一题多解教案
一题多解——“比的应用”教学设计
一题多解——“比的应用”教学设计教学目标1.使学生能根据比的意义，把按照一定的比进行分配的应用题转化为归一或分数应用题来解答。
2.使学生进一步理解和掌握分数应用题的数量关系，并能运用所学知识解决现实生活中的数学问题，发展学生的创新意识。
3.让学生感受比在生活中的广泛应用，激发学习兴趣。
教学过程一、谈话导入同学们，我们已经认识了比，比在生活中有什么用途呢？这一节课，就让我们共同来探讨比在生活中的应用吧。
二、教学实施（一）创设情境，激发兴趣（课件出示下面的情境图）大班30小班20把这些橘子分每个班一还是按大班和小班师：从图上你们获得了什么信息？（让学生自由发言）那你认为怎么分合理？为什么？生1：按大班和小班的人数比来分比较合理。
因为这样分每班每人分得的个数相等。
师：“每班一半”为什么不合理？生2：两个班的人数不相等，如果“每班一半”，那两个班每人分得的个数就不相同，所以不合理。
师：对，我们做事应该要公平、合理。
你们知道大班和小班的人数比吗？生3：大班和小班的人数比是30∶20，化简是3∶2。
（二）自主探索，发展创新意识1.课件出示问题：（1）这筐橘子按3∶2应该怎样分？师：橘子的个数不知道，按3∶2应该怎样分呢？我们就用小石子代替橘子，同桌两人分一分，并把每次分得的结果填在表格里。
（学生分，教师巡视，每桌准备50颗或100颗不等的小石子）师：谁来说说你们是怎样分的？生1：我们先分3个给大班，2个给小班，又分3个给大班，2个给小班……结果大班得30个，小班得20个。
生2：我们先分6个给大班，4个给小班，又分6个给大班，4个给小班……结果大班得30个，小班得20个。
……师：请同学们观察表格的数据，想一想，这些分法相同吗？为什么？预设答案：都是按3∶2来分的，分得的结果也是3∶2。
因为3∶2、6∶4、30∶20、60∶40的最简比都是3∶2。
师：根据比的意义，谁能说说按“3∶2”分的意思？生6：按“3∶2”分的意思是把这些橘子，大班得3份，小班得2份，一共平均分成3+2=5份。
一题多解公开课课件教案教学设计
题组训练
5 比例式的基本性质等
6 添辅助线的方法，作垂直，作平行线
精讲典型例题 重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
提醒：直角三角形能用相似解的题， 一般用三角函数都能解
精讲典型例题
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
精讲典型例题 重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
1 2
D
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
精讲典型例题 重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
题组训练
精讲典型例题 重重点点题题型型
题组训练
重点题型
题题组组训训练练
知识与方法 重点题型
题题组组训训练练
1 旋转法
2平行四边形
精讲典型例题 重点题型
题题组组训训练练
重点题型
题题组组训训练练
重点题型
题题组组训训练练
重点题型
题题组组训训练练
重点题型
题题组组训训练练
பைடு நூலகம்
• 通过以上的例题我们归纳一下，如何进行
一题多解的思考？
1 常用的一些基本解法 2 充分利用各种变换
热身感受2
• 已知，如图在△ABC中，求证：∠A+ ∠B+∠C=180 °
精讲典型例题
重重点点题题型型
题组训练
重重点点题题型型
三年级上册奥数(教案)第15讲：一题多解
（三年级）备课教员：×××第15讲一题多解一、教学目标： 1. 充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；多角度的思考能力。
2. 锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧。
3. 开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
二、教学重点：综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧。
三、教学难点：引导学生灵活地掌握知识的纵横联系。
四、教学准备：PPT课件五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，大家听过“树上有10只鸟，猎人开枪打死了1只，还剩几只？”的问题吗？生：……（可能回答听过，也可能回答没听过）师：那我们再来一起听一下吧？（PPT出示）师：同学们你们觉得这位同学说的怎么样？生：太聪明了。
师：那么，大家想想，这位同学为什么会问这么多的问题呢？难道他真的是故意要给老师捣乱吗？生：不是……（各抒己见，有理即可）师：你们说得真好！因为有时候一个问题就是会出现很多情况，需要我们去解答的。
他的脑筋急转弯真是太厉害了吧！生：是的。
师：同学们我们有时候也要向这位同学学习，遇到问题要积极思考，从多种情况，多种角度去解决问题哦。
老师期待着大家能用很多的解题方法和思路来制造一个大大的惊喜！师：好了，下面我们就开始进入今天的正式学习阶段吧，今天我们来学习的是一题多解，考验大家脑筋的时候来了哦。
加油，看看谁想到的解题方法最多！【板书课题：一题多解】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）从阿派家经卡尔家和欧拉家到学校有460米，从阿派家到欧拉家有370米，从学校到卡尔家有330米。
从卡尔家到欧拉家有多少米？(所有位置在同一直线上）师：大家看一下，这是一题什么类型的问题？生:路程、距离。
师：我们能一下子看明白题意吗？生:不能，有点乱，想不过来。
师：那么我们可以运用什么数学方法来帮助思考和看清题意呢？生:画线段图。
《一题多解》教学案例
《一题多解》教学案例
一、教学背景
1、教材分析：本次教学以《一题多解》为教学内容，教材贴近学生生活，包含了根据条件计算出方案、计算出结果、比较各种方案的优缺点、做出最优决策等国家教学大纲所提出的学习内容。
2、教学目标：结合实际生活，让学生学会解决一些多角度复杂的问题，利用不同的解决方式探索出一个比较最优的解决方案，形成根据不同
的实际条件来进行解决问题的思维习惯。
二、教学过程
1、导入：以姐妹居住在不同省份，有话费套餐的优惠为例展开教学，
激发学生的学习兴趣，引出教学重点。
2、理论知识：让学生了解什么是一题多解，并板书出关于一题多解的
定义，帮助学生把握教学主题，加深教学印象。
3、练习：让学生分组练习如何解决一题多解的问题，让学生学会脱离
条件、进行综合分析，发现最优的解决方案；帮助学生训练如何解决
类似问题的能力。
4、复习：检查学生练习的结果，总结学习成果，引导学生把一题多解
归纳为一种分析问题，即分析实际情况，比较各种方案、决策出最优结果的能力。
5、归纳概括：将学习内容组织性地归纳概括，以图表、口述等形式奠定本次学习基础，培养学生归纳吸收知识的习惯。
三、教学资料
1、教学教具：白板、投影仪等
2、教学资料：收集的一些实际问题，如可供学生练习的例题等。
一题多解教案
一题多解教案一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。
上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
怎样上一题多解训练课？下面仅就多步应用题教学过程中的一题多解训练课，初略地介绍一下我的基本做法：在实际教学中，我一般采用以下两种方法：1、一般的一题多解的练习。
题目是由浅入深，由易到难。
解法、时间、速度等要求逐步提高。
2、看谁的解法多。
我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
所以，在实际训练中，我们不能满足于学生会用几种一般的方法来分析解答应用题。
