高一数学下学期期末测试卷(人教版)
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
17.(10分）在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若
（1）求c的值；
（2）求sinC的值.
18.(12分）已知 .
（1）求tanβ：
（2）求sin2α.
19.(12分）已知函数 （其中a∈R）.
（1）当a＝－1时，解关于x的不等式 ；
【解析】
【分析】
先将直线方程 化为： ，再利用两平行线间的距离公式求解.
【详解】直线方程 化为： ，
所以两条平行直线 与 的距离是：
.故选：D
【点睛】本题主要考查两平行线间 距离的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7.A
【解析】
【分析】
分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、 、 、 ，由题意结合平面几何的知识可得 、 、 或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解.
所以点 到直线 的距离为 ，
所以圆M： ，
对于A、B，圆M的圆心 到直线 的距离 ，所以圆上的点到直线 的最小距离为 ，最大距离为 ，故A正确，B错误；
对于C，令 即 ，当直线 与圆M相切时，圆心 到直线的距离为 ，解得 或 ，则 的最小值是 ，故C正确；
对于D，圆 圆心为 ，半径为 ，若该圆与圆M有公共点，则 即 ，解得 ，故D正确.故选：ACD.
5.过圆 上一点M（－1.2）作圆的切线l，则l的方程是（）
A. B. C. D.
6.两条平行直线 与 的距离是（）
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥S－ABC中，SB＝SC＝AB＝AC＝BC＝4，SA＝2 ，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（）
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
人教版202X-202X 学年下学期期末考试卷 局一 数学 （总分值：150分时间：120分钟）第I 卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题12个小题，每题5分，共60分，每小 题只有一个选项符合答案. 1 .直线厂y + l=0的倾斜角为（） A.* B.^ C.生 D.色 4 4 2 4 2. 数列｛%｝是各项都为正数的等比数列，％%=25,那么％=（）AJO B.6 C.5 D.43. 抛物线x = 2y2的准线方程为（）A. y = -•-B. y = —2C. x = —lD. x = 2 84. 在△ABC 中，AB = 5, sinA = 2sinC, cosB = -,那么△ABC 的面积为（5）A.10B.15C.20D.305. 与直线4：x+y + 3 = O 和l 2:x +y +\ = 0都相切的圆的直径为（）A.V2B.2C.lD.豆 2O 睫救 ' ■E°忿8.双曲线。
:±-分=1（。
〉0,人〉0）的离心率为此，A 为C 上的点, F 为C 的右焦点，且AF 垂直于尤轴.假设|AF| = 2,那么C 的方程为（）2 2 2 2C.土-七=1D.土-匕=1 4 8 4 2那么一」+ —」的最小值为（） m+\ n+2C.2 4 10. 过抛物线尸=6尤的焦点F 的直线/与抛物线交于A , 8两点,线段仙的中点M 在直线y = l 上，。
为坐标原点，那么的面积A.*^B.4V5C.匝D.92 2 11 .在dlBC 中，ZBAC 的平分线交时于Z ） .假设ZBAC = - , A8+AC = 4, 3那么AO 长度的最大值为（）2 7 6.曲线&+3=i 与曲线土+瑚*=财＜9）的（） X 2 ¥ A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等 7 .实数 y 满足线性约束条件 x + y > 4 x-y>2 ?那么z = x-2y 的最小值为 x<4 A.-2 B.-1 C.0 D.17 7 2 2 A.三-匕=1 B.土-匕=1 2 2 4 4 9. 正数用，〃满足 m+n=2, A.。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(2)(2)()1a a z a a i a R a ++++∈=-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1a ≠B ．0a =C ．0a =或2a =-D ．2a =- 2．如果α的终边过点(2sin,2cos )66ππ-，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．33．若向量()1,1a =，()2,5b =，()3,c x =，满足条件()824a b c -⋅=，则x 等于（ ）A ．6B ．2C ．4D ．34．关于直线m ﹑n 与平面α﹑β，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）①//m α，//n β且//αβ，则//m n ；②m a ⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③m a ⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥；④//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 5．在ABC 中，2()||BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形6．设函数6cos y x =与5tan y x =的图像在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图像于点B ，则线段AB 的长度为（ ） A 5B 35C 145D ．257．已知ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量sin (3,sin )A m B =，co s ()s 3B n A =．若1cos m n ⋅=+()A B +，则C =（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．75B ．3053C ．3203D ．40039．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-10．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC的外接圆的面积为3π，且2cos A 22cos cos 13sin sin B C A C -+=，则ABC 的最大边长为（）A ．2B ．3C 3D ．2311．在四面体P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P -ABC 外接球表面积为（ ） A ．12πB ．25πC ．809πD ．32411π12．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形．点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点），则ABC 周长的最小值是（）A 61+B 62+C 261+D 262+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z C ∈，且221z i --=，则22z i +-的最小值为_________． 14．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=_________．15．已知ABC 中，D是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．已知：平面l αβ⋂=，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分10分）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题已知函数()3sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值；（2）若32()()263f αππα=<<，求sin()3a π+的值．18．（本小题满分12分）如图．甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a =． （1）若25c=，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||2b =，且()(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 21．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos sin 3b A C a =+． （I ）求A 的值：（Ⅱ）若3a =，点D 在边BC 上．且2BD DC =，求AD 的最大值．22．（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDD CCBCC DB二、填空题：13．3 14．3 15．3216．543三、解答题：17．解析：（1）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==． 又()f x 的图像关于直线3x π=对称， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯． 因为22ππϕ-≤<，所以0k =． 所以2236πππϕ=-=-．（2）由（1）得3()3sin(2)226f ααπ=⋅-=， 所以1sin()64πα-= 由263ππα<<，得062ππα<-<， 所以22115cos 1sin 1664ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15sin sin cos 36264ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】解法一：如图，连接12A B ，由已知，22102A B =1220210260A A == ∴1222A A AB =，12218012060A A B ∠=︒-︒=︒ 又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒． ∴122A A B 是等边三角形，1212102AB A A ==．由已知，1120A B =．1211056045B A B ∠=︒-︒=︒在121A B B 中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B B AB AB AB AB =+-⋅⋅︒，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22220(102)220102200=+-⨯⨯=．∴12102B B =10260302=/h ）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结2A B ．由已知1220A B =．12202260A A ==112105B A A ∠=︒， ()cos105cos 4560cos45cos60sin 45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=-2(13)4-=()sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+2(13)4=在211A A B 中，由余弦定理，得22221111211122cos105A B AB A A AB A A ︒=+-⋅⋅222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯100(423)=+．∴2110(13)A B =+.由正弦定理，得1112111221sin sin A B A A B B A A A B ∠=⋅∠ 2(13)210(13)+==+．∴12145A A B ∠=︒，即122604515B A B ︒︒︒∠=-=．2(13)cos15sin105︒︒+==． 在122B A B 中，由已知，22102A B =由余弦定理,得22212212221222cos15B B A B A B A B A B ︒=+-⋅⋅． ∴12102B B =，2222(13)10(13)(102)210(13)1022004=++-⨯⨯=乙船速度的大小为1026030220⨯=/h ． 答：乙船每小时航行302海里．19．解：（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =，若||25c =，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅=．则由22||(2)2c λλ=+=，可得2λ=±，∴()4,2c =，或()4,2c =--．（2）∵5||2b =，且2a b +与a b -垂直， ∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅=，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题化简可得52b a ⋅=-，即55cos 5θ⨯=-， ∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．20．证明：（1）设AC BE O ⋂=，连结OF ，EC ，由已知可得：//AE BC ，AE AB BC ==， 四边形ABCE 是菱形，O 为AC 中点， 因为F 为PC 中点，所以//OF AP ，//AP 平面BEF ，OF ⊂平面BEF所以AP ∥平面BEF ．（2）由题意知，//ED BC ，ED BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形． 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ．所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形． 所以BE AC ⊥．又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC ．21．（1）由已知及正弦定理得sin cos 3s s n n i i A C C A B =+． 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠， ∴tan 3A =0A π<<，即3A π=．（2）解法一：设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得3322sin sin 3a A R π===⨯ 如图所示，取BC 的中点M ，在RtBOM 中，322BC BM ==， 222233(3)()2OM OB BM =-=-=在RtDOM中，12OM BD BM=-=， 222231()()122OD OM DM =+=-=． 31AD OD OD O R A +=+=≤，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 31．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解法二：在ABC 中，由正弦定理得：sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan 3A =又因为0A π<<，所以3A π=；由正弦定理得：in 23s b B =，in 23s c C =，在ABD 中，222224cos 24BA BD AD c AD B BA BD c +-+-==⨯在ABC 中，2222292c 6os BA B BC BC AC c b BA c+-+-==⨯所以222244946c D c b c c+-+-=， 整理得22221233AD b c =+-， 所以22221(23)3)233AD B C =+- 228sin 4sin 2B C =+- 44cos22cos2B C =--144cos22cos(2)3B B π=-+-43sin23cos2B =+- 43sin(2)3B π=+-，当sin(2)13B π-=，即512B π=时，2AD 取得最大值423+所以AD 31．22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，可得：10OB= 所以，圆锥的高为：515387515c 8m V =，侧面积为：275cm S π=． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA 中可得25cm MA =，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O 到直线AM 的距离减OB 长．解得：2cm ．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 四 总分 得分一、单选题（共8题，每题5分，共40分，每题4个选项中，只有一个符合题目要求） 1．20210是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2．设312iz i-=+，则z =（ ）A ．2B 3C 2D ．13．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m ⊥n ，则αβ⊥ ②若//m α，//n β，且m//n ，则//αβ ③若m α⊥，//n β，且m ⊥n ，则αβ⊥ ④若m α⊥，//n β，且m//n ，则αβ⊥ 其中正确的命题是（ ） A ．②③B ．①③C ．①④D ．③④4．已知sin 378a =︒，tan 211b =︒，cos282.5c =︒，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>5．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如sin a bx 的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数0.06sin180000y t =构成乐声的是（ ） A ．0.02sin360000y t = B ．0.03sin180000y t = C ．0.02sin181800y t =D ．0.05sin540000y t =6．已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，侧面均为全等的直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）．A ．223B 2C 2D 4237．“2sinx=cosx+1”是“1tan 22x =”，的（ ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 8．已知半径为2的扇形AOB 中，弧AB 的长为3π，扇形的面密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题积为ω，圆心角AOB 的大小为ϕ弧度，函数()sin()h x x πϕω=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x ）在区间[]2,0π-上是增函数C ．函数()h x 图象关于(3),0π对称D ．函数()h x 图象关于直线3x π=-对称二、多选题（共4小题，每题5分，共20分，每题4个选项中有多个正确选项，全部选对得5分，漏选得3分，错选得0分）9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角4π;D ．三棱柱1111 AA D BB C -外接球表面积为3π10．下列说法正确的有（ ）A ．在ABC 中，::sin :sin :sin a b c ABC = B ．在ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则a b =C ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >，若A B >，则sin sin A B>都成立D ．在ABC 中，sin sin sin A B b cCa +=+11．ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．(6)a b BC +⊥ 12．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，11AC 始终与水面所在平面平行密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题D ．当容器倾斜如图（3）所示时，AE AH ⋅为定值三、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若30A =︒，3a =，2c =，则sin C =______，b =________．（第一空2分，第二空3分）14．已知函数()2sin()(0,,)2x f x πωϕωϕπ⎡⎤=+>∈⎢⎥⎣⎦部分图象如图所示，其中()01f =，5||2MN =，则点M 的坐标为15．已知如图所示的三棱锥D -ABC 的四个顶点均在球O 的球皿上，ABC 和DBC 所在的平面互相垂直，3AB =，3AC =23BC CD BD ===O 的表面积为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点()00,p x y ，且()0op r r =>，定义：00y x rsos θ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为2,2⎡⎤⎣⎦；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线34x π=对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,2,44k z k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∈．其中正确的是_________．（填上所有正确性质的序号） 四、解答题（17题满分10分，18题到22题满分12分，共70分） 17．已知(,)2παπ∈且6sin cos 22αα+=（1）求cos a 的值； （2）若1sin()5αβ-=-，(,)2πβπ∈，求cos β的值．18．已知()4sin()cos()32tan 3x f x x x ππ=---ABC 的内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ，c ，B 为锐角，且()3f B =．（1）求角B 的大小; （2）若3b =，2a c =，求ABC 的面积．