7数学证明的几种方法
7的倍数判定方法证明
7的倍数判定方法证明-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:7是一个质数，它只能被1和7整除。
因此，判断一个数是否是7的倍数具有一定的特殊性。
在这篇文章中，我们将探讨两种不同的方法来判断一个数是否是7的倍数，并通过数学证明来验证这些方法的有效性。
通过深入研究7的倍数特点和证明方法，我们将能够更好地理解数学中的逻辑推理和证明过程。
本文旨在帮助读者加深对数学知识的理解，并提供一种新颖的思考方式来解决数学问题。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构部分是为了介绍本文的组织结构和内容安排，以引导读者对全文的整体框架有所了解。
在本文中，我们将首先介绍引言部分，包括概述、文章结构和目的。
接着，我们将深入讨论正文部分，其中包括7的倍数的特点、证明方法一和证明方法二。
最后，我们将总结本文的主要内容，并探讨其应用和未来展望。
通过这样清晰的结构安排，读者能够更好地理解全文的内容，帮助他们更有效地掌握和应用所介绍的7的倍数判定方法。
1.3 目的:本文旨在通过提出不同的证明方法，深入探讨7的倍数的特点和判定方法。
通过文章的阐述和证明，读者可以更加清晰地理解7的倍数的规律性，进而提高数学分析和推理能力。
同时，本文也旨在启发读者对数学问题的思考，激发学习兴趣，拓展数学领域的认识。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够在数学知识上有更深入的了解，并在实际问题中运用所学的方法和技巧。
2.正文2.1 7的倍数特点:在数学中，我们知道如果一个数能够整除7，那么这个数就是7的倍数。
具体来说，一个数x是7的倍数的条件是x=7n，其中n为整数。
这意味着7的倍数一定是7的某个整数倍数。
除此之外，我们还可以通过观察7的倍数的特点来判断一个数是否为7的倍数。
一个数是否是7的倍数可以根据其个位数和前面的数字的差来判断。
具体来说，一个数是7的倍数的充分必要条件是：将这个数的个位数去掉，剩下的数字减去个位数的2倍，如果结果是7的倍数（包括0），那么这个数就是7的倍数。
三角形内角和180°证明7种方法
三角形内角和180°证明7种方法三角形是平面几何中的重要概念，它由三条边和三个角组成。
在欧氏几何中，三角形的内角和总是等于180°。
证明三角形内角和等于180°有许多不同的方法。
下面将介绍七种不同的证明方法，以阐述这一重要结论。
方法一：直角三角形的证明考虑一个直角三角形，其中一个角度为90°。
以这个角度为基础，我们可以将其他两个角度表示为α和β。
根据三角形内角和的定义，我们可以得到α+β+90°=180°，因此α+β=90°。
方法二：欧几里得几何法欧几里得几何中，三角形的内角和等于平面中的一直线对应的角。
在直线上，两个互相垂直的角的和是等于90°。
因此，我们可以将直线分为相互垂直的两个角，然后将两个角组合成一个等于90°的角。
这样，我们得到了三角形内角和等于180°的结论。
方法三：外角的证明考虑一个三角形ABC，我们可以在每个顶点处添加一个外角D、E和F。
根据外角定理，我们知道每个外角等于与其不相邻的两个内角之和。
因此，我们可以得到D=C+A，E=A+B和F=B+C。
将D、E和F相加，我们可以得到D+E+F=2(A+B+C)。
由于A+B+C是一个平面中的角的和（即180°），所以我们可以将上述等式重写为D+E+F=360°。
因此，三角形的外角和等于360°，而每个外角等于180°减去与其相邻的内角，即180°-D=180°-(C+A)=B。
因此，我们得出结论：三角形的内角和等于180°。
方法四：平行直线的证明考虑一个三角形ABC，其中一个角度为α。
通过点B，我们可以绘制一条平行于边AC的直线DE。
这样，我们获得了两个平行直线AC和DE，并且角DBC和角BCA为同旁内角，它们的和等于180°。
因此，我们可以得到角DBC+角BCA=180°-α。
7整除的新验证方法、证明与应用
7整除的新验证方法、证明与应用在竞赛数学中，２，３，５，１１一类较小的质数作为除数的整除问题一直是小学、初中竞赛的热点，但是稍微留意这个问题的人就会发现，“７”作为除数的整除问题却很少出现在竞赛中. 因为它的判断方法比较麻烦．判断多位数是否能被７整除的常用方法是：将多位数的末位数字去掉，用缩减了一位的新数减去去掉的末位数字的两倍，再将得到的数的末位数字去掉……反复这个过程直到得到较简单的数，最后的得数如果能整除７，则原数可以整除７，但两数不同余. 例如：要判断一个十位数除以７的余数情况，首先要把十位数变换成便于判断的两位数，要截８次“尾巴”. 这个方法对于数位较高的情况是非常费时的，竞赛中不实用. 下文将介绍一种新方法.一、新方法［１］将一个整数从右至左地每两位分一段，再相应地乘以１，２，４，１，２，４，…将结果相加得到一个新数，如果新数还是较长再用同样的方法分段相乘、相加，直至可以得到较简单的数，最后结果与原数关于７同余. 下面仅举一例：例１１７２７６49能否被７整除.解将这个数分为四段１，７２，７６，49，４９×１＝４９，７６×２＝１５２，７２×４＝２８８，１×１＝１.和是４９０，４９０可以整除７，所以１７２７６４9能够整除７.通过新、旧方法的计算量比较，我们不难发现新方法高效、快捷. 然而一个方法再好，如果没有严谨的数学证明，它都是“空中楼阁”.二、证明过程设有任意一个自然数Ａ，记做A1A2…An（0≤Ai＜100，Ai占两个数位，是个位数，十位用０补齐，1 ≤i ≤n，Ai，ｎ，ｉ∈Ｎ），经过变换后的数为Ａ′，则Ａ＝100 An+102An-1 + 104An-2 + …+ 102（ｎ－１）A1.Ａ′＝20An + 21An-1 + 22An-3+ …+ 2（ｎ－１）mod3A1.（ｎ－１）ｍｏｄ３表示ｎ－１除以３的余数.即要证：７｜A - A′.（＊）证明：Ａ－Ａ′＝（１－１）Ａｎ＋（１００－２）Ａｎ－１＋…＋［１０２（ｎ－ｉ）－２（ｎ－ｉ）ｍｏｄ３］Ａ１＋…+［１０２（ｎ－１）－２（ｎ－１）ｍｏｄ３］Ａ１＝（１０２（ｎ－ｉ）－２（ｎ－ｉ）ｍｏｄ３）Ａｉ.如果７｜102n - 2n mod3（ｎ为任意的自然数），那么原命题即得证.下面将用不完全归纳法对７｜102n - 2n mod3 证明. 下面证明中将102n - 2n mod3记作Ｍ（ｎ）.（１）当ｎ＝０时，Ｍ（０）＝１－１＝０，７｜Ｍ（０）成立；当ｎ＝１时，Ｍ（１）＝１００－２＝９８，７｜Ｍ（１）成立；当ｎ＝２时，Ｍ（２）＝１００００－４＝９９９６，７｜Ｍ（２）成立.（２）假设ｎ＝ｋ时成立，即有７｜Ｍ（ｋ），此时设102k - 2k mod3 ＝７ｓ（s∈N）.（３）当ｎ＝ｋ＋１时，（ａ）如果ｋｍｏｄ３＝０，那么（ｋ＋１）ｍｏｄ３＝１，则M =102（k + 1）- 21 =100 ?102k - 2=100（7s + 1）- 2=700s + 98.７｜７００ｓ＋９８.（ｂ）如果ｋｍｏｄ３＝１，（ｋ＋１）ｍｏｄ３＝２，则M =102（k + 1）- 22 =100 ? 102k - 4=100（7s + 2）- 4=700s + 196.７｜７００ｓ＋１９６.(ｃ）如果ｋｍｏｄ３＝２，（ｋ＋１）ｍｏｄ３＝０，则M =102（k + 1）- 20 =100 ? 102k - 1=100（7s + 4）- 1=700s + 399.７｜７００ｓ＋３９９.综合（ａ），（ｂ），（ｃ），即ｎ＝ｋ＋１时也成立. 所以７｜102n - 2n mod3 成立.故（＊）得证.三、竞赛应用有了上面的结论，我们得到这样的信息：７的整除性和３的整除性相似，只是判断７的整除性要分段乘一些系数再相加. 这种新方法大大方便了计算多位数整除７的余数、含有未知数的多位数一类问题的求解，下面给出两个例题，有兴趣的读者可以试一试.１）已知一个四位数ab32（ａ，ｂ都是正整数）能被７整除，求ab的最大值和最小值.２）证明：７｜k44k3（ｋ为正整数）.这种新方法不仅可以较为简单地判断出一个具体数除以７的余数，而且在有未知数情况下能够有效列出代数式并进行讨论，符合数学的代数思想，有较大的研究空间.【参考文献】［１］谈祥柏．万古长空，一朝风流.自然杂志，２００６，２８：（２）．注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