如果只以一般的几种解法为满足，对学生通过多向思维求得的其他解法特别是一些较为复杂的解法不提倡，不鼓励，甚至还挖苦、批评、责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。
实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。
学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。
我们就越应当给予肯定和鼓励。
对于学生“别出心裁”、“独辟蹊径”的解题方法，我总是给以表扬和鼓励。
这对激发学生的学习兴趣，调动一题多解的积极性是很有好处的。
第一课进行一题多解的实际练习1、一般的一题多解的练习。
题目是由浅入深，由易到难。
解法、时间、速度等要求逐步提高。
题1：南北两城的铁路长357公里，一列快车从北城开出，同时有一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过3小时相遇，快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里？解法1: [357-(79×3)]÷3=[357-237]÷3=120÷3=40(公里)即慢车平均每小时行40公里，已知快车平均每小时行79公里，∴慢车平均每小时比快车少行多少公里就是79-40=39(公里)答：慢车平均每小时比快车少行39公里。
一题多解教案
一题多解▲课题：一题多解▲班级：七（1）班▲教学目标知识与技能：通过具体计算，找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路，加深学生对多种解题方法的理解，扩大感知领域，唤起学生对已有知识和经验的回忆，沟通新旧知识之间的联系。
过程与方法：让学生在观察、比较、讨论交流中，获取解决实际问题的水平。
情感态度与价值观：引领学生从不同的角度分析问题，拓展解题思路，培养发散思维水平，激发学生对科学知识探求欲望。
使学生分析问题、解决问题时能够全面的考虑，感受数学学科知识的严谨性，逐步培养学生创新意识，激发学生对数学知识的学习兴趣，初步养成良好的学习习惯。
▲教学重、难点通过练习，掌握相对应的解题思路与技巧，养成良好的学习习惯。
▲教学内容有理数的大小比较与相关计算▲课题类型练习探究课▲教学时间1课时▲教学准备ppt课件▲教学过程一、情景导入千古名言：All Roads Lead to Rome，条条大路通罗马，做成一件事的方法不只一种，人生的路也不只一条等着我们发现。
同样，在数学学科的学习中，我们常常会惊奇的发现有很多的实际问题，往往能够找到不同的解决办法。
这节课就让我们一起从最基础的数学计算来看看。
二、探究新知1、阅读下列文字,然后回答问题:我们学过,要比较两个分数的大小,可将它们都化成小数来比较.另外,两个正分数,分母相同,分子大的分数较大;分子相同,分母大的反而小.[A]现在我们知道,两个负数比较时,绝对值大的反而小.[B](1)根据[A]前面的文字,你有几种方法比较与的大小?(2)根据[B]前面的文字,若要比较-与-的大小,应先比较,结论是(填“>”、“<”或“=”).【解析】(1)有三种方法,方法一:化成小数,从高位到低位逐个比较:因为=0.85…,=0.88…,所以<89;方法二:化为同分母分数,看分子大小来判断:因为=,=,所以<;方法三:化为同分子分数,看分母大小判断:因为=,=,所以<.(2)-67与-89的大小。
高中数学小题一题多解教案
高中数学小题一题多解教案
教学目标:
1. 学生能够运用不同的方法解决同一高中数学小题。
2. 学生能够灵活运用所学知识，提高解题能力和思维能力。
教学准备:
1. 黑板、粉笔或白板、马克笔
2. 环球雅思教育智能语音助手或其他在线智能语音助手
教学过程:
Step 1: （导入）
教师出一道高中数学小题，例如：已知直线y=2x+1与y=ax+b平行，且通过点（2，3），求a和b的值。
Step 2: （讨论）
让学生讨论并思考有哪些方法可以解决这道题目。
1. 方法一：利用平行线性质，两直线平行，斜率相等。
2. 方法二：通过代入法解方程组。
Step 3: （学生练习）
让学生分组练习解答这道题目，每组尝试不同的解题方法。
Step 4: （展示讨论）
让每组学生汇报他们的解题思路和答案，大家一起讨论不同方法的优劣以及解题过程中的
注意事项。
Step 5: （总结）
教师总结各种方法的优缺点，并引导学生总结出解题的一般方法。
Step 6: （拓展）
教师可以出几道类似的题目让学生练习，鼓励他们尝试不同的解题方法，提高解题灵活性
和思维能力。
Step 7: （作业）
布置作业，要求学生解答一道与本课题类似的多解题目，并要求写出解题过程。
教学反思:
本节课通过一道高中数学小题，引导学生学会不同方法解决同一问题，提高解题能力和思维能力。
同时，通过讨论和展示，促进学生间的合作和交流，提高学习效果。
数学六年级下册第64课时《一题多解》教案
⑤解：设水有x克，则药有 x克 ⑥ 解：设药有x克，则水有 x克
X－ x=100 x－x=100
3.修路队计划24天修完720米长的一段路，实际6天就完成了3/10.照这样计算，完成这段路共需几天？（用四种方法解答）
①实际数量：720÷（720× ÷6） ②1÷（ ÷6） ③6÷
师：“喜欢野人谷的人数是观音洞的3倍”，这句话你能用不同的数学语言叙述吗？
预设：喜欢野人谷和观音洞的人数比为3︰1；
喜欢观音洞的人数是野人谷的 ；喜欢野人谷的和全班人数的比是3︰4；
喜欢观音洞的和全班人数的比是1︰4；
喜欢野人谷的人数占全班的 ；喜欢观音洞的人数占全班的 。
导入：从中我们可以发现：倍数，比，分数三者之间可以相互转化，所以同一个问题我们可以用不同的知识、从不同的角度来解答。（板书课题）
四、课堂小结：通过本节课的学习，你有什么想和大家交流的吗？
灵活运用所学知识，善用“转化”的思想。
个性化调整
课后反思：
补充问题，完整题目：六（1）班有60人，喜欢野人谷的人数是观音洞的3倍，喜欢野人谷和观音洞的各有多少人？（通过刚才的理解，用自己喜欢的一种方法解答此题。）
二、整理归纳，探索解法：
1.自主探究，尝试探疑
一辆汽车从甲地开往乙地，2小时行全程的40%，照这样计算，行完全程的80%，需几小时？（至少用4种方法）
实验小学数学集体备课
年级
六
设计者
课时
第64课时
研讨时间：6.9
课题
用不同的方法解决问题
印发教学目标
1、沟通倍数、分数、比等知识的内在联系，引导学生灵活运用已学的知识从不同的角度来解答同一问题。
一题多解示范课教案
一题多解示范课教案教案标题：一题多解示范课教案教案目标：1. 帮助学生理解一题多解的概念，培养他们的创造性思维和解决问题的能力。
2. 引导学生学会通过不同的方法和角度解决问题，培养他们的多元化思维。
3. 提供示范和指导，让学生在实践中体验一题多解的乐趣和挑战。
教学时长：45分钟教学目标：1. 学生能够理解一题多解的概念，并能够举例说明。
2. 学生能够通过多种方法和角度解决给定的问题。
3. 学生能够展示和分享自己的解题思路和方法。
教学准备：1. PowerPoint演示文稿或白板和标记工具。
2. 学生练习册或工作纸。
3. 问题解答示范材料。
教学过程：引入（5分钟）：1. 向学生解释一题多解的概念，即同一个问题可以有多种不同的解决方法和答案。
2. 引导学生思考和讨论一题多解的好处，例如培养创造性思维、提高问题解决能力等。
探究（15分钟）：1. 准备一个简单的问题，例如：5+3=？2. 鼓励学生以小组形式讨论和尝试不同的解题方法，并记录下来。
3. 指导学生使用不同的方法解决问题，例如：列竖式、使用计算器、将5和3分别拆分成更小的数等。
4. 鼓励学生尝试创造性的解题方法，例如：使用图形、故事等。
展示（15分钟）：1. 邀请学生展示他们的解题方法和答案，可以通过小组展示或个人演示的方式。
