有心力

目录
内容摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Key words (1)
1 引言 (2)
2 质点在有心力场中的运动性质 (2)
2.1 有心力的意义 (2)
2.2 质点在有心力场中的运动性质 (2)
3 质点在有心力场中运动的求解方法 (4)
3.1 牛顿定律法 (4)
3.2 比耐公式 (5)
3.3 守恒定律法 (5)
3.4 分析力学法 (5)
4 应用举例 (7)
结束语 (11)
参考文献 (12)
内容摘要：本题目分析了质点在有心力场中的运动性质和有心力场中质点动力学问题求解方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例进行分析比较，以加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。

关键词：有心力运动性质求解方法
Abstract：The title of the particle motion in the nature of the central force field and particle dynamics in the central field problem solving methods,and the inverse square gravitational field of the particle in the case of motion were analyzed and compared in order to deepen the understanding of the central field and the rational application of various methods.
Key words：Central force The nature of sports Solution
1 引言
质点在有心力场中的运动是自然界中的运动之一。

有心力不仅在天文学上有着非常重要的应用，而且在近代物理上也促进了一些新的发现。

对于有心力场中质点动力学问题求解方法在各类教材中介绍了一些不同的方法,其中最常用的是比耐公式法。

本文通过综合分析求解有心力场问题的方法，并以质点在平方反比引力场中运动为例，分析比较，加深对有心力场的理解并学会对各类方法的合理应用。

2 质点在有心力场中的运动性质
2.1 有心力的意义
如果运动质点所受的力的作用线始终通过某一个固定点,则称此力为有心力,而将此固定点称为力心。

质点受力方向指向力心时,称为引力，反之则称为斥力[1]。

有心力构成的力场称为有心力场[2]。

常见的有心力可以表为 ()()
r
F r F r r
= (1) 式中r 为质点相对力心的位矢,()F r 表示力的量值。

为了使引力和斥力都统一在式(1)中，()F r 需理解为代数量，即斥力时为正，引力时为负。

常见的有心力场有万有引力场，库仑力场等[3]。

2.2 质点在有心力场中的运动性质
2.2.1 动量矩守恒
由（1）式得
()
()0r r
M r F r F r F r r r r
=⨯=⨯=⨯= （2）
所以
0()dJ
M J C dt
===恒矢量。

即质点的动量矩守恒，动量矩J 的方向不变、大小不变。

a. J 的方向不变
由于 ()0r J r r mv =⨯= (3)
()0v J v r mv =⨯= (4)
即质点的位矢r
及速度v 始终位于与角动量J 垂直的平面内。

所以质点
在有心力场中必作平面运动。

b. J 的大小不变
设t 时刻质点的位矢为r
，dt t +时刻质点的位矢为r d r r +='，矢
径转过的角度为d θ，如图(1)所示，
图（1）
()
θθ 2mr e r e r m e r v m r J r r r =+⨯=⨯= (5)
即
21222()r d d J m m C dt dt θσ===常数 (6) 由上式得:
2
r
h θ=（h 为常数） d dt
σ=常数
其中σ表示质点的矢径在dt 时间内扫过的面积。

所以质点的位矢r
在单位时间内扫过的面积为常数，即扫过面积速度为常量[4]。

2.2.2 机械能守恒
在柱坐标系中,由(1)式可知，()0
0r z F F r F F θ===
110()0
0r z r z
r z e re e e re e F r r z r r z F rF F F r θθθθθ∂
∂∂∂∂∂∇⨯=
=
=∂∂∂∂∂∂ (7)
所以有心力场是保守力场，质点在保守力场中必存在势能)(r V ，并且机械能守恒。

取0r →∞时，势能0V =，则质点在有心力场中的势能为
()()r V r F r dr ∞
=⎰ (8)
所以有
21
()2
mv V r E +==常量 (9)
在平面极坐标系中也可写为
2221
()()2
m r r V r E θ++==常量 (10)
3 质点在有心力场中运动的求解方法
由于质点只能在垂直于动量矩J 的平面内运动，因此，这是一个平
面问题，一般采用极坐标(,)r θ来研究运动[5]。

3.1 牛顿运动定律法
在极坐标系中，质点的运动微分方程为：
(
)
()(
)()
22
120r m r r F F r d m r r m r F r dt θθθθθ⎧-==⎪
⎨+===⎪⎩
(11) 因为质点的质量m 是常数，故对上式中第二式积分，得
2r h θ= (12) 因此，常用下列两个方程作为基本方程代替
()
()2
2
m r r F r r h
θθ⎧-=⎪
⎨=⎪⎩ (13) 3.2 比耐公式法
在力学问题中，欲求轨道方程，通常是先求运动规律，然后再从运动规律中把参数t 消去，就是轨道方程，在有心力问题中，我们常采用另一种方法，在运动方程中消去时间参数直接得出r ，θ的关系式，即轨道方程。

由（13）式，令1
u r
=,
得： 22
2
2()d u
F mh u u d θ
=-+ (14)
上式即为比耐公式[1]。

3.3 守恒定律法
在极坐标中的动能为
2221
()2
T m r r θ=
+ (15) 势能为
()V V r = (16)
由质点在有心力场中的守恒律可知
222
21()()2m r r V r E
r h θθ⎧++=⎪⎨⎪=⎩
(17)
3.4 分析力学法
有心力场是保守力场，质点在有心力场中作平面运动。