初中数学证明方法
初中数学证明方法
初中数学证明方法包括：
1. 数学归纳法：证明某个性质在所有自然数上都成立，分为弱归纳和强归纳。
2. 反证法：假设某个性质不成立，然后推导出与已知事实不符的结论，从而推翻这个假设。
3. 直接证明法：基于公理和已知定理，逐步推导出所要证明的结论的过程。
4. 分类讨论法：将问题分成几个部分，每一个部分都可以通过其他方法证明，从而得到整个问题的证明。
5. 构造法：通过构造一个特殊的方案或例子，证明某个结论，反过来，可以通过构造反例，证明某个结论不成立。
6. 对置法：证明某个命题A与其他命题B和C互为对置命题，即AB或者AC 的真值相反，则证明A的真值。
7. 巧妙解法：还有一些奇妙而巧妙的方法，比如分圆法、压扁法等，需要在实际中不断研究和探索。
数学证明题的八种方法
常见的证明方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、类比法等。
分析法分析法是一种从结论到题设的逻辑推理方法，也就是执果索因法的证明方法。
分析法的证明路径与综合法恰恰相反。
反证法由于原命题与逆否命题等效，所以当证明原命题有困难或者无法证明时，可以考虑证明它的逆否命题，通过正确推理如果逆否命题正确或者推出与原命题题设、公理、定理等不相容的结论，从而判定结论的反面不成立，也就证明了原命题的结论是正确的。
反证法视逆否命题的题设也就是原命题的结论的反面的情况又分为两种：1）归谬法：若结论的反面只有一种情况，那么把这种情况推翻就达到证明的目的了。
2）穷举法：若结论的反面不只一种情况，则必须将所有情况都驳倒，这样才能达到证明的目的。
前三种方法也叫演绎法。
都是按照“从一般到特殊”的思维过程进行推理的。
归纳法归纳法或归纳推理，有时叫做归纳逻辑，是从个别性知识,引出一般性知识的推理,是由已知真的前提,引出可能真的结论。
它把特性或关系归结到基于对特殊的代表的有限观察的类型；或公式表达基于对反复再现的现象的模式的有限观察的规律。
归纳法有如下几类：1）不完全归纳法所谓不完全归纳法就是通过对某类事物的真子集逐个进行考察，发现它们具有某种性质，就大胆预见某类事物具有某种性质。
2）完全归纳法完全归纳法也叫枚举归纳法。
某类事物可分为有限种情况，如果通过逐个考察，各种情况都具有某种性质，则可以归纳地得出结论，某类事物均具有某种性质。
3）数学归纳法如果某类事物有可数无限多种情况，就无法逐个考察各种情况都具有某种性质。
数学归纳法是一种用递推的办法，通过“有限”解决“无限”的一种方法，它是用归纳法证明命题的巨大飞跃。
类比法它也叫“比较类推法”，类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理。
简称类推、类比。
或者由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。
其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。
初一数学证明题解题技巧总结
初一数学证明题解题技巧总结数学立体几何证明解题技巧1平行、垂直位置关系的论证的策略:(1)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
(2)利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。
(3)三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑。
2空间角的计算方法与技巧:主要步骤：一作、二证、三算;若用向量，那就是一证、二算。
(1)两条异面直线所成的角：①平移法：②补形法：③向量法：(2)直线和平面所成的角①作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算，或用向量计算。
②用公式计算.(3)二面角：①平面角的作法：(i)定义法;(ii)三垂线定理及其逆定理法;(iii)垂面法。
②平面角的计算法：(i)找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算;(ii)射影面积法;(iii)向量夹角公式.3空间距离的计算方法与技巧:(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为线面距离求解(这种情况高考不做要求)。
(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算;也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离;有时直接利用已知点求距离比较困难时，我们可以把点到平面的距离转化为直线到平面的距离，从而“转移”到另一点上去求“点到平面的距离”。
求直线与平面的距离及平面与平面的距离一般均转化为点到平面的距离来求解。
4熟记一些常用的小结论诸如：正四面体的体积公式是;面积射影公式;“立平斜关系式”;最小角定理。
弄清楚棱锥的顶点在底面的射影为底面的内心、外心、垂心的条件，这可能是快速解答某些问题的前提。
初中常见数学模型几何和证明方法
初中常见数学模型几何和证明方法初中数学中的几何和证明方法是学习数学的重要内容之一。
通过几何学习，学生可以掌握基本的几何概念、性质和定理，进而培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
而证明方法则是通过推理和论证的方式验证和证明数学命题的正确性。
下面将对初中常见的几何模型和证明方法进行介绍。
一、几何模型1. 点、线、面：几何学的基本要素是点、线和面。
点是没有大小和形状的，用来表示位置；线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度；面是由无数个线组成的，它有宽度和厚度。
2. 直线和线段：直线是由无数个点组成的，它没有起点和终点；线段是直线的一部分，有起点和终点。
3. 角：角是由两条射线共同起点组成的，可以用度数来表示。
4. 三角形：三角形是由三条线段组成的，它有三个顶点、三条边和三个角。
5. 直角三角形：直角三角形是一个角为90度的三角形，其中的两条边相互垂直。
6. 平行四边形：平行四边形是四边形的一种，它的对边是平行的。
7. 圆：圆是由一个固定点到平面上所有到该点距离相等的点组成的图形。
以上是初中常见的几何模型，通过对这些模型的学习，可以帮助学生理解几何概念和性质，为后续的学习打下基础。
二、证明方法1. 直接证明法：直接证明法是通过一系列逻辑推理，从已知条件出发，推导出结论的过程。
这种证明方法通常可以通过图形、等式等形式来进行。
2. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
3. 数学归纳法：数学归纳法是通过证明当命题对于某个特定的数成立时，对于下一个数也成立，进而可以推导出对于所有数都成立的结论。
这种证明方法常用于证明与自然数相关的命题。
4. 反证法：反证法是通过假设所要证明的命题不成立，然后通过逻辑推理，推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