密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，且ABC 为等边三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（1）求证：直线1//AB 平面1BC D ;（2）求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ； （3）求三棱锥1C BC D -的体积．20．如图1，平面五边形ABCDE 中，//AB CD ，90BAD ∠=︒，2AB =，1CD =，ADE 是边长为2的正三角形．现将ADE 沿AD 折起，得到四棱锥E -ABCD （如图2），且DE AB ⊥．（1）求证：平面ADE ⊥平面ABCD ；（2）在棱AE 上是否存在点F ，使得//DF 平面BCE ？若存在，求EFEA的值，若不存在，请说明理由．21．已知函数()()si )0(n 2f x x φφπ=+<<．其图像的一个对称中心是(,0)12π-，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()g x 的解析式：（2）若对任意12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-，求实数t 的最大值．22．在直角三角形ABC 中，2B π=，1AB =，3BC =，点M 、N分别在边AB 和AC 上（M 与B 不重合），将AMN沿MN翻折，AMN变为A MN '，使顶点A '落在边BC 上（A '与B不重合），设AMN θ∠=．（1）若3πθ=，求线段AM 的长度; （2）用θ表示线段AM 的长度; （3）求线段A N '长度的最小值．高一数学参考答案单选题密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题填空题13141516 13322+(1,2)-16π①④⑤17．【答案】解：（1）因为6sin cos 22αα+=1sin 2α=．又2παπ<<，所以3cos α=．（2）因为2παπ<<，2πβπ<<，所以2ππβ-<-<-，故22ππαβ-<-<． 又1sin()5αβ-=-，得26cos()αβ-=，所以cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-32611621()2510+=+⨯-=-． 18．（1）()4sin()cos()32tan 3x f x x x ππ=---134tan cos cos 32x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22sin cos 23sin 3x x x =+-sin 232sin(2)3x x x π==-∵()2sin(2)33f B B π=-=B 为锐角∴233B ππ-=，∴3B π=．（2）由余弦定理：2292cos a c ac B =+-，∵2a c =，∴3c =23a =ABC 面积入13333232=．19．（1）证明：如图所示连接1B C 交1BC 于O ，连接OD ， 因为四边形11BCC B 是平行四边形， 所以O 为1B C 的中点， 又因为D 为AC 的中点，所以OD 为1AB C 的中位线，所以1//OD B A ，又OD ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ， 所以1//AB 平面1C BD ．（2）证明：因为ABC 是等边三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又因为1AA ⊥底面A BC ，所以1AA BD ⊥，密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题根所线面垂直的判定定理得BD ⊥平面11A ACC ，又因为BD ⊂平面1C BD ， 所以平面1BC D ⊥平面11ACC A ； 解：由（2）知，ABC 中，BD AC ⊥，sin6033BD BC =︒=∴1933332BCD S =⨯⨯=∴1119369332C BCD C BCD V V --==⋅⋅=20．（1）证明：由已知得AB AD ⊥，AB DE ⊥，因为AD DE D ⋂=，所以AB ⊥平面ADE ． 又AB ⊂平面ABCD ， 所以平面ADE ⊥平面ABCD ．（2）在棱AE 上存在点F ，使得//DF 平面BCE ，此时12EF EA =． 理由如下：假设存在点F 为AE 的中点， 设BE 的中点为G ，连接CG ，FG ，则//FG AB ，12FG AB =．因为//AB CD ，且12CD AB =，所以//FG CD ，且FG CD =，所以四边形CDFG 是平行四边形，所以//DF CG ． 因为CG ⊂平面BCE ，且DF ⊄平面BCE ， 所以//DF 平面BCE ．所以在棱AE 上存在点F ，使得//DF 平面BCE ，此时12EF EA =． 21．（1）由题意，得()sin()0126f ππϕ-=-+=，解得()6k Z k πϕπ+∈=，又0ϕπ<<，∴6πϕ=，∴()sin(2)6x x f π=+，从而5()()sin 2()sin(2)3366g x f x x x ππππ⎡⎤=+=++=+⎢⎥⎣⎦.（2）对任意12,[0,] x x t ∈，，且12x x <，()()()()()()()()12121122f x f x g x g x f x g x f x g x -<-⇒-<-，即()()f x g x -在[]0,t 上单调递增，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题5()()sin(2)sin(2)3sin 266f xg x x x x ππ-=+-+=，易得其单调增区间为,()44k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-+，由于[]0,,()44t k k k Z ππππ⎡⎤⊆-+∈⎢⎥⎣⎦，∴当0k =时，[]0,,44t ππ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，从而4](0,t π∈， ∴实数t 的最大值为4π；22．（1）由翻折可知AMN NMA θ∠=∠'=，所以3BMA π'∠=，所以在Rt MBA '中，1122MB MA MA '==， 所以112MA MA AB +==，即23AM =． （2）由翻折可知AMN NMA θ∠=∠'=，2A MB πθ∠'=-，(2)222A MB πππθθ=--=-'∠，设MA MA x ='=，则1MB x =-，在Rt MBA '中，1sin(2)cos22xxπθθ--=-=，所以2111cos22sin MA x θθ===-因为点M 在线段AB 上，M 与B 不重合，A '与B 不重合， 所以42ππθ<<所以21,()2sin 42AM ππθθ=<<．（3）在AMN中，由AMN θ∠=，可得23ANM πθ∠=-，所以根据正弦定理得：2sin sin()3AN MAπθθ=- 所以21sin 12sin 22sin 2sin sin 33AN θθππθθθ⋅==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2132sin sin 2sin sin 32t πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2131sin 3sin cos sin 2cos2222θθθθθ==+- 1sin(2)26πθ=+- 因为42ππθ<<，所以52366πππθ<-<，当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时，t 有最大值32，所以AN 有最小值为23，即线段A N '有最小值为23．。
2023-2024第二学期期末考试高一数学试卷
2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则复数zz －2i的虚部是 A ．45B ． 45iC ． 35D ．35i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A ．若m ∥α，n α⊂，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥β，n ∥β，且m α⊂，n α⊂，则α∥βD ．若α⊥β，α β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β 3．已知数据x 1，x 2，x 3， …x n 的平均数为10，方差为5，数据3x 1－1，3x 2－1，3x 3－1， …3x n－1的平均数为—x ，方差为s 2，则 A ．—x =10，s 2=14 B ．—x =9，s 2=44 C ．—x =29，s 2=45D ．—x =29，s 2=444．向量→a 与→b 不共线，→AB ＝→a ＋ k →b ，→AC ＝ m →a －→b (k ，m ∈R )，若→AB 与→AC 共线，则k ，m 应满足A ．k ＋m ＝0B ．k -m ＝0C ．km ＋1＝0D ．km －1＝05．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，观察向上的点数，设事件A ＝“第一枚向上点数为奇数”，事件B ＝“第二枚向上点数为偶数”，事件C ＝“两枚骰子向上点数之和为8”，事件D ＝“两枚骰子向上点数之积为奇数”，则 A ． A 与C 互斥B ． A 与C 相互独立C ． B 与D 互斥 D ． B 与D 相互独立6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ＝2a －c ，A ＝π4，b ＝3，则实数a 的值为 A ． 6B ． 3C ． 6D ． 37． 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，P A ＝4，PC 与平面ABCD 所成角的大小为θ，且 tan θ＝223，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为 A ． 26π B ． 28π C ． 34πD ． 14π8．已知sin2θ＝45，θ∈(0，π4) ，若cos(π4－θ)＝m cos(π4＋θ)，则实数m 的值A ．－3B ．3C ．2D ．－2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设复数z ＝i ＋3i 2(i 为虚数单位)，则下列结论正确的是 A ． z 的共轭复数为－3－iB ．z ·i=1－3iC ． z 在复平面内对应的点位于第二象限D ．|z ＋2|＝ 210．已知△ABC 内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，则下列说法正确的是 A ．若sin A ＞sin B ，则A ＞BB ．若a cos B =b cos A ，则△ABC 为等腰三角形 C ．若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形D ．若a ＝1.5，b ＝2，A ＝30°的三角形有两解11．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，C 1C ，A 1A 的中点，则A ．M ，N ，B ，A 1四点共面B ．若a ＝2，则异面直线PD 1与MNC ．平面PMN 截正方体所得截面为等腰梯形D ．若a ＝1，则三棱锥P －MD 1B 的体积为124三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．12．一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是▲ .13．已知A(－3，5)，B(1，10)，C(2，1)，则tan∠ACB＝▲ .14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=120°，BD是△ABC的中线，且1BD=，则a＋c的最大值为▲．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．(13分)已知sin α＝－55，α∈(π，3π2)，sin(α+β)＝513，β∈(π2，π)．（1）求tan2α的值；（2）求sinβ的值．16．(15分)某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，制成如图所示的频率直方图。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
A. B. C. D.
10.已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（）
A. B. C. D.
11.若 ， ，则 等于（）
A. B. C. D.
12.若关于 的方程 有两个不同解，则实数 的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
6.B
【解析】
【详解】由 ，得 ,
当 时，函数 单调递增，
函数 单调递增；
当 时，函数 单调递减，
函数 单调递减,选B.
点睛：解决对数函数综合问题的注意点(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．
3.已知a=21.3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
4.已知奇函数 的定义域为 ，若 为偶函数，且 ，则 （）
A. B. C. D.
5.若 ，则下列不等式：① ；② ；③ ；④ 中，正确的不等式是（）
A.①④B.②③C.①②D.③④
6.已知函数f（x）=ln（–x2–2x+3），则f（x）的增区间为
因为 为 的中点， ，所以 .
又因为 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
（2）解：作 于点 ，则 是 的中点， ，且 ， 底面 .
连接 ，则 为 与底面 所成的角.
设 ，在 中， ， ，
所以 .
（3）解：作 ，垂足为 ，则 为 的中点，连接 ，则 ，所以 为所求二面角的平面角.
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.现有这么一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…，按照规律，（ ）中的数应为（ ）. A.916B.1116C.12D.11182. 设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A.ac bc >B.11a b< C.20c a b≥- D.11a b a>-3. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，则AD = A. 14AB +34AC B.34AB +14AC C.13AB +23AC D.23AB +13AC 4. 设单位向量1cos 3e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，则cos 2α的值为（ ）A.79B.12-C.79-D.35. 已知ABC 中，23,22,4a b B π===，那么满足条件的ABC（ ） A. 有一个解 B. 有两个解C. 不能确定D. 无解6.已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212-a a b的值是 ( ) A.12B.12-C.12或12-D.147. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 168. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中22tan tan a B b A =，那么ABC 一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形9. 已知α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，则sin β=（ ） A.5665-B.1665-C. 3365D.636510. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A.85 B.415C.215511. 设G 是ABC 的重心，且()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=，若ABC 外接圆的半径为1，则ABC 的面积为（ ）A. 33B.33C. 34D.91612.当x θ=时，函数()2cos f x sinx x =+取得最小值，则sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A. -215510B.2515+ C. 10 D.310第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 当1x >时，41x x +-的最小值为______. 14. 在ABC 中，tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根，则tan C =_______．15. 如图，在半径为3的圆上，C 为圆心，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若||||+=-AC CB AC CB ，则AB AC ⋅=_____．16.已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*4()1nnT n N n λ≤∈+恒成立，则λ的最小值是_______．三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3)、(3，4). （1）求顶点D 的坐标；（2）求AC 与BD 所成夹角的余弦值．18. （11分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，且234,1,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2,,n n na nb log a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T ． 19. （11分）已知向量()cos 3m x x=，(cos ,cos )n x x =且函数()f x m n =⋅.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求函数()f x 在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时的值域； （2）设α是第一象限角，且112610f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求sin()4cos(22)παπα++的值. 20. （12分）首届世界低碳经济大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元.（1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？ （2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？21. （12分）已知ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-. （1）求A ；（2）从下列条件中：①3a =②3ABCS=中任选一个作为已知条件，求ABC 周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22. （14分）函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，都有()g()()αβαββα=+f f ，且(2)2f =，数列{}n a 满足()()2+=∈nn a f n N .（1）证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列}{nb 前n 项和为n S ，且(1)nn n n ba +=，问是否存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. A 【解析】 【分析】根据题意得出每个数的分母为2n ，分子为连续的奇数，即可求解.【详解】由题意知，一列数：1，32，54，78，（），1132，1364，…， 可得每个数的分母为2,n n N ∈，分子为连续的奇数，所以（ ）中的数应为916故选：A.【点睛】本题主要考查了数列的项的归纳推理，其中解答中根据数的排列，找出数字的规律是解答的关键，着重考查了归纳推理的应用. 2. C密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】【分析】根据不等式的性质，直接判断即可. 【详解】对A ，当0c时，不成立，故A 错对B ，若a 为正数，b 为负数，不成立，故B 错对C ，由a b >，所以0a b ->，所以20c a b ≥-成立，故C 正确对D ，当2,1a b ==-时，11a b a>-不成立，故D 错 故选：C【点睛】本题考查不等式的性质，选择题可以使用特殊值法，便于计算，属基础题. 3. C 【解析】 分析】根据向量减法和2BD DC =用,AB AC 表示BD ，再根据向量加法用,AB BD 表示AD .【详解】如图：因22,()33BC AC AB BD BC AC AB =-==-，所以212()333AD AB BD AB AC AB AB AC =+=+-=+，故选C. 【点睛】本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解. 4. A【解析】 由题设可得2218cos 1cos 99αα+=⇒=，则27cos 22cos 19αα=-=，应选答案A ． 5. B 【解析】 【分析】通过比较sin a B 与b 的大小关系，简单判断可得结果. 【详解】由题可知：23,22,4a b B π===2sin 2362==a B 622<=<b a 所以可知ABC 有两个解故选：B【点睛】本题考查两边及其一边所对应的角判定三角形个数，掌握比较方法以及正弦定理的使用，属基础题. 6. A【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ，则4=1+3d ，解得d =1， ∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ，则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a a b --==.本题选择A 选项.7. B 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第十四日所织尺数． 【详解】设第一天织1a 尺，从第二天起每天比第一天多织d 尺，由已知得1111721284715a d a d a d a d +⎧⎨+++++⎩＝＝解得：111a d ==， ，∴第十四日所织尺数为14113113114=+=+⨯=a a d ．故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础的计算题． 