lnx•2lny
2．化简的结果为
A．−9B．7
C．−10D．9
3．若，且，为整数，则下列各式中正确的是
【解析】
【分析】
利用根式的运算法则运算即可.
【详解】
（1）；
1) 中实数的取值由的奇偶性确定，只要有意义，其值恒等于，即；
(2) 是一个恒有意义的式子，不受的奇偶性限制，，但的值受的奇偶性影响．
29．（1）89；（2） .
【解析】试题分析：指数幂运算要严格按照幂运算定义和法则运算，法则包括同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方等于把积中每个因数乘方，再把所得的幂相乘；对数运算要注意利用对数运算法则，包括积、商、幂的对数运算法则，这些公式既要学会正用，还要学会反着用.

(完整版)指数与指数幂的运算习题(含答案),推荐文档

2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且，为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ．－2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ．－1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1）求 k 值；（2）若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3）；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。

【高中数学】《2.1.1 指数与指数幂的运算》测试题

【高中数学】《2.1.1 指数与指数幂的运算》测试题
一、选择题
1.下列说法正确的是( ).
A.正数的次方根是正数
B.负数的次方根是负数
C.0的次方根是0
D.是无理数
考查目的：考查次方根的定义.
答案：C.
解析：由次方根的定义得，当为偶数时，选项A，B不正确，D不正确，如是有理数.
2.计算的结果是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查次方根的定义.
答案：A
解析：=.
3.已知，则下列运算中正确的是( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查根式的运算及分数指数幂的性质.
答案：B.
解析：当时，选项A为；选项C中，；选项D中，．
二、填空题
4.求值：=_________．
考查目的：考查分数指数幂的性质.
答案：.
解析：=.
5.若，试用分数指数幂的形式表示下列各式：=_________，=_________.
考查目的：考查根式与分数指数幂的互相转化.
答案：，.
解析：；.
6.已知，求值：= .
考查目的：考查乘法公式、配方法和常见的分数指数幂变形方法.
答案：.
解析：∵，∴.
由知，，∴，∴.
三、解答题
7.计算：
⑴；
⑵.
考查目的：考查分数指数幂的性质和指数的运算.
解析：⑴原式；
⑵原式.
8.计算:(式中字母都是正数)
⑴；⑵.
考查目的：考查分数指数幂的性质和指数的运算.
答案：⑴；⑵.
解析：⑴；
⑵.
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指数与指数幂运算的练习题

指数与指数幂运算的练习题1. 计算下列指数的值：(a) 2^3(b) 4^2(c) 10^0(d) 5^-22. 化简下列表达式：(a) (2^3)^2(b) 5^3 / 5^2(c) (3^2) * (3^4)(d) 2^4 * 2^2 / 2^33. 计算下列混合指数的值：(a) 2^3 * 4^2(b) (2^3)^2 * (5^2)^3(c) 3^5 / (3^2 * 3^2)(d) (2^3 * 4^2)^-14. 计算下列指数幂的值：(a) (3^4)^2(b) (6^3)^-2(c) (10^2)^0(d) (4^-2)^35. 填写下列空格：(a) 2^4 = ____(b) 5^0 = ____(c) 1^2 = ____(d) 10^-3 = ____6. 解决下列问题：(a) 如果一个投资每年增长15%，在5年后，该投资的总增长是多少？(b) 假设一个人每天使用1升水，经过30天该人使用的水总量是多少立方米？(c) 如果一个房屋的基价为100,000元，每年以5%的速度增加，每年增加的金额是多少？7. 写出下列指数的平方和立方：(a) 2^2 = ____, 2^3 = ____(b) 3^2 = ____, 3^3 = ____(c) 4^2 = ____, 4^3 = ____(d) 5^2 = ____, 5^3 = ____8. 计算下列指数幂的值并判断其是否为奇数或偶数：(a) 2^3(b) 6^4(c) 10^6(d) 3^59. 解决下列问题：(a) 如果一辆车以每小时60千米的速度行驶，10小时后的总行程是多少千米？(b) 如果一台机器每分钟生产30个产品，8小时后的总生产数量是多少个？(c) 如果一件商品原价为200元，以每年10%的折扣出售，10年后其售价是多少？10. 解决下列问题：(a) 如果一件商品原价为500元，并以每年10%的速度增长，经过5年后该商品的价值是多少？(b) 假设某公司的市场份额从30%增长到40%，增长率是多少？(c) 如果一个房屋的价值为100万，以每年5%的速度增长，10年后该房屋的价值是多少？Note: The document consists of practice problems related to indices and exponentiation in the Chinese language. Each question involves either calculating the value of an exponent, simplifying an expression, or solving a problem related to various real-life scenarios.。