5. 用反证法证明：用反证法证明是指通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出一个与已知条件矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
2022考研数学：不等式证明的7种方法总结
不等式证明的7种方法总结
1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;
2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;
3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;
4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。
把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;
6. 用柯西中值定理证明不等式;
7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。
数学的证明方法有哪些
数学的证明方法有哪些
数学的证明方法有以下几种：
1. 直接证明法：通过利用已知的前提条件和逻辑推理方法，从而得出结论。
2. 间接证明法：通过假设命题的否定形式为真，再推导出矛盾，从而得出结论。
3. 数学归纳法：通过证明当命题对于某个整数成立时，它对于下一个整数也成立，从而推导出结论。
4. 反证法：通过假设命题的否定形式为真，然后推导出矛盾的结论，从而得出结论。
5. 构造法：通过构造出满足条件的对象或函数，从而证明命题的成立。
6. 对偶法：通过将原命题的所有元素、运算和关系互换，从而得到一个等价的命题，从而证明原命题的成立。
7. 法则证明：通过运用一些特定的数学规则或定理，将要证明的命题与已知的规则和定理联系起来，从而得出结论。
以上是数学中常见的证明方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在具体证明
时，常常需要综合运用多种方法来完成证明过程。
勾股定理证明(7种方法)
在多种「无字证明」中，我最喜欢的有两个。图七是其中之一。做法是将一条垂直线和一条水 平线，将较大直角边的正方形边的正方形填入 斜边正方形之中，便可完成定理的证明。
事实上，以类似的「拼图」方式所做的证明非常之多，但在这裏就未有打算将它们一一尽录了。
另一个「无字证明」，可以算是最巧妙和最简单的，方法如下：
(a) (b)
图十
证明六
图十一
图十一中， 我们将中间的直角三角形 ABC 以 CD 分成两部分，其中 Ð C 为直角，D 位於 AB 之上并且 CD ^ AB。设 a = CB，b = AC，c = AB，x = BD，y = AD。留意图中的三个三角形都 是互相相似的，并且 D DBC ~ D CBA ~ D DCA，所以
2007-10-14 15:08 回复 221.223.96.* 2楼 又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生 都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等 问题。 证明四
由此得知勾股定理成立。
证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转， 拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：
图三
由面积计算可得 c2 = 4(1/2 ab) + (b - a)2 展开得 = 2ab + b2 - 2ab + a2 化简得 c2 = a2 + b2（定理得证） 图三的另一个重要意义是，这证明最先是由一个中国人提出的！据记载，这是出自三国时代（即 约公元 3 世纪的时候）吴国的赵爽。赵爽为《周髀算经》作注释时，在书中加入了一幅他称为 「勾股圆方图」（或「弦图」）的插图，亦即是上面图三的图形了。 证明三
勾股定理的7种证明方法
勾股定理的7种证明方法
嘿，咱今儿就来唠唠这勾股定理的 7 种证明方法呀！你说这勾股定理，那可真是数学里的大宝贝呀！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门呢！
先来说说第一种证明方法吧，就像是搭积木一样，把一些图形巧妙地组合在一起，然后“哇”，勾股定理就出现啦！是不是很神奇？
第二种呢，就好比是走迷宫，沿着特定的路径一走，嘿，就找到了勾股定理的真相。
第三种方法呀，像是在玩拼图游戏，把不同的部分拼到一起，勾股定理就明明白白地展现在眼前啦。
第四种证明，那感觉就像是一场奇妙的魔术表演，变着变着，勾股定理就神奇地被证明出来了。
第五种呢，如同在解一道复杂的谜题，一步一步地推理，最后恍然大悟，哦，原来这就是勾股定理呀！
第六种方法，就好像是挖掘宝藏，一点点地挖掘，最后找到了勾股定理这个大宝藏。
第七种呀，类似在编织一张美丽的网，把各种线索交织在一起，勾股定理就稳稳地呈现在那里啦。
你想想看，这七种证明方法，不就像是七把不同的钥匙，都能打开
勾股定理这扇神秘的大门嘛！每种方法都有它独特的魅力和趣味，让
人在探索的过程中感受到数学的奇妙和乐趣。
这可不是一般的厉害呀！难道你不想去好好研究研究这七种证明方法，亲自去体验一下那种解
开谜题的快乐吗？别犹豫啦，赶紧行动起来吧，去和勾股定理来一场
奇妙的邂逅吧！。
初中数学知识归纳数学证明的典型题型与解法
初中数学知识归纳数学证明的典型题型与解法初中数学知识归纳：数学证明的典型题型与解法数学证明是数学学科中的重要内容之一，它既是培养学生逻辑思维能力的重要手段，也是训练学生分析问题和解决问题的有效方法。
在初中数学中，也有许多典型的证明题型，通过归纳总结这些题型及其解法，不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
一、综合运用性质证明在数学证明中，综合运用性质证明是一种常见的证明方式。
例如，证明两个平行线之间的夹角相等、同位角相等等问题，就可以通过综合运用平行线性质和数学基本定理进行证明。
以证明两个平行线之间的夹角相等为例，首先要了解平行线的特点，即两条平行线之间的对应角相等。
根据这一性质，我们可以得出结论：当一条直线与两条平行线相交时，所成的对应角相等。
通过这样的分析，我们可以得到证明的整体思路，然后逐步推导，运用相关定理和性质进行论证，最终完成证明过程。
二、数学归纳法证明数学归纳法是一种通过对特定情况进行证明，从而推断出所有情况成立的证明方法。
在初中数学中，有许多典型的题型适合使用数学归纳法进行证明。
以证明n(n+1)/2是前n项和的公式为例，我们可以使用数学归纳法进行证明。
首先，我们验证当n=1时，公式成立；接着，假设当n=k 时，公式也成立；最后，通过数学归纳法的假设步骤，得出当n=k+1时，公式仍成立。
通过这样的证明过程，我们可以得出结论：对于任意正整数n，n(n+1)/2都是前n项和的公式。
三、反证法证明反证法是一种常用的证明方法，它通过否定某个结论的逆否命题，然后设法从中推导出矛盾，从而证明原来的结论是正确的。
以证明平方根2是无理数为例，我们可以使用反证法进行证明。
首先，假设平方根2是有理数，即可以表示为分数a/b的形式，其中a和b为整数，且a与b互素。
然后，利用平方根2的定义以及有理数的性质，推导出a和b必定有公共因子2。
这与a与b互素的前提矛盾，因此假设错误。
求数学公式的11种推导方法
求数学公式的11种推导方法在数学中，推导公式是一种常见的方法，它可以帮助我们理解数学原理和解决问题。
本文将介绍11种常用的数学公式推导方法。
1. 直接证明法直接证明法是最常见的推导方法之一。
