成比例线段(一)汇总
4.1 成比例线段(一)
3 5
，
3.已知a、b、c、d是成比例线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
x 4、如果2 x 5 y, 那么 y
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是 斜边AB上的高，且AB=13，BC=12．求CD： AB的值。
6、已知线段x,y
x 5y 1 x (1)当 时, 求 的值。 x y 2 y
CD n
m 表示成比值 n k,那么
AB m .其中，线段 AB,CD分别叫做这个线段比的前项、
，或
AB k 两条线段的比实际上就是两个数的 AB=k×CD. CD
例： 五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形
状相同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:A’B’=5 : 3，
5 3
注意：成比例的四条线段是有顺序的
练习二
• 若b,c, • A , b d
b d • C , c a
B D
a b , c d b c , a d
练习三
判断下列四条线段是否成比例
1.a 2, b 5, c 15, d 2 3; 2.a 2, b 3, c 2, d 3; 3.a 4, b 6, c 5, d 10; 4.a 12, b 8, c 15, d 10. 答: 1.a,b,c,d不成比例,但a,d,b,c成比例. 2.不成比例. 3.不成比例. 4. a,b,c,d成比例.
就是线段AB与线段A‘B’的比。
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
练习一
（1） ： 叫比例尺； （2）若实际距离是图上距离的600 000倍，这 幅图的比例尺是 ． （3）若实际距离是120公里，比例尺是 1:2000000，则图上距离为 （ ）
3.1成比例线段
3.1成比例线段1.两条线段的比的概念两条线段的比的定义：选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD=m ∶n ，或写成CD AB =nm，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意：在量线段时要选用同一个长度单位. 2.求两条线段的比时要注意的问题（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 成比例线段：成比例线段的定义：四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcba =,那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.比例中项：若cbb a =则把b 叫做a ，c 的比例中项。
线段的比和比例线段的区别和联系：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系.若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段.线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.例1：下列线段能成比例线段的是（ ）A. 1cm,2cm,3cm,4cmB. 1cm,2cm,22cm,2cmC. 2cm,5cm,3cm,1cmD. 2cm,5cm,3cm,4cm a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝55． 例2．判断下列线段是否是成比例线段：（1）a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3m ，d ＝6m ； （2）a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2.4．2.比例性质：⑴基本性质：dcb a =⇒ad=bc. ⑵反比性质：d cb a=⇒cd a b = ⑶更比性质：d cb a=⇒d b c a =或a c b d = ⑷合比性质：d c ba=⇒b b a +=d dc + ⑸分比性质 ：d c b a =⇒ddc b b a -=-⑹合分比性质：d cb a =⇒d c d c b a b a -+=-+ ⑺等比性质：如果d c b a ==…=n m （b+d+…+n ≠0）,那么ban d b m c a =++++++方法等比设k典型例题： 例1：已知d cb a =，则下列等式中不成立的是（ ） A 、cd a b = B 、ddc b b a -=- C 、d c c b a a +=+ D 、b a c b d a =++ 例2：已知754z y x ==则=++zy yx 练习：已知53=y x ，则在①41=+-y x y x ，②5353=++y x ，③1332=+y x x ，④38=+x y x ，这四个式子中正确的有几个？例3：已知k bac a c b c b a =+=+=+,则直线y=kx+k 必经过第 象限。
(1).23.1成比例线段(1)成比例线段的概念
ac
ad bc
bd
3、判断四条线段是否成比例的步骤：
一排二算三判断
2 5
25
_5__
排序： a、c、b、d
b d
2 5
15 3
25
__5__
a b cd
∴这四条线段是成比例线段。
（3）a=0.5m,b=25cm,c=0.2m,d=10cm
【解】∵a=0.5m=50cm,c=0.2m=20cm
a b
50 25
2,
c d
20 10
2
a b
c d
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
∴线段a、b、c、d是成比例线段。
注意：
比的前、后项 单位统一
（2）a=0.8, b=3,
【解】(2) c 0.64 0.8,
a 0.8
c d ab
c=0.64, d=2.4.
d 2.4 0.8 b3
∴这四条线段是成比例线段。
（3）a=1cm, b=2cm, c=2cm, d=4cm
【解】
为__3_x_，__5___.
在小学学过的比例中，我们有2:3=4:6，便可得 2×__6__=3×___4__.
这就是小学的四个数成比例的性质： _两_内__项__之__积__等_于__两__外__项__之_积__.