专题幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)

专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b 1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b 0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a 1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a 0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。

指数与指数幂的运算综合训练

指数与指数幂的运算综合训练一、选择题1．化简式子122[(]-的结果是( ) A. 3 B ．－3 C.3 D ．－3考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案 C解析 11222[(]33--=== 2．化简3－a ꞏ6a 的结果为( ) A ．－a B ．－－a C.－aD.a考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案 A 解析显然a ≥0.1111136362ꞏa a aa +－＝－=-＝－3.3a 2ꞏa 等于( )57511681212A B C D a a a a ．．．．考点根式与分数指数幂的互化题点根式化为分数指数幂答案 B解析21113412.aa ==4．34(32)x --中x 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞C.⎝⎛⎭⎫－∞，32 D.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案 C解析 34341(32)(32)x x --==-要使该式有意义，需3－2x >0，即x <32.5．1113622,3,6这三个数的大小关系为( ) A ．111632632<< B ．111632623<< C ．111362236<<D ．111362326<<考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的互化答案 B解析 3121163662228,339,6=======∵66<68<69，111632263.<∴<6．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( )A.x ＋1x －1 B.x ＋1x C.x －1x ＋1D.xx －1考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案 D解析由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1. 7．设1122.a am --=则a 2＋1a 等于( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 2考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案 C解析将1122a am --=两边平方，得211222,a a m -⎛⎫-= ⎪⎝⎭即a －2＋a －1＝m 2，所以a ＋a －1＝m 2＋2，即a ＋1a ＝m 2＋2，所以a 2＋1a ＝m 2＋2. 8若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a－b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案 D解析设a b －a －b ＝t .∵a >1，b >0， ∴a b >1，a －b <1， ∴t ＝a b －a －b >0，则t 2＝(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴t ＝2. 二、填空题9．计算33＝________.考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算答案 116解析原式＝33＝47－9＝4－2＝116.10．若a >0，且a x ＝3，a y ＝5，则22y x a +=________.考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值答案 9 5解析 11222222()()35y x x y aa a +=⋅=⋅=11．(3＋2)2 015×(3－2)2 016＝________. 考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算答案3－ 2解析 (3＋2)2 015×(3－2)2 016 ＝[(3＋2)(3－2)]2 015×(3－2) ＝12 015×(3－2)＝3－ 2.12．化简2312a ---⎛⎫÷的值为________．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的乘除运算答案 1566a b-解析原式＝221131322111322a ba bb a a b ----⎛⎫⋅ ⎪÷ ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭2121132113221132211123332233227166711166()()()a baba b aba b a b ab ab-----+-----⋅=÷⋅=÷=÷=＝1566a b-.三、解答题 13．计算：(1)733－3324－6319＋4333；(2)111201130.2534730.00813813100.02788-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-⨯⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算解 (1)原式＝112112112133333333347333263(33)363323233---⨯-⨯⨯-⨯+⨯=-⨯+=⨯-⨯⨯113323230.=⨯-⨯= (2)原式=1141142113333(31)310(0.3)102-----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯+-⨯⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1123112101100.330.1033333--⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 四、探究与拓展14．已知2a ꞏ3b ＝2c ꞏ3d ＝6，求证：(a －1)(d －1)＝(b －1)ꞏ(c －1)．考点有理数指数幂的运算性质题点附加条件的幂的求值证明 ∵2a ꞏ3b ＝6＝2×3，∴2a －1ꞏ3b －1＝1. ∴(2a －1ꞏ3b －1)d －1＝1，即2(a －1)(d －1)ꞏ3(b －1)(d －1)＝1.①又2c ꞏ3d ＝6＝2×3，∴2c －1ꞏ3d －1＝1. ∴(2c －1ꞏ3d －1)b －1＝1，即2(c －1)(b －1)ꞏ3(d －1)(b －1)＝1.②由①②知2(a －1)(d －1)＝2(c －1)(b －1)， ∴(a －1)(d －1)＝(b －1)(c －1)．15．已知函数f (x )＝11335x x --，g (x )＝11335x x -+.(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(已知y ＝13x 在R 上是增函数)(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．考点根式与分数指数幂的互化题点根式与分数指数幂的四则混合运算 (1)证明设x 1>x 2>0，∵y ＝13x 在R 上是增函数，113312.x x ∴>又∵()13120x x ->，∴f (x 1)－f (x 2)＝111111133333331122121211()()1()0.55x x x x x x x x ---⎡⎤--+=-+>⎢⎥⎣⎦∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)解经计算知f (4)－5f (2)g (2)＝0，f (9)－5f (3)ꞏg (3)＝0，由此猜想：f (x 2)－5f (x )g (x )＝0. 证明如下： f (x 2)－5f (x )g (x )221111222233333333331111()()()()()0.5555x x x x x x x x x x -----=--+-=---=。