8. D 【解析】 【分析】根据正弦定理sin sin a bA B =，将等式中的边,a b 消去，化为关于角,A B的等式，整理化简可得角,A B 的关系，进而确定三角形ABC 的形状．【详解】由正弦定理可得：22sin tan sin tan =A B B A ，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-， 当22A B =时，ABC 为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC 为直角三角形，故选：D ．【点睛】本题考查通过正弦定理化简判定三角形形状，熟悉正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属基础题. 9. D 【解析】 【分析】 计算得到4cos 5α=，()12sin 13αβ+=，再根据()sin sin βαβα=+-展开得到答案. 【详解】α，β都是锐角，3sin 5α=，()5cos 13αβ+=-，故4cos 5α=，()12sin 13αβ+=. ()()()63sin sin sin cos cos sin 65βαβααβααβα=+-=+-+=.故选：D . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 10. B 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值．【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒ 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离415AB =故选B点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题． 11. B 【解析】 【分析】根据G 是三角形ABC 的重心得到0GA GB GC ++=，结合已知条件进行化简，求得sin sin sin A B C ==，由此判断出三角形ABC 是等边三角形，再结合三角形ABC 外接圆半径以及正弦定理，求得三角形ABC 的边长，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】∵G 是ABC 的重心，∴0GA GB GC ++=，则GA GB GC =--，代入()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=得，()()sin sin sin sin 0A B GB A C GC -+-=，∵GB GC ⋅不共线，∴sin sin 0A B -=且sin sin 0A C -=， 即sin sin sin A B C ==，∴ABC 是等边三角形，又ABC 外接圆的半径为1，∴由正弦定理得，22sin 60aR ==︒，则3a =∴2333ABC S ==△.故选：B. 【点睛】本小题主要考查三角形重心的向量表示，考查正弦定理的运用，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. A 【解析】 【分析】利用辅助角公式可知函数min ()f x ，然后把x θ=代入结合平方关系可得sin ,cos θθ，最后利用两角和的正弦公式计算可得结果. 详解】由题可知：()()2cos 5,tan 2ϕϕ=+=+=f x sinx x x所以min ()5=-f x 2cos 5θθ+=-sin密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以225sin sin 2cos 5sin cos 125cos 5θθθθθ⎧=⎪⎧+=-⎪⎪⎨⎨+=⎪⎩⎪=-⎪⎩所以2155sin sin cos cos sin 33310πππθθθ⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及平方关系，还考查了两角和的正弦公式，着重考查计算，属基础题.第Ⅰ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 5 【解析】 【分析】将所求代数式变形为()4111x x -++-，然后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】1x >，10x ∴->，由基本不等式得()()444112115111x x x x x x +=-++≥-⋅=---. 当且仅当3x =时，等号成立.因此，41x x +-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于基础题. 14.13【解析】 【分析】根据韦达定理以及两角和的正切公式计算即可.【详解】由题可知：tan ,tan A B 是方程22370x x +-=的两根所以37tan tan ,tan tan 22+=-=-A B A B 所以()tan tan tan tan 1tan tan 13+=-+=-=-A B C A B A B故答案为：13【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，牢记公式，细心计算，属基础题. 15. 9 【解析】 【分析】化简||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=，然后将AB 用,CA CB 表示，然后进行计算即可.【详解】由题可知：||||+=-AC CB AC CB ，两边平方可得0AC CB ⋅=AB CB CA =-所以()()229⋅=-⋅-=-⋅==AB AC CB CA CA CA CA CB CA故答案为：9【点睛】本题考查向量的运算以及向量的数量积，属基础题. 16. 32 【解析】 【分析】依据题意可得2=2n a n ，然后可得n b ，利用裂项相消法可得nT ，最密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题后化简以及函数的单调性可得结果.【详解】由题可知：1212a a ++…21+=+n a n n n ① 当2n ≥时，1212a a ++…()211111-+=-+--n a n n n ② ①-②是可得：12n a n n =，所以()2=22≥n a n n当1n =时，1=2a 符合上式，所以()2=2*∈n a n n N则()()2222121211114411+⎛⎫++===- ⎪ ⎪++⎝⎭n n n n n b a a n n n n 所以()122222*********...1...422331⎛⎫ ⎪=+++=-+-+++- ⎪+⎝⎭n n T b b b n n 所以()()()2221114141⎛⎫+ ⎪=-=⎪++⎝⎭n n n T n n又41λ≤+n n T n ，所以()()22111124411λλ+⇒≥+⨯=≤+++++n n n n n n n n又函数()111f x x =++在()0,∞+单调递减 所以max 13112⎛⎫+= ⎪+⎝⎭n 所以*4()1n n T n N n λ≤∈+恒成立，则32λ≥故答案为：32【点睛】本题主要考查裂项相消法求和以及数列中恒成立问题，审清题意，细心计算，属中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1）(2,2)；（2）685.【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示，计算AB DC =，可得结果. （2）用坐标表示AC ，BD ，然后根据平面向量的夹角公式计算即可.【详解】（1）设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB ∴=----=，(3,4)DC x y =--，又AB DC =，所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-⎧⎨=-⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)． （2）由22(5,3),||5334AC OC OA AC =-==+=22(3,1),||3(1)10BD OD OB BD =-=-=+-=353(1)12AC BD ⋅=⨯+⨯-=685cos ,||||3410AC BD AC BD AC BD ⋅∴<>===⋅⨯【点睛】本题考查向量的坐标运算以及向量夹角公式，重在明白向量坐标的表示方法以及夹角公式的记忆，属基础题. 18. （1）12n n a -=；（2）224133=+-n n T n .【解析】 【分析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）依题意利用等差数列的性质可得22a=，然后利用等比数列通项公式计算即可.（2）由（1）的结论可得12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，然后利用分组求和，可得结果.【详解】（1）由题意可得()32421a a a +=+，即()2222214a a a +=+，解得：22a =，∴2112a a ==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）12,1,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数21232=+++⋯+n n T b b b b3242152162()()-+++⋯++++⋯=++n n n T b b b b b b b b()024*******(13521）-=+++⋯+++++⋯+-n n T n2214(121)4114233-+-=+=+--n nn n n T n 【点睛】本题主要考查数列分组求和，掌握常用的求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法等，属基础题.19. （1）1[,1]2-；（2）522-.【解析】【分析】（1）用坐标表示向量的数量积以及辅助角公式可得 （1）1()sin(2)62f x x π=++，然后使用整体法以及正弦函数的性质可得结果.（2）根据（1）的条件可得3cos 5α=，然后使用两角和的正弦公式以及二倍角的余弦公式化简求值即可. 【详解】(1)由2()cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=()1311cos 22sin(2)2262π=+=++f x x x x50,22666x x ππππ-≤≤∴-≤+≤ 1sin(2)[1,]62x π∴+∈-，则()f x 的值域为1[,1]2-（2）π11(),2610f α+=ππ111 sin 2()266210α⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 则π3sin()25α+=即3cos 5α= ，又α为第一象限的角，则4sin 5α22π2sin()cos )42cos(2π2)c 2cos )2co o s s 2sin ααααααααα++==++-则πsin()4cos(2π2)2522cos sin 2αααα==--++【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及正弦型函数的性质，考查三角恒等变形，本题重在考查公式的应用以及计算能力的培养，属中档题.20. （1）从第4年开始获取纯利润；（2）方案②. 【解析】密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【分析】（1）依据题意可知每年的维护费用满足的是等差数列，然后可得利润2300(81010)y n n =-+，令0y >，简单计算以及判断可得结果.（2）根据（1）的结论可计算方案①所获利润，计算2300(81010)--=n n W n结合基本不等式可得所获利润，然后进行比较可得结果.【详解】（1）设第n 年获取利润为y 万元，n 年共收入租金300n 万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共2(1)1020102n n n n -+⨯=因此利润2300(81010)y n n =-+ 令0y >，解得：327n <<所以从第4年开始获取纯利润．（2）方案①：纯利润22300(81010)10(15)1440y n n n =-+=--+ 所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元） 方案②：年平均利润2300(81010)810300(10)n n W n n n--==-+810300210120n n≤-⨯= 当且仅当81010n n =，即n =9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元）综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②．【点睛】本题考查数列模型的应用问题，审清题意，理清思路，细心就算，属中档题. 21.（1）3A π=；（2）选择①，(23,33；选择②，[6,) +∞. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得1cos 2A =，最后可得结果.（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长23)36π=+l B ，然后根据角度范围可得结果；选②可得bc ，然后结合余弦定理以及不等式可得结果. 【详解】（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222b c a bc +-=由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈所以3A π=（2）选择①3a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===， 即ABC 周长22sin 2sin 32sin 2sin()33l B C B B π=+=+- 3sin 33B B =23)36B π=+251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题即ABC 周长的取值范围(23,33选择②3ABCS.，得13sin 324ABC S bc A bc ===△，得4bc =.由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-即ABC 周长2()12,l a b c b c b c =++=+-+24b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立 2 41246l a b c ∴=++-= 即ABC 周长的取值范围[6,) +∞【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.22. （1）证明见解析；2n n a n =⋅；（2）存在，4. 【解析】【分析】（1）依据题意计算()()()1122222,++==⋅+⋅n n nn a f f f 然后可得1122n n n a a ++=+，根据递推关系以及等差数列的定义可得结果. （2）根据（1）的结论可得12n nn b +=，然后利用错位相减法可得n S ，最后构造函数，利用函数的单调性可得结果.【详解】（1）()()112,22,=∴==n n a f a f()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅1122n n n a a ++∴=+， 11122n nn na a ++∴-= 2n na ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项为112a =，公差为1，,22nn n na n a n ∴∴==⋅.（2）由(1)12n n n n n n b a ++==23111111234(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯ 2311111123(1)22222n n n S n n +=⨯+⨯++⨯++⨯，两式相减得121111111133(1)22222222n n n n n S n +++=+++-+⨯+=-332n nn S +∴=-，假设存在正整数m ， 使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，即2160m m +-> 由指数函数与一次函数单调性知：()216m F m m =+- m N +∈为增函数.又因为34(3)231650,(4)241640F F =+-=-<=+-=> 所以当4m ≥时恒有()2160m F m m =+->成立. 故存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立， 所以m 的最小值为4.【点睛】本题考查根据递推关系证明等差数列以及错位相减法求和，还考查了数列恒等式问题，本题关键在于得到1122n n n a a ++=+，考查分析能力以及计算能力，属中档题.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
18.（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）由 化简再结合 ， 可求出向量 与 的夹角；
（2）要 与 垂直，只需 ，化简可求出x的值.
【详解】（1）由
，
得 ．
（2）当 与 垂直时，
，
所以 ．
【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.
15.
【解析】
【分析】
由绝对值的三角不等式，求得最小值，得到 ，即可求解.
【详解】由绝对值不等式可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，解得 或 ，
即实数a的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，其中解答熟记绝对值的三角不等式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
16.
【解析】
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系xOy中，若圆 上存在点M，且点M关于直线 的对称点N在圆 上，则r的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10.已知 ， ， ，若当 时， 恒成立，则 的最大值是（）
A. -6B. -2C. 2D. 6
第Ⅱ卷（非选择题部分，共110分）
二、填空题（本题共有7小题，其中多空题每空3分，单空题每空4分，共36分）
故依题得 ，
所以 是以1位首项，3为公比的等比数列，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
所以 ，
所以由
，
即n的最小值为8．
【点睛】本题考查了数列 与 的关系，等比数列的通项公式，等比数列前n项和公式和解不等式等基本知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案
人教版高一数学下学期期末考试卷含答案214人教版高一数学下学期期末考试卷第一卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.1920°转化为弧度数为A。
32π/3B。
16π/3C。
16/3D。
3提示：1°=π/180.2.根据一组数据判断是否线性相关时，应选用A。
散点图B。
茎叶图C。
频率分布直方图D。
频率分布折线图提示：散点图是用来观察变量间的相关性的。
3.函数y=sin(x+π/4)的一个单调增区间是A。
[-π,0]B。
[0,π/4]C。
[π/4,7π/4]D。
[7π/4,2π]提示：函数y=sin(x)的单调增区间是(2kπ-π/2,2kπ+π/2) (k∈Z)。
4.矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BC=5e1，DC=3e2，则OC等于A。
(5e1+3e2)/2B。
(5e1-3e2)/2C。
(-5e1+3e2)/2D。
-(5e1+3e2)/2提示：OC=AC=AD+DC=BC+DC=(5e1+3e2)/2.5.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A。
6，12，18B。
7，11，19C。
6，13，17D。
7，12，176.函数y=x/2sin(x)+3cos(x/2)的图像的一条对称轴方程是A。
x=π/2B。
x=-πC。
x=-π/2D。
x=π提示：函数y=sin(x)的对称轴方程是x=kπ+π/2 (k∈Z)。
7.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为70%，则甲乙两人下一盘棋，最可能出现的情况是A。
甲获胜B。
乙获胜C。
二人和棋D。
无法判断提示：由甲不输的概率为70%可得乙获胜的概率也为30%。
8.如图是计算1/11+1/12+。
+1/30的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是A。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
（2）将 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，求 的单调递减区间.
21.（12分）已知圆 ，经过点 的直线 与圆 交于不同的两点 ， .
（1）若直线 的斜率为2，求 ；
（2）求 的取值范围.
22.（12分）土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物.云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”. 年 月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝， 盘里有 盘是我们澜沧种的！”
综上所述： .
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦函数的周期，考查了正弦函数的最值，考查了正弦函数的零点，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【解析】
【分析】
利用任意角的三角函数的定义，求得 ，进而利用诱导公式求出 的值．
【详解】∵ 是角 终边上一点，则
.
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，涉及到诱导公式，属于基础题．
（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的.由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论；
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短 年，最长不超过 年；③投资年数 与总回报 的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：当 时， ，以后 每增加 时， 增加 ；方案二： ；方案三： .请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案.