其实，在成 比例的线段 中也有同样 的性质
知识概括
知识点2 比例的基本性质
如果a c ，那么 ad bc
bd
如果 ad bc（a、b、c、d都不等于0），
那么 a c 也可表示为 bd
ac
ad bc
bd
比例式
等积式
文字叙述 两内项之积等于两外项之积
成比例的线段 黄金分割(复习整理)
成比例的线段 黄金分割一、梳理知识1、线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比。
2、比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b=c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 . 3、比例的性质(1)比例的基本性质：如果a ∶b =c ∶d ，那么 ，特别地，若a ∶b=b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若dcb a =，则 . (3)等比性质：若nm f e d c b a ==== ，且 ，则 .4、黄金分割(1)黄金分割的意义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .二、典例解析例1 （1）已知线段a=2，b=3，c=5时，若a ，b ，c ，d 四条线段成比例，则d=_______． （2）已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 .（3）在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米. 例2 比例的性质（1）若2a=3b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是________．（2）在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：4，则AP ：AB=_____，AB ：PB=_______． （3）若5：2=（3-x ）：x ，则x=_______ 【仿练】1．如果a=15cm ，b=10cm ，且b 是a 和c 的比例中项，则c=________． 2．已知（a-b ）：b=2：3，则a ：b=_______．3．在比例尺为1：2 700 000的海南地图上量得海口与三亚间的距离约为8cm ，则海口与三亚两城间的实际距离为________km例3 已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=3：5，求AB ：PB 的值．【仿练】若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB =10，23==BQ ΑQ BP AP ，求线段PQ 的长．例4 (1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zyx +的值； ②若x +y +z =6，求x 、y 、z .【仿练】已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________．(2)已知a 、b 、c 是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值．【仿练】如果k cb a dd b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，试求k 的值．(3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ac b a b c b a c c b a ++-=+-=-+，且a b c a c c b b a x ))()((+++=，求x 的值.【仿练】已知实数a ,b ,c 满足cb a b ac a c b +=+=+,求a cb +的值.例5 如图，若点P 是AB 的黄金分割点，则线段A P 、PB 、AB 满足关系式________，即AP 是________与________的比例中项.三、课堂练习1、如果53=-b b a ,那么b a =________.2、若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________.3、若753z y x ==,则zy x z y x -++-=________. 4、已知dcb c=,则下列式子中正确的是（ ） A.a ∶b =c 2∶d 2 B.a ∶d =c ∶bC.a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D.a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）5、如图，已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2,其斜边长为 45 cm ，那么这个三角形的面积是________cm 2.（ ）A.32B.16C.8D.46、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是（ ）A.14B.42C.7D.3147、如图，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是________.cm.（ ）A.72.8B.51C.36.4D.288、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a =16 cm ，b =8 cm ，c =5 cm ，d =10 cm ； （2）a =8 cm ，b =5 cm ，c =6 cm ，d =10 cm ． 9、若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21，试求a ∶b ∶c ．10、已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？四、课后作业1.等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C.2∶3D.1∶32.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =13.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 4.若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a = B.c cb d d a +=+ C.cd ba =22D.da cd ab = 5.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM =AB ∶AMB.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 6.在1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是________. 7.正方形ABCD 的一边与其对角线的比等于________. 8.若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________. 9.若53=-b b a ，则b a =________.10.若AEACAD AB =，且AB =12，AC =3，AD =5，则AE =________. 11.已知342=+x y x ，求yx.12.以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图。
相似及对应线段成比例
线段的比（一）基础知识：1．两条线段的比就是两条线段 的比.线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺A 、B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比为3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段，简称已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm课堂学习：1.两条线段的比的概念如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？巩固练习：在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?归纳与小结：1、（1）度量两条线段的必须统一（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是2. 比例线段的概念四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b =c ∶d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.【 例2】 （杭州市）已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 ．分析：这是一道多种答案的开放性创新题巩固练习1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？归纳与小结：（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 .（2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项.小结：1.两条线段的比的概念2.比例线段的概念练习：1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．5. 下列各组线段长度成比例的是（）A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝作业：1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际距离是（）A、60000米B、6000米C、600米D、60千米2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）A、2∶1B、3∶2C、1∶2D、3∶13、等边三角形的边与高的比是 _________．4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长是，角的实际是5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电线杆高等于 _________．6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学校的周长及面积.9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且AD AE AB AC =，①求AE 的长；②等式AD AE BD EC= 成立吗？10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3线段的比（二）基础 1、若x x y -＝2，则x y= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是 课堂学习：1. 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足d c b a =,那么ad =bc 吗？反过来，如果ad =bc ,那么d c b a =吗？与同伴交流. 【 例1 】（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d d c +; （2）如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？巩固练习:1、 已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴yx ；⑵x y x -；⑶x y x +. 2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（ ）A 、a cb d = B 、1111ac bd ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a b d b ±=±归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质【 例2】 （1）如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ （2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c=归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 求①222x y z xy xz yz+-++ ② ()x y +：(y+z) ③(x+y-3z)：(2x-3y+z)小结：1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.当堂检测：1、已知2925a b a b +=-，则a ：b= ；2、如果y y x + = 47，那么yx 的值是 3、若3x －4y = 0，则y y x +的值是 ；4、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________． 作业：1、如果53=-b b a ,那么b a =________． 2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .3、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm ．A ．72．8B ．51C ．36．4D ．285、已知dc b c =,则下列式子中正确的是（ ） A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶bC ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）A 、n x =y mB 、m y =x nC 、m x =n yD 、m x =yn 7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，23==BQ ΑQ BP AP ， 求线段PQ 的长．8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．35 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么ac bd bd ac 743--的值应等于（ ） A ．211- B ．1411- C ．45- D ．32- 4.4 相似多边形基础1．各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习1(附答案详解)
【解析】
【分析】
根据若点 是线段 的黄金分割点（ ），则 = 计算即可．
【详解】
当PM＞PN时，PM= MN= ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是 是解题的关键．
13．
【解析】
【分析】
如图，连接PD．由B、D关于AC对称，推出PB=PD，推出PB+PE=PD+PE，推出当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB=9，推出AE=EB=3，AD=AB=6，分别求出PB+PE的最小值，PC的长即可解决问题.
