自动控制原理6 第五节根轨迹法设计校正网络

-6
5
4.画出校正以后系统根轨迹，求出 A1 点根轨迹增益
Kr
A1 A1 2 A1 9.6 A1 4
50.4
速度误差系数
Kv
K
Kr
2
4 9.6
10.51(
1
s
)
校正系统的开环传函为：
KcGc
(s)G(s)
50.4(s 4) s(s 2)(s 9.6)
6
用根轨迹法设计相位滞后校正网路
b
、b 0.2
；
（5）选 Zc和
Pc
：
1 bT
2.5，及
1 T
0.5
，zC
Pc
5
1 b
s+2.5 1 0.4s
Gc (s) 0.2 s+0.5 1 2s
校正后系统的开环传函
Gc G
2500k 0.2 (s 2.5) s(s 25)(s 0.5)
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（6）画出校正后系统的根迹，除原点外，形状与原系统相似；
用根轨迹法设计相位超前校正网络 当品质指标以时域指标提出时，用根轨迹设计系统较方便。当
期望闭环主导极点位于未校正系统根轨迹的左边时，就可使用超前 校正。
在不考虑稳态指标时设计步骤如下：
1.根据所需要的动态品质指标要求，确定闭环主导极点A的位置；
2.画出未校正系统的根轨迹，求出使根轨迹通过A点所需要的补偿
（8）校验指标；
（9）求出网络参数 R,C ；
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例：有一单位反馈控制系统的开环传函为 G(s) 2500k ，要求满
s(s 25)
足下列性能指标；
（1）当输入是一个1rad s的单位速度函数时，输出的速度函数
与输入速度函数的最终稳态误差不大于0.01rad； （2）单位阶跃响应的最大超调量 p 12% ，试设计一个相位滞
（7）调整 k 使闭环主导极点位于 A1 、A2 上
GcG 1
6
0.2 2500k A1 A1 25 A1 0.5 500
A1 0.5
4
得
k 1
2
（8） Kv
k
2500 0.2 2.5 25 0.5
-25
100s1
-20
-15
-10
-5
0 -2
满足要求。
-4
-6
14
时，原系统闭环极点是 A1 、A2 ；开环增益 K 500 25 20 ；
（3）由稳态指标得
K0
K
1 ess
100s1
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（4）系统只有通过 A1 、A2 点动态指标才能满足要求，但此时的 开环增益 K 20，不满足稳态性能指标要求，需要把开环
增益提高 K0 100 5 倍，
K 20
即由滞后网络提供 1 5
bK
供；
9
（5）选择滞后校正网络的零点Zc 及极点Pc ，使满足
Zc
Pc
1 b
，
并要求
Z
和
c
Pc
离开原点越近越好，但它们离原点越近就意
味着要求 T 越大，物理实现困难，一般取
( A Pc ) ( A Zc ) 3o ； （6）画出校正系统的根轨迹；
（7）调整根轨迹增益（放大器增益），使闭环极点位于期望位置；
后校正网络；
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解：（1）画出未校系统的根轨迹，
Im
A1
如图所示；由 p 12% ， p e 12
得 0.57 ， cos1 ，用作图法和 25
12.5
解析法都可求得 A1,2 12.5 j18 ；
（2）未校系统当闭环极点位于 A1 和 A2 时，
Re
O
根迹增益 Kr 2500k A1 A1 25 500 ，得 k 0.2 ，即当 k 0.2
j v1
m
A zi
i 1
A 1 T
A 1 b bT
Av n A pj
j v1
m
A zi
i 1
1 b
A为期望的闭环主导极点，前一项就是 Kr
Krc
Kr b
m
m
校正系统的开环增益
Kc Krc
i 1 n
zi pj
Kr b
i 1 n
zi pj
K b
j v 1
j v 1
1
即校正后系统的开环增益增大到原系统的开环增益的 b 倍。
1.设计思路：当滞后网络的零极点相对于主导极点A为一对偶极子
时校，正校前正开后 环的增开益环的增1 益倍K，cbK1b
，K
为校正前的开环增益，K
增大到
c
这样改善了稳态性能。下面具体推
导一下：
b
m
Kr (s zi )
原系统的开环传函为：G(s)H
(s)
sv
i 1
n
(s
pj
)
j v1
根轨迹增益为：
s v n s p j
180o (222o) 42o
4
3.画水平线 A1B ，作角平分线 A1C ，再作 CA1D EA1C 2 21o ，A1D
与负实轴交于-9.6，A1E 与负实轴交于-4
Gc (s)
s4 s 9.6
Im
B
A1
6
4
2
D
C
E
-10 -9
-8
-7
-6
-5 -4
-3
-2
-1
O
Re
-2
-4
值最小。
Im
（1）过A点作水平线 AB；
B
A
（2）做 BAO的角平分线AC；
（3）在 AC两边做 DAC EAC ；
2
AE，AD与负实轴的交点则为 1
及
1 aT
，
于是有
Gc (s)
s
1 aT
a
1 T
T
1D T
2
22
C E 1 aT
Re O
4.画出校正系统根轨迹，并由幅值条件求出校正系统的根轨迹增益 及稳态误差的系数。
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2.设计步骤：
（1）画出未校正系统的根轨迹，根据动态性能指标，在根轨迹上
确定期望闭环主导极点A；
（2）确定未校正系统在A点的根轨迹增益和开环增益 K ；
（3）根据稳态指标求出系统所需要的误差系数
K（0 即开环增益
K
）；
0
（4）求出系统为了满足稳态性能指标，误差系数需要增加的倍数
1 K0 ，这 个需要增加的倍数由滞后网络的这一对偶极子提
角 ，
可这样去计算：校正后系统的开环传函为：
KcGc
(s)
G(s)
1 a
1 aTs 1 Ts
KcG(s)
K c 是附加增益
1
则： Gc G Gc G
A点应满足根轨迹的辐角条件 Gc G (2k 1)
即： Gc (2k 1) G( A)
3.决定Gc (s)的零极点，按下列步骤得到的Gc (s) 可使它的附加增益
Kr
j v 1 m
s zi
i 1 m
开环增益为：
K Kr
zi
i 1
n
pj
7
j v1
校正后系统的开环传函为：
Gc
校正后在A点的根轨迹增益
(s)G(s)H
(s)
m
Krc (s zi )
i 1
n
sv (s pj )
j v1
(s (s
1 )b bT 1)
T
Krc
Av n A pj
例. 一控制系统如图所示，现要求满足下列性能指标。 （1）阶跃响应的最大超调量 p 20% ； （2）阶跃响应的调整时间 ts (5%) 1s；
R(s)
Kr
C(s)
s(s 2)
3
解：
（1）.由 p 20% ，由式 p e 12 可求得 0.46 ，取 0.5
由
ts
3
n
得
n 6 rads来自；得闭环主导极点 A1,2 n jn 1 2 3 j3 3
（2）.画出未校正根轨迹。
期望主导极点 A1,2 在原系统根轨迹的左边， A1
原系统开环极点对于 A1点产生相位为
G( A1) A1 (A1 2) O 121o 101o 222o
要使 A1 点位于根轨迹上，校正装置要提 供的相位角为