幂运算练习题大全

幂运算练习题大全幂运算，是数学领域中一种常见的运算方式。

它用于表示一个数的某个指数次幂，例如2的3次幂就是2×2×2，通常表示为2^3。

幂运算在数学、物理、计算机科学等领域有着重要的应用。

在本文中，我们将提供一系列幂运算的练习题，帮助读者更好地掌握幂运算的概念和运用。

1. 简化以下幂运算：a) 2^4b) 3^2c) 5^3d) 10^02. 计算以下幂运算的结果：a) 2^5b) 4^3c) 6^2d) 8^43. 给定以下幂运算，求未知数的值：a) 2^x = 16b) 3^x = 27c) 4^x = 256d) 5^x = 6254. 简化以下幂运算的结果，使用负指数：a) 2^-3b) 3^-2c) 5^-4d) 10^-15. 简化以下幂运算的结果，使用幂与根相互抵消的关系：a) √(4^3)b) ∛(8^2)c) ∜(16^2)d) ⁵√(32^3)6. 简化以下幂运算的结果，使用幂运算的运算法则：a) (2^3) × (2^4)b) (3^2) ÷ (3^5)c) (5^6)^2d) (10^4)^07. 计算以下复合幂运算的结果：a) (2^3)^2b) (4^2)^3c) (6^4)^2d) (8^5)^08. 解决以下问题，应用幂运算的概念：a) 一台计算机每秒钟可以执行10^9次运算，那么1分钟内可以执行多少次运算？b) 一辆汽车每小时行驶80公里，那么2小时内可以行驶多远？c) 一块土地的面积为5^2平方米，如果将其分割成边长为1米的小方块，可以得到多少个小方块？9. 解决以下问题，应用幂运算的运算法则：a) 简化表达式：(2^3 × 2^4) ÷ 2^2b) 简化表达式：(3^5)^2 ÷ (3^2)c) 简化表达式：(5^3 ÷ 5^2) × 5^4d) 简化表达式：(10^6)^2 ÷ 10^3通过以上的练习题，可以帮助读者巩固幂运算的知识点和运用技巧。

2024-2025年北师大版数学必修第一册3.2指数幂的运算性质(带答案)