【详解】
如图，连接PD．
∵B、D关于AC对称，
∴PB＝PD，
∴PB+PE＝PD+PE，
∴当D、P、E共线时，PE+PB的值最小，
观察图象可知，当点P与A重合时，PE+PB＝9，
∴AE＝EB＝3，AD＝AB＝6，
在Rt△AED中，DE＝ ，
∴PB+PE的最小值为3 ，
∴点H的纵坐标为3 ，
∵AE∥CD，
【分析】
根据题意先计算出BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，则E点为AB的中点，则计算BD：AB和AF：AB，然后把计算的结果与0.618比较，则可判断哪一点最接近线段AB的黄金分割点．
【详解】
解：∵线段AB=60，AD=13，DE=17，EF=7，
∴BD=60-13=47，AE=BE=30，AF=37，
∴BD：AB=47：60≈0.783，AF：AB=37：60=0.617，
∴点F最接近线段AB的黄金分割点．
故选：C．
【点睛】
线段成比例
线段成比例一、成比例线段 （一）知识点梳理1.把ba 的值叫做线段b a ,的比，若d cb a =，则称线段dc b a ,,,成比例线段。
2.bc ad d c b a dcb a =⇔=⇔=::，其中dc b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项， （a 称为前项，b 称为后项）c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3.比例性质：①基本性质：bc ad dc b a =⇔=，如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0，那么d cb a =）； ②反比性质：c da b d c b a =⇔=；③更比性质：a c a b b d c d =⇔=； ④合比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=； ⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 4.比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项5.若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
（试证明） （二）题型讲解例1.下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a=2，b=3，c=2，d=3B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=5，c=23，d=15D.a=2，b=3，c=4，d=1例2.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a:d=c:b B.a:b=c:d C.d:a=b:c D.a:c=d:b 例3.若a=2，b=3，c=33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为 例4.若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( )A.d c b a =B.c c b d d a +=+C.c d b a =22D.dacd ab =例5.已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A.a:b=c 2:d 2B.a:d=c:bC.a:b=(a+c):(b+d)D.a:b=(a －d):(b －d) 例6.已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
01-第四章1成比例线段
AB 2
AB 2
栏目索引
1 菱形的性质与判定
3.正方形的边长与其对角线长的比是
.
答案 1∶ 2
解析 设正方形的边长为a,则其对角线长为 2 a, ∴所求比为a∶ 2 a=1∶ 2 .
栏目索引
1 菱形的性质与判定
4.已知x∶y∶z=2∶3∶4,求 y z x 的值. z x y
解析 ∵x∶y∶z=2∶3∶4, ∴设x=2k,y=3k,z=4k(k≠0),
1 菱形的性质与判定
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题型一 利用比例线段求线段的长 例1 已知a,b,c,d是成比例线段,且a=2 cm,b=0.6 cm,c=4 cm,那么d=
cm.
解析 因为a,b,c,d是成比例线段,所以 a = c ,则d= bc = 0.6 4 =1.2(cm).
bd
a2
答案 1.2
规律总结 比例线段的有序性:对于利用比例线段关系求线段长的题, 一般先根据线段的关系写出比例式,然后根据比例的基本性质转化成关 于所求线段的等式,最后代入相应的数据.不过,在写比例式时,一定要注 意题目中四条线段成比例的顺序,不能随便更改位置.
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2.(2019广西桂林灌阳期中)已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=5,b=4,c=10,
则线段d=
.
答案 8
解析 ∵a,b,c,d是成比例线段,
∴ a = c ,即ad=bc,
bd
∵a=5,b=4,c=10, ∴5d=40,解得d=8.
1 菱形的性质与判定
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3.(2019天津南开期末)在比例尺为1∶1 000 000的地图上,量得甲、乙两
规律总结 本题运用了分类讨论思想.当题目中给出的数没有顺序时, 要依据所求的数在这个比例式中的位置进行讨论.若使四个数成比例, 则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比,或其中两个数的乘积恰 好等于另外两个数的乘积.
北师大版九年级数学上册第一章《成比例线段》
a b
c d
下课了!
解： 设AD xcm,则DB (12 - x)cm
AD AE DB EC
x 6 12 x 5
即5x 6(12 x)
A
D
E
解得：x 72
B
C
11
答：AD长为 72 cm. 11
方法一 解：
a 3 b2
a 3b 2
若 a 3 ,求 a b , a b 2 b ab 方法二 解：
①若a=6 mm，b=24 mm，求a∶b； ②若c=20 cm，d=0.8m，求 c∶d．
解: 1. a 6mm 1 ; 2. c 20cm 20cm 1 ;
b 24mm 4
d 0.8m 80cm 4
想一想： 1.在计算两条线段的比时我们要注意什么？ 2.两条线段长度的比与所采用的长度单位有 没有关系？ 3.两条线段的比结果有单位吗？
A 为（ ）
A、100：3 B 、1:3 C、10:3 D、1000:3
2、甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例
C 尺为（ ）
A、5:1 B、 1:5 C、1:500000 D、500000:1
3、已知点B在线段AC上，２BC=AB。求下列线段的比
值：（1）AB：BC（2）AC：AB（3）BC：AC
北师大版九年级数学上册第一章
《 成比例线段 》
学习目标： 1.理解线段的比和成比例线段。
2.掌握比例的基本性质及其简单 的应用。
在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图形片
A B
C D
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长
度分别是m、n；那么这两条线段的比就是两条线
段的长度比。
平行线分线段成比例
A
D
M
l1
B
NE l2
C
O
F
l3
l4
l5
l6
思考：当平行线之间的距离相等时，对应
线段的比是多少？
实际应用
1.如何不通过测量，运用所学知识，快速 将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是 2:3?