它通过从已知的前提出发，逐步推导出所要证明的结论。
这种方法通常是通过逻辑推理和数学运算来完成的。
2. 反证法反证法是一种通过假设某个结论为假，然后导出逻辑矛盾的方法来推导公式。
如果我们能够证明该假设是错误的，那么所要证明的结论就是对的。
3. 数学归纳法数学归纳法是一种证明递归定义上成立的方法。
它通常分为两个步骤：基础情况的证明和归纳步骤的证明。
4. 同余模运算同余模运算是一种推导数学公式的方法，它基于模运算的性质进行推导。
这种方法通常用于证明数论中的一些定理和公式。
5. 极限和极限运算极限和极限运算是一种通常用于推导数学公式的方法。
通过计算函数的极限，我们可以推导出一些公式，例如泰勒展开式和级数求和公式。
6. 向量分析向量分析是一种用于推导数学公式的方法，它基于向量运算和坐标系的概念。
通过对向量进行运算和变换，我们可以推导出许多与几何和物理相关的公式。
7. 矩阵运算矩阵运算是一种用于推导数学公式的方法，它基于矩阵的性质和运算规则。
通过对矩阵进行运算和变换，我们可以推导出许多与线性代数和线性方程组相关的公式。
8. 微积分微积分是一种用于推导数学公式的方法，它基于导数和积分的概念。
通过对函数进行微分和积分，我们可以推导出许多与曲线，曲面和体积相关的公式。
9. 概率论和统计学推导概率论和统计学是一种用于推导数学公式的方法，它基于概率和统计的概念。
通过对随机变量和概率分布进行分析，我们可以推导出许多与概率和随机过程相关的公式。
10. 微分方程推导微分方程是一种用于推导数学公式的方法，它基于微分方程的性质和解法。
通过对微分方程进行求解和变换，我们可以推导出许多与动力学和振动系统相关的公式。
11. 几何推导几何推导是一种用于推导数学公式的方法，它基于几何的性质和定理。
初中证明题技巧(精选7篇)
初中证明题技巧（精选7篇）初中证明题技巧第1篇两全等三角形的对应角相等。
同一三角形中等边对等角。
等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
同角(或等角)的余角(或补角)相等。
同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
相似三角形的对应角相等。
圆的内接四边形的外角等于内对角。
等于同一角的两个角相等初中证明题技巧第2篇教学目标：1、知识目标：结合生活实际，理解多一些、多得多、少一些、少得多的含义;能在具体情境中把握数的相对大小关系;发展学生的数感。
2、情感、能力目标：培养学生合作交流、勇于发表意见等良好的学习习惯;渗透估计的思想，发展估计意识。
教学重难点：理解多一些、多得多、少一些、少得多的含义;在具体情境中把握数的相对大小关系。
教学流程：一、谈话激趣，铺堑导入。
1、谈话激趣。
师：小朋友，你们去过养殖场吗?今天，小灰兔朋友要带我们去参观动物王国里的养殖场，你们想去吗?导语：好了!现在我们可以去参观动物王国里的养殖场了，大家请看(师出示课件)。
【设计意图：本节课通过创设“参观动物王国里的养殖场”，旨在激发学生的兴趣。
但，部分学生对“多得多、多一些、少得多、少一些”理解困难，再加上教材的插图不够直观形象，不能让学生一目了然：“X比X 多得多，X比X多一些”。
因此，在这里，通过引导学生解决小灰兔带来的问题，让学生直观形象的感受“多得多……”的含义，让数学模型经历从直观到抽象的过渡，为新知的探索起到铺堑的作用。
】二、引导交流，理解新知。
(一)观察。
师：这就是动物王国里的养殖场，多美丽呀!大家仔细瞧瞧，图上有什么?跟同桌的同学说一说。
(二)反馈。
学生自由发言，师根据学生的发言并板书：鸡85只鸭42只鹅34只(三)说一说。
师：请你们用刚才的“多得多、多一些、少得多、少一些”在小组里说一说，谁多谁少?(师巡视指导，帮助个别学习困难的小组。
七年级数学多种方法证明勾股定理
多种方法证明勾股定理【证法1】（课本上的证明方法）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等。
即，整理得 。
【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上。
∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF 。
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º。
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º。
222c b a =+abc ab b a 214214222⨯+=⨯++ab 21∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2。
∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA 。
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º。
又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º。
∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于.∴ 。
∴ 。
【证法3】（三国时期赵爽的证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB 。
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2。
初中数学几何证明的口诀
初中数学几何证明的口诀数学几何证明是中学数学学习中的重要一环，通过证明可以深入理解几何定理和推理方法，并培养学生的逻辑思维和创造力。
然而，对于初学者来说，证明过程可能会显得复杂而困难。
为了帮助初中生更好地理解和掌握几何证明，下面将提供几个口诀，帮助他们记忆和应用。
一、相似三角形的证明在几何证明中，相似三角形是经常出现的题型。
相似三角形有一些重要的证明方法：1. 边比例法：两个三角形的对应边比例相等，则两个三角形相似。
2. 角对应法：两个三角形的对应角相等，则两个三角形相似。
3. 边角对应法：两个三角形有一个对应边比例相等，另外两个对应角相等，则两个三角形相似。
二、垂直性的证明证明两条线段或两条直线垂直的方法有：1. 互余角法：两条直线相交，且相交角互为余角，则两条直线垂直。
2. 垂直角法：两条直线相交，且形成的四个角中，两个相邻角为垂直角，则两条直线垂直。
三、平行性的证明证明两条线段或两条直线平行的方法有：1. 对顶角法：两条直线被一条直线截断，截断直线上的对顶角相等，则两条直线平行。
2. 平行线夹角法：两条直线被一条直线截断，截断直线上的内错角相等，则两条直线平行。
四、三角形形状与大小的证明证明三角形形状和大小的方法有：1. 等腰三角形证明：两条边相等的三角形，其对应的两个角也相等。
2. 直角三角形证明：一个角为直角的三角形，其余两个角为锐角或钝角。
3. 等边三角形证明：三条边相等的三角形，其对应的三个角也相等。
以上是初中数学几何证明中常见的口诀，通过记忆这些口诀，学生可以更好地理解和应用几何证明的方法。
当然，这些口诀只是一个指导，要想在实际学习中获得更好的成果，还需要多做几何证明的练习，不断提升自己的证明能力与思维能力。
祝愿大家在数学学习中取得好成绩！。
初中数学常用的10种解题方法
初中数学常用的10种解题方法初中数学常用的10种解题方法数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。
下面和小编一起来看初中数学常用的10种解题方法，希望有所帮助！1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