最新人教版高一下册数学期末考试含答案
2022年人教版高一下册期末考试数学试卷一、选择题1. 已知复数z =1−2i ，则z (z +2i )=（ ） A.1−2i B.9+2i C.7−4i D.1+2i2. 将圆锥的高缩短到原来的12，底面半径扩大到原来的2倍，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.缩小到原来的16 C.不变 D.扩大到原来的2倍3. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y =x 2，x ∈[1,2]与函数y =x 2，x ∈[−2,−1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A.y =sinx B.y =x 3 C.y =e x −e −xD.y =lnx4. 甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为12，14，18，则密码能被译出的概率是（ ） A.120 B.2132C.2164D.43645. 数据x 1，x 2，…，x 9的平均数为4，标准差为2，则数据3x 1+2，3x 2+2，…，3x 9+2的方差和平均数分别为（ ） A.36，14 B.14，36 C.12，19 D.4，126. 设λ为实数，已知向量m →=(2,1−λ)，n →=(2,1)．若m →⊥n →，则向量m →−n →与n →的夹角的余弦值为（ ） A.−√55B.−√1010C.−12D.√557. 若P (AB )=16，P(A)=13，P (B )=14，则事件A 与B 的关系是（ ） A.互斥 B.相互独立C.互为对立D.无法判断8. 下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象，则（）A.函数y=f(x)的最小正周期为π2B.直线x=5π12是函数y=f(x)图象的一条对称轴C.点(−π6,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心D.函数y=f(x−π3)为奇函数9. 若定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(−π2)=0，则下列取值范围中的每个x都能使不等式f(x+π2)⋅cosx≥0成立的是（）A.[−2π,−π]B.[−π,0]C.[0,π]D.{x|x=kπ2,k∈Z}10. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，AB=AA1，D是A1B1的中点，点F 在BB1上，记B1F=λBF，若AB1⊥平面C1DF，则实数λ的值为（）A.13B.12C.23D.111. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点E ，F ，M ，N 分别为棱AB ，BC ，DD 1，D 1C 1上的中点，下列判断正确的是（ ）A.直线AD//平面MNEB.直线FC 1//平面MNEC.平面A 1BC//平面MNED.平面AB 1D 1//平面MNE12. 矩形ABCD 中，AB =√2，AD =1，M 是矩形ABCD 内（不含边框）的动点，|MA →|=1，则MC →⋅MD →的最小值为（ ） A.−√6 B.−√6+1 C.−√6+2 D.3+√62二、填空题1.已知函数f (x )={sin (π4x),x ≤1,lnx,x >1,则f(f (e ))=________．2. 已知在△ABC 中，点D 满足BD →=34BC →，点E 在线段AD （不含端点A ，D ）上移动，若AE →=λAB →+μAC →，则μλ=________．3.一组数据共有7个整数，m ，2，2，2，10，5，4，且2<m <10，若这组数据的平均数、中位数、众数中最大与最小数之和是该三数中间数字的两倍，则第三四分位数是________.4. 如图，在正三棱锥A −BCD 中，底面边长为√6，侧面均为等腰直角三角形，现该三棱锥的表面上有一动点O ，且OB =2，则动点O 在三棱锥表面所形成的轨迹曲线的长度为________．三、解答题1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知√3bcosC =csinB ． (1)求角C ；(2)若b =2,△ABC 的面积为2√3，求c ．2.某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此药，结果如下：(1)若另一个人服用此药，请估计该病人病情恶化的概率；(2)现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率．3. 已知向量a →=(sinx,1)，b →=(1,sin (π3−x))，f (x )=a →⋅b →．(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期；(2)若当x ∈[0,π4]时，关于x 的不等式2f (x )−1≤m 有解，求实数m 的取值范围．4.如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60∘，PA =AB =BC ，E 是PC 的中点．(1)求二面角P −CD −A 的大小；(2)求证：AE ⊥PD ．5.雪豹处于高原生态食物链的顶端，亦被人们称为“高海拔生态系统健康与否的气压计”．而由于非法捕猎等多种人为因素，雪豹的数量正急剧减少，现已成为濒危物种．在中国，雪豹的数量甚至少于大熊猫．某动物研究机构使用红外线触发相机拍摄雪豹的照片，已知红外线触发相机在它控制的区域内拍摄到雪豹的概率为0.2． (1)假定有5个红外线触发相机控制某个区域，求雪豹进入这个区域后未被拍摄到的概率；(2)要使雪豹一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被拍摄到，需至少布置几个红外线触发相机（lg2≈0.301）．6.如图，已知四棱锥P−ABCD，△ABD为等边三角形，直线PC，DC，BC两两垂直，且PC=CD=BC=2，M为线段PA上的一点．(1)若平面BDM⊥平面ABCD，求AM2；(2)若三棱锥P−MBD的体积为四棱锥P−ABCD体积的1，求点M到平面ABCD的距离．2参考答案与试题解析一、选择题1.【答案】B【解析】无2.【答案】D【解析】无3.【答案】A【解析】无4.【答案】D【解析】无5.【答案】A【解析】无6.【答案】A【解析】无7.【答案】B【解析】无8.【答案】C【解析】无9.【答案】B【解析】无10.【答案】D【解析】无11.【答案】D【解析】无12.【答案】C【解析】无二、填空题【答案】√22【解析】无【答案】3【解析】无【答案】5【解析】此题暂无解析【答案】3π2【解析】无三、解答题【答案】解：(1)由正弦定理可得√3sinBcosC=sinCsinB. 因为sinB≠0，所以√3cosC=sinC，所以tanC =√3.因为C ∈(0,π)，所以C =π3．(2)由(1)得C =π3. 因为S △ABC =12absinC =√34ab =2√3，所以ab =8.因为b =2，所以a =4.由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC =16+4−8=12， 所以c =2√3． 【解析】 此题暂无解析 【答案】解：(1)由统计表可知在1200名志愿者中，服用药出现病情恶化的频率为2001200=16，所以估计另一个人服用此药病情恶化的概率为16．(2)采用分层抽样的方法，从病情好转的志愿者中抽4人，从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各抽取1人组成6个人的样本．将6人中病情恶化的1人用符号A 代替，其余5人分别用1，2，3，4，5代替， 则从6人中任意抽取3人的基本事件表示如下： (A,1,2)，(A,1,3)，(A,1,4)，(A,1,5)，(A,2,3)， (A,2,4)，(A,2,5)，(A,3,4)，(A,3,5)，(A,4,5)， (2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，共20个基本事件． 其中没有抽到病情恶化的志愿者的基本事件为： (2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，共10个基本事件， 因此，抽取的3人中没有病情恶化的志愿者的概率为1020=12．【解析】 无 无 【答案】解：(1)因为f (x )=a →⋅b →=sinx +sin (π3−x)=12sinx +√32cosx =sin (x +π3)，所以函数f (x )的最小正周期T =2π．因为函数y =sinx 的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ， 所以−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ,k ∈Z ，解得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ,k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[−5π6+2kπ,π6+2kπ],k ∈Z ．(2)不等式2f (x )−1≤m 有解，即m+12≥f (x )min ．因为x ∈[0,π4]，所以π3≤x +π3≤7π12.又sin 7π12=sin 5π12>sin π3，故当x +π3=π3，即x =0时，f (x )取得最小值，且最小值为f (0)=√32， 所以m ≥√3−1． 【解析】 此题暂无解析 【答案】(1)解：因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PA .因为CD ⊥AC,PA ∩AC =A ， 所以CD ⊥平面PAC ， 所以CD ⊥PC . 又AC ⊥CD ，故∠PCA 为二面角P −CD −A 的平面角. 又PA =AB =BC =AC ，故二面角P −CD −A 的大小为45∘． (2)证明：由于AE ⊂平面PAC ， 所以AE ⊥CD .因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 又PC ∩CD =C ，所以AE ⊥平面PCD . 又PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD ． 【解析】 此题暂无解析 【答案】解：(1)雪豹被拍摄到的概率，即至少有1个红外线触发相机拍摄到雪豹的概率． 设雪豹被第k 个红外线触发相机拍摄到的事件为A k (k =1,2,3,4,5)， 那么5个红外线触发相机都未拍摄到雪豹的事件为A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4⋅A 5． ∵ 事件A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立， ∴ 雪豹未被拍摄到的概率为 P(A 1⋅A 2⋅A 3⋅A 4⋅A 5)=P(A 1)⋅P(A 2)⋅P(A 3)⋅P(A 4)⋅P(A 5) =(1−0.2)5=(45)5，∴ 雪豹未被拍摄到的概率为(45)2．(2)设至少需要布置n 个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹， 由(1)可知，雪豹被拍摄到的概率为1−(45)n.令1−(45)n≥0.9， ∴ (45)n≤110，两边取常用对数，得n ≥11−3lg2≈10.3.∵ n ∈N ∗， ∴ n =11，∴ 至少需要布置11个红外线触发相机才能有0.9以上的概率拍摄到雪豹． 【解析】 无 无 【答案】解：(1)连接AC 交BD 于点O .易知AC 为线段BD 的垂直平分线，且AC 为AP 在平面ABCD 上的投影， 所以MD =MB .连接MO ，则MO ⊥BD .又因为平面BDM ⊥平面ABCD ，平面BDM ∩平面ABCD =BD ，MO ⊂平面MBD ， 所以MO ⊥平面ABCD .又因为AO ⊂平面ABCD ，所以MO ⊥AO .因为CO =√2，AO =√6，AP 2=AC 2+PC 2=12+4√3. 又因为AOAC =AM AP，即AM 2=18−6√3．(2)过点M 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ′， V M−ABD =13×12×√6×2√2×MO ′=2√33⋅MO ′，V P−BCD =43，V P−ABCD =13×12×2√2×(√2+√6)×2=4(√3+1)3， 故V P−BCD +V M−ABDV P−ABCD=1−12，解得MO ′=1−√33， 故点M 到平面ABCD 的距离为1−√33． 【解析】 此题暂无解析。
人教版高一下学期期末考试数学试题与答案解析(共五套)
人教A版高一下学期期末考试数学试卷（一）（测试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 124.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A. B. C. D.5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量，，若，则B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形12.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则．14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足，，若，其中，R，求，的值．18.已知函数，且当时，的最小值为2．(1)求a的值，并求的单调递增区间；(2)先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的x的集合．19.如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是BC的中点．求证：平面求直线与平面所成角的正弦值．20.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间满分150分，将统计结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．21.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．求A的大小；若，，求的面积．22.如图，在三棱柱中，H是正方形的中心，，平面，且．求异面直线AC与所成角的余弦值；求二面角的正弦值；设N为棱的中点，E在上，并且，点M在平面内，且平面，证明：平面．参考答案一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数为虚数单位在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，直接由复数求出在复平面内对应的点的坐标得答案．【解答】解：复数为虚数单位在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故选D．2.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．先求出基本事件总数，再用列举法求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率，故选：D．3.已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中，则此三棱柱的体积为A. 2B. 4C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】本题考察直观图与原图的关系，以及棱柱的体积公式，属于基础题．依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【解答】解：设三棱柱的底面三角形为，由直观图可知，，且，，故．故答案选C．4.已知非零向量，，若，且，则与的夹角为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量的数量积，考查了向量垂直的关系，考查了向量夹角的求解本题的关键是由垂直求出数量积为0．由向量垂直可得，结合数量积的定义表达式可求出，又，从而可求出夹角的余弦值，进而可求夹角的大小．【解答】解：因为，所以，因为，所以，．故选：B．5.设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．【解答】解：若，，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故B正确；若，，则或，故C错误；若，，则，或，或b与相交，故D错误．故选：B．6.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB所成角的余弦值为，PA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面角的概念、三角形面积公式、圆锥的体积公式，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力．设底面半径为，根据线面角的大小可得母线长为2r，再根据三角形的面积得到r的值，最后代入圆锥的体积公式，即可得答案．【解答】解：如图所示，设底面半径为，与圆锥底面所成角为，，，母线PA，PB所成角的余弦值为，，，，故选：C．7.已知数据的方差为4，若，则新数据的方差为A. 16B. 13C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题．根据方差的性质直接计算可得结果．【解答】解：由方差的性质知：新数据的方差为：．故选：A．8.在中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．根据题目已知条件应用余弦定理和正弦定理进行化简，即可得到答案．【解答】解：，，，，又．代入可得故答案选D．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.有甲乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件H为“不订甲报纸”，事件I为“一种报纸也不订”下列命题正确的是A. E与G是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件C. F与G不是互斥事件D. G与I是互斥事件【答案】BC【解析】【分析】本题考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．根据互斥事件、对立事件的概念判断即可．【解答】解：对于A选项，E、G事件有可能同时发生，不是互斥事件；对于B选项，F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；对于C选项，F与G可以同时发生，不是互斥事件；对于D选项，G与I也可以同时发生，不是互斥事件．故选：BC．10.下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图从左至右依次为第1至第5次，则从图中可以读出一定正确的信息是A. 甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B. 甲同学的成绩的中位数在115到120之间C. 甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D. 甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数【答案】DB【解析】【分析】本题考查了频数分布直方图与应用问题，是基础题．根据频数分布直方图的数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．【解答】解：对于A，甲同学的成绩的平均数，乙同学的成绩的平均数，所以甲同学的成绩的平均数小于乙同学的成绩的平均数，故A错误；由题图甲知，B正确；对于C，由题图知，甲同学的成绩的极差介于之间，乙同学的成绩的极差介于之间，所以甲同学的成绩的极差也可能大于乙同学的成绩的极差，故C错误；对于D，甲同学的成绩的中位数在之间，乙同学的成绩的中位数在之间，所以甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数，故D正确．故选：BD．11.下列结论正确的是A. 已知是非零向量，，若，则B. 向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为C. 点P在所在的平面内，满足，则点P是的外心D. 以，，，为顶点的四边形是一个矩形【答案】DBA【解析】【分析】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属中档题．利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择．【解答】解：对A：因为，又，可得，故，故A选项正确；对B：因为，，与的夹角为，所以．故在上的投影向量为，故B选项正确；对C：点P在所在的平面内，满足，则点P为三角形ABC的重心，故C选项错误；对D：不妨设，则，故四边形ABCD是平行四边形；又，所以，故四边形ABCD是矩形故D选项正确；综上所述，正确的有ABD．故选ABD．12如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是A. E为PA的中点B. 平面PACC. PB与CD所成的角为D. 三棱锥与四棱锥的体积之比等于．【答案】ABD【解析】【分析】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题．采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果．【解答】解：对于A，连接AC交BD于点M，连接EM，如图所示，面BDE，面APC，且面面，，又四边形ABCD是正方形，为AC的中点，为PA的中点，故A正确．对于B，面ABCD，面ABCD，，又，，面PAC面PAC，故B正确．对于C，，为PB与CD所成的角，面ABCD，面ABCD，，在中，，，故C错误．对于D，由等体积法可得，又，，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数z满足方程，则．【答案】【解析】【分析】本题考查复数的计算，属基础题．根据题意可得，然后根据复数的乘法可得结果．【解答】解：由，则，所以，所以，故答案为：14.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且，MN交于点若，则的值为．【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属基础题．用向量表示，结合三点共线，即可求得参数值．【解答】解：根据题意，，因为三点共线，所以，解得．故答案为．15.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于．【答案】【解析】【分析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．根据题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错．【解答】解：根据题意，记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个问题回答正确，第一个问题可对可错；由相互独立事件的概率乘法公式，可得，故答案为．16.如图，在正方体中，点O为线段BD的中点，设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的最小值，最大值．1.2.3.【答案】1【解析】【分析】此题考查正方体的性质和直角三角形的边角关系，线面角的求法，考查推理能力，属于中档题。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含四套题)
开封市五县高一期末联考卷参考答案
一．选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
B
D
C
C
D
C
B
C
B
D
二．填空题
13.12；14.-1；15. ；16.②.
三．解答题
17.解：（1）
(2)
由（1）知
18.（1）
,
(2)设
又 ，且 不共线.
所以由平面向量基本定理知：
②直线 是函数 的一条对称轴；
③点 是函数 的一个对称中心；
④函数 的单调递减区间为
其中正确的结论是（填序号）.
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题10分）已知角 .求下列各式的值.
(1)求 的值；
(2)先化简 ，再求值．
18.（本小题12分）如图，已知在 中， 是 的中点， 是线段 的靠近点 的三等分点， 和 交于点 ，设 .
14.已知向量 满足 ，则向量 在 方向上的投影为；
15.新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测。某个检测点派出了两名医生，四名护士。把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为；
16.已知函数 ，给出下列四个结论：
①函数 是最小正周期为 的奇函数；
【点睛】此题考查系统抽样，关键在于根据系统抽样方法确定组矩，依次求得每组选取的编号.