2 指数幂的运算性质必备知识基础练知识点一利用指数幂的运算性质求值1．[(－3)2]12－100的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．42．下列各式正确的是( )A ．3－8 ＝－2B ．12（－3）4＝3－3C ．4x 3＋y 3＝(x ＋y )34D ．(n m)2＝n 2m 123．计算：(1)(0.25)－12－[－2×(13)0]2×[(－2)3]－23 ＋10(2－3 )－1－10×30.5；(2)(7＋43 )12 －8118 ＋3235－2×(18)－23 ＋32 ×(4－13 )－1.知识点二利用指数幂的运算性质化简 4．已知a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12B ．a 56C ．a 76D ．a 325．化简(2a －3b －23)·(－3a －1b )÷(4a －4b－53)的结果是( )A ．－32 b 2B ．32 b 2C ．－32 b 73D ．32 b 736．已知10x ＝2，10y＝3，则103x －4y 2＝________．知识点三条件求值问题7．已知a 12＋a －12＝3，求下列各式的值：(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)a 32－a－32a 12－a－12关键能力综合练1．下列各式中成立的一项是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 3＝a 3b 13 B ．12（－2）4＝3－2 C ．34 ＝32 D ．4a 3－b 3＝(a －b )342．已知a >0，b >0，则a 3b 23ab 2（4a b ）4a －13b13＝( )A ．ab 3B ．a 13b－3C ．ab －3D ．a 2b －53．若2x ＝7，2y ＝6，则4x －y＝( )A ．3649B ．76C ．67D ．49364．0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16 －2＋2560.75－3－1＋2×70的值是( )A ．105B ．33C ．69136D ．－235．如果x ＝1＋2b，y ＝1＋2－b，那么用x 表示y ，则y ＝( ) A ．x ＋1x －1 B ．x ＋1x C ．x －1x ＋1 D ．xx －16．(易错题)已知x ＋x －1＝4(0<x <1)，则x 2－x －2x 12＋x－12＝( )A ．6B ．6C ．－42D ．8 7．(3 ＋2 )2 018×(3 －2 )2 019＝________． 8．(探究题)已知a ＝3，则11＋a14＋11－a14＋21＋a12＋41＋a的值为________． 9．(1)求值：259 －⎝ ⎛⎭⎪⎫827 13－(π＋e)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14 －12 ； (2)化简a 3b 2·3ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 14b 124·3b a .核心素养升级练1．(多选题)已知a ＋a －1＝3，下列各式中正确的是( ) A ．a 2＋a －2＝7 B ．a 3＋a －3＝18 C ．a 12＋a －12＝±5 D ．a a ＋1a a＝252．(核心素养—数学运算)(1)化简：3a 23a －3·（a －5）－12（a －12）13(式子中的字母均为正数).(2)已知x 12＋x －12＝7 ，求x ＋x －1x 2＋x －2－3的值．§2 指数幂的运算性质必备知识基础练1．答案：B解析：[(－3)2]12－100＝(32)12－1＝3－1＝2. 2．答案：A解析：A ：因为(－2)3＝－8，所以3－8 ＝－2，因此本选项正确； B ：因为12（－3）4＝1234＝33 ，所以本选项不正确；C ：因为4x 3＋y 3＝(x 3＋y 3)14≠(x ＋y ) 34，所以本选项不正确；D ：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝n 2m －2，所以本选项不正确．故选A.3．解析：(1)(0.25)－12－[－2×(13)0]2×[(－2)3]－23 ＋10(2－3 )－1－10×30.5＝[(12 )2]－12 －(－2×1)2×(－2)－2＋10×12－3－10×312 ＝2－4×14 ＋10(2＋3 )－103 ＝21.(2)(7＋43 )12 －8118 ＋3235－2×(18)－23 ＋32 ×(4－13 )－1＝[(2＋3 )2]12－(34)18＋(25)35－2×(2－3)－23＋213×(22)13＝2＋3 －3 ＋8－8＋2＝4. 4．答案：C 解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a 56 ＝a 76，故选C. 5．答案：A解析：(2a －3b－23)·(－3a －1b )÷(4a －4b －53)＝2a 3b23·－3ba4a 4b53＝－6b13a4·a 4b 534＝－32b 2.6．答案：229解析：103x －4y 2＝103x2 －2y ＝103x2102y ＝（10x）32（10y ）2 ＝23232 ＝229. 7．解析：(1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7. (2)对(1)中的式子两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47.(3)a 32－a－32a 12－a－12＝（a 12－a －12）·（a ＋a －1＋a 12·a －12）a 12－a－12＝a ＋a －1＋1＝8.关键能力综合练1．答案：C解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 3＝a 3b －3，A 错误；12（－2）4＝1224＝32 ，B 错误；34 ＝()41312＝()41213＝32 ，C 正确；(a －b )34＝4（a －b ）3 ≠4a 3－b 3，D 错误．故选C. 2．答案：C解析：a 3b23ab2（4ab ）4a －13b 13＝a 3b 2a 13b 23ab 4a －13b13＝a 32ba 16b 13a 23b133＝a 53b43a 23b 133＝ab －3.故选C. 3．答案：D解析：2x ＝7，2y ＝6，则4x －y＝22x －2y＝22x22y ＝4936.故选D. 4．答案：B解析：由题意得：0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16 －2＋2560.75－3－1＋2×70＝(0.3)3×⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13 －(－6)2＋()2834－13 ＋2＝(0.3)－1－36＋26－13＋2＝103 －36＋64－13 ＋2＝33.故选B. 5．答案：D解析：y ＝1＋2－b＝1＋12b ＝1＋1x －1 ＝x x －1 ，故选D.6．答案：C解析：∵x ＋x －1＝4(0<x <1)，则x <x －1， ∴x 12＋x －12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122 ＝x ＋2＋x －1＝4＋2 ＝6 ， x －x －1＝－（x －x －1）2 ＝－（x ＋x －1）2－4 ＝－23 ，则x 2－x －2x 12＋x －12 ＝（x ＋x －1）（x －x －1）x 12＋x －12 ＝4×（－23）6＝－42 ．故选C. 7．答案：3 －2解析：(3 ＋2 )2018×(3 －2 )2 019＝[(3 ＋2 )(3 －2 )]2 018×(3 －2 )＝12 018×(3 －2 )＝3 －2 .8．答案：－1 解析：11＋a 14＋11－a14＋21＋a12＋41＋a＝ 2（1＋a 14）（1－a 14）＋21＋a 12 ＋41＋a ＝21－a 12 ＋21＋a 12＋41＋a＝4（1－a 12）（1＋a 12）＋41＋a ＝41－a ＋41＋a ＝8（1－a ）（1＋a ）＝81－a2 . 因为a ＝3，所以原式＝－1. 9．解析：(1)259 －⎝ ⎛⎭⎪⎫827 13－(π＋e)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14 －12 ＝53 －23 －1＋2＝2.核心素养升级练1．答案：ABD解析：由a ＋a －1＝3得(a ＋a －1)2＝9，化简得a 2＋a －2＝7，故A 正确；由a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－a ·a －1＋a －2)得a 3＋a －3＝3×(7－1)＝18，故B 正确；由(a 12＋a－12)2＝a ＋2a 12·a－12＋a －1＝5，且a >0，得a 12＋a －12＝5 ，故C 错误；由(a a ＋1a a)2＝a 3＋a －3＋2＝18＋2＝20，且a >0，得a a ＋1a a＝25 ，故D 正确．因此选A 、B 、D.2．解析：(1)原式＝[a 23·(a －3)12]13 ·(a 52·a－132)12＝a 29·a－12·a 54·a－134＝a－518·a－2＝a －4118.(2)因为x 12＋x－12＝7 ，所以(x 12＋x－12)2＝7，所以x ＋x －1＝5，则(x ＋x －1)2＝25，x2＋x －2＝23，整体代入得x ＋x －1x 2＋x －2－3 ＝523－3 ＝14.。