A
CIFI
=
2 3
D E
DI EI
F
FI
例题解析
例1、如图，在△ABC中，E、
F分别是AB和AC上的点，且
EF∥BC,（1）如果AE=7, EB=5，
FC=4 ，那么AF的长是多少？
B
C
（2）如果AB = 10, AE=6，
AF=5，那么FC的长是多少？
(1) EF ∥ BC ∴AE = AF EB FC
∴AF = AE.FC = 7× 4 = 28
EB
55
(2) EF ∥ BC ∴AE = AF AB AC
∴AC = AB.AF = 10×5 = 25
AE
63
∴FC = AC - AF = 25 - 5 = 10
3
3
课堂练习
1、如图，已知l1//l2//l3, （1）在图（1）中AB=5,
BC=7，20
EF=4，求DE的长。
7
（2）在图（2）中DE=6, EF=7，
AB=5，求AC的长。
65
6
AD
D
段 成比例；
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例。
谢谢
（ 图 3）
( 图 4）
推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边 相交，截得的对应线段成比例。
4.1成比例线段
令 m k( k成 为 比 值)， 则 AB k 或AB k CD
n
CD
例题1：
五边形 ABCDE与五边形 A’B’C’D’E’形状相同，AB=5cm， A’B’=3cm。 请问：线段AB与线段A’B’的比 是多少？
◎这个比值刻画了两个五边形大小关系
与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么
AB,AD ,EH , EF的长度分别是多少？分 别
计算 AB 、AD 、AB 、EF 的值。你发 EF EH AD EH
现了什么？
AB=_______ 8
AD=______2_ 10
EF=_______ 4
AB __2___
EF
2 10 AB ___5__
d 4
2 x 65 x
目标二 能判断四条线段成比例 例 2 [教材补充例题]已知四条线段 a，b，c，d 的长
度，试判断它们是不是成比例线段． (1)a＝16 cm，b＝8 cm，c＝5 cm，d＝10 cm； (2)a＝8 cm，b＝0.05 cm，c＝0.6 dm，d＝10 cm.
解：(1)因为 a＝16 cm，b＝8 cm，c＝5 cm，d＝10 cm，
的长度分别是 m，n，那么这两条线段的比就是它们
长度的比，即
AB∶C
D＝m∶n
，或写成AB＝m CD n
.其中，
线段 AB，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项．如
果把m表示成比值 k，那么AB＝k，或 AB＝k·CD.
n
CD
第1课时 比例线段
知识点三 成比例线段
四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的 比，即___ba_＝__dc__，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做成比例线 段，简称比例线段．
成比例线段ppt课件
∴ + − = .
∴ = .
∴ = ， = ， = ．
15.(2024周口期末改编)已知
+
解：∵
=
=
= ,
+
+
+
=
+
=
+
= ,则的值为多少？
∴ = + ， = + ， = + .
7.8
好的效果,她应穿的高跟鞋的高度大约为____.（保留一位小数）
9.在△ 和△
+
′′′中，
′′+′′
18
则△ ′′′的周长为____．
10.(2024湖南郴州期末改编)若
=
=
′′
=
．若△
的周长为12，
��
+
，则 =__.
,
∴ 线段，，，不成比例.
（2）线段，，，是否成比例？
解：∵
∴ = .
=
,
= =
,
∴ 线段，，，成比例．
比例的基本性质
5.若 =
，则
A.
=( C )
B.−
C.
D.−
6.已知四条不相等的线段，，，满足关系式 = ，则下列式子
+ = −, =
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》第1课时成比例线段典型题同步练习题及答案 (1)
成比例线段同步练习（典型题汇总）知识点 1 线段的比1．下列说法中正确的有( )①两条线段的比是两条线段的长度之比，比值是一个正数；②两条线段的长度之比是同一单位下的长度之比；③两条线段的比值是一个数量，不带单位；④两条线段的比有顺序，ab与ba不同，它们互为倒数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为( )A．3∶4 B．2∶3C．3∶5 D．1∶2知识点 2 成比例线段3．下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )A．1，2，3，4 B．1，2，2，4C．3，5，9，13 D．1，2，2，34．教材随堂练习第3题变式题若线段a，b，c，d成比例，其中a＝3 cm，b＝6 cm，c ＝2 cm，则d＝__________．知识点 3 比例的基本性质5．已知x2＝y3，那么下列式子中一定成立的是( )A．2x＝3y B．3x＝2yC．x＝2y D．xy＝66．若3a＝5b，则ab＝________．7．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C．2∶3 D．1∶38．如果a＋2bb＝52，那么ab的值是( )A.12 B．2 C.15 D．59．如图4－1－1所示，已知矩形ABCD和矩形A′B′C′D′，AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm.(1)求A′B′AB和B′C′BC的值；(2)线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段吗？图4－1－110．教材习题4.1第2题变式题如图4－1－2，已知ADDB＝AEEC，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，求AC的长．图4－1－211．已知三条线段的长度分别是4，8，5，试写出另一条线段的长度，使这四条线段为成比例线段．答案：1．D.2．A .3．B 4.4 cm 5.B 6.537.C8．A9．解：(1)∵AB＝8 cm，BC＝12 cm，A′B′＝4 cm，B′C′＝6 cm，∴A′B′AB＝48＝12，B′C′BC＝612＝12.(2)由(1)知A′B′AB＝12，B′C′BC＝12，∴A′B′AB＝B′C′BC，∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．10．解：∵ADDB＝AEEC，∴6.44.8＝AE4.2，解得AE＝5.6(cm)，则AC＝AE＋EC＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．11．解：设所求的线段长度为x.当x∶4＝8∶5时，可求得x＝325；当x∶4＝5∶8时，可求得x＝208＝52；当4∶8＝5∶x时，可求得x＝404＝10.所以所求的线段长度可能为325或52或10.成比例线段同步练习（典型题汇总）一、选择题1.若34yx =，则x yx +的值为（ ）A ．1B ．