4. A
【解析】
【分析】
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）
13．若下图程序输入 的值为 ，则输出 的值为______．
INPUT x
IF x>=0 THEN
y=x^2-1
ELSE
y=2* x^2-5
END IF
PRINT y
END
14．在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ，则 ______．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．已知圆 过 ， 两点，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设点 是直线 上的动点， 、 是圆 的两条切线， 、 为切点，求切线长 的最小值及此时四边形 的面积．
19．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 外接圆的半径为 ，且 ．
（1）若 的面积为 ，求 ， 的值；
A. B. 4C. 4或 D. 或5
8.已知 满足 ，则目标函数 的最小值为（）
A. B. C. D. 1
9.已知 ，则 的最小值为（）
A. 1B. 2C. 4D. 8
10.若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）
A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题的4个答案中，只有一个符合要求）
1.若 ，则下列不等式中不正确的是（）
A. B. C. D.
2.圆的方程为 ，则圆心坐标为（）
A. B. C. D.
3.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的范围是()
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
10．已知数列 满足： ， ．正项数列 满足：对于每个 ， ，且 ， ， 成等比数列，则 的前几项和为（ ）
A． B． C． D．
11． 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且 ，若AC边上的中线 ，则 的周长为（ ）
A．15B．14C．16D．12
所以 （也可以用余弦定理列方程），所以 ， ， ，所以 的周长为15．故选A．
12．D设 ， ，由三棱锥 外接球的表面积为 ，得外接球的半径 ，又 平面ABC，A ，所以 ，所以 ，所以 ．因为 平面ABC， ，所以 ， ，过D作 ，垂足为E，则 平面ABC，所以 ，所以 ，所以 ，
∴
，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，三棱锥 体积的最大值为2，故选D．
∴ ，且 ，则 且 ， 2分
∴四边形AMNG为平行四边形，∴ ，又 平面PAB， 平面PAB，
∴ 平面PAB． 4分
解：（2）取BC的中点H，连接AH，
∵ ，∴ 且 ，∴四边形AHCM是矩形，∴ ，
∵ ，PA， 平面PAM， ，
∴ 平面PAM，且 ，过点A作 平面PMN于F，则AF即为点A到平面PMN的距离．6分
．故选D．
7．B∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．故选B．
8．A由 知
．
当且仅当 ， 时等号成立，故选A．
9．B因为 ，且 ，解得 ， ，
又 ，所以 ，故 ，
因为 ， ，故 ，故 ，故选B．
10．C由 和累乘法可以知道 ，所以 ，又 ， ， 成等比数列，所以 ，所以 ，
所以 ．故选C．
11．A由a，b，c成等差数列知 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．若AC边上的中线为 ，
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题ABCDB'D'DCBA人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．圆1)2()2(:221=-++y x C 与圆16)5()2(22:2=-+-y x C 的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ． 相交D ．内切 2．设a 、b 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下列四个命题：正确的是( )A ．若,a b a α⊥⊥则//b α；B ．若//,,a ααβ⊥则a β⊥；C ．若,,a αββ⊥⊥则//a αD ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ 3．已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =( ) A ．-3B ．31-C ．31 D ．34．若函数y ＝f(x)的图像与函数y ＝3－2x 的图像关于坐标原点对称，则y ＝f(x)的表达式为( ) A ．y ＝－2x －3 B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －35．已知等差数列的前项和为，，420S ，则( )A ．B ．C ．D ． 6．已知△ABC 的三边长为a ，b ，c ，且满足直线ax ＋by ＋2c ＝0与圆x 2＋y 2＝4相离，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．以上情况都有可能7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．438．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为( ) A ．)0,02a b ab a b +≥>>B ．()2220,0+≥>>a b ab a b{}n a n n S 37a =10a =25323540密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题C ．)20,0abab a b a b>>+D ．)220,022a b a b a b ++≤>> 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x=0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为( )A ．4B ．5C ．10D ．15 10．如图所示，某学习小组进行课外研究性学习，隔河可以看到对岸两目标A 、B ，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km. 85 B 415C ．215 D ．511．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是( )A ．平面平面B ．异面直线与所成的角为C ．二面角的大小为D ．在棱上存在点使得平面12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论： ①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥体积的最大值为．以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（共4个小题,每小题5分,共20分，请将答案填在答题卡上）13.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元,而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元,购买3支康乃馨所需费用为B 元,则A,B 的大小关系是 .14.已知圆的方程为，若过点的直线与此圆交于两点，圆心为，则当最小时，直线的一般方程为 .P ABCD -ABCD 60DAB ∠=︒PAD PAD ⊥ABCD PAB ⊥PBC AD PB 60︒P BC A --60︒AD M AD ⊥PMB M ACN -248()2214x y +-=11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭l ,A B C ACB ∠l密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题15.已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点A 在底面的射影为底面△BCD 的中心）A BCD -的外接球， 3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 .16.圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB,求出点N 的坐标 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.请将答案填在答题卡上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题共10分）已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的方程．18.（本题共12分）已知在数列中，为其前项和，且，数列为等比数列，公比，，且，，成等差数列．（1）求与的通项公式；（2）令，求的前项和．20.（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC上移动．（1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ．21.（本题共12分）如图，在Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF ∆沿EF 折起到PEF ∆的位置（点A与P重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：⊥平面CB 平面EF PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．22．（本题共12分）已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A .（1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.参考答案1-5 BDAAC 6-10 ABDBB 11-12 DC{}n a n S n 2()n S n n *=∈N {}n b 1q >11b a =22b 4b 33b {}n a {}n b nn na cb ={}n c n T密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题13. A>B 14.15. []24π,π 16. (8，0).17．解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-．∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-．则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220xy Dx Ey F ++++=．由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ；由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，5AB =2212212114522DED E F ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+-=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=． 18．解：（1）∵，，∴，…3分，，由于，∴，∴…6分（2）由（1）得，，① ∴，② ①②得，∴…12分20．解：（1）证明： 连结AC ，EF, ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ∆中，PC EF // ……3分. 又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂ ……4分 ∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC ……6分（2）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥，又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线∴BC ⊥平面PAB 又PAB AF 平面⊂.∴BC AF ⊥ …… 9分 又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴PBC AF 面⊥ … 11分 又PBC PE 平面⊂ ∴PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立． ……12分 21．解：（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥， ∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BEPE E =，∴EF ⊥平面PBE ，又⊂EF 平面CBEF ，⊥平面CB 平面EF PBE …4分0324=--y x 111a S ==221(1)n n S S nn --=--21()n a n n *=-∈N 234232b b b +=23232q q q +=1q >2q =12()n n b n -*=∈N 1212n n n c --=0121135212222n n n T --=++++123111352321222222n n n n n T ---=+++++-1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-123662n n n T -+=-<密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy ∆+=⋅⋅∠=≤= 当且仅当2x y ==时，PEB S ∆的面积最大，此时，2BE PE ==． (6)分由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)2622EFCB PO PE S =⋅=⨯==⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= (9)分∵01cos 60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC ∆中，2221417OC BO BC =++=∵PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC与平面EFCB所成角的正切值为51……12分22．解：（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意 ……2分②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径2，即：23421k kk --=+，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． ……5分（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k kN k k --++．又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx k y x k=--=--(也可以通过直线与圆联立消去y,得到 22221(286)8210.+-+++++=（）x k k k x k k 2122286+=1+++k k x x k 而求出M 坐标).得22224342(,)11+++++k k k k M k k222222224342223(1)()(1)()112121k k k k k k AM AN k k k k +++-⋅=-+-+-++++2222213116121k k k k k ++=+=++为定值．故AM AN ⋅是定值，且为6．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 四 总分 得分第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 用符号表示“点A 在平面α外，直线l 在平面α内”，正确的是（ ） A.A α⊄，l α∈ B. A α⊄，l α⊂ C. A α∉，l α⊂ D. A α∉，l α∈2. 若0a b >>，c R ∈，则（ ） A.a cbc +>+B. a c b c -<-C.11a b> D. 22a b <3. 已知向量(),2a t =，()2,1b =，若a b ⊥，则t 的值为（ ） A. -4B. -1C. 1D. 44. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且2222a b c bc =+，则A =（）A. 135︒B. 120︒C.60︒D. 45︒5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ）A. 16B. 32C. 48D. 646. 在ABC △中，已知sin sin A B =，则ABC △的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形7. 已知圆锥SO 被平行于底面的平面所截，形成的圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60︒，圆台轴截面的面积为203，则圆锥SO 的体积为（）A.483πB. 723πC. 1443πD.2163π8. 已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n n n na ab a -+=，n N +∈，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A. 11B. 10C. 9D. 8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ） A.2n S n =B.223n S n n =-C.21n a n =-D.35n a n =-10. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b =30A =︒，则B =（）A. 30︒B. 45︒C. 135︒D. 150︒密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11. 若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A.1ab B.11ab ≥C.222a b +≥D.112a b+≥ 12. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，a α⊥，则b α⊥B. 若a b ⊥，//b α，则//a αC. 若//a b ，//a α，则//b αD. 若αβ⊥，a α⊂，b αβ=，a b ⊥，则a β⊥三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 13.已知变量x ，y 满足约束条件010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为______.14. 已知数列{}n a 满足21n n n a a a ++=-，n N +∈，11a =，22a =，则5a =______. 15.ABC △为等腰直角三角形，且2A π∠=，4AB =，若点E 为BC 的中点，则AE AB ⋅=______.16. 正四面体P BDE -和边长为1的正方体1111ABCD A BC D -有公共顶点B ，D ，则该正四面体P BDE -的外接球的体积为______，线段AP 长度的取值范围为_______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a=，2b =.（1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 18. 已知球O 的半径为5. （1）求球O 的表面积；（2）若球O 有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，n N +∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）记11n n n c a a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=.（1）求A ； （2）若3a =1c =，求ABC △的面积.21. 如图所示，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD .密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（1）求证：AC ⊥平面BDE ；（2）求证：平面//ABF 平面CDE ；（3）若2DE DB ==，3BCD π∠=，求点D 到平面BCE 的距离.22. 在①5CA CB ⋅=-，②ABC △的面积为33一个，补充在下面问题中，并解决该问题： 在ABC △中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++，______，且1b =.（1）求ABC △的周长；（2）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，数列{}n b 为等比数列，1cos 1a A =，且11b a =，23b a =，37b a =.若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且113c =，111n n nn n a c b a a -+=-，2n ≥.证明：116n S <.注：在横线上填上所选条件的序号，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.高一数学参考答案评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：CABDB6-8：ABB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9. AC 10. BC 11. BCD 12. AD 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分. 13. 