因此，常取平面极坐标系，（,r θ）为广义坐标[6]。

则体系的动能和势能分别由(15)式、(8)式确定。

3.4.1 保守力场中的拉格朗日方程法
由(15)、(8)式得格朗日函数为
2221
()()2
L T V m r r V r θ=-=+- (18)
代入保守力系的拉格朗日方程[1]
()0d L L dt q q αα∂∂-=∂∂ ()1,2,,s α=⋅⋅⋅ (19)
因此各自由度的拉格朗日方程为
()0()0d L L
dt r r
d L L dt θθ∂∂⎧-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩ (20）
3.4.2 哈密顿正则方程法
由（18）式求出广义动量
r L p r
L p θθ∂⎧=⎪⎪∂⎨∂⎪=⎪∂⎩
(21)
并由此求出相应的广义速度r θ、，则哈密顿函数为
r H L p r p θθ=-++ (22) 由此建立哈密顿正则方程[1]
r r H r p H p r ∂⎧
=⎪∂⎪
⎨∂⎪=-⎪∂⎩
(23)
H p H p θθθθ∂⎧=⎪∂⎪
⎨∂⎪=-⎪∂⎩
(24)
3.4.3 哈密顿原理法
将（21)代入哈密顿原理[1] 2
1
0t t Ldt δ
=⎰
(25)
这就是在有心力系作用下哈密顿原理的数学表达式，哈密顿称⎰21
t t Ldt 为 作用函数，当它表示为端点时间和位置的函数时，也叫主函数[7]
4 应用举例
设太阳的质量为M ,行星的质量为m ,行星所受引力为
222GMm k m
F r r
=-=- (26)
我们运用上面所介绍的各种方法来求行星的运动微分方程。

方法一：牛顿定律法 将(26)式代入
22
()()
m r r F r r h θθ⎧-=⎨=⎩ (27) 得
22
2k r r r r h θθ⎧-=-
⎪⎨⎪=⎩ (28)
上式为行星的运动微分方程。

方法二：守恒定律法
如取无穷远处的势能为零，则得质点在距力心为r 时的引力势能为：
222()r
k m k m
V r dr r r
∞==-⎰ (29)
由质点在有心力场中的守恒律可知
()
2222
212k m m r r E r r h θθ⎧+-
=⎪⎨
⎪=⎩
（30） （30）式第一式对时间t 求导得
2
2
k r r r
θ-=- (31)
则行星的运动微分方程为
22
2k r r r r h θθ⎧-=-
⎪⎨
⎪=⎩
与(28)式一样。

方法三：拉格朗日方程法 行星的拉格朗日函数L 为：
()
r
m k r r m V T L 22
2221++=-=θ (32) 代入拉格朗日方程
()0()0d L L
dt r r
d L L dt θθ∂∂⎧-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=⎪∂∂⎩ (33)
得
()
22200mk mr mr r
d mr dt θθ⎧-+=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
(34) 即 22
2k r r r r h θθ⎧-=-
⎪⎨⎪=⎩
上式为行星的运动微分方程,与(28)一样。

方法四：哈密顿正则方程法
由(32)式可得
r m r L
p r =∂∂=
(35) θθθ 2mr L p =∂∂= (36) 构建哈密顿函数
222212r r p k m
H L p r p p m r r
θθθ⎛⎫=-++=+-
⎪⎝⎭ (37)
由正则方程可得:
223r r r p H r p m p H k m
p r mr r θ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪=-=-⎪∂⎩ (38) 20p H p mr H p θθθθθ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩
(39) 由上式的方程得：
2
22k r r r r h θθ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩
上式为行星的运动微分方程,与(28)式一样。

方法五：哈密顿原理法
将拉格朗日函数L 代入哈密顿原理
2
10t t Ldt δ=⎰ (40) 得：21222
2()0t t k m mr r mr r mr r dt r δθδθδθδ++-=⎰ （41） 即: 2221112222()()0t t t t t t k m d mr r mr mr mr rdt mr dt r dt δθδθθδθδθ+--+-=⎰⎰ (42) 因1212
0,0t t t t r r δδδθδθ====，而积分内的r δ及δθ则是任意的,即它们一般并不等于零,而且是相互独立的,故得
2
22k r r r r h θθ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩
上式为行星的运动微分方程,与(28)式一样。

5 结束语
本文对有心力场中质点运动性质及运动方程求解方法的进行了总结、讨论、分析和比较，有助于加深对有心力场的理解和对各类方法的合理应用。

只有充分掌握了各种方法的特点及其联系，才能选择出一种最佳的解决方法。

参考文献
[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，1986.
[2]许定安，王波，丁棣华.经典力学（下册）[M].武汉：武汉大学出版社，1996.
[3]漆安慎，杜婵英.力学.北京：高等教育出版社，1997.
[4]于全训，林明喜，薛成山.力学概论[M].北京：科学出版社，2000.
[5]李体俊.推导平方反比有心力场中质点轨道的一种方法[J].物理与工程,2005,15(3):1～2.
[6]吴少平，王岚.质点在有心力场中的运动[J].高等函授学报（自然科学版），2001，14（5):12.
[7]张启仁.经典力学[M].北京：科学出版社，2002.。