初中数学证明题定理方法归纳与常见题型解题技巧
初中数学证明题定理方法归纳与常见题型解题技巧证明题的思路很多几何证明题的思路往往是填加辅助线，分析已知、求证与图形，探索证明。
对于证明题，有三种思考方式：(1)正向思维。
对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。
(2)逆向思维。
顾名思义，就是从相反的方向思考问题。
在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显。
同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。
例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。
(3)正逆结合。
对于从结论很难分析出思路的题目，可以结合结论和已知条件认真的分析。
初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。
给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。
正逆结合，战无不胜。
证明题要用到哪些原理？要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
一、证明两线段相等2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
勾股定理证明-初中数学常见的模型方法专题
勾股定理证明方法1 商高证明法证明：∵222()2S a b a b ab =+=++大正方形，4S S S =+大正方形直角三角形小正方形2142ab c =⨯+22c ab =+，∴22222a b ab c ab ++=+，∴222+=a b c ．方法2 赵爽弦图2、以a 、b 为直角边()b a >，以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．∵Rt Rt DAH ABE ≌，∴HDA EAB ∠=∠．∵90HAD HAD ∠+∠=︒，∴90EAB HAD ∠+∠=︒，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于2c ．∵EF FG GH HE b a ====-，90HEF ∠=︒．∴EFGH 是一个边长为b a -的正方形，它的面积等于2()b a -．∴2214()2ab b a c ⨯+-=． ∴222+=a b c ．方法3 刘徽证明方法——青朱出入图3、勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方才幂．开方除之，即弦也．——《九章算术注》222+=a b c方法4 加菲尔德方法——梯形面积法4、以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上．∵Rt Rt EAD CBE ≌，∴ADE BEC ∠=∠．∵90AED ADE ∠+∠=︒，∴90AED BEC ∠+∠=︒．∴1809090DEC ∠=︒-︒=︒． ∴DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于212c ． 又∵90DAE ∠=︒，90EBC ∠=︒，∴//AD BC ．∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于21()2a b +． ∴22111()2222a b ab c +=⨯+．∴222+=a b c ．方法55.张景中证明方法1——对角线垂直的四边形CEBD ABE ADC S S S =+222111222c a b =+ 222c a b =+方法66.张景中证明方法2——悬挂模型矩形DECF ADE BFD ≌()2a b CE CF +== ABC ADB S S S =+正221112()4222a b ab c ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭222+=a b c方法7欧几里得证明7、做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD ．过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L ．∵AF AC =，AB AD =，FAB GAD ∠=∠，∴FAB GAD ≌． ∵FAB 的面积等于212a ，GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴矩形ADLM 的面积2a =．同理可证，矩形MLEB 的面积2b =．∵正方形ADEB 的面积=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积∴222c a b =+，即222+=a b c ．注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ222::a b c =方法8杨作玫证明8、做两个全等直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、()b b a >，斜边长为c ．再作一个边长为c 的正方形．把它们拼成如图所示的多边形．过A 作AF AC ⊥，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R ．过B 作BP AF ⊥，垂足为P ．过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 与H ．∵90BAD ∠=︒，90PAC ∠=︒，∴DAH BAC ∠=∠．又∵90∠=︒DHA ，90BCA ∠=︒，AD AB c ==，∴Rt Rt DHA BCA ≌．∴DH BC a ==，AH AC b ==．由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以Rt Rt APB BCA ≌．即PB CA b ==，AP a =，从而PH b a =-．∵Rt Rt DGT BCA ≌，Rt Rt DHA BCA ≌，∴Rt Rt DGT DHA ≌，∴DH DG a ==，GDT HDA ∠=∠．有∵90DGT ∠=︒，90DHF ∠=︒方法9陈杰证明9、设直角三角形两直角边的长分别为a 、()b b a >，斜边的成为c ，做两个边长分别为a 、b 的正方形()b a >，把它们拼成如图所示的形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．在EH b =上截取ED a =，连结DA 、DC ，则AD c =．∵EM EH HM b a =+=+，ED a =，∴()DM EM ED b a a b =-=+-=．又∵90CMD ∠=︒，CM a =，90AED ∠=︒，AE b =∴Rt Rt AED DMC ≌．∴EAD MDC ∠=∠，DC AD c ==．∵180ADE ADC MDC ∠+∠+∠=︒，90ADE MDC ADE EAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒．∴作//AB DC ，//CB DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形．∵90BAF FAD DAE FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴BAF DAE ∠=∠．