1 14. -2 15.8 16.3，6262-+⎣⎦四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（1）因为向量a 与b 的夹角为3π，所以cos ,a b ab a b⋅=112cos12132π=⨯⨯=⨯⨯=， 所以()2a b a b+=+密线学校班级姓名学号密封线内不得答题2221427a b a b=++⋅=++=（2）设向量a b+与向量a的夹角为θ，所以()cosa b aa b aθ+⋅=+⋅22a a ba a ba b a a b a+⋅+⋅==+⋅+⋅2771==⨯18. 解：（1）因为球O的半径为5R=，所以球O的表面积为24100S Rππ==.（2）设两个半径分别为13r=和24r=的平行截面的圆心分别为1O和2O，所以22153164OO=-==，所以2225493OO=-==，所以1212347O OO OOO=+=+=，或1122431OOO OO O=-=-=，所以两个截面之间的距离为1或7.19. 解：（1）当2n≥时，21nS n n-=-，所以()2212n n na S S n n n n n-=-=+--=，因为当1n=时，112a S==，适合上式，所以2na n=，n N+∈.（2）由（1）可得()121na n+=+，所以11122(1)nn nca a n n+==⋅+11141n n⎛⎫=-⎪+⎝⎭，所以11111111141242341nTn n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111414(1)nn n⎛⎫=-=⎪++⎝⎭，n N+∈.20. 解法一：（1）因为ABC△中，()2cos cosb c A a C-=，由正弦定理可得，(2sin sin)cos sin cosB C A A C-=⋅，得2sin cos sin cos cos sinB A AC A C⋅=⋅+⋅，得2sin cos sinB A B⋅=，因为sin0B>，所以1cos2A=，因为0Aπ<<，所以3Aπ=.（2）由余弦定理得222222cosa b c bc A b c bc=+-=+-，因为3a=1c=，所以220b b--=，即()()120b b+-=，所以1b=-或2b=，因为0b>，所以2b=，所以ABC△的面积为1133sin2122bc A=⨯⨯=.解法二：（1）同解法一.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）由正弦定理得sin sin c aC A=， 因为3sin sin 3A π==3a =1c =，所以sin 1sin 2c A C a ==，因为a c >，所以A C >，即3C π<，所以6C π=，所以2B AC ππ=--=，所以ABC △为直角三角形，所以ABC △的面积为11331222ABC S ac ===△.21. 证明：（1）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC DE ⊥， 因为BDDE D =，BD ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，所以AC ⊥平面BDE .（2）因为DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， 所以//DE AF ，因为DE ⊂平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， 所以//AF 平面CDE ； 因为四边形ABCD 是菱形， 所以//AB CD ，因为CD ⊂平面CDE ，AB ⊄平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ； 因为ABAF A =，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以平面//ABF 平面CDE .（3）因为CD BC =，3BCD π∠=，所以BCD △为等边三角形，因为2DB =，所以BCD △的面积为343BCD S ==△ 因为DE ⊥平面ABCD ，所以三棱锥E BCD -的体积为11232333E BCD BCD V DE S -=⋅=⨯=△ 因为DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以DE BD ⊥，DE CD ⊥，因为2DE BD CD ===，所以22BE CE ==所以BCE △的面积为()21222172BCES =⨯-=△设点D 到平面BCE 的距离为d ， 所以1723333E BCD D BCE BCE V V d S --==⋅==△， 所以2217d =，所以点D 到平面BCE 的距离为2217. 22. 解：（1）选择条件①，过程如下： 因为sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B +=++，所以1b ca c a b+=++，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=.因为5CA CB ⋅=-，所以cos 5ab C =-，所以22252a b c ab ab +-⋅=-， 所以22210a b c +-=-，因为1b =，代入222b c a bc +-=和22210a b c +-=-， 得221a c c -+=和2211a c -=-，联立解得133a =12c =，所以ABC △的周长为13133（1）选择条件②，过程如下： 因为sin sin 1sin sin sin sin B C A C A B +=++，所以1b ca c a b+=++，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 又因为0A π<<，所以3A π=.因为ABC △的面积为33113sin sin 332234bc A c c π=== 所以12c =，把1b =，12c =代入222b c a bc +-=得133a =所以ABC △的周长为13133（2）因为1cos 2A =，所以12a =，所以12b =，设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为23b a =，37b a =，所以222q d =+，2226q d =+， 联立以上两式消d 得2320q q -+=，所以1q =或2q =，因为数列{}n a 为公差不为0，所以0d ≠，所以1q ≠，所以2q =，1d =. 所以()111n a a n d n =+-=+，112n n n b b q -==， 当2n ≥时，11111212n n n n n n a nc b a a n n -+⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 又因为113c =适合上式，所以11212n nn c n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，n N +∈. 故212111111222233412n n n S n n ⎛⎫⎛⎫=+++--+-++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 令212222n nn T =+++， 则2311122222n n n T +=+++， 作差得23111111222222n n n n T +=++++-，所以222nnn T +=-， 设111111233412n K n n =-+-++-++1122n =-+，所以321222n n n n n S T K n +=-=-++，因为n N +∈，所以202n n +>，所以3122n S n <++，因为1123n ≤+，所以3111226n +≤+，所以116n S <.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数2(2)(2)()1a a z a a i a R a ++++∈=-为纯虚数，则a 的值为（ ）A ．1a ≠B ．0a =C ．0a =或2a =-D ．2a =- 2．如果α的终边过点(2sin,2cos )66ππ-，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．33．若向量()1,1a =，()2,5b =，()3,c x =，满足条件()824a b c -⋅=，则x 等于（ ）A ．6B ．2C ．4D ．34．关于直线m ﹑n 与平面α﹑β，有下列四个命题，其中真命题的序号是（ ）①//m α，//n β且//αβ，则//m n ；②m a ⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③m a ⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥；④//m α，n β⊥且αβ⊥，则//m n ．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 5．在ABC 中，2()||BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形6．设函数6cos y x =与5tan y x =的图像在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图像于点B ，则线段AB 的长度为（ ） A 5B 35C 145D ．257．已知ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量sin (3,sin )A m B =，co s ()s 3B n A =．若1cos m n ⋅=+()A B +，则C =（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π8．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A ．75B ．3053C ．3203D ．40039．已知复数1z i =-（i 为虚数单位）是关于x 的方程20x px q ++=（p ，q 为实数）的一个根，则p q +的值为（ ）A ．4B ．2C ．0D ．2-10．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC的外接圆的面积为3π，且2cos A 22cos cos 13sin sin B C A C -+=，则ABC 的最大边长为（）A ．2B ．3C 3D ．2311．在四面体P -ABC 中，三角形ABC 为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P -ABC 外接球表面积为（ ） A ．12πB ．25πC ．809πD ．32411π12．如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为75︒的扇形．点A ，B ，C 分别是半径OP ，OQ 及扇形弧上的三个动点（不同于O ，P ，Q 三点），则ABC 周长的最小值是（）A 61+B 62+C 261+D 262+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若z C ∈，且221z i --=，则22z i +-的最小值为_________． 14．如图．在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，||1AD =，则AC AD ⋅=_________．15．已知ABC 中，D是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，且2ABD ADC S S =，1AD =，12DC =，则AC =_________． 16．已知：平面l αβ⋂=，A l ∈，B l ∈，4AB =，C β∈，CA l ⊥，3AC =，D α∈，DB l ⊥， 3.DB =直线AC 与BD 的夹角是60︒，则线段CD 的长为_________．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤） 17．（本小题满分10分）密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题已知函数()3sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤的图像关于直线3x π=对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π．（1）求ω和ϕ的值；（2）若32()()263f αππα=<<，求sin()3a π+的值．18．（本小题满分12分）如图．甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105︒方向的1B 处，此时两船相距20海里．当甲船航行20min 到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？19．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中,1)(2a =． （1）若25c=，且//c a ，求c 的坐标；（2）若5||2b =，且()(2)a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角θ．20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：BE ⊥平面P AC ． 21．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos sin 3b A C a =+． （I ）求A 的值：（Ⅱ）若3a =，点D 在边BC 上．且2BD DC =，求AD 的最大值．22．（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O ，底面半径是5cm ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm ，这个平面与母线OA 交于点B ，线段AB 的长为10cm ．（提示：本题的数据有长度单位） （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB 的中点M 开始到点A ，沿着侧密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题面卷绕．使它成为最短时候，求这根绳的长度；（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDD CCBCC DB二、填空题：13．3 14．3 15．3216．543三、解答题：17．解析：（1）因为()f x 的图像上相邻两个最高点的距离为π， 所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==． 又()f x 的图像关于直线3x π=对称， 所以2,32k k Z ππϕπ+=+∈⨯． 因为22ππϕ-≤<，所以0k =． 所以2236πππϕ=-=-．（2）由（1）得3()3sin(2)226f ααπ=⋅-=， 所以1sin()64πα-= 由263ππα<<，得062ππα<-<， 所以22115cos 1sin 1664ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，15sin sin cos 36264ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．18．【解析】解法一：如图，连接12A B ，由已知，22102A B =1220210260A A == ∴1222A A AB =，12218012060A A B ∠=︒-︒=︒ 又12218012060A A B ∠=︒-︒=︒． ∴122A A B 是等边三角形，1212102AB A A ==．由已知，1120A B =．1211056045B A B ∠=︒-︒=︒在121A B B 中，由余弦定理，得：33212121111122cos45B B AB AB AB AB =+-⋅⋅︒，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22220(102)220102200=+-⨯⨯=．∴12102B B =10260302=/h ）． 答：乙船每小时航行302海里．解法二：如图，连结2A B ．由已知1220A B =．12202260A A ==112105B A A ∠=︒， ()cos105cos 4560cos45cos60sin 45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=-2(13)4-=()sin105sin 4560sin 45cos60cos45sin 60︒︒︒︒︒︒︒=+=+2(13)4=在211A A B 中，由余弦定理，得22221111211122cos105A B AB A A AB A A ︒=+-⋅⋅222(13)(102)202102204-=+-⨯⨯100(423)=+．∴2110(13)A B =+.由正弦定理，得1112111221sin sin A B A A B B A A A B ∠=⋅∠ 2(13)210(13)+==+．∴12145A A B ∠=︒，即122604515B A B ︒︒︒∠=-=．2(13)cos15sin105︒︒+==． 在122B A B 中，由已知，22102A B =由余弦定理,得22212212221222cos15B B A B A B A B A B ︒=+-⋅⋅． ∴12102B B =，2222(13)10(13)(102)210(13)1022004=++-⨯⨯=乙船速度的大小为1026030220⨯=/h ． 答：乙船每小时航行302海里．19．解：（1）由于a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1a =，若||25c =，且//c a ，可设()2,c a λλλ=⋅=．则由22||(2)2c λλ=+=，可得2λ=±，∴()4,2c =，或()4,2c =--．（2）∵5||2b =，且2a b +与a b -垂直， ∴()()22220a b a b a a b b +-=+⋅-⋅=，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题化简可得52b a ⋅=-，即55cos 5θ⨯=-， ∴cos 1θ=-，故a 与b 的夹角θπ=．20．证明：（1）设AC BE O ⋂=，连结OF ，EC ，由已知可得：//AE BC ，AE AB BC ==， 四边形ABCE 是菱形，O 为AC 中点， 因为F 为PC 中点，所以//OF AP ，//AP 平面BEF ，OF ⊂平面BEF所以AP ∥平面BEF ．（2）由题意知，//ED BC ，ED BC =， 所以四边形BCDE 为平行四边形． 因此//BE CD ．又AP ⊥平面PCD ．所以AP CD ⊥，因此AP BE ⊥． 因为四边形ABCE 为菱形． 所以BE AC ⊥．又AP AC A ⋂=，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC ．21．（1）由已知及正弦定理得sin cos 3s s n n i i A C C A B =+． 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠， ∴tan 3A =0A π<<，即3A π=．（2）解法一：设ABC 外接圆的圆心为O ，半径为R ，则由正弦定理得3322sin sin 3a A R π===⨯ 如图所示，取BC 的中点M ，在RtBOM 中，322BC BM ==， 222233(3)()2OM OB BM =-=-=在RtDOM中，12OM BD BM=-=， 222231()()122OD OM DM =+=-=． 31AD OD OD O R A +=+=≤，当且仅当圆心O 在AD 上时取等号，所以AD 31．密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题解法二：在ABC 中，由正弦定理得：sin sin 3sin cos A B B A =，因为sin 0B ≠，所以tan 3A =又因为0A π<<，所以3A π=；由正弦定理得：in 23s b B =，in 23s c C =，在ABD 中，222224cos 24BA BD AD c AD B BA BD c +-+-==⨯在ABC 中，2222292c 6os BA B BC BC AC c b BA c+-+-==⨯所以222244946c D c b c c+-+-=， 整理得22221233AD b c =+-， 所以22221(23)3)233AD B C =+- 228sin 4sin 2B C =+- 44cos22cos2B C =--144cos22cos(2)3B B π=-+-43sin23cos2B =+- 43sin(2)3B π=+-，当sin(2)13B π-=， 即512B π=时，2AD 取得最大值423+所以AD 31．22．（1）作出圆锥的轴截面和侧面展开图，如下图由底面半径是5cm ，上底半径为2.5cm ，可得：10OB= 所以，圆锥的高为：515387515c 8m V =，侧面积为：275cm S π=． （2）由圆锥的底面周长可得侧面展开图的弧长为10π，所以，侧面展开图的圆心角为2π，在直角三角形MOA 中可得25cm MA =，所以最短时候，绳长为25cm（3）由侧面展开图可知，距离最短时，就是O 到直线AM 的距离减OB 长．解得：2cm ．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
若甲的中位数为a，乙的众数为b，则 __________．
14.若 ，且 ，则 的值是____________．
15.为实现“两个一百年”的奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某高校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：
年份
2016
2017
所以 ，
所以 ，
所以点P在 边所在直线上．故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量共线定理，属于基础题.
10. A
【解析】
【分析】先根据平均数的计算方法分别求出两位同学成绩的平均数 和 ，再利用方差的计算公式求得 和 ，而方差越大，成绩越不稳定．
【详解】 ，
．
，
．
因为 ，所以成绩不太稳定的是乙同学，其标准差为 ．
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）若 ，得 ，
解得 ，故实数k的值为7．
【点睛】本题考查平面向量的数量积公式的应用、向量求模，需熟记常用公式，考查计算化简的能力，属基础题.
19.（1）10.1分；（2）10.3.
【解析】
【分析】（1）由频率直方图，根据平均数计算方法可得答案；
（2）根据中位数的计算方法可得答案.
人教版2020--2021学年下学期期末考试卷
高一数学
（满分：150分时间：120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若45°角的终边上有一点 ，则 （）
A.2B.4C. D.
2.下列给变量赋值的语句正确的是（）
3个白球与事件A不能同时发生，是对立事件．故选：C.