47C ．54D ．74答案：D解析：解答：∵34yx =， ∴43744x yx ++==．故选D ．分析：根据合分比性质求解．2.已知250x y y =≠（），则下列比例式成立的是（）A ． 25x y＝B ． 52x y＝C ．25x y ＝D ．52x y ＝答案：B解析：解答：∵250x y y =≠（）， ∴ 52x y＝故选B ．分析：本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．3.若250y x -=，则x y ：等于（ ）A ．2：5B ．4：25C ．5：2D ．25：4答案：A解析：解答：∵250y x -=，∴25y x =，∴25x y =：：．故选A ．分析：根据两內项之积等于两外项之积整理即可得解．4.已知32x y =，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．x ＝2，y ＝3B ．32x y =C ．23x y =D ．320x y +=答案：A解析：解答：A 、x ＝2，y ＝3时，32x y =，故A 正确；C 、当y ＝0时，23xy =无意义，故C 错误；故选：A ．分析：根据比例的性质，代数式求值，可得答案．5.已知52ab =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）A ．25a b =B ． 52ab=C ．7a b +=D ．72a b b +=答案：C解析：解答：由比例的性质，得A 、25a b =，故A 正确；B 、25a b =，得 52ab=，故B 正确；C 、a b +有无数个值，故C 错误；D 、由合比性质，得72a bb +=，故D 正确；故选：C ．分析：根据比例的性质，可判断A 、B ；根据合比性质，可判断D ．6.若34a b =，则ab ＝（ ）A ．34B ．43C ．32D ．23答案：B解析：解答：两边都除以3b ，得43a b =，故选：B ．分析：根据等式的性质，可得答案．7.若非零实数x ，y 满足43y x =，则x y ：等于（）A ．3：4B ．4：3C ．2：3D ．3：2答案：B解析：解答：∵43y x =，∴43x y =：：， 故选：B ．分析：根据比例的性质，即可解答．8.不为0的四个实数a 、b ，c 、d 满足ab cd =，改写成比例式错误的是（ ）A ．a dc b =B ．cba d =C ．d ba c =D ．acb d =答案：D解析：解答：A 、adab cd c b =⇒=，故A 正确；B 、cba d =ab cd ⇒=，故B 正确；C 、dba c = ab cd ⇒=，故C 正确；D 、acb d =ad bc ⇒=，故D 错误；故选：D ．分析：根据比例的性质，可得答案．9.已知32x y ＝，那么下列等式中，不一定正确的是（）A ．5x y +=B ．23x y =C ．52x y y +＝D ．35xx y +＝答案：A解析：解答：∵32xy ＝，∴设3x k =，2y k =，A 、5x y k +=，k 不一定等于1，则5x y +=不一定正确，故本选项符合题意；B 、236x y k ==，一定成立，故本选项不符合题意；C 、5522x y ky k +==，一定成立，故本选项不符合题意；D 、3355xkx y k ==+，一定成立，故本选项不符合题意．故选A ．分析：根据比例的性质，设x ＝3k ，y ＝2k ，然后对各选项分析判断利用排除法求解．10.如果a ＝3，b ＝2，且b 是a 和c 的比例中项，那么c ＝（ ）A ．23±B ．23C ．43D ．43±答案：C解析：解答：根据题意，可知a b b c =：：，2b ac =，当a ＝3，b ＝2时223c =，34c =，43c =． 故选：C ．分析：比例中项，也叫“等比中项”，即如果a 、b 、c 三个量成连比例，即a b b c =：：，则b 叫做a 和c 的比例中项．据此代数计算得解．11.在比例尺为1：2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为（ ）A ．10mB ．25mC ．100mD ．10000m答案：C解析：解答：设A 、B 两地间的实际距离为xm ， 根据题意得152000x 100=g ，解得x＝100．所以A、B两地间的实际距离为100m．故选C．分析：设A、B两地间的实际距离为x m，根据比例线段得152000x100g，然后解方程即可．12.在一张比例尺为1：5000000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为（）A．3.5千米B．35千米C．350千米D．3500千米答案：C解析：解答：设甲、乙两地的实际距离为x mm，1：5000000＝70：x，解得x＝350000000．350000000mm＝350千米即甲乙两地的实际距离为350千米．故选C．分析：根据比例尺＝图上距离：实际距离，列比例式即可求得甲、乙两地的实际距离．要注意统一单位．13.下列各组中得四条线段成比例的是（）A．4cm、2cm、1cm、3cmB．1cm、2cm、3cm、5cmC．3cm、4cm、5cm、6cmD．1cm、2cm、2cm、4cm答案：D解析：解答：A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4＝2×2，所以成比例，符合题意．故选D．分析：四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．14.在比例尺为1：m的某市地图上，规划出长a厘米，宽b厘米的矩形工业园区，该园区的实际面积是（）米2．A．4 10m abB．42 10m abC．410abmD．24 10 abm答案：D解析：解答：设该园区的实际面积是2xcm，∵地图上长a 厘米，宽b 厘米的矩形工业园区的面积为：ab 平方厘米，根据题意得： 21abx m =（），∴2x abm =，2abm 平方厘米＝2410abm 平方米．故选D ．分析：首先设该园区的实际面积是2xcm ，然后由比例尺的定义列方程：21abxm =（），解此方程即可求得答案．15.已知线段a ＝2，b ＝4，线段c 为a ，b 的比例中项，则c 为（ ）A ．3B ．±C ．D答案：C解析：解答：∵线段c 为a ，b 的比例中项，∴2c ab =，∵线段a ＝2，b ＝4，∴28c =，∴c ＝故选C ．分析：根据比例中项的定义列方程求解即可．二、填空题16.如果0acek b d f b d f ===++≠（），且3a c e b d f ++=++（），那么k ＝______．答案：3解析：解答：由等比性质，得3 aa c ek b b d f ++===++，故答案为：3．分析：根据等比性质，可得答案．17.已知0456c b a≠＝＝，则b ca +的值为______． 答案：32解析：解答：由比例的性质，得23c a =，56b a =．52936362a ab c a a ++===． 故答案为：32．分析：根据比例的性质，可用a 表示b 、c ，根据分式的性质，可得答案．18.已知52x y =：：，那么x y y +=（）：______．答案：7:2解析：解答：由合比性质，得72x y y +=（）：：， 故答案为：7：2．分析：根据合比性质，可得答案．19.