2.1.1_指数与指数幂的运算练习题及答案(必修1)

)
A ． x>0， y>0
B ． x>0， y<0
C．x<0， y>0 解析：选 C. 由 y可知 y>0，又∵ ∴当 x<0 时， x2＝－ x.
D ．x<0， y<0 x2＝ |x|，
2n＋ 1 2·1 2n＋ 1
2
*
4．计算
4n·8－ 2 (n∈ N )的结果为 (
)
1 A. 64
B ． 22n＋5
C．2n2－ 2n＋ 6
D
．
(
1 2)
2n－
7
解析：选
D.
2n
＋1
2
1 ·2
4 n·8－ 2
2
n＋
1
＝
2
2n＋ 2
22 n
－2n － 1
·2 ·23
－2
＝
2
1
2
2n－
6＝
27－
2n
＝
(
1 2)
2n－
7.
5．化简 23－ 6 A ． 3＋ 2 C．1＋ 2 2
10－ 4
3＋ 2 2得 ( ) B ． 2＋ 3 D ．1＋2 3
1
3
1
解：
(1)原式＝
(0.43
－
)
3－
1
＋
(2
4)
4＋
(0.5
2)
2
＝ 0.4－1－ 1＋8＋ 1 2
＝ 52＋ 7＋ 12＝ 10.
1＋1 a＋ b a b ab (2)原式＝ 1 ＝ 1 ＝ a＋ b.
ab ab
11
x2－ y2 11．已知 x＋ y＝ 12， xy＝9，且 x<y，求 1 1的值．