(2021年整理)人教版高一数学下学期期末考试(精选题)
一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1.对一个容量为m(m≥2017,m∈N)的总体抽取容量为3的样本，当选取系统抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率是32017，则选取分层抽样抽取样本时总体中的每个个体被抽中的概率是()A. 12019B. 12018C. 32017D. 320162.如图所示的程序框图中，若f(x)=x2，g(x)=x，且ℎ(x)≥m恒成立，则m的最大值是()A. 4B. 3C. 1D. 03.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a12−a15=0，则S4S2=()A. 5B. 8C. −8D. 154.小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位的字母A，a，B，b中的一个，另一位数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登录的概率是()A. 12B. 14C. 18D. 1125.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)，估计该次考试的平均分x(同一组中的数据用该组的区间中点值代表)为()A. 70B. 72C. 74D. 766.已知a>0，b>0，a、b的等比中项是1，且m=b+1a ,n=a+1b，则m+n的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 67.公差不为0的等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S8=S13，且a15+a m=0，则m的值为()A. 5B. 6C. 7D. 88.算法如图，若输入m=210，n=117，则输出的n为()A. 2B. 3C. 7D. 119.从装有2个红球和2个白球的袋内任取两个球，那么下列事件中，对立事件的是()A. 至少有一个白球；都是白球B. 至少有一个白球；至少有一个红球C. 恰好有一个白球；恰好有2个白球D. 至少有1个白球；都是红球10.设a>0，b>0，若2是4a和2b的等比中项，则2a +1b的最小值为()A. √2B. 4C. 92D. 511.已知a>b，一元二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则2a2+b2的最小值为()A. 1B. √2C. 2D. 2√212.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A. 3B. 4C. 5D. 613.设a n=−n2+9n+10，则数列{a n}前n项和最大时n的值为()A. 9B. 10C. 9或10D. 12二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）14.某中学早上7：50打预备铃，8：00打上课铃，若学生小明在早上7：30至8：10之间到校，且在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明在打上课铃前到校的概率为______．15.如图所示，该程序框图输出的结果是______．16. 已知数列{a n }的通项公式为a n =an 2+n(n ∈N ∗)，若满足a 1<a 2<a 3<a 4<a 5<a 6，且a n >a n+1，对任意n ≥10恒成立，则实数a 的取值范围是______． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知acosB +bcosA =a+b 2，则C的最大值为______．18. 已知数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n−254a n −2，则a 2017=______．19. 若不等式2x −1>m(x 2−1)对满足−2≤m ≤2的所有m 都成立，则x 的取值范围是______．三、解答题（本大题共1小题，共12.0分）20. 已知正项数列{a n }，a 1=1，a n =a n+12+2a n+1(Ⅰ)求证：数列{log 2(a n +1)}为等比数列：(Ⅱ)设b n =n1og 2(a n +1)，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1≤S n <4．答案和解析【答案】1. C2. D3. A4. D5. C6. B7. C8. B9. D10. C11. D12. B13. C14. 3415. 1516. [−112,−120]17. π3 18. 019. (√7−12,√3+12)20. 解：(Ⅰ)∵a n=a n+12+2a n+1，∴a n+1=(a n+1+1)2，∵a n>0，∴2log2(a n+1+1)=log2(a n+1)，即log2(a n+1+1)=12log2(a n+1)，即数列{log2(a n+1)}是1为首项，12为公比的等比数列：(Ⅱ)∵数列{log2(a n+1)}是1为首项，12为公比的等比数列：∴log2(a n+1)=(12)n−1，设b n=n1og2(a n+1)=n⋅(12)n−1，则数列{b n}的前n项和为S n=1+22+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，1 2S n=12+222+⋯+n−12n−1+n2n．两式相减得12S n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=2[1−(12)n]−n2n，∴S n=4−n+22n+1<4．∵b n=n⋅(12)n−1>0，∴S n≥S1=1，∴1≤S n<4．【解析】1. 解：由系统抽样的定义知，总体中每个个体被抽中的概率是32017，则利用分层抽样抽取样本时总体中的每个个体被抽中的概率也是32017，故选：C根据系统抽样和分层抽样的性质进行判断即可．本题主要考查抽样的性质，根据抽样中每个个体被抽到的概率相同是解决本题的关键．2. 解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：ℎ(x)={x,0<x <1x 2,x≥1或x≤0的值， 在同一坐标系，画出f(x)=x 2，g(x)=x 的图象如下图所示：(实线部分为ℎ(x)的图象)由图可知：当x =0时，ℎ(x)取最小值0， 又∵ℎ(x)≥m 恒成立，∴m ≤0，即m 的最大值是0； 故选：D由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：ℎ(x)={x,0<x <1x 2,x≥1或x≤0的值，数形结合求出ℎ(x)的最小值，可得答案．本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立问题；考查了数形结合的解答方法；属于中档题．3. 解：∵S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 12−a 15=0， ∴8a 1q 12=a 1q 15，解得q =2， ∴S4S 2=a 1(1−24)a 1(1−22)=1+22=5．故选：A ．由等比数列的通项公式得到8a 1q 12=a 1q 15，从而得到q =2，再由等比数列的前n 项和公式能求出S 4S 2的值．本题考查等比数列的前4项和与前2项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．4. 解：微信登录密码的后两位，只记得最后一位的字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位数字4，5，6中的一个，则基本事件总数n =4×3=12，∴小明输入一次密码能够成功登录的概率是p =112．故选：D ．先求出基本事件总数n =4×3=12，由此能求出小明输入一次密码能够成功登录的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5. 解：由频率分布直方图得：a =12(110−0.03−0.04−0.02)=0.005，∴估计该次考试的平均分：x =55×0.005×10+65×0.03×10+75×0.04×10+85×0.02×10+95×0.005×10=74． 故选：C ．由频率分布直方图求出a ，从而能估计该次考试的平均分．本题考查平均分的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．6. 解：∵a、b的等比中项是1，∴ab=1．∴1a =b，1b=a，又a>0，b>0，∴m+n=2(a+b)≥4√ab=4，当且仅当a=b=1时取等号．∴m+n的最小值是4．利用等比中项和基本不等式的性质即可得出．熟练掌握等比中项和基本不等式的性质是解题的关键，7. 解：公差d不为0的等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S8=S13，可得8a1+12×8×7d=13a1+12×13×12d，化为a1=−10d，且a15+a m=0，即为a1+14d+a1+(m−1)d=0，即为(14−20+m−1)d=0，(d≠0)，解得m=7．故选：C．设公差d不为0的等差数列{a n}，由等差数列的求和公式可得a1=−10d，再由等差数列的通项公式可得m的值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．8. 解：输入m=210，n=177，r=210Mod117=93，不满足r=0，执行循环，m=117，n=93，r=117Mod93=24，不满足r=0，执行循环，m=93，n=24，r=93Mod24=21，不满足r=0，执行循环，m=24，n=21，r=24Mod21=3，不满足r=0，执行循环，m=21，n=3，r=21Mod3=0满足r=0，退出循环，输出n=3．故选B该题是直到型循环与，先将210除以177取余数，然后将n的值赋给m，将r的值赋给n，再相除取余，直到余数为0，停止循环，输出n的值即可本题主要考查了伪代码，解题的关键是弄清程序的含义，该题考查了两个数的最大公约数，属于基础题9. 解：从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，则“至少有一个白球”和“都是红球”是对立事件，故选D．从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球，所有的情况有3种：“2个白球”、“一个白球和一个红球”、“2个红球”．由于对立事件一定是互斥事件，且它们之中必然有一个发生而另一个不发生，结合所给的选项，逐一进行判断，从而得出结论．本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．10. 解：根据题意，若2是4a和2b的等比中项，则有4a×2b=22，即22a+b=22，则有2a+b=2，2 a +1b=12(2a+1b)(2a+b)=12[5+2ab+2ba]≥12(5+2√2ab×2ba)=92，当且仅当a=b=23时，等号成立；故选：C．根据题意，由等比数列的性质可得4a×2b=22，分析可得2a+b=2，分析可得2a +1b=1 2(2a+1b)(2a+b)=12[5+2ab+2ba]，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查基本不等式的性质，关键是求出a、b的关系．11. 解：∵已知a>b，二次不等式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a>0，且△=4−4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴2a2+b2≥2√2a2b2=2√2，当且仅当2a2=b2即b=√2a时“=”成立，故选：D．根据二次函数的性质求出ab=1，根据基本不等式的性质求出2a2+b2的最小值即可．本题考查了二次函数的性质，考查不等式的性质，是一道中档题．12. 解：模拟程序的运行，可得k=0，S=0满足条件S<10，执行循环体，S=2∘=1，k=1满足条件S<10，执行循环体，S=2∘+21=3，k=2满足条件S<10，执行循环体，S=2∘+21+22=7，k=3满足条件S<10，执行循环体，S=2∘+21+22+23=15，k=4不满足条件S<10，退出循环，输出k的值为4．故选：B．根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S<10，即可得解k的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据算法流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用思路，属于基础题．13. 解：a n=−n2+9n+10=−(n−10)(n+1)，∵{a n}的前n项和S n有最大值，∴S n≥S n+1，得a n+1≤0，即−[(n+1)−10][(n+1)+1]≤0，解得n≥9，易得a8=18，a9=10，a10=0，a11=−12，则S9=S10最大，此时n=9或10．故选C由题意可得S n≥S n+1，解出不等式根据项的符号可作出判断本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的最大值的求法，解题时要注意配方法的合理运用．14. 解：某中学早上7：50打预备铃，8：00打上课铃，小明在早上7：30至8：10之间到校，且在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明在打上课铃前到校的时间段为30分钟，由几何概型的公式得到所求概率为3040=34；故答案为：34由题意，本题是几何概型，利用时间段的比求得概率．本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应所时间段，利用时间段的比求概率是解决本题的关键15. 解：模拟执行程序框图，可得①y=20−1=19，x=20+19=39，②y=18，x=39+18=57；③y =17，x =57+17=74；④y =16，x =74+16=90>90不成立；⑤y =15，x =90+15=105>90成立，所以输出15； 故答案为：15．模拟执行框图，依次写出每次循环得到的x ，y 值，直到满足条件退出循环，输出y 的值．本题主要考查了程序框图和算法，依次得到每次循环x ，y 的值是解题的关键，属于基础题．16. 解：由题意可得：{a <06≤−12a ≤10，解得：−112≤a ≤−120． ∴实数a 的取值范围是[−112,−120]． 故答案为：[−112,−120]． 由题意可得：{a <06≤−12a≤10，解出即可得出．本题考查了不等式的性质与解法、函数的单调性、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 解：∵acosB +bcosA =a+b 2，∴由正弦定理得：sinAcosB +sinBcosA =sinA+sinB2，∴2sin(A +B)=sinA +sinB ，而A +B =π−C ， ∴2sinC =sinA +sinB ，即c =a+b 2．∴cosC =a 2+b 2−(a+b 2)22ab =38(b a+a b)−14≥12，当且仅当a =b 时取等号， ∴C 的最大值为π3． 故答案为：π3．根据正弦定理将条件进行转化化简，结合两角和差的正弦公式及余弦定理进行求解即可． 本题主要考查正弦定理的应用，根据正弦定理结合两角和差的正弦公式及余弦定理是解决本题的关键，是基础题．18. 解：∵数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n−254a n −2，∴a 2=−2−2=1，a 3=1−254×1−2=43，同理可得：a 4=2，a 5=0，…， ∴a n+4=a n ．则a 2017=a 504×4+1=a 1=0． 故答案为：0．数列{a n }满足a 1=0，a n+1=a n−254a n −2，可得：a n+4=a n .即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 解：令f(m)=−(x 2−1)m +2x −1，原不等式等价于f(m)>0对于m ∈[−2,2]恒成立， 由此得{f(−2)>0f(2)>0，即{−2(1−x 2)+2x −1>02(1−x 2)+2x−1>0，解得√7−12<x <√3+12． 故答案为：(√7−12,√3+12) 构造函数f(m)=−(x 2−1)m +2x −1，原不等式等价于f(m)>0对于m ∈[−2,2]恒成立，从而只需要{f(−2)>0f(2)>0解不等式即可．本题以不等式为载体，恒成立问题，关键是构造函数，变换主元，考查解不等式的能力20. (Ⅰ)根据数列的递推关系结合等比数列的定义即可证明数列{log 2(a n+1)}为等比数列：(Ⅱ)求出b n =n1og 2(a n +1)的表达式，利用错位相减法即可求出数列{b n }的前n 项和为S n ．本题主要考查等比数列数列的判断，以及数列求解，利用错位相减法是解决本题的关键．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-<<，那么A ∪B =（ ）A ．{}21x x -<<-B ．{}12x x -<<C ．{}21x x -<<D．{}23x x -<<2．已知角α的终边经过点(,4)P m ，（0m < ），且1cos 5m α= ，则sin cos αα-=（ ）A ．15B ．75C ．15-D ．13．已知函数221log (),0(),03x x a x f x x -⎧+<=⎨≥-⎩，若f [f (2)]=1，则a =（ ）A ．-2B ．-7C ．1D ．5 4．在等差数列{}na 中，35712aa a +=-，则19a a +=（） A ．8B ．12C ．16D ．205．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA ，则（ ）A ．21,33x y ==B ．12,33x y ==C ．23,55x y == D ．13,44x y == 6．已知1sin(3)3πα+=-，则2cos ()24απ-值为（ ）A ．13B ．326+C ．326-D ．237．在等比数列{a n }中，已知其前n 项和，则a 的值为( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．28．已知⊙C 1：()()22111x y ++-=，⊙C 1与⊙C 2关于直线10x y --=对称，则⊙C 2的方程为 A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=9．若定义在R 上的偶函数f (x )在（0, +∞）上单调递增，且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ） A ．（-∞, -2）∪（0, 2） B ．（2, +∞） C ．（-2, 2）D ．（-∞, -2）10．已知点P 为直线250x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：()()22122x y -++=的两条切线，切点分别为A 、B ，则四边形P ACB 面积的最小值为（ ） A ．6B ．26C ．6D ．1212n n S a +=+密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能12．设{}max ,p q 表示,p q 两者中较大的一个．已知：定义在[]0,2π上的函数{}()max 2sin ,2cos f x x x =满足关于x 的方程()()2212()0f x m f x m m +-+-=有6个不同的解，则m 的取值范围为( ) A ．()2,2B ．()2,12+ C ．()1,2-D ．()12,22+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．直线l 过点（-1, 2）且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是 ． 14．已知函数221,0()log (1),0x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，记()1f x <的解集为 ．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，E 为CD 中点．则PE 与平面PAC 所成角的正切值为 ． 16. 在数列{a n }中，12,a=12(1)n n a a n +-=+，则数列1{}na 的前n 项的和n S = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 已知2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 18．(本小题满分12分) 如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线与圆A相交于,M N两点．（1）求圆A的方程；（2）当||219MN =时，求直线l 的方程．19．(本小题满分12分) 已知数列{}na 中，14nn a a +=，2116a =，递增等差数列{}nb 满足11b =，2b 是1b 与6b 的等比中项．（1）求数列{},{}nna b 的通项公式；（2）求数列{}nn ab +的前n 项的和n S ．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC //AD ，BC =CD =12AD . （1）求证：CD ⊥PD ；A BCD EP密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）求证：BD ⊥平面P AB ；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使CM //平面P AB . 若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ) （A >0,0<ω<1，|φ|<π2)，x ∈R ）的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝1 20°． （1）求A ，ω，φ的值；（2）若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．21．(本小题满分12分) 已知函数()22xxf x k -=+⋅，x R ∈．(其中e为自然对数的底数)（1）若1k =，且()3f m =，求(2)f m 的值； （2）若1k =-，求不等式22(2)(3)0f xx f x x -+-->的解集；（3）若1k =-，且2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1~12 DBBA ADCB AACA 13．3210x y +-= 14．(,1)-∞ 15．3516．1n n + 17．（1）,T π=[,]()36k k k Z ππππ-+∈； （2）4m ≤-．18．（1）22(1)(2)20x y ++-= ； （2）2x =-或3460x y -+=． 19．（1）1(),324n nn a b n ==- ； （2）21333()42n nn nS -=-⋅+．20．略． 21．（1）2,,63A ππωϕ=== ； （226 ．22．（1）7； （2） (,1)-∞； （3）5m ≥-PABCD密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．求17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．32．已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()2b a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．43．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A ．8B ．12C ．10D ．14 4．已知变量x ，y 之间具有良好的线性相关关系，若通过10组数据(,)(1,2,...,10)i i x y i =得到的回归方程为5y bx =+，且10120i i x ==∑，1018ii y==∑，则b =（ ）A ．2.1B ．2C ．-2.1D ．-25．在三角形ABC 中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，且10a b +=，则向量AB 在向量AC 的投影是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．46．将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ）A.πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a +++＝（）A ．12B ．28log 5+C ．5D ．188．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） A 433+B 433- C 334+D 334- 9．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10. 已知函数的最大值为2，其图密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A ．函数在上单调递增B ． 函数的图象关于直线对称C ． 当时，函数的最小值为2-D ．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位 11．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<12．已知函数()()231cos sin 0,R 222xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 .14. 若向量(21)a x =+，，(26)b x =+，，又a b ，的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为 ． 15．函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =-⋅++-在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________.16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论： ①0<q<1； ②a 1a 99－1<0； ③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98. 其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1243102a a a a +=-=，.等比数列{}n b 满足2337b a b a ==，. ( I )求数列{}n a 的通项公式; (II)设n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .满足22cos c a b A =+.（1）求B ；（2）若5a c +=，3b =，求ABC 的面积.19．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满,2BE EC DF FC==，记AB a=，AD b =，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题； （1）用,a b 来表示向量BF ⃗⃗⃗⃗ ；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）若3,2ab ==，且3BF =，求DE ；20．（本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示: （1）求出样本的平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用 分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率． 21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来源:学*科*网] （2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nT ；22．