第八章 无穷级数

第八章 无穷级数

要熟知级数的七大性质： 性质1。

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

ku

的敛、散性相同。（k )0≠

性质2。两收敛级数

σ==∑∑∞=∞

=1

1

,n n n n

v u

s 之和σ±=±∑∞

=s v u n n n

)1

(也收敛。

性质3。在级数前面加上或减去或改变其有限多项，不影响级数的敛、散性；不过，在收敛

时新级数的和可能会不同。

性质4。收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变；反之未必。

性质5。如果在某种特殊的加括号方式下，得到的新级数发散，则原级数必也散。 性质6（收敛级数的必要条件）若

∑∞

=1

n n

u

收敛，则;0lim

=∞

→u

n

n （必考查）

性质7。若对

∑∞

=1

n n

u

，有0lim

≠∞

→u

n

n ，则∑∞

=1

n n u 必发散。

对于这个知识点，考试时，一般单项选择题或填空题的形式予以考察。见下面的往届考题。 在常数项级数中，有一种特殊级数要特别关注，也是考试的重点，它就是正项级 数。

二。正项级数的五大审敛法 先回顾一下正项级数的概念：当

,0≥u

n

称∑∞

=1

n n u 为正项级数。

注意：正项级数较之其他级数，有一个明显的特征，即它的前n 次部分和数列{}s n

单调增

加。

要熟知正项级数的五大性质： 性质1。正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的充分必要条件是其

{}s n

有上界。

性质2。（比较审敛法）设

∑∞

=1

n n

u

，

∑∞

=1n n

v

都是正项级数，且

v

u n

n

≤。

（1）如果

∑∞

=1n n

v

收敛，则

∑∞

=1n n

u

也收敛；

（2）如果

∑∞

=1

n n

u

发散，则

∑∞

=1

n n

v

也发散。

发散。

注意： 由于级数的每一项同乘以不为零的常数k ，以及去掉级数前面部分的

有限多项不影响级数的敛、散性，故有：

推论1：设

∑∞

=1n n

u

，

∑∞

=1

n n

v

都是正项级数

（1）如果

∑∞

=1n n

v

收敛，且N

n N >∃,v u

n n

k ≤，则∑∞

=1

n n u 也收敛；

（2）如果

∑∞

=1

n n

u

发散，且N

n N >∃,u v

n n

k ≥则∑∞

=1

n n u 也发散。

在利用比较审敛法判断正项级数的敛散性时，常用来与之比较的级数是等比级数、调和级数与p_级数

∑

∞

=1

1

n p

n

（p 为实数,p>0））。要熟知p_级数的敛散性。

例6。判别级数

()∑∞

=+1

11

n n n 的敛、散性。

解：因为()1111

+>

+n n n ，而∑∞=+111n n 发散，所以，()∑∞

=+1

11

n n n 发散。 性质3。（比较审敛法的极限形式）

设∑∞

=1

n n

u ，∑∞

=1

n n

v 都是正项级数，如果)0(lim

+∞<<=∞

→l l v

u n

n

n ，则∑∞=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 同敛、

散。 例7。判别

∑∞

=1

1

sin

n n

的敛、散性。 解：因为,111

sin

lim

=∞

→n

n n 且∑∞=11n n 发散，故：∑∞

=1

1sin n n 发散。

另解：因为,1

1sin n n <且∑∞=11n n 发散，故：∑∞

=1

1sin n n 发散。（此法是错的，为什么？）

性质4。（达朗贝尔比值审敛法）若正项级数

∑∞

=1

n n

u

的后项与前项之比的极限

u

u n

n n 1lim

+∞

→=ρ，

则（1）当,10<≤ρ级数收敛；（2）当()

,1+∞=>ρρ包括级数发散；（3）当,1=ρ时，级数可能收敛，也可能发散。