连结FB ，在ABF 和ADE 中，∵AB AD c ==，AE AF b ==，BAF DAE ∠=∠，∴ABF ADE △≌△．∴90AFB AED ∠=∠=︒，==BF DE a ．∴点B 、F 、G 、H 在一条直线上．在Rt ABF 和Rt BCG 中，∵AB BC c ==，BF CG a ==，∴Rt Rt ABF BCG ≌．∵22345c S S S S =+++，2126b S S S =++，237a S S =+， 15467S S S S S ===+， ∴7223126a b S S S S S +=++++ ()23176S S S S S =++++ 2345S S S S =+++ 2c =∴222+=a b c ．方法10李锐证明10、设直角三角形两直角边长分别为a 、()b b a >，斜边的长为c ．做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．∵90TBE ABH ∠=∠=︒，∴TBH ABE ∠=∠．又∵90BTH BEA ∠=∠=︒，BT BE b ==，∴Rt Rt HBT ABE ≌．∴HT AE a ==．∴GH GT HT b a =-=-．又∵90GHF BHT ∠+∠=︒，90DBC BHT TBH BHT ∠+∠=∠+∠=︒，∴GHF DBC ∠=∠．∵DB EB ED b a =-=-，90HGF BDC ∠=∠=︒，∴Rt Rt HGF BDC ≌．即27S S =．过Q 作QM AG ⊥，垂足是M ．由90BAQ BEA ∠=∠=︒，可知ABE QAM ∠=∠，而AB AQ c ==，∴Rt Rt ABE QAM ≌．又Rt Rt HBT ABE ≌．所以Rt Rt ABE QAM ≌．即85S S =．由Rt Rt ABE QAM ≌，有得QM AE a ==，AQM BAE ∠=∠．∵90AQM FQM ∠+∠=︒，90BAE CAR ∠+∠=︒，AQM BAE ∠=∠，∴FQM CAR ∠=∠．又∵90QMF ARC ∠=∠=︒，QM AR a ==，∴Rt Rt QMF ARC ≌．即46S S =．∵212345c S S S S S =++++，216a S S =+，2378b S S S =++，又∵27S S =，85S S =，46S S =，∴2216378a b S S S S S +=++++14325S S S S S =++++2c =，即222+=a b c ．【拓展】1. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，求证：四边形EHGF 是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据正方形的性质证明Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，然后证明90FEH ∠=即可得到答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD BC AD ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒∵BE CH GD FA ===，∴AE BH CG FD ===，∴Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，∴EF HE GH FG ===，AFE BEH ∠=∠．∵90AEF AFE ∠+∠=，∴90AEF BEH ∠+∠=，∴90FEH ∠=，∴四边形EHGF 是正方形．【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.2. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，此外//EQ BC ，HP//CD ，GO//DA ，FR//AB ，求证：四边形ORQP 是正方形．【答案】见解析【解析】【分析】根据已知条件得到四边形AFRE 、四边形EBHQ 、四边形HCGP 、四边形FOGD 均为长方形，在根据三角形全等证明即可；【详解】∵//EQ BC ，HP//CD ，GO//AD ，FR//AB ，且90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形AFRE 、四边形EBHQ 、四边形HCGP 、四边形FOGD 均为长方形， ∴AEF RFE BHE QEH CGH PHG DFG OGF ≌≌≌≌≌≌≌， ∴FR EQ HP GO ===，ER HQ GP FO ===，∴OR RQ QP PO ===，且18090POR FOG ∠=︒-∠=︒，∴四边形ORQP 为正方形． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定，结合三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质证明是解题的关键．3. 如图所示，在正方形ABCD 的四边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取点E ，H ，G ，F ，使得BE CH GD AF ===，此外//EQ BC ，HP//CD ，GO//DA ，FR//AB ．求证：（1）4AEF ABCD EHGF S S S =+正方形正方形； （2）4FRE EHGF ORQPS S S =+正方形正方形； （3）ABCD EHGF EHGF ORQP S S S S -=-正方形正方形正方形正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，然后证明90FEH ∠=即可得到答案；（2）先证明AEF RFE △≌△，然后同理可以得到RFE QEH PHG OGF △≌△≌△≌△，然后证明四边形ORQP 是正方形，即可得到结论；（3）根据（1）（2）的结论求解即可.【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AB CD BC AD ===，90A B C D ∠=∠=∠=∠=∵BE CH GD FA ===，∴AE BH CG FD ===，∴Rt AEF Rt BHE Rt CGH Rt DFG △≌△≌△≌△，∴EF HE GH FG ===，AFE BEH ∠=∠，AEF BHE CGH DFGS S S S ==△△△△= ∵90AEF AFE ∠+∠=，∴90AEF BEH ∠+∠=，∴90FEH ∠=，∴四边形EHGF 是正方形．∴4AEF ABCD EHGF S S S =+正方形正方形（2）∵四边形EHGF 是正方形∴EH HG GF FE ===，90FEH EHG HGF GFE ∠=∠=∠=∠=∵//EQ BC ， FR//AB∴四边形AERF 是平行四边形∵∠A =90°∴四边形AERF 是矩形∴AEF RFE △≌△∴90A=ERF=∠∠同理可以得到BHE QEH △≌△，CGH PHG △≌△，DFG OGF △≌△ ∴RFE QEH PHG OGF △≌△≌△≌△∴RFE QEH PHG OGFS S S S △△△△===，RE QH PG OE ===，RF QE PH OG ===∴OR RQ QP PO === ∵90A=ERF=∠∠ ∴90ORQ=∠∴四边形ORQP 是正方形 ∴4FREEHGF ORQPS S S=+正方形正方形（3）∵4AEFABCDEHGFSSS-=△正方形正方形，4FRE EHGF ORQP =S S S -正方形正方形△， 又∴AEF RFE △≌△∴AEF RFES S △△= ∴ABCD EHGF EHGF ORQP S S S S -=-正方形正方形正方形正方形【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.