（本小题满分12分）已知向量(sin 3cos ,1)m x x =-，2(2sin ,4cos )n x x =，函数()f x m n =⋅．（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(A)=1，a =3,求b+2c 的取值范围．参考答案1．A由诱导公式可得17171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 2．C根据题意，得()24,3a b m -=-，由()2b a b ⊥-，得()430m m --=.解得1m =或 3.m =故选C.[来源:]3．B 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d =+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =． 4． C因为10101112,2010i i i i x x x ===⇒=⨯=∑∑10101118100.8i i i i y y y ===⇒=⨯=∑∑，所以根本点的中心为(2,0.8)，把样本点的中心代入回归直线方程，得0.825 2.1b b =+⇒=-，故本题选C.5. ．A 由题意，利用正弦定理可得::2:3:4a b c =，则设2a k =，3b k =，4c k =，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由105a b k +==，所以2k =，故有4a =，6b =，8c =，由余弦定理可得2227cos 28b c a A bc +-==， 所以，向量AB 在向量AC 的投影是7cos 878AB A ⋅=⨯=.故选：A. 6．B 解：将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+7. D由题意，向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==， ∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a +++()2129log a a a =()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦925log a =29log 4=18=故选：D. 8．B 解：∵cos （α6π+）35=（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）45=， ∴sin α＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6π-cos （α6π+）sin 6π4331433552-=-⨯=， 故选：B ．9．A由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 10. D 当时，，在为减函数，故A错，故函数图像的对称中心为，故B 错；当时，，故，故C 错；因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故，所以，令，则即，因，故，.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题，故向右平移个单位后可以得到，故D 正确；11．C根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==，故sin 22A =，三角形有两解，故2sin 1222A <=<，解得222a <<故选：C. 12．D1cos 3131()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点 (1)(,2)(2,2),66k k k Zππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤；[来源:学科网]（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k =，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k的取值范围是5511(0,][,]12612，选D . 13.221192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：214.5{|2}4x x x >-≠且15．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦令3sin cos 2),[0,]()[,],2]4444t x x x x x t πππππ=+=+∈∴+∈∴∈. 221sin cos 12sin cos sin cos 2t t x x t x x x x -=+⇒=+⋅⇒⋅=.所以2221111()1(1)2222t f t t t t t -=-+-=-+-=--.13(0),(2)2,(0)(2)22f f f f =-=∴<，当2]t ∈，所以有max min 1()(1)0,()(0)2f t f f t f ====-， 所以函数的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．①②③④密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．（Ⅰ）22n a n =+；（Ⅱ）22324n n S n n +=++-. 解: (I)在等差数列{}n a 中，由题意可知12102a d d +=⎧⎨=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩22n a n ∴=+.(II)在等比数列{}n b 中，由题意可知121816b q b q =⎧⎨=⎩解得142b q =⎧⎨=⎩11422n n n b -+=⨯=∴,1222n n c n +∴=++,2341426282...222n n S n -∴=+++++++++()23146...2222...2n n +=++++++++ ()2314622222n n +=++++++++22324n n n +=++-.18．（1）π3B =；（243.（1）由题知2sin sin 2sin cos C A B A =+，则()2sin sin 2sin cos A B A B A +=+， 则2sin cos sin A B A =，在ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，则π3B =. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B=+-，从而得()22293a c ac a c ac =+-=+-，又5a c +=，所以163ac =，所以ABC 的面积为143sin 23S ac B ==. 19．（1）见解析；（27（1）∵在ABCD 中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=- 111333BF BC CF AD CD AD AB b a =+=+=-=-（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =- ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵3,2AB AD ==且3BF =∴222213223cos 339BAD =-⨯⨯⨯∠+⨯ ∴1cos 2BAD ∠= ∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE=20．（1）41.5岁；（2）35（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =． 平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； （3）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，从第1，2组密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,a a b b b ．设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105．21．（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =； 当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-， 上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯； 22．（1）()222sin 23sin cos 4cos f x x x x x =-+222cos 23sin cos x x x =+-3cos23sin2x x =+2cos 233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,4． （2）f (A )=1，则cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则A=3πsin 2aA R=，223R ∴= 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin 3cos )R B B =()0221sin B θ=+．其中锐角0θ满足：03tan θ=ABC 为锐角三角形， 62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+， 由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 27πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭()0sin 17B θ<+≤，432221b c ∴<+≤ 故答案为: (43,221].密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1．下列各角中与1°角终边相同的是（ ） A ．360°B ，361°C ．362°D ．363°2．关于x 的不等式()()110x x -+≤的解集是（ ） A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-3．设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．11ab<4．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB BC=，那么四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形5．已知函数()cos3f x x =的图象向右平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()cos 312g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 34g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()cos 312g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 34g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．下列函数中，最小正周期是π，且在区间,2n π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan 2xy =D ．cos 2y x =7．已知实数x ，y 满足约束条件2602000x y x y x y --≤⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥，则z x y =+的最大值为（ ） A ．0B ．18C ．2D ．38．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（ ）A ．64里B ．32里C ．16里D ．8里9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若452a a +=，则8S 等于（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在线段CD 上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（）A ．2,2⎡⎤-⎣⎦ B ．2,4⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．2⎡⎣11．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin cos sin A B C <，则ABC △一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D.等边三角形12．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,c a b ，(),m a c b =+，(),2n a c b a=-，若m n ⊥，则()2sin22tanA B -的取值范围为（ ）A ．(0,526-B ．[)2,0-C ．2,526⎡--⎣ D ．()2,0-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）13．已知O 为坐标原点，()1,2OA =，()1,3AC =-，则OC =______．14．若关于x 的不等式4x xm +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数m的取值范围是 ______．15．已知函数()sin f x x =，[]0,x π∈，实数[)0,1k ∈，则关于x 的方程()f x k =所有根之和为______．16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16，…其中第一项是1，接下来的两项是1，2，再接下来的三项是1，2，4，依此类推．若该数列的前n 项和是2 的整数次幂，且3100n <<，则n 的所有取值的和为 ______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：113a b ==，4212a b ==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18．(12分）已知向量a ，b 满足：2a =，()1,1b =． （1）若//a b ，求a 的坐标；（2）若()6a a b ⋅+=，求a 与b 的夹角的余弦值．19．(12分）已知角,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且角α的终边与单位圆的交点为525⎛ ⎝⎭． （1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．20．(12分）如图，某海港一天从0~12时的水位高度y （单位：密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题米）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数()()sin 0,0y A t b ωϕωϕπ=++><<．（1）求该函数的解析式；（2）若该海港在水位高度不低于6米时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12时，轮船最佳进港时间总共多少小时？21．(本题10分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量BA与AC 的夹角的余弦值为13。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含三套题)
密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2{1,2,3},|1A B x x ===，则A B =() A ．{}1- B ．{1}C ．{1,1}-D ．{1,2,3}2．sin 20cos70cos20sin 70+=（） A ．0B ．1-C ．1D ．12 3．下列函数中，在(0,)+∞上存在最小值的是( ) A ．2(1)y x =-B ．y x =C ．2x y =D ．ln y x =4．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．在ABC ∆中，D 是BC 上一点，且13BD BC =，则AD =（ ）A ．13AB AC +B ．13AB AC -C ．2133AB AC + D ．1233AB AC + 6．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ） A ．5B ．8C ．10D ．147．等比数列{}n a 的各项均为正数，且675818a a a a +=，则3132312log log log a a a ++⋅⋅⋅=（）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．已知等差数列5，247，437，…，的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为（ ） A ．7B ．8C ．7或8D ．99．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1000km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30︒，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75︒，则山顶的海拔高度为（精确到0.1 km 3 1.732≈）A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km10．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( ) A ．12B 21C ．14D ．22111．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．(6223+B ．6225+ C ．10 D ．1212．对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[3.6]3=，[ 3.4]4-=-，关于函数1()33x x f x ⎡+⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，有下列命题：①()f x 是周期函数；②()f x 是偶函数；③函数()f x 的值域为{0,1}；④函数()()cos g x f x x π=-在区间(0,)π内有两个不同的零点，其中正确的命题为( ) A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版高一数学下册期末检测试题卷
A． 74
B． 3 10
C． 14
D． 53
3、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，则这个几何体可
能是
A．圆柱
B．圆锥
C．圆台
D．棱台
4、点 P ( x, y ) 在直线 x y 4 0 上， O 是原点，则 OP 的最小值是
A． 10
B． 2 2
C． 6
D．2
5、已知点 P（3，2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为
21、(本题满分 10 分)一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心 位于轮船正西 80km 处,受影响的范围是半径长为 r (r 0) km 的圆形区域.轮船的航行
方向为西偏北 45 且不改变航线，假设台风中心不移动. 如图所示，试问： （1）r 在什么范围内，轮船在航行途中不会受到台风的影响？ （2）当 r 6 0 km 时，轮船在航行途中受到影响的航程是多少 km ？
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1、直线 l 经过原点和点 (1, 3 ) ，则直线 l 的倾斜角为
A． 3 0
B． 45
C． 60
D．1 2 0
2、在空间直角坐标系中，已知两点 P1 (1, 3, 5) ， P2 (2, 4, 3) ，则 P1 P2
(1)求 BC 边所在直线的方程;
(2)设三角形两边 A B , A C 的中点分别为 D , E ，试用坐标法证明：
DE ∥ BC 且 DE 1 BC . 2
P
19、(本题满分 10 分)如图，在四棱锥 P A B C D 中，
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高一数学下学期期末测试卷（三）
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上.
1．5sin()3π
-
的值为 （ ） A.3 B.3- C.12
- D.1
2
2．已知a ＝ (2，3)，b =(4，y)，且a ∥b ，则y 的值为 （ ）
B.－6
C.83
D.－8
3
3.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（ ） .
A 41 .
B 21 .
C 8
1 .D 32
4. 如右图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记1BC e =，2BA e =，则向量CD =（ ） A ．121
2e e --
B ．121
2e e -+
C ．121
2
e e -
D ．121
2
e e +
5.已知正边形ABCD 边长为2，在正边形ABCD 内随机取一点P ，则点P 满足
||1PA ≤的概率是（ ）
A ．
4
π B ．
8
π C ．116
π
-
D ．
16
π 6、︒
150tan 的值为（ ）
A 、
3
3 B 、3
3-
C 、3
D 、3-
7、已知角α终边上一点)0)(3,4(<-a a a P ，则αsin 的值为（ ） A 、
5
3 B 、5
4-
C 、
5
4 D 、5
3-
8、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则θ2cos ＝（ ）
A 、54
-
B 、53-
C 、53
D 、5
4
9．函数3sin(2)3
y x π
=+，则下列关于它的图象的说法不正确的是
A ．关于点(,0)6
π-
对称 B ．关于点(,0)3π
对称
C ．关于直线712x π=对称
D ．关于直线512
x π
=对称
10．下列函数中，周期为π，且在[,]42
ππ
上为减函数的是
A ．cos()2y x π=+
B ．cos(2)2
y x π
=+ C ．sin()2y x π
=+
D. sin(2)2
y x π
=+ 11. 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线a 不在α内，则a ∥α；
②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；
③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行； ④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点； ⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12. A 为△ABC 的内角，且A 为锐角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）
A ．)2,2(
B ．)2,2(-
C ．(1,2]
D ．]2,2[-
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上. 13.某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵. 为调查 树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150的样本，则样本中松树苗的数量为 . 14. 函数sin()(||)2
y A x π
ωϕϕ=+<
部分图象如右图，则 函数解析式为y ＝ ．
15.已知向量,a b 夹角为45︒
，且1,210a a b =-=，
则_____b =.
16.△ABC 的三内角分别为A 、B 、C ，若2
2
sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-，则角C 等于________。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知向量a =()1,1m +，向量b =()0,2，且（a －b ）⊥a ． （1）求实数m 的值；
（2） 求向量a 、b 的夹角θ的大小．
A
D C
B
18. （本小题满分12分）
已知函数cos 2()sin()
4
x
f x x π
=
-
（Ⅰ）化简函数()f x 的解析式，并求定义域；
（Ⅱ）若4
()3
f α=，求sin 2α的值．
19.（本小题满分12分）
高一、三班n 名学生在一次数学单元测试中，成绩全部介于
80分与130分之间，将测试成绩按如下方式分成五组，第一组[80，90）；
第二组[90，100），……，第五组[120，130]，并得到频率分布表如下：（Ⅰ） 求n 及分布表中x ，y ，z 的值；
（Ⅱ）设, t s 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩，求事件 “10t s -≤”的概率．
20、(本小题满分12分)
已知a →＝(1，cos x )，b →＝(1
5
，sin x )，x ∈(0，π)
(1) 若a →
21.（本小题满分12分）
已知)
sin()tan()tan()2cos()2
sin(
)(απαππααπαπ
α--++---=
f
（1）化简)(αf （2）若5
1
)2
cos(=
-π
α,求)(αf 的值
22、（12分）已知(3sin ,cos )a x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且b a x f
⋅=)(
(1) 求函数()f x 的解析式;
(2) 若,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
17．解：(Ⅰ)由已知得，a －b =()1,1m -，…… 2分 又（a －b ）⊥a ⇔()0a b a -⋅=， 即1(1)(1)0m m +-+=…… 4分 ∴ 2
0,0m m ==解得
18.
19. 解：（Ⅰ）10.040.380.340.060.18y =----=. ………………………………2分
3
500.06
n =
=. …………………………………………………3分 500.042x =⨯=， 500.3819z =⨯=. ……………………………5分
（Ⅱ）第一组[80, 90)中有2名学生，设其成绩为,m n ；第五组有3名学生，设其成绩为a b c 、、.则抽取(,)t s 的基本事件空间{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)m n m a m b m c n a n b n c Ω=(,),(,),a b a c }(,)b c 共10个 基本事件. ………………………………………………………8分 设事件A 为“10t s -≤”则A ={}(,),(,),(,),(,)x y a b a c b c . ………10分
所以42
()105
P A =
=. 即事件10t s -≤的概率为2
5
. 20. 21.
22.解: (1) ()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x ==+-+
即22
()3sin cos cos f x x x x m =+-
(2) 23sin 21cos 2()2
x x
f x m +=
+- 21
sin(2)62
x m π
=++- 由,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
, 52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦,
211
422
m ∴-
+-=-, 2m ∴=± max 11()1222f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+=, 6
x π
=.。