2. 引导学生互相评价和讨论不同解题方法的优缺点。
3. 引导学生思考和讨论为什么同一个问题可以有多种解决方法，培养他们的批判性思维和逻辑思维能力。
总结（10分钟）：1. 总结一题多解的概念和好处。
2. 鼓励学生在以后的学习中尝试多种解决问题的方法。
3. 提供反馈和指导，帮助学生进一步提高解题能力。
拓展活动：1. 给学生布置类似的问题，让他们继续探索一题多解的思维方式。
2. 鼓励学生在其他学科中寻找一题多解的例子，并分享给全班。
教学评估：1. 观察学生在小组讨论和展示中的积极参与程度。
2. 评估学生的解题思路和方法是否多样化。
《一题多解》教学案例
课程教学 >>236《一题多解》教学案例王金花山西省汾阳市英雄街初级中学一、案例背景初中九年级学生在已有第24章第1节“圆的有关性质”的学习经历，第2节刚刚接触“点与圆位置关系”中的“三角形外接圆”后，运用还达不到灵活自如，考虑问题不周全，遇题找不到突破点，部分学生做不到对知识的分析、整合、反思、感悟，所以解决问题时因领悟不到方法而无从下手。
通过教师关键处的引导，教给学生如何有效利用已知条件找到求解问题的突破口，学生顿时柳暗花明，思维的碰撞激起灵感的火花。
二、案例展示与分析师：同学们，九上《问题导学》P117大家完成情况怎样，有棘手题目吗？生：有！（异口同声），第5题难，有的同学说“无从下手”、有的同学说“不敢肯定”。
师：（笑眯眯）哦，是吗？那我们就一起进入第5题（多媒体展示题目）。
如图，⊙0是△ABC的外接圆，且AB=AC=13,BC=24,求⊙0的半径。
师：能帮老师提炼出题目中已知、求证部分的关键词吗？生：已知等腰三角形的底和腰，求外接圆半径。
师：太棒了，概括能力够强，老师为你们点赞。
师：那能告诉老师图中有半径吗？根据上节经验已知弦时需借助什么图形求半径？生：没有。
垂径定理，勾股定理，需添加辅助线（几名学生兴奋地说）。
师：怎么添加？生：连接OA、OB、OC。
师：哦，这就构造了垂径定理，勾股定理基本图形了。
可老师没看见垂直或直角三角形，有吗？生：有！（很肯定的）师：你怎么知道的？能说明一下吗？请同学们利用所学知识试着解释。
学生积极思考，自主完成。
2分钟后，生甲：老师，能证出来，用三线合一。
先证∆ABO与∆ACO全等，得到角等后用三线合一。
（全班同学会心地点点头）师：同学们，行吧？老师非常欣赏你善于思考的好习惯。
生乙：老师我来说，还可以在∆CBO中用三线合一。
师：是吗？说说看。
生乙：也可得到圆心角等后在∆CBO中用三线合一。
师：太棒了。
同学们，可以吗？能说说你用到的知识点吗？生：在同圆或等圆中，相等的弦所对圆心角相等。
教研活动一题多解(2篇)
第1篇一、引言在教育教学过程中，教师往往面临着如何提高教学质量、激发学生学习兴趣、培养学生创新能力等问题。
其中，一题多解作为一种有效的教学方法，能够帮助学生从不同角度、不同层次去理解和解决问题，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
本文将从一题多解的定义、实施策略、效果评价等方面进行探讨。
二、一题多解的定义一题多解，顾名思义，就是针对同一问题，从不同的角度、不同的方法去寻找答案。
这种方法要求学生在解题过程中，不仅要掌握基本知识，还要学会运用多种思维方式和方法，以达到提高解题能力的目的。
三、一题多解的实施策略1. 创设情境，激发兴趣教师可以通过创设生动、有趣的教学情境，激发学生的学习兴趣。
在情境中，教师可以引导学生从多个角度去思考问题，从而实现一题多解。
2. 引导学生分析问题，明确解题思路在解题过程中，教师应引导学生分析问题的本质，明确解题思路。
通过引导学生从不同角度分析问题，让学生学会运用多种方法解决问题。
3. 鼓励学生创新思维，探索解题方法教师应鼓励学生在解题过程中，勇于创新思维，探索解题方法。
通过一题多解，让学生体会到数学的魅力，提高学生的综合素质。
4. 优化教学资源，丰富解题方法教师应根据学生的实际情况，优化教学资源，丰富解题方法。
通过收集、整理、分享各类解题方法，为学生提供更多解决问题的思路。
5. 开展小组合作学习，提高解题能力教师可以组织学生进行小组合作学习，让学生在交流、讨论中互相启发，共同提高解题能力。
在小组合作中，学生可以从不同角度去思考问题，实现一题多解。
6. 及时反馈，调整教学策略教师在教学过程中，应及时关注学生的学习情况，对教学策略进行调整。
对于学生在解题过程中遇到的问题，教师要给予耐心指导，帮助学生克服困难。
四、一题多解的效果评价1. 提高学生的思维能力一题多解能够有效提高学生的思维能力，让学生从不同角度去思考问题，培养创新意识和解决问题的能力。
2. 提高学生的解题能力通过一题多解，学生可以掌握多种解题方法，提高解题能力。
高中一题多解教案设计模板
课程名称：高中数学课时：2课时教学目标：1. 让学生理解一题多解的概念，掌握多种解题思路和方法。
2. 培养学生的创新思维和逻辑思维能力，提高解题能力。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学生的自信心。
教学重点：1. 一题多解的概念和基本思路。
2. 不同解题方法的运用和比较。
教学难点：1. 解题方法的创新和优化。
2. 不同解题方法之间的联系和区别。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 典型的题目若干。
3. 解题技巧和方法的相关资料。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 引导学生回顾已学过的解题方法，提出一题多解的概念。
2. 强调一题多解在数学学习中的重要性。
二、新课讲解1. 举例说明一题多解的基本思路，如分析法、综合法、换元法等。
2. 讲解不同解题方法的运用，以具体题目为例，让学生体会一题多解的思路。
三、课堂练习1. 布置典型题目，要求学生运用一题多解的方法解题。
2. 学生分组讨论，教师巡视指导，帮助学生找到解题思路。
四、解题技巧分享1. 学生分享自己找到的解题方法，教师点评并总结。
2. 引导学生比较不同解题方法的优缺点，提高解题技巧。
五、课堂小结1. 总结一题多解的基本思路和解题方法。
2. 强调一题多解在数学学习中的重要性。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课的内容，回顾一题多解的基本思路和解题方法。
2. 引导学生思考如何优化解题方法。
二、新课讲解1. 讲解解题方法的创新和优化，如构造法、归纳法等。
2. 以具体题目为例，展示如何运用创新方法解题。
三、课堂练习1. 布置创新题目，要求学生运用创新方法解题。
2. 学生分组讨论，教师巡视指导，帮助学生找到创新解题思路。
四、解题技巧分享1. 学生分享自己找到的创新解题方法，教师点评并总结。
2. 引导学生分析不同解题方法的联系和区别，提高解题技巧。
五、课堂小结1. 总结一题多解的创新方法和优化技巧。
2. 强调创新思维在数学学习中的重要性。
教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，评价学生对一题多解的理解和掌握程度。
数学一题多解应用题教学案例
数学一题多解应用题教学案例在数学教学中，让学生学会一题多解，有利于启迪思维，开阔视野，全方位思考问题，分析问题；有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧。
而采用一题多变的形式，可以训练学生积极思维，触类旁通。
提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性。
两者都有利于学生提高解决综合问题的能力，有利于培养学生的探索精神；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法。
一、课堂教学中合理引导学生从多个角度解决问题案例一：两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。