已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．答案：4解析：解答：∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±4，又∵线段是正数，∴b ＝4．故答案为4．分析：根据线段比例中项的概念，可得a b b c =：：，可得216b ac ==，故b 的值可求． 20.有一块三角形的草地，它的一条边长为25m ．在图纸上，这条边的长为5cm ，其他两条边的长都为4cm ，则其他两边的实际长度都是______m ．答案：20解析：解答：设其他两边的实际长度分别为xm 、ym ， 由题意得，25445x y ==， 解得x ＝y ＝20．即其他两边的实际长度都是20m ．分析：设其他两边的实际长度分别为x m 、y m ，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．三、解答题21.若0235a b c abc ==≠（），求a b c a b c++-+的值． 答案：解答：设235a b c k ===， 则2a k =，3b k =，5c k =， 所以23510523542a b c k k k k a b c k k k k ++++===-+-+． 解析：分析：先设235a b c k ===，可得2a k =，3b k =，5c k =，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．22.已知：643xy z ＝＝（x 、y 、z 均不为零），求332x y y z+-的值． 答案：解答：设643xy z k =＝＝，则6x k =，4y k =，3z k = ∴36341833234236x y k k k y z k k k++⨯===-⨯-⨯． 解析：分析：先设643x y z k =＝＝（k ≠0），然后用k 表示x 、y 、z ；最后将x 、y 、z 代入332x y y z+-消去k ，从而求解．23.已知线段a 、b 、c 满足::3:2:6a b c =，且226a b c ++=．（1）求a 、b 、c 的值； 6a =|4b =|12c =（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．答案：解答：（1）∵::3:2:6a b c =，∴设3a k =，2b k =，6c k =，又∵226a b c ++=，∴322626k k k +⨯+=，解得2k =，∴6a =，4b =，12c =；（2）∵x 是a 、b 的比例中项，∴2x ab =，∴246x =⨯，∴x =x =-（舍去），即x 的值为．解析：分析：（1）利用::3:2:6a b c =，可设3a k =，2b k =，6c k =，则322626k k k +⨯+=，然后解出k 的值即可得到a 、b 、c 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即246x =⨯，然后根据算术平方根的定义求解．24.在比例尺为1：10000的地图上，有甲、乙两个相似三角形区域，其周长分别为10cm 和15cm ．（1）求它们的面积比；49（2）若在地图上量得甲的面积为216cm ，则乙所表示的实际区域的面积是多少平方米？523.610m ⨯答案：解答：（1）2104 159S S ==甲乙（）； （2）∵4 9S S =甲乙，216S cm =甲， ∴236S cm =乙，又∵比例尺是1：1000，∴829252S 3610cm 3.610cm 3.610m =⨯=⨯=⨯实际．解析： 分析：（1）先根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可求解；（2）首先根据两个图形的面积的比即可求得乙的面积，然后根据面积的比等于相似比的平方求得实际面积． 25.已知234x y z ==，求223x y z y z ++-． 答案：解答：令234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴原式46414149455k k k k k k k ++===-． 解析：分析：设2x k =，3y k =，4z k =，再代入原式即可得出答案．。
成比例线段及相关比例线段
成比例线段及相关比例线段
1.线段的比：两条线段长度的比。
比如：a＝4㎝,b＝6㎝,则：a︰b
＝2︰3,其中a叫比的前项，b叫比的后项。
2.成比例线段：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即它
们长度的比）与另两条线段的比相等，如a︰b＝c︰d（即ad＝bc）,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
其中a,d叫比例线段的外项，bc叫比例线段的内项；另外要注意比例式与等积式的灵活转化。
3.反比定理：如果：a︰b＝c︰d,那么:b︰a＝d︰c.
4.更比定理：如果：a︰b＝c︰d,那么:a︰c＝b︰d.
5.分比定理:如果,a︰b＝,c︰d,那么:(a－b)︰b＝(c－d)︰d.
6.和比定理:如果:a︰b＝c︰d,那么（a＋b）︰b＝（c＋d）︰d.
7.和分比定理:若:a︰b＝c︰d,那么：（a－b）︰(a＋b)＝(c－d)︰(c
＋d).
8.等比定理：若：a︰b＝c︰d＝e︰f＝k (k≠0),那么：(a＋c＋e)︰
(b＋d＋f)＝e︰f＝k,其中b＋d＋f≠0.
等比定理的应用：
例 1 已知：a︰3＝b︰4＝c︰5≠0,
求：(2a－b＋c)／(a＋3b)的值.
例 2 已知 :K＝b＋c／a＝a＋c／b＝a＋b／c.
求：K的值。
注意：⑴若a＋b＋c＝0.则K＝﹣1.
⑵若a＋b＋c≠0.则K＝2.
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1.成比例线段
即 a = 4 ,解得 a=2 cm.故选 B.
36
第23章 图形的相似
ห้องสมุดไป่ตู้
3.若互不相等的四条线段的长 a,b,c,d 满足 a = c ,m 为任意实数,则下列各式一
bd
定成立的是( D )
(A) a m = c m (B) a b = c d (C) a = d
bm dm
bc ac ab
一、二、四或一、二、三 象限.
a b ck,
解析:由题知
b
a
c
k
,
∴a+b+c=2(a+b+c)k.
c (a b)k,
当 a+b+c=0,即 a=-(b+c)时,k=-1.当 a+b+c≠0 时,k= 1 .
2
∴y=-x+1 过一、二、四象限,y= 1 x+1 过一、二、三象限.
324
则 a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8. ∵a+b+c=12, ∴(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12,k=3. ∴a=5,b=3,c=4. ∵b2+c2=a2,∴△ABC 是直角三角形.
∴S△ABC= 1 ×3×4=6.
2
第23章 图形的相似
x y 4k 3k
y
4k 3
(2)设 x = y = z =m(m≠0),
235
则 x=2m,y=3m,z=5m. ∵3x+2y-z=14,∴3×2m+2×3m-5m=14.∴m=2. ∴x=4,y=6,z=10.