指数幂的运算练习题

指数幂的运算练习题在数学中，指数幂是一种常见的运算形式。

它可以简化大数的表示，并在各种科学和工程领域中广泛应用。

本文将为读者提供一些指数幂的运算练习题，以帮助他们加深对这一概念的理解。

1. 计算以下指数幂的值：a) 2^3b) 4^2c) 5^0d) 10^(-2)答案：a) 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8b) 4^2 = 4 × 4 = 16c) 5^0 = 1（任何数的0次方等于1）d) 10^(-2) = 1/(10 × 10) = 0.012. 化简以下指数表达式：a) 2^5 × 2^3b) (3^2)^4c) (4^3) / (4^(-2))答案：a) 2^5 × 2^3 = 2^(5+3) = 2^8 = 256b) (3^2)^4 = 3^(2×4) = 3^8 = 6561c) (4^3) / (4^(-2)) = 4^(3-(-2)) = 4^5 = 10243. 计算以下指数幂的值并化为最简形式：a) 7^(1/2)b) 8^(2/3)c) 27^(3/5)答案：a) 7^(1/2) = √7 ≈ 2.646b) 8^(2/3) = (∛8)^2 = 2^2 = 4c) 27^(3/5) = (∛27)^3 = 3^3 = 274. 判断以下等式的真假：a) 2^4 = 4^2b) 10^0 = 0^10c) 5^(-2) = 1/(5^2)答案：a) 2^4 = 16，4^2 = 16，等式成立。

b) 10^0 = 1，0^10 = 0，等式不成立。

c) 5^(-2) = 1/5^2 = 1/25，等式成立。

5. 根据以下信息填写空缺处的数字：a) 2^3 × 2^(-2) = 2^__b) (2^2)^3 × 2^(-4) = 2^__答案：a) 2^3 × 2^(-2) = 2^(3-2) = 2^1 = 2b) (2^2)^3 × 2^(-4) = 2^(2×3-4) = 2^2 = 4通过以上的练习题，读者可以有效地提高对指数幂运算的理解和运用能力。

指数运算复习练习题

指数运算复习练习题2.1.1 指数与指数幂的运算练题1、有理数指数幂的分类：1）正整数指数幂 $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot。

\cdota$ $(n$ 个 $a)$；2）零指数幂 $a^0=1$ $(a \neq 0)$；3）负整数指数幂 $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ $(n \in N^*)$；4）正分数指数幂$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ $(a>0,m,n \in Q)$，等于$0$ 的正分数指数幂为 $0$，$0$ 的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质：1）$a^m \cdot a^n=a^{m+n}$ $(a>0,m,n \in Q)$；2）$(a^m)^n=a^{mn}$ $(a>0,m,n \in Q)$；3）$(ab)^m=a^m \cdot b^m$ $(a>0,b>0,m \in Q)$。

知能点2：无理数指数幂若 $a>0$，$P$ 是一个无理数，则 $a^P$ 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

知能点3：根式1、根式的定义：一般地，如果 $x=\sqrt[n]{a}$，那么$x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n>1$，$n \in N$，$a$ 叫被开方数。

2、对于根式记号 $\sqrt[n]{a}$，要注意以下几点：1）$n \in N$，且 $n>1$；2）当$n$ 是奇数，则$\sqrt[n]{a^n}=a$；当$n$ 是偶数，则 $\sqrt[n]{a^n}=|a|$；3）负数没有偶次方根；4）零的任何次方根都是零。

3、我们规定：1）$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ $(a>0,m,n \in N,n>1)$；2）$a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}$ $ (a>0,m,n \inN^*,n>1)$。