例题4. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A. 9B. 6C. 4D. 3【答案】D 【解析】【分析】已知ab∴8可求出四个三角形的面积，用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积，根据面积利用算术平方根求小正方形的边长. 【详解】a b -由题意可知：中间小正方形的边长为：，11ab 8422=⨯=每一个直角三角形的面积为：，214ab a b 252（），∴⨯+-=2a b 25169∴-=-=（）， a b 3∴-=，故选D.【点睛】本题考查勾股定理的推导∴有较多变形题，解题的关键是找出图形间面积关系，同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．变式15. 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）A. 8B. 6C. 4D. 5【答案】B【解析】【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a∴b=2，解得a∴b的值代入即可． 解：∵AB=10∴EF=2∴∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4∴∴四个直角三角形面积和为100∴4=96，设AE为a∴DE为b，即4×ab=96∴∴2ab=96∴a2+b2=100∴∴∴a+b∴2=a2+b2+2ab=100+96=196∴∴a+b=14∴∵a∴b=2，解得：a=8∴b=6∴∴AE=8∴DE=6∴∴AH=8∴2=6∴故选B∴变式26. 如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b 表示，进而两式相减即可求出ab 的值．【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：2217a b +=，又小正方形的面积为2()5a b -=即2225a b ab +-= ∴1725ab -= ∴ab =6 故选：B ．【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a 、b 表示大小正方形的面积．巩固练习7. 勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A ， 利用以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B ，利用以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积推导勾股定理可判断C ，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D ．【详解】解: A 、两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故()2211112222ab ab c a b ++=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积，故()22142ab c a b ⨯+=+，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积，()22142a ab bc ⨯++=，整理得： 222a b c +=，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、四个小图形面积和等于大正方形面积，()2222ab a b a b ++=+ ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若12321S S S ++=，则S 2的值是（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】C 【解析】【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．【详解】解：∵图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，∴CG ＝NG ，CF ＝DG ＝NF ， ∴S 1＝（CG +DG ）2 ＝CG 2+DG 2+2CG •DG ＝GF 2+2CG •DG ， S 2＝GF 2，S 3＝（NG ﹣NF ）2＝NG 2+NF 2﹣2NG •NF ，∵S 1+S 2+S 3＝21＝GF 2+2CG •DG +GF 2+NG 2+NF 2﹣2NG •NF ＝3GF 2， ∴S 2的值是：7． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S 1+S 2+S 3＝21＝GF 2+2CG •DG +GF 2+NG 2+NF 2﹣2NG •NF ＝3GF 2是解决问题的关键． 9. 如图，在ABC 中，90A ∠=︒，则三个半圆面积S 1，S 2，S 3的关系为___________．【答案】123S S S =+ 【解析】【分析】分别用AB 、BC 和AC 表示出1S 、2S 、3S ，然后根据222BC AB AC =+即可得出1S 、2S 、3S 的关系．【详解】解：在ABC ∆中，90A ∠=︒，222BC AB AC ∴=+，22311()228S AC AC ππ==，22211()228S AB AB ππ==，22111()228S BC BC ππ==， 222321()88SS AC AB BC S ππ∴+=+==，即123S S S =+． 故答案为：123S S S =+．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．10. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b a >，点 E 在线段AC 上，点B D 、在边AC 两侧，试证明： 222+=a b c ．【答案】见解析． 【解析】【分析】首先连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AEb a ，根据Rt ABCRt DAE ，易证90DAB ︒∠=，再根据 ADEABCADFBDFCES SS S四边形四边形， ADBDFBADFBSSS∆∆=+四边形，两者相等，整理即可得证． 【详解】证明：连结BD ，作DF BC ⊥延长线于F ，则AEb aADEABCADFBDFCESSSS四边形四边形1122ab ab ba b2ab b ab =+-2b =Rt ABC Rt DAE ∆≅∆ABADcADE BAC ∴∠=∠90ADE DAE90BACDAE即90DAB ︒∠=， ∴AD AB ⊥ ∴A D BD F BA D F BSSS∆∆=+四边形21122c a bba222111222c b a =+- 即有：2222111222b c b a ∴222+=a b c【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB 的面积是解本题的关键．11. （1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：222C a b =+．