一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？【分析1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？55×5=275（千米）另一辆汽车行驶了多少千米？45×5=225（千米）甲、乙两地相距多少千米？275+225=500（千米）综合算式：55×5+45×5=275+225=500（千米）师评价：这种方法好。
【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法2】两车每小时共行驶多少千米？55+45=100（千米）甲、乙两地相距多少千米？100×5=500（千米）综合算式：（55+45）×5=100×5=500（千米）。
师评价：这种解法妙。
【分析3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。
由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。
【解法3】设甲乙两地相距x千米。
x÷5=55+45x=100×5x=500师评价：此种解法真优美【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。
【解法4】设甲乙两地相距x千米。
x-55×5=45×5师评价：此种解法真新颖。
高中一题多解教案设计模板
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）让学生掌握一题多解的基本概念和原则；（2）培养学生运用多种方法解决问题的能力；（3）提高学生的逻辑思维和创新能力。
2. 过程与方法目标：（1）通过引导学生分析问题，激发学生的探究兴趣；（2）通过小组合作，培养学生的团队协作能力；（3）通过实践操作，提高学生的动手能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）培养学生独立思考、勇于创新的精神；（2）激发学生对数学学科的兴趣和热爱；（3）培养学生团结互助、共同进步的品质。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）一题多解的基本概念和原则；（2）运用多种方法解决问题的能力。
2. 教学难点：（1）如何引导学生发现一题多解的方法；（2）如何培养学生的创新思维。
三、教学过程1. 导入新课（1）创设情境，提出问题，激发学生的兴趣；（2）引导学生回顾已学知识，为新课做好铺垫。
2. 新课讲解（1）讲解一题多解的基本概念和原则；（2）分析一题多解的典型例题，引导学生发现解题方法；（3）组织学生分组讨论，尝试运用多种方法解决问题。
3. 小组合作（1）每组选择一个典型问题，进行一题多解的讨论；（2）每组汇报讨论成果，展示解题方法；（3）教师点评，总结各组的优点和不足。
4. 实践操作（1）学生自主选择问题，进行一题多解的练习；（2）教师巡视指导，解答学生的疑问；（3）学生分享自己的解题经验，互相学习。
5. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结一题多解的基本概念和原则；（2）强调一题多解的重要性，鼓励学生在日常生活中运用所学知识。
四、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识；2. 选择一个实际问题，尝试运用一题多解的方法解决；3. 撰写一篇关于一题多解的心得体会。
五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的个体差异，因材施教；2. 引导学生积极参与课堂活动，培养学生的团队协作能力；3. 注重培养学生的创新思维，激发学生对数学学科的兴趣；4. 及时总结教学经验，不断改进教学方法。
高中一题多解教案模板
课时：2课时年级：高一教材：《高中数学》教学目标：1. 让学生了解一题多解的概念，掌握一题多解的基本方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识，提高解题技巧。
3. 培养学生合作交流、探究解决问题的能力。
教学重点：1. 一题多解的概念及基本方法。
2. 解题技巧和策略。
教学难点：1. 如何引导学生从不同角度思考问题。
2. 如何激发学生的创新意识。
教学过程：第一课时一、导入1. 提问：同学们，你们在解题过程中是否遇到过一题多解的情况？2. 引出课题：今天我们一起来探讨一题多解。
二、新课1. 一题多解的概念（1）讲解一题多解的定义：一题多解是指在解决同一问题时，可以从不同的角度、运用不同的方法得到多个正确的答案。
（2）举例说明一题多解的例子。
2. 一题多解的基本方法（1）分析法：从已知条件出发，逐步推导出结论。
（2）综合法：从结论出发，逐步推导出已知条件。
（3）图解法：利用图形的性质解决问题。
（4）归纳法：通过对特殊情况的观察，总结出一般规律。
三、课堂练习1. 布置一题多解的练习题，让学生尝试从不同角度解题。
2. 学生分组讨论，互相交流解题方法。
四、课堂小结1. 总结一题多解的概念及基本方法。
2. 强调一题多解的重要性。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学的知识，提问学生一题多解的概念及基本方法。
2. 引导学生回顾课堂练习中的题目，总结解题经验。
二、新课1. 一题多解的技巧与策略（1）从不同角度思考问题，如从几何、代数、逻辑等角度分析问题。
（2）灵活运用各种数学工具，如图形、公式、定理等。
（3）培养创新意识，勇于尝试新的解题方法。
2. 案例分析（1）选取一题多解的典型题目，分析解题过程。
（2）引导学生总结解题经验，提高解题技巧。
三、课堂练习1. 布置一题多解的练习题，让学生运用所学知识解题。
2. 学生分组讨论，互相交流解题心得。
四、课堂小结1. 总结一题多解的技巧与策略。
2. 强调一题多解在数学学习中的重要性。
二年级一题多解教学设计
二年级数学《一题多解》教学设计一、教学目标：知识与技能1、通过合作学习、自主探究，进一步理解乘加的意义，能正确进行有关实际问题的计算。
2、训练学生思维的灵活性，用多种方法灵活计算乘加，实现运算多样化。
3、从情景图提取有用的信息，提问并解答，提高分析问题、解决问题的能力。
过程和方法;1、让学生在独立思考的基础上进行小组合作，共同寻找解决问题的途径和方法。
情感、态度和价值观：1、让学生体会数学知识的趣味性，激发学生的求知欲。
2、感受到数学与生活的密切联系，体验到生活中处处有数学。
二、教学重点：1、能够利用乘法解决简单实际问题.2、引导学生发现问题、提出问题并解决问题。
三、教学难点：用多种方法解决同一问题。
四、说教学过程：一、情境启发对口令：7、8、9的乘法口诀。
（有节奏地进行对口令：师生对、生生对）3、创设情景小鲤鱼泡泡要闯关需要我们帮忙解决问题。
（1）学生看图列式口答问题.这幅图要求学生画一画在列式，式子板书在黑板上。
引入新课板书课题解决问题二、学习新知出示例5老师准备明天带你们去平凉庄小学参观。
有2名教师和32名学生，租下面的客车，坐得下吗？1. 出示（座位示意图）请学生观察，你发现了什么？（1）2名教师和32名学生这辆车坐的下吗？（2）学生先独立解决？小组交流总结。
教师总结。
三、巩固练习1、出示口算题2、我们班32个学生，每人吃一个，这些鸡蛋够吗？（1）学生读题，找出解决问题的方法。
（2）列式计算，找出最简单的方法。
（3）对学生进行营养午餐和爱国教育。
3、课后第2题（1）学生读题，找解决问题的办法。
（2）学生独立完成，全班交流。
4、李叔叔送来30盆鲜花，他想摆出像右图这样一个花坛，这些花够吗？学生自己说说解决这一题的方法，教师评讲。
5、小亮一共有40节车轮，他能组装出一列有6节车箱的小火车吗？车头用了8节车轮。