2指数与指数幂的运算练习题及答案解析

2指数与指数幂的运算练习题及答案解析篇一：2.1.1_指数与指数幂的运算练习题及(必修1)31．将5写为根式，则正确的是()23A.5523553解析：选D.52.2．根式A．a3C．a4解析：选1a＝a－1－1－41(式中a＞0)的分数指数幂形式为()a4B．a333D．a4－a ・?a?a(a2－353.?a－b?＋?a－b?的值是()A．0B．2(a－b)C．0或2(a－b)D．a－b118∴x－5≠0，即x≠5.3．若xy≠0，那么等式4xy＝－2y成立的条件是()A．x>0，y>0B．x>0，y<0C．x<0，y>0D．x<0，y<0解析：选C.由y可知y>0，又∵x＝|x|，∴当x<0x＝－x.＋＋?2n1?2??2n124．计算(n∈N*)的结果为()－4・81＋B．22n561－C．2n2－2n＋6D．(2n721＋＋?2n1?2??2n12n＋2－2n－122・2211－－解析：选D.－＝－272n＝(2n7.－24・8?2?・?2?25．化简23－10－3＋22得()A．3＋2B．2＋3C．1＋22D．1＋23解析：选A.原式＝＝＝23－610－42＋1?23－6?2－?23－22－4＋??2＝9＋62＋2＝3＋11a2＋1－6．设a2a2m，则＝()aA．m2－2B．2－m2C．m2＋2D．m2解析：选C.将－a＝m平方得(aa)2＝m2，即a－2＋a1＝m2，所以a＋a1＝m2－－－111132＋(32)＝6.－－a1＋b1(2)(a，b≠0)．－?ab?解：(1)原式＝(0.4)31＋(2)4(0.5)21－＝0.41－1＋8＋251＝＋7＋＝10.22x＋111x－?x＋y?－2?xy?＝x＋yx－y∵x＋y＝12，xy＝9，则有(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝108.又x<y，∴x－y108＝－3，33.2＋1，求a3n＋a－3n12．已知a2n＝a＋a－a3n－－设a＝t＞0，则t＝2＋1，＋a3nt3＋t3解：n2a＋at＋t＝?t＋t－1??t2－1＋t－2?＝t2－1＋t－2t＋t－篇二：2.1.1指数与指数幂的运算练习题(整理)指数幂、指数函数、对数、对数函数练习一、选择题1、下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（）A、B、C、D、2、有下列四个命题：其中正确的个数是（）①正数的偶次方根是一个正数；②正数的奇次方根是一个正数；③负数的偶次方根是一个负数；④负数的奇次方根是一个负数。

(完整word版)指数与指数幂的运算练习题整理

2.1.1指数与指数幂的运算练习题高一（）班座号：姓名：知能点1：有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类（1）正整数指数幂()n na a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈64748L 个；（2）零指数幂)0(10≠=a a ；（3）负整数指数幂()10,n n a a n N a-*=≠∈（4）0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质（1）()0,,mn m naa aa m n Q ==>∈ （2）()()0,,nm mn a a a m n Q =>∈（3）()()0,0,m m mab a b a b m Q =>>∈知能点2：无理数指数幂若a ＞0，P 是一个无理数，则pa 表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用。

知能点3：根式1、根式的定义：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>N n n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

2（1）n N ∈，且1n >；（2）当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ；（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。

3、我们规定：（1）)0,,,1m naa m n N n *=>∈>；（2）)10,,,1m nm naa m n N n a-*==>∈>1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）34a = （3）35a -= （4）32a-=2、用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）34y x = （2）)0(2>=m mm （3）85-⎝⎭=（4= （5= ；（6）a a a = ；（7） =•a a 2（8）=•323a a （9）=a a （10） =356q p 3、求下列各式的值（1）238= ；（2）12100-= ；（3）31()4-= ；（4）3416()81-=（5）3227= ；（6）23)4936(= ；（7）23)425(-= ；（8）2325=（9）122[(]-= （10）(1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （11）=32644.化简（1）=••1274331a a a （2）=÷•654323a a a （3）=÷-•a a a 9)(34323（4）322a a a •= （5）3163)278(--b a = （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3231312212x x x = （7）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a ba =（8）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷-= 5.计算（1）43512525÷-(2) （3）210319)41()2(4)21(----+-⋅- （4）()5.0212001.04122432-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（5）48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π （6）24130.753323(3)0.04[(2)]168----++-+（7）()14323112325671027.0-+-+⎪⎭⎫⎝⎛----- （8）5.00312603.1232366141+--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛--（9）()()[]2175.034303101.016287064.0-++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛----（10）()3263425.0031323228765.1⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-6.解下列方程（1）1318x - = （2）151243=-x （3）422240x x --= （4）2233800x x +---= （5）1321(0.5)4x x --=7.(1).已知11223a a -+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22a a -+=（2）若11225x x -+=，则21x x+的值是 (3).若13a a -+=，求下列各式的值：（1）1122a a -+= ；（2）22a a -+= ；一.填空题1.若0>a ，则43a 和53-a用根式形式表示分别为和，56b a 和mm 3用分数指数幂形式表示分别为和。