【答案】（1）222()2a b a ab b +=++；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答； （2）利用面积法证明即可得到结论． 【详解】（1）222()2a b a ab b +=++；（2）如图，∴Rt △DEC ≌Rt △EAB ， ∴∠DEC =∠EAB ，DE=AE ， ∴90EAB AEB ∠+∠=︒， ∴90DEC AEB ∠+∠=︒， ∴△AED 为等腰直角三角形， ∴Rt ABERt DCERt DEAABCDSSSS=++梯形，∴21111()()2222b a a b ab abc ++=++，即22()2a b ab c +=+， ∴222()2a b a ab b +=++， ∴22222a ab b ab c ++=+， ∴222c a b =+．【点睛】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．培优12. 阅读理解： 【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为 ；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ．【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．【答案】【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）403；【迁移运用】a 2+b 2﹣ab＝c 2，证明见解析 【解析】【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积=小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可； （3）可设AC =x ，根据勾股定理列出方程可求x ，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，从而用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，得出答案即可．迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【详解】解：【初步运用】（1）由题意：b =2a ，c =5a ， ∴小正方形面积：大正方形面积=5a 2：9a 2=5：9， 故答案为：5：9；（2）空白部分的面积为=52﹣2×12×4×6=28，故答案为：28； （3）24÷4=6，设AC =x ，依题意有：（x +3）2+32=（6﹣x ）2， 解得x =1，∴面积为：12×（3+1）×3×4=12×4×3×4 =24，故该飞镖状图案的面积是24；（4）将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=40，∴S 1=8y +x ，S 2=4y +x ，S 3=x ， ∴S 1+S 2+S 3=3x +12y =40，∴x+4y=403，∴S2=x+4y=403，故答案为：403；[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab=c2．理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，可得：12（a+b）×k（a+b）=3×12×b×ka+12×c×ck，∴（a+b）2=3ab+c2，∴a2+b2﹣ab=c2．【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．21。
数学常用证明方法
数学常用证明方法
数学常用的证明方法有以下几种：
1. 直接证明法：根据已知条件，通过推理和逻辑推导，直接得出结论。
2. 反证法：假设所要证明的结论不成立，然后通过逐步推理得出矛盾，从而推出所假设的结论是错误的。
3. 归纳法：首先证明当n=1时结论成立，然后假设当n=k时结论成立，再通过数学归纳法证明当n=k+1时结论也成立。
4. 分类讨论法：根据问题的不同情况，进行分类讨论，针对每种情况分别进行证明。
5. 数学归纳法：假设给出了成立的条件k和n-1，然后通过对n进行推广得到结论。
6. 递推法：通过利用已知条件，借助递推关系式，逐步推导出所要证明的结论。
7. 构造法：通过构造出满足问题要求的具体实例，来证明结论的正确性。
8. 双重否定法：通过否定的否定来证明结论的正确性。
9. 三角推导法：利用三角函数之间的关系和三角恒等式，进行推导和证明。
10. 数学分析法：利用数学分析的工具和方法，如连续性、可微性、导数等进行证明。
以上是常用的数学证明方法，不同问题和需要可能需要采用不同的方法。
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数学证明中的几种常用方法
【本课目标】
会用演绎推理进行简单的推理,会用分析法、综合法、反证法和数学归纳法证明简单的命题。
【预习导引】 1、演绎推理是由
到 的推理。
“三段论”推理的一般模式包括
；综合法是从 出发，以已知的
为依据，逐步
，直到推出要证明的结论为止。
而分析法是从问题的
出发，追溯导致结论成立的条件，即 。
反证法的步骤为。
数学归纳法是证明命题00()(,,)P n n n n n N +≥∈的一种方法，其证明步骤为。
2、某同学准备用反证法证明如下一个问题：“已知,,a b c 是互不相等的非零实数，求证：三个方程2
20ax bx c ++=，2
20bx cx a ++=，2
20cx ax b ++=至少有一个方程有两个相异实根”，那么反设是。
3、函数
()f x =
的最大值_________________________. 4、若,(0,)x y ∀∈+∞，恒有
2222x y x y
a x y x y x y x y
+≤≤+++++，则常数______a =.
5、在平面上，若n 条直线将平面分成的区域最多为()f n 块，则(1)()f n f n +=+。
6、已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥ 具有性质P ；对任意的
(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与
i
j
a a 两数中至少有一个属于A .则数集 {}1,3,4与{}1,2,3,6具有性质P 的集合为________________________.
【三基探讨】
【典型练讲】
例1、已知0a b >>
，试指出2
a b
+2()8a b a -，2()8a b b -的大小关系，并给出证明。
例2、已知二次函数2
()f x ax bx c =++，
（1） 若(1)0f -=，试判断函数()f x 零点个数。
（2）若12,x x R ∀∈，且12x x <，12()()f x f x ≠，求证：012(,)x x x ∃∈，使
0121
()[()()]2
f x f x f x
=
+成立.
例3、给定实数m ，且1m ≠，设1()1x f x mx -=
-，x R ∈且1
x m
≠， （1）求证：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴；
（2）若1()n n a f a +=，问是否存实数m ，使得数列{}n a 成为等差数列？若存在，求n a ；若不存在，请说明理由。
例4、已知数列{}n a 满足11
2
a =，111n n a a +=+，（1）指出数列{}n a 的单调性，并证明；
（2）求证: 1
112||()65
n n n a a -+-≤
【学后反思】。