为什么？6、（2）小文用16元钱买了同一种花送给妈妈，猜猜她买的是什么花？买了几只？（3）你还能提出什么数学问题，并解答吗？这一题因为有三问，让学生一个一个的解答。
第十一节 一题多解-教师版
第十一节 一题多解一、重点提示一题多解，就是因思考的角度不同，可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展思维能力，提高分析解决问题的能力。
二、方法总结从代数与几何的角度看，研究问题可以考虑代数几何两个方面或代数几何相结合；从解决问题的具体方法上考虑，选择参数可以考虑点坐标或斜率等。
三、热身运动【例1】已知圆心在直线y =−4x 上，且圆与直线l:x +y −1=0相切于点P （3，-2），求该圆的方程？ 解一（待定系数法）设圆的标准方程为(x −a)2+(y −b)2=r 2(r >0)则2224(3)(2)b a a b r r⎧⎪=-⎪-+--=⎨⎪=解得14a b r ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩所以，圆的方程为22(1)(4)8x y -++=解二（直接法）因为过切点P （3，-2）且与直线l:x +y −1=0垂直的直线为y +2=x-3， 所以，将y +2=x-3与y =-4x 联立，得圆心坐标（1，-4） 所以，半径r =2√2所以，圆的方程为22(1)(4)8x y -++= 解三（圆系法）设圆的方程为22(3)(2)(-10x y x y λ-++++=） 圆心坐标-6+4--22λλ（，）因为圆心在直线y =−4x 上， 所以+4-6-=--22λλ4（）解得=4λ所以，圆的方程为22(1)(4)8x y -++=【例2】已知圆C 过点P （1,1），且与圆M ：222(+2)(2)=(0)x y r r ++>关于直线x+y+2=0对称。
（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值。
解：（1）因为圆M 的圆心M （-2，-2） 设C （m ，n ）因为C 与M 关于直线x+y+2=0对称所以2220222(1)12m n n m --⎧++=⎪⎪⎨+⎪⋅-=-⎪+⎩解得m=n=0 所以C （0,0）所以圆C 的方程为222x y += （2）设Q （x ，y ） 则222x y +=所以224PQ MQ x y x y ⋅=+++-解①（截距法）2PQ MQ x y ⋅=+- 设x+y=b≤所以22b -≤≤所以PQ MQ ⋅的最小值为-4 解②（三角换元）令x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 2sin()24PQ MQ πθ⋅=+-所以sin()14πθ+=-时PQ MQ ⋅的最小值为-4解③（均值不等式） 因为22+2,,x y xy x y R ≥∈所以||2x y +≤ 所以-2≤x+y ≤2PQ MQ ⋅的最小值为-4解④（数形结合法）22119()()222PQ MQ x y ⋅=+++-而（x,y ）到11(,)22--距离的平方的最小值为12所以PQ MQ ⋅的最小值为-4【例3】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【例4】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2， 过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则C 的离心率为____． 【答案】2【解析】法一：由1F A AB =可得1，，F A B 三点共线且A 为线段1F B 的中点，由题意知F 1，F 2的坐标分别为(,0),(,0)-c c ，设A 点的坐标为(,）-b x x a ，B 点的坐标为11(,）x y ，由1F A AB =可得11(,(,）=）+--+b b x c x x x y x a a ，解得B 点的坐标为2(2,）+-b x c x a ，所以1222=(22,),2,（）+-=-b bF B x c x F B x x a a，又120FB F B ⋅=， 则有22242(22)0++=b x x c x a （1），又2=(2)-⨯+b b x x c a a 可得4=-c x ，代入（1）式得223=b a，∴该双曲线的离心率为2c e a ====． 法二：如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线， 即22,2.BF OA BF OA =∥由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥ ∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠ 又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠= 又渐近线OB的斜率为tan 60ba=︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 60ba=︒=. 【例5】【2016年高考数学新课标Ⅲ卷文科12题】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）． ．． D ．【解析】方法一：几何法:令为的中点∽，，，又∽，，，方法二：代数法解：由题意可设，，，令，代入椭圆方程可得，可得，设直线的方程为，令，可得O F C )0(12222>>=+b a by a x B A ,C P C x PF ⊥A l PF M y E BM OE C A 31B 21C 3243N EO NOB ∆MFB ∆aca BO BF NO MF +==∴MF c a a NO +=∴NO EO 2=∴MF c a a EO +=∴2AMF ∆AEO ∆AOAFEO MF =∴a c a ac a -=+∴2c a 3=∴31=∴e )0,(c F -)0,(a A -)0,(a B c x -=a b ac b y 2221±=-±=),2a b c P -（AE )(a x k y +=c x -=令，可得设的中点为，可得由三点共线，可得，即为，化简可得，即，可得选： 方法三：几何代数结合法设直线的方程为，令，可得令，可得 设的中点为，可得，∽，四、方法识别【例6】已知曲线22:(5)(2)8()C m x m y m -+-=∈R （Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ,直线1y =与直线BM 交于点G . 求证：,,A G N 三点共线.（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--，由题意可得：885285802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得752m <<. （Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=.232(23)0k ∆=->.解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M Nx x k =+ ② 设(,4),(,4),(,1)N N M M G N x kx M x kx G x ++,)(,-）（c a k c M -0=x ,,0）（ka E OE H ,2,0）（kaH M H B ,,BMBH k k =ac c a k a ka---=-)(221=+-c a c a c a 3=31==a c e A AE )(a x k y +=c x -=,)(,-）（c a k c M -0=x ,,0）（ka E OE H ,2,0）（ka H HOB ∆MFB ∆a c a BO BF HO MF +==∴a ca ka c a k +=-∴2)(c a 3=∴31=∴eMB 方程为：62M M kx y x x +=-，则3(,1)6MM x G kx +， 3(,1),(,2)6MN N M x AG AN x x k kx ∴=-=++欲证,,A G N 三点共线.