第23章 图形的相似
成比例线段的八种形式
成比例线段的八种形式成比例线段是指两个线段的比值相等。
在几何学中，成比例线段有八种形式，分别是：1. 相等线段：当两个线段的长度相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度相等，即AB = CD。
2. 同向线段：当两个线段的方向相同，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相同，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
3. 反向线段：当两个线段的方向相反，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的方向相反，并且它们的长度之比为k，即AB/CD = k。
4. 互补线段：当两个线段的长度之和为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之和为常数m，且它们的长度之比为k，即AB/(m-AB) = CD/(m-CD) = k。
5. 互逆线段：当两个线段的长度之积为常数，并且它们的长度之比相等时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之积为常数n，且它们的长度之比为k，即AB/CD = n/k。
6. 平方线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方之比为k^2，即AB^2/CD^2 = k^2。
7. 立方线段：当两个线段的长度之比等于它们的立方之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的立方之比为k^3，即AB^3/CD^3 = k^3。
8. 平方根线段：当两个线段的长度之比等于它们的平方根之比时，它们是成比例线段的一种形式。
例如，AB和CD两个线段的长度之比为k，且它们的平方根之比为√k，即√(AB/CD) = √k。
这八种形式的成比例线段在几何学中具有重要的应用价值，可以用于解决各种与线段长度相关的问题。
专题22.1 成比例线段【七大题型】(举一反三)(沪科版)(原卷版)
专题22.1 成比例线段【七大题型】【沪科版】【题型1 成比例线段的概念】 (1)【题型2 成比例线段的应用】 (2)【题型3 比例的证明】 (3)【题型4 利用比例的性质求比值】 (3)【题型5 利用比例的性质求参】 (4)【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】 (4)【题型7 黄金分割】 (6)【题型1 成比例线段的概念】【例1】（2022秋•南岗区校级月考）不能与2，4，6组成比例式的数是（）A．4B．3C．8D．123【变式1-1】（2022秋•义乌市月考）已知线段a＝2，b＝6，则它们的比例中项线段为2√3．【变式1-2】（2022秋•道里区期末）如图，用图中的数据不能组成的比例是（）A．2：4＝1.5：3B．3：1.5＝4：2C．2：3＝1.5：4D．1.5：2＝3：4【变式1-3】（2022秋•八步区期中）如图所示，有矩形ABCD和矩形A'B'C'D'，AB＝8cm，BC＝12cm，A'B'＝4cm，B'C'＝6cm．则线段A'B'，AB，B'C'，BC是成比例线段吗？【题型2 成比例线段的应用】【例2】（2022秋•渭滨区期末）已知△ABC的三边分别为a，b，c，且（a﹣c）：（a+b）：（c﹣b）＝﹣2：7：1，试判断△ABC的形状．【变式2-1】（2022秋•青羊区校级月考）甲、乙两地的实际距离是400千米，在比例尺为1：500000的地图上，甲乙两地的距离是（）A．0.8cm B．8cm C．80cm D．800cm．【变式2-2】（2022秋•杜尔伯特县期末）一个班有30名学生，男、女生人数的比可能是（）A．3：2B．1：3C．4：5D．3：1【变式2-3】（2022•台湾）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔术社上学期345下学期432A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变)n+≠0【题型3 比例的证明】【例3】（2022秋•汝州市校级月考）已知线段a，b，c，d（b≠d≠0），如果ab=cd=k，求证：a−cb−d=a+cb+d．【变式3-1】（2022春•江阴市期中）如图，点B，C在线段AD上，且AB：BC＝AD：CD，求证：1AB+1AD=2AC．【变式3-2】（2022秋•秦都区校级期中）已知：如图，点O为三角形ABC内部的任意一点，连接AO并延长交BC于点D．证明：（1）S△ABOS△BOD=S△ACOS△COD；（2）S△ABOS△ACO=BDCD．【变式3-3】（2022秋•岳阳县期中）若a，b，c，d是非零实数且ab=cd，求证a2+c2ab+cd=ab+cdb2+d2．【题型4 利用比例的性质求比值】【例4】（2022秋•炎陵县期末）已知2b3a−b=34，则ab=．【变式4-1】（2022春•霍邱县期末）若a−ba=34，那么ba的值等于（）A．25B．14C．−25D．−14【变式4-2】（2022春•沙坪坝区校级期末）若ab =cd=ef=13且b﹣2d+3f≠0，则a−2c+3eb−2d+3f的值为（）A．16B．13C．12D．56【变式4-3】（2022春•栖霞市期末）下列结论中，错误的是（）A．若a4=c5，则ac=45B．若a−bb =16，则ab=76C．若ab =cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23D．若ab =34，则a＝3，b＝4【题型5 利用比例的性质求参】【例5】（2022秋•蜀山区校级期中）已知：y+zx =x+zy=x+yz=k，则k＝．【变式5-1】（2022秋•灌云县期末）已知x3=y5，且x+y＝24．则x的值是（）A．15B．9C．5D．3【变式5-2】（2022秋•高州市期中）已知x3=y5=z6，且3y＝2z+6，求x，y的值．【变式5-3】（2022•雨城区校级开学）我们知道：若ab =cd，且b+d≠0，那么ab=cd=a+cb+d．（1）若b+d＝0，那么a、c满足什么关系？（2）若b+ca =a+cb=a+bc=t，求t2﹣t﹣2的值．【题型6 比例的性质在阅读理解中的运用】【例6】（2022秋•渝中区期末）阅读理解：已知：a，b，c，d都是不为0的数，且ab =cd，求证：a+bb=c+dd．证明：∵ab =cd，∴ab +1=cd+1．∴a+bb =c+dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab =35，求a+bb的值；（2）若ab =cd，且a≠b，c≠d，证明a−ba+b=c−dc+d．【变式6-1】阅读材料：已知x3=y4=z6≠0，求x+y−zx−y+z的值．解：设x3=y4=z6=k（k≠0），则x＝3k，y＝4k，z＝6k．（第一步）∴x+y−zx−y+z =3k+4k−6k3k−4k+6k=k5k=15．（第二步）（1）回答下列问题：①第一步运用了的基本性质，②第二步的解题过程运用了的方法，由k5k 得15利用了的基本性质．（2）模仿材料解题：已知x：y：z＝2：3：4，求x+y+zx−2y+3z的值．【变式6-2】（2022秋•椒江区校级月考）阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列问题：a，b，c为非零实数，且a+b+c≠0，当a+b−cc =a−b+cb=−a+b+ca时，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．