指数幂运算练习题

指数幂运算练习题1. 计算以下指数幂：a) 3^4b) 5^3c) 2^6d) 10^22. 计算以下带有指数幂的表达式：a) 2^3 * 2^4b) 4^2 / 4^3c) 9^2 * 9^0d) (2^3)^23. 化简以下指数幂：a) (5^2)^3b) (6^3)^0c) (8^4)^(1/2)d) (10^2)^(-1)4. 计算以下指数幂的结果，并用科学记数法表示：a) 5^6b) 7^4c) 9^5d) 2^105. 填入适当的数值，使以下等式成立：a) 4^x = 64b) 3^(2x-3) = 27c) 10^(x/2) = 100d) (5^3)^x = 1256. 解决以下指数幂方程：a) 2^(x+3) = 16b) 6^(2x+1) = 36c) (4^2x+1) = 256d) 10^x = 10007. 通过变换指数幂中的底数，将以下表达式改写成指数形式：a) 16 = 2^4b) 81 = 3^4c) 64 = 4^3d) 625 = 5^48. 通过求根运算，将以下指数幂转化成普通数：a) 9^(1/2)b) 16^(1/4)c) 27^(1/3)d) 64^(1/6)9. 解决以下指数幂方程组：a) {2^x = 4, 2^y = 8}b) {2^(x+2) = 32, 4^y = 16}c) {3^(x+1) = 27, 9^(2y) = 1}d) {5^(3x) = 125, 3^(2y) = 9}10. 通过特定指数幂的性质，计算以下表达式：a) (3^2)^4b) 8^0c) 2^5 * 2^(-2)d) (7^3)^2 / (7^(-2))这些练习题旨在帮助你熟练掌握指数幂运算的计算和化简。

通过解决这些练习，你将能提高自己在这一领域的技能，并为将来的数学应用问题做好准备。

在解答时，请注意运算的顺序和所需的数学规则，并在需要时使用科学记数法表示结果，以方便计算。

指数幂运算模拟试题

指数幂运算模拟试题一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 下列选项中，哪个是幂运算中的指数？A. 2B. +C. 3^2D. =2. 简化指数表达式：2^3 × 2^4 = ?A. 2^7B. 2^12C. 2^2D. 2^343. 计算 4^3，结果为：A. 12B. 64C. 16D. 814. 负指数表示的含义是：A. 指数为负数B. 底数为负数C. 取倒数D. 指数为零5. 简化指数表达式：a^m × a^n，结果为：A. a^2mnB. a^(m+n)C. a^mnD. a^(m-n)6. 计算 2^(-3)，结果为：A. -2B. 1/8C. -1/8D. 87. 如何将 5^3 × 5^4 表达为 5 的幂？A. 5^7B. 5^34C. 5^(3+4)D. 5^128. 计算：(2^3)^2，结果为：A. 2^6B. 2^5C. 2^9D. 2^89. 平方根是指数幂运算中的一种，它的指数为：A. 0.5B. 2C. 1/2D. 110. 下列哪个选项中的值小于 1？A. 3^(-2)B. 3^2C. 3^0D. 3^1二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 指数运算的基本性质之一是 ________________，即 a^m × a^n = a^(_______)。

2. 简化指数表达式：(7^2)^3 = _________。

3. 简化指数表达式：(a^2)^3 × (a^3)^2 = _________。

4. 计算：2^5 × 2^(-3) = ___________。

5. 如何将 10^4 × 10^(-2) 表达为 10 的幂？______________三、解答题（共2题，每题30分，共60分）1. 简化指数表达式：(3^2 × 3^(-3))^2 = _________。

解析：根据指数运算的基本性质，a^m × a^n = a^(m+n)，可以将题目中的指数表达式简化为？_______________________________________________________________________________________2. 计算：(4^(-2))^(-3) = _________。