，只需证,AG AN 共线， 即3(2)6MN N M x x k x kx +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ ③将①，②代入易知等式③成立，所以,,A G N 三点共线.【解2】由已知直线4y kx =+代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=.232(23)0k ∆=->.解得：232k >设1122(,),(,)M x y N x y 由韦达定理得：1221621k x x k +=+①，1222421x x k =+ ② 设直线AN 交y=1于'G ，直线BM 交y=1于G 则直线AN ：2222y y x x -=+ 当y=1时，2'22G x x y -=- 直线BM ：1122y y x x -=- 当y=1时，1132G x x y =+ 所以121212'1212346()022(6)(2)G G x x kx x x x x x y y kx kx ++-=+==+-++ 所以G 与'G 点重合 所以,,A G N 三点共线.【例7】【2016年北京文科数学第19题】已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：22221x y a b+=四边形ABNM 的面积为定值.解：（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又223c a b =-=， 所以离心率32c e a ==．（II ）解法一：设，得，由 A （2,0），得：， 可得 由B （0,1），得： 可得 从而有 == =从而四边形ABNM 的面积为定值，定值是2（II ）解法二由P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，不妨设， 由B 、N 、P 三点共线，得,即可得00(,)P x y 220044x y +=00(0,0)x y <<AP 000(2)2y y x x -=--002(0,)2y M x --BP 0011(0)y y x x --=-00(,0)1x N y --111==222BNA MNA BNMA S S S AN OB AN OM AN BM ∆∆+=+四边形00002121212x y yx ++--22000000004422122(1)(2)y y x x x y y x -+-++--00000000442212222y x x yy x x y --++--+2=(2cos ,sin )P θθ3(,)2πθπ∈BN BP λ=⎩⎨⎧-=-=)1(sin 1cos 2θλθλN x 2cos (,0)1sin N θθ-同理由A 、M 、P 三点共线，可得从而有==从而四边形ABNM 的面积为定值，定值是2 （II ）解法三由已知P 为第三象限内一点，可设，， 得：由A （2,0），B （0,1），，得，可得又由P 在椭圆C 上，得 化简得 从而有 ==从而四边形ABNM 的面积为定值，定值是2五、综合应用【例8】已知点(1,2A -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，O 为坐标原点，直线l ：2212x a b-=的斜率与直线OA 的斜率乘积为14- （1）求椭圆C 的方程；sin (0,)1cos M θθ-111==222BNA MNA BNMA S S S AN OB AN OM AN BM ∆∆+=+四边形12cos sin 2121sin 1cos θθθθ----)cos 1)(sin -1cos 2sin 2cos sin 22221θθθθθθ---++（2=(,0)N a (0,)M b (20,10)a b -<<-<<MN 1x ya b+=(0,)M b (,0)N a :1:12x BN y ax y AM b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2(1)2(,)22a b ab b P ab ab ----222(1)2[]4()422a b ab b ab ab --+=--22ab a b --=111==222BNA MNA BNMA S S S AN OB AN OM AN BM ∆∆+=+四边形1212a b --1222b a ab --+2=（2）不经过点A 的直线l：y x t =+（0t ≠且t R ∈）与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：AM AN =.【答案】（Ⅰ）2214x y +=（Ⅱ）见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到2214OA l b k k a ⋅=-=-，得到224a b =，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得2,1a b ==，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数，列式，可证. 【详解】（Ⅰ）由题意，2212124OA b k k a ⋅=-=-=-，即224a b =① 又221314a b +=② 联立①①解得21a b =⎧⎨=⎩，所以，椭圆C 的方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设()11,P x y ，()22,Q x y ，()11,R x y --，由22214y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2210x t ++-=，所以240t ∆=->，即22t -<<，又因为0t ≠，所以，()()2,00,2t ∈-⋃，12x x +=，2121x x t ⋅=-，解法一：要证明AM AN =，可转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数，只需证明0AM AN k k +=，即证明0AQ AR k k +=.12122211AQ ARy y k k x x -++=++-()()()()1221121111y x y x x x ⎛⎛--+++ ⎝⎭⎝⎭=+-∴()()()()1221121111t x t x x x +-+++⎝⎭⎝⎭=+-()()()12121211x t x x x x ++=+-)()()()2121011t t x x -+==+- ∴0AM AN k k +=，∴AM AN =.解法二：要证明AM AN =，可转化为证明直线AQ ，AR 与y 轴交点M 、N 连线中点S的纵坐标为AS 垂直平分MN 即可.直线AQ 与AR的方程分别为：()222:121AQ y l y x x ++=--，()112:11AR y l y x x -++=---，分别令0x =，得2221M y y x -=-1121N y y x -+=+而21212211M N y y y y x x ---+=+-+M N y y +=2MN S y y y +==， 即AS 垂直平分MN .所以AM AN =.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.