【变式6-3】（2022春•鼓楼区校级期中）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a）于是，x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，依照上述方法解答下列问题：已知：y+zx =z+xy=x+yz（x+y+z≠0），求x−y−zx+y+z的值．.AC AB =≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．） 【题型7 黄金分割】【例7】（2022•青羊区校级模拟）如图，点R 是正方形ABCD 的AB 边上线段AB 的黄金分割点，且AR ＞RB ，S 1表示以AR 为边长的正方形面积；S 2表示以BC 为长，BR 为宽的矩形的面积，S 3表示正方形除去S 1，S 2剩余的面积，则S 1：S 2的值为 ．【变式7-1】（2022秋•杨浦区期末）已知点P 是线段AB 上的一点，线段AP 是PB 和AB 的比例中项，下列结论中，正确的是（ ） A ．PB AP=√5+12B ．PB AB=√5+12C ．APAB=√5−12D ．AP PB=√5−12【变式7-2】（2022秋•江都区校级月考）已知，点D 是线段AB 的黄金分割点，若AD ＞BD ． （1）若AB ＝10cm ，则AD ＝ ；（2）如图，请用尺规作出以AB 为腰的黄金三角形ABC ； （3）证明你画出的三角形是黄金三角形．【变式7-3】（2022春•兖州区期末）再读教材： 宽与长的比是√5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN ＝2）第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图③中所示的AD 处．第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．问题解决：（1）图③中AB＝（保留根号）；（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．。
相似三角形-成比例基本性质、成比例线段 (1)
（1）当
时，有
（如图）
（2）当
时，有
（如图）
（3）当 在图中，当
时，有
（如图）
时，参照上述研究结论，请你猜想用 n 表示 的一般结论，并给
出证明（其中 n 是正整数）
第 6页（共 32页）
16．阅读下列材料：
任意给定一个矩形 ABCD，如果存在另一个矩形 A'B'C'D'，使它的周长和面积分别是矩形
第 9页（共 32页）
19．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝12cm，BC＝8cm．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点 同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后 第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2） （1）当 t＝1 秒时，S 的值是多少？ （2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围； （3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以 点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．
先连接 EF，利用 EF 为△ABC 的中位线得到△EPF∽△BPA，故
，设
PF＝m，PE＝n，用 m，n 把 PA，PB 分别表示出来，再在 Rt△APE，Rt△BPF 中利用勾 股定理计算，消去 m，n 即可得证 （1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程． （2）利用题中的结论，解答下列问题： 在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE，CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 2 所示， 求 MG2+MH2 的值．
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这个比值刻画了这两个五边 形的大小关系。
想一想
两条线段长度的比与所采用的长度单 位有没有关系？
做一做
如图，设小方格的边长为1，四边形
ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那
么AB，CD，EH，EF的长度分别是多少？分
别计算
值。
你发现了什么？
成比例线段 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比
1、你有什么感想、收获…？ 2、你有什么发现、探索…？
作业： 1、课本习题
知识技能1、2
则这两条线段之比是
3
2、一条线段的长度是另一条线段长度的
，则这两条线段之比是
5
拓展延伸
1.已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
—————
3.把mn pq写成比例式.写错的是
A. m p
B. p n
C. q n
mp D.
qn
mq
mp nq
4、已知a:b:c=2:3:4,且a+b+c=15，则a=___, b=___,c=___.
议一议 如果a,b,c,d四个数成比例，即
a/b=c/d，那么ad=bc吗？反过来如果 ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？
比例的基本性质 如果 = ,那么ad=bc
如果ad=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么 =
例题
如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按
照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩
AB,CD的长度分别是m、n，那么说这两条线段
的比AB:CD=m:n或写成
.其中，线段
AB,CD分别叫做这个线段比的前项、后项.如果
把 表示成比值k,那么
，或AB=k×CD.
两条线段的比实际上就是两个数的比。
五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相 同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:A’B’=5 : 3，
等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线 段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线 段.
上图中AB,EH,AD,EF是成比例线段， AB,AD,EH,EF也是成比例线段。
跟踪练习
1、判断下列四条线段是否成比例
不知你是 否注意到: 比例与叙 述的顺序 有关
答: 1.a,b,c,d不成比例,但a,d,b,c成比例. 2.不成比例. 3.不成比例. 4. a,b,c,d成比例.
成比例线段(一)
情景引入
实际生活中我们经常会看到许多形状
相同的图形。
如图，用同一张底片洗出的不同尺寸 的照片中，汽车的形状还相同吗？
如图，几个足球的形状相同吗？ 他们的大小呢？
请在下面图形中找出形状相同的图形？ 你发现这些形状相同的图形有什么不同？
线段的比
如果选用同一个长度单位量得两条线段
旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸
布的长与宽解决
如图，将一张矩形纸片沿它 的长边对折（EF为折痕），得到 两个全等的小矩形。如果小矩形 长边与短边的比等于原来矩形长 边与短边的比，那么原来矩形的 长边与短边的比是多少?
随堂练习
1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，