【例9】已知椭圆E ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，且F 1，F 2与短轴的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P（2E 上，过点F 2作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B ，C ，D 且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点 （1）求椭圆的方程（2）求证：直线MN 过定点R （23，0） （3）求△MNF 2面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）见解析；（3）△MNF 2面积的最大值为19． 【解析】 【分析】（1）由题意可得：b =c ，将点代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆的标准方程；（2）方法一：设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得M 和N 点坐标，求得MN 方程，y 21m m =-（32x ﹣1），令32x ﹣1=0，可得x 23=，即有y =0，则直线MN 过定点R（23，0）； 方法二：化简整理求得直线MN 的方程，2（m 4+m 2﹣2）y =（m 3+2m ）（3x ﹣2），即可证明直线MN 过定点R （23，0）； 方法三：分别求得MR 的斜率，将m 用1m -代换，求得k NR ，由k MR =k NR ，直线MN 过定点R （23，0）； （3）方法一：△F 2MN 面积为S 12=|F 2H |•|y M ﹣y N |，由（2）可知M 和N 点坐标，根据函数的单调性即可求得△MNF 2面积的最大值；方法二：根据两点之间的距离公式|MF 2|及|NF 2|，则△MNF 2面积S 12=⨯|MF 2|×|NF 2|，根据函数的单调性即可求得△MNF 2面积的最大值．【详解】（1）∵椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）经过点P（22，）且F 1，F 2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，则b =c ，a 2=b 2+c 2=2b 2，∴22131224b b+=⨯，解得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆方程为2212x y +=；（2）证明：设直线AB 的方程为x =my +1，m ≠0，则直线CD 的方程为x 1m=-y +1， 联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得（m 2+2）y 2+2my ﹣1=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2222m m =-+，y 1y 2212m =-+，∴x 1+x 2=（my 1+1）+（my 2+1）=m （y 1+y 2）+2242m =+， 由中点坐标公式得M （222m +，22mm -+），方法一：将M 的坐标中的m 用1m -代换，得CD 的中点N （22221m m +，212m m+），k MN ()2321m m =-， 直线MN 的方程为y ()223221m m m m +=+-（x 222m -+），即为y 21m m =-（32x ﹣1）， 令32x ﹣1，可得x 23=，即有y =0，则直线MN 过定点R ，且为R （23，0），方法二：将M 的坐标中的m 用1m -代换，得CD 的中点N （22221m m +，212m m +）， 则y ()223221m m m m +=+-（x 222m -+），整理得：2（m 4+m 2﹣2）y =（m 3+2m ）（3x ﹣2）， ∴直线MN 过定点R （23，0） 方法三：则k MR ()222032222123m m m m m --+==--+，则k NR ()221331212[)1m m m m ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==⎛⎤--- ⎥⎝⎦，∴k MR =k NR ， ∴直线MN 过定点R （23，0） （3）方法一：△F 2MN 面积为S 12=|F 2H |•|y M ﹣y N |12=（123-）•|22212m m m m --++|12=|342252m mm m +++|12=|221125m m m m +⎛⎫++ ⎪⎝⎭|，令m 1m +=t （t ≥2），由于2t 1t +的导数为221t -，且大于0，即有在[2，+∞）递增．即有S 12=•21212t t =+•112t t+在[2，+∞）递减，∴当t =2，即m =1时，S 取得最大值，为19；则△MNF 2面积的最大值为19方法二：|MF 2|==|NF 2|2()2m=-+， 则△MNF 2面积S 12=⨯|MF 2|×|NF 2|2114()2mm m m+=++，令m 1m +=t （t ≥2），则S 21124294t t t t ==≤++，当且仅当t =2即m =1时，△MNF 2面积的最大值为19．∴△MNF 2面积的最大值为19．【例10】【2016年全国卷II 理科数学第20题】已知椭圆E:的焦点在轴上，A 是E 的左顶点，斜率为的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . （I ）当，时，求△AMN 的面积； （II ）当时，求k 的取值范围. 【答案】⑴； ⑵【知识点】（1）直线与椭圆的位置关系；（2）弦长公式；（3）高次不等式求解。
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深本数学教案东小庄小学一题多解训练，就是启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析、解答同一道数学题的练习活动。
上这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
怎样上一题多解训练课？下面仅就多步应用题教学过程中的一题多解训练课，初略地介绍一下我的基本做法：在实际教学中，我一般采用以下两种方法：1．一般的一题多解的练习。
题目是由浅入深，由易到难。
解法、时间、速度等要求逐步提高。
2．看谁的解法多。
我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
所以，在实际训练中，我们不能满足于学生会用几种一般的方法来分析解答应用题。
如果只以一般的几种解法为满足，对学生通过多向思维求得的其他解法特别是一些较为复杂的解法不提倡，不鼓励，甚至还挖苦、批评、责备学生，这样就会挫伤学生思维的积极性，影响学生的学习兴趣，不利于培养学生的创造能力。
实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。
学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。
我们就越应当给予肯定和鼓励。
对于学生“别出心裁”、“独辟蹊径”的解题方法，我总是给以表扬和鼓励。
这对激发学生的学习兴趣，调动一题多解的积极性是很有好处的。
第一课进行一题多解的实际练习1．一般的一题多解的练习。
题目是由浅入深，由易到难。
解法、时间、速度等要求逐步提高。
题1：南北两城的铁路长357公里，一列快车从北城开出，同时有一列慢车从南城开出，两车相向而行，经过3小时相遇，快车平均每小时行79公里，慢车平均每小时比快车少行多少公里？解法1 [357-(79×3)]÷3=[357-237]÷3=120÷3=40(公里)即慢车平均每小时行40公里，已知快车平均每小时行79公里，∴慢车平均每小时比快车少行多少公里就是79-40=39(公里)答：慢车平均每小时比快车少行39公里。
解法2 79-(357÷3-79)=79-(119-79)=79-40=39(公里)答：(同上)解法3 设慢车平均每小时行x公里79×3+3x=3573x=357-2373x=120x=40(公里)79-40=39(公里)答：(同上)……2．看谁的解法多。
例如：上面的题1，除了那三种解法之外，学生还想出以下十几种解法：解法4 设慢车平均每小时行x公里(79+x)×3=357237+3x=3573x=357-2373x=120x=40(公里)79-40=39(公里)答：(同上)解法5 设慢车平均每小时行x公里3x=357-79×3……解法6 设慢车平均每小时行x公里357-3x=79×3……解法7 设慢车平均每小时行x公里79+x=357÷3……解法8 设慢车平均每小时行x公里357÷3-x=79……解法9 设慢车平均每小时比快车少行x公里(79-x)×3+79×3=357474-3x=3573x=117x=39(公里)答：(同上)解法10 设慢车平均每小时比快车少行x公里(79-x+79)×3=357……解法11 设慢车平均每小时比快车少行x公里(79-x)×3=357-79×3……解法12 设慢车平均每小时比快车少行x公里357-(79-x)×3=79×3……解法13 设慢车平均每小时比快车少行x公里79+(79-x)=357÷3……解法14 设慢车平均每小时比快车少行x公里357÷3-(79-x)=79……解法15 设慢车平均每小时比快车少行x公里79-x=357÷3-79……一道应用题，学生能够想出这么多的解法，表明学生的思路很开阔，思维很灵活。
智力发达的同学争先恐后，智力较差的同学也积极动脑。
全班同学都进入积极的思维状态，互相启发，不甘落后，课堂气氛很活跃，学生的学习积极性都可以调动起来。
第二课：口述不同的解题思路和解题方法口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的(或叫新的)解题思路和解题方法，不用具体解答。
它是进行一题多解实际练习的另一种形式。
这种练习和前一种练习所不同的地方是：前一种练习偏重于学生动脑动手，进行一题多解的实际练习；这种练习偏重于学生动脑动口，寻求新的解题思路和不同的解题方法。
简言之，前者是动脑动手，后者是动脑动口。
进行这种训练，主要是为了使学生在单位时间内更多地、更好地认识和掌握应用题的多种解法，提高一题多解训练的课堂教学效率。
在实际教学中，这种练习我一般是采取全班和分组两种形式交错进行。
开始，全班同学一起，分别对某一道应用题口述不同的解题思路和解题方法，一人一次口述一种。
然后分组进行，便于增加学生口述的机会，达到人人动脑，人人口述。
这种练习的基本过程是：先全班后小组再全班。
这样交错进行。
好、差学生都有口述机会，达到共同提高的目的。
例1 两地相距383公里，甲乙两人从两地相向而行，甲先走1天，一共走5天才和乙相遇，已知每天甲比乙多走10公里，问甲乙两人每天各走多少公里？口述1：甲走5天，乙仅走5-1=4(天)。
假如甲每天比原来少行10公里，则与乙的速度相等。
那么甲行5天，乙行4天，就相当于乙行5+4=9(天)，这时两人还相距10×5=50(公里)。
乙9天共行383-50=333(公里)，乙每天走的就可以求出来了。
乙每天走多少公里知（绿色圃中小学教育网 原文地址/thread-8645-1-1.html）道了，甲每天走的也就可以知道了。
口述2：甲行5天，乙行4天，假如乙每天比原来多行10公里，则与甲的速度相等。
那么甲行5天，乙行4天，就相当于甲行5+4=9(天)，这样两人所走的路程的和就要多出10×4=40(公里)。
即甲9天共行383+40=423(公里)，所以甲每天走的就可以求出来了。
甲每天走的知道了，乙每天走的也就可以知道了。
口述3：除上述两种方法外，本题还可以用列方程来解。
设甲每天行x公里，那么乙每天行的就是(x-10)公里，已知甲行5天，乙行4天，两地相距383公里，则可列出方程：5x+4×(x-10)=383解方程，就可以求出甲每天行多少公里，甲每天行的求出来了，乙每天行的也就可以求出来了。
本题也可以设乙每天行x公里，则甲每天行的就是(x+10)公里。
已知甲行5天，乙行4天，两地相距383公里，则可列出方程：(x+10)×5+4x=383解方程，就可以求出乙每天行多少公里，乙每天行的求出来了，甲每天行的也就可以求出来了。
……实践证明，口述不同的解题思路和解题方法，不仅可以促使学生积极动脑，努力探求应用题的多种解法，培养和锻炼学生的逻辑思维能力和语言表达能力，而且可以帮助学生在较短的时间内把应用题的多种不同解法都挖掘出来，这对学生更好地认识和掌握应用题的各种解法，提高分析解答应用题的能力和效率等都有重要作用。
第三课：引导学生自己找出最简便的解法引导学生自己找出最简便的解法，就是在上面两步练习的基础上，在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在分析比较，相互讨论、相互争论的过程中，找出最简便的解题方法。
这一过程，就是一个继续思维的过程，也是一个对应用题的各种解法的再认识的过程。
它是一题多解训练的一个不可忽视的环节。
学生通过前面两步的训练，求得应用题的多种解法之后，解题思维不能到此完结，对各种解题方法的认识也不是非常深刻。
学生求得的几种解题方法是否完全正确，分析解题的过程是否都很恰当，哪些是一般的解法，哪些是自己的创新，哪种解法简便等等，这些都要引导学生自己去进一步思维，进一步去认识。
否则是对是错，是优是劣，是简是繁，学生都不知道，这样就不能达到提高学生解题能力的目的。
只有通过引导学生自己对上述求得的各种解题方法进行逐一比较，展开热烈的讨论或争论，才能真正把握应用题的最简便的解题方法，才能进一步提高解答应用题的能力和效率。
例1 幸福小学原计划买12个篮球，每个72元，从买篮球的钱中先拿出432元买足球，剩下的钱还够买几个篮球？解法1 (72×12--432)÷72＝432÷72=6(个)答：剩下的钱还可以买6个篮球。
解法2 12-432÷72=12-6=6(4)答：(同上)解法3 设剩下的钱还可以买x个篮球72x=12×72-43272x=432x＝6答：(同上)解法4 设剩下的钱还可以买x个篮球72x+432=72×1272x+432＝86472x=864-43272x=432x=6小学数学应用题一题多解教学反思本题上述多种解法，思维分析过程不同，解法和运算过程也不同。
解法1是一般的思维和一般的算术解法；解法3，4……是列方程的解法。
解法2也是算术解法，但解题思路新，解答方法、解题过程简便。
当一个学生说出这个解题思路：“把拿出432元买足球的钱看作是少买了几个篮球的钱，再用计划买的12个篮球数减掉少买的篮球数所得的差，就是所求的答案。
”列出：“12-432÷72”这个式子后，全班同学连连点头，纷纷称赞这位同学的解题思路独特又有新意，解题方法简便，解题过程简单。
实践证明，进行这种训练，让学生在比较、讨论、争论中，找出最简便的解法和独特的富有新意的解题思路，有利于加深学生对多种解题方法的认识，从而更熟练地把握应用题的多种分析解题方法。
一题多解训练，应当注意以下几点：(1)目的要明确。
上这种课，不是单纯地追求一题多解，而是要通过这种练习活动，达到锻炼学生的思维，拓宽学生的思路，增长学生的知识，培养和提高学生创造性学习能力这个根本目的。
所以，教学内容的安排，教学活动的组织，教学方法的选择等等，都要有利于实现这个根本目的。
这是上这种课的总要求。
(2)要注意把握上这种课的时间。
这种课必须要在学生对有关的知识和技能熟练掌握的基础上进行。
如果学生对有关的知识和技能没有熟练掌握，就谈不上灵活运用，就谈不上纵向、横向联系，也就不能进行一题多解。
所以，上这种课，一般是在学生对某一部分知识或某几部分知识熟练掌握的时候，在综合练习时进行。
学生对基础知识掌握得越深刻，越透彻；基本技能越娴熟，越灵活，就越能够进行一题多解，上这种课就越能收到好的效果。