昆明第一中学高中新课标高三第六次考前基础强化

昆明第一中学2016届高中新课标高三第六次考前基础强化

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.已知集合{0,1,2}M =，集合{|2,}N y y x x M ==∈，则（） A ．{0,2}M N =I B ．{0,2}M N =U C ．M N ?D ．M N ?

2.已知复数1()1ai

z a R i

+=

∈-，若z 为纯虚数，则a 的值为（） A ．-1B ．0C ．1D ．2

3.双曲线22

:

1916

x y C -=的离心率为（） A ．

34B ．35C ．43D ．53

4.学校根据某班的期中考试成绩绘制了频率分布直方图（如图所示），根据图中所给的数据可知a b +=（） A ．0.024B ．0.036C ．0.06D ．0.6

5.4

1()x x

-的展开式中常数项为（） A ．-4B ．-1C ．1D ．6 6.已知命题1:,222x

x p x R ?∈+>；命题:[0,]2q x π?∈，使1

sin cos 2

x x +=，则下列命题中为真命题的是（）

A ．p q ∧

B ．p q ?∧

C ．p q ∧?

D ．p q ?∧?

7.若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（） A ．420π+B ．1612π+C ．1616π+D ．1620π+

8.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3S 是12a 与2a 的等差中项，则该数列的公比q =（） A ．-2B ．12-

C ．1

2

D ．2

10.已知点F 是抛物线2

:(0)C y ax a =≠的焦点，点A 在抛物线C 上，则以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是（）

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．无法确定

11.若关于x 29(1)x k x -≤+的解集为区间[,]a b ，且2b a -≥，则实数k 的取值范围为（） A ．2,)+∞B ．5

)+∞C ．2]D ．(2]-∞ 12.将长、宽分别为4和3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使二面角D AC B --等于0

60，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的体积为（） A ．

5003πB ．125

6

πC ．100πD ．25π 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若927S =，则46a a += .

14.已知向量12,e e u r u u r 是两个不共线的向量，若向量122a e e =-r u r u u r 与向量123b e e λ=+r u r u u r

共线，则实数

λ= .

15.某港口水的深度y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：时）的函数，记作()y f t =，下面是某日水深的数据：

经长期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数sin (0,0)y A t b A ωω=+>>的图象，根据以上数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 .

16.若函数2

2

()(4)(5)f x x ax bx =-++的图象关于直线3

2

x =-

对称，则()f x 的最大值是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，23

ADC π

∠=

，E 为AD 边上一点，7CE =，1DE =，2AE =，3

BEC π

∠=

.

（1）求sin CED ∠的值； （2）求BE 的长.

18.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，0

60BAD ∠=，PA PD =，O 为AD 边的中点，点M 在线段PC 上.

（1）证明：平面POB ⊥平面PAD ； （2）若23,7,13AB PA PB ==

=，//PA 平面MOB ，求二面角M OB C --的余弦值.

19.（本小题满分12分）

某商品每天以每瓶5元的价格从奶厂购进若干瓶24小时新鲜牛奶，然后以每瓶8元的价格出售，如果当天该牛奶卖不完，则剩下的牛奶就不再出售，由奶厂以每瓶2元的价格回收处理.

（1）若商品一天购进20瓶牛奶，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：瓶，n N ∈）的函数解析式；

（2）商店记录了50天该牛奶的日需求量（单位：瓶），整理得下表：

以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，假设商店一天购进20瓶牛奶，随机变量X 表示当天的利润（单位：元），求随机变量X 的分布列和数学期望. 20.（本小题满分12分）

已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为F ，短轴长为2，点M 为椭圆E 上一个动点，且||MF 的

21. （1）求椭圆E 的方程；

（2）设不在坐标轴上的点M 的坐标为00(,)x y ，点,A B 为椭圆E 上异于点M 的不同两点，且直线0x x =平分AMB ∠，试用00,x y 表示直线AB 的斜率. 21.（本小题满分12分）

设函数1()ln()2f x x m =+，曲线()y f x =在点33

(,())22

f --处的切线与直线20x y +=垂直. （1）求实数m 的值；

（2）若函数2

()()g x af x x =+有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21

()

02ln 21g x x <

<-. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知直线MA 切圆O 于点A ，割线MCB 交圆O 于点,C B 两点，BMA ∠的角平分线分别与,AC AB 交于,E D 两点.

（1）证明：AE AD =；

（2）若5,2AB AE ==，求

MA

MC

的值.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x t

y t

=-+??

=-?（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴

建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为2cos 0ρθ+=. （1）把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；

（2）求直线l 与曲线C 的交点的极坐标（0,02ρθπ≥≤<）. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||2|f x x m x =---.

（1）若函数()f x 的值域为[4,4]-，求实数m 的值；

（2）若不等式()|4|f x x ≥-的解集为M ，且[2,4]M ?，求实数m 的取值范围.

昆明一中第六期月考 参考答案（理科数学）

命题、审题组教师丁茵、顾先成、杨仕华、鲁开红、张兴虎、张波、李建民、张宇甜、彭力 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.解析：因为|2,0,2,4N y y x x M ==∈=，所以0,2M N =I ，选A ．

2.解析：由于1i 11i 1i 22

a a a

z +-+=

=+-，因为z 为纯虚数，所以1a =，选C ． 3.解析：因为2

9a =，2

16b =，所以2

2

2

25c a b =+=，离心率5

3

c e a =

=，选D ． 4.解析：由图得，(0.010.0180.012)101a b ++++?=，得0.06a b +=，选C ．

5.解析：4

1x x ??- ??

?展开式的通项为4214(1)r r r r T C x -+=-?，令420r -=得2r =，则常数项为22

4(1)6C -=，

选D ．

6.解析：因为命题p 为假命题，命题q 为假命题，所以p q ?∧?为真命题，选D ．

7.解析：由三视图可知，该几何体的上半部分是半径为1的球，表面积为4π；下半部分是底面半径为2，高为4的圆柱的一半，表面积为211

4422224161222

πππ?+?

?+???=+.所以该几何体的表面积为

1616π+，选C.

8.解析：因为3S 是12a 与2a 的等差中项，所以31222S a a =+，即2

1120a q a q +=，又因为10,a q ≠所以

12

q =-，选B ．

10.解析：抛物线C 的标准方程为2

1(0)x y a a =

≠，焦点为10,4F a ??

???

，过点A 作准线14y a =-的垂线，

垂足为1A ，1AA 交x 轴于点2A ，根据抛物线的定义得1AA AF =.由梯形中位线定理得线段AF 的中点到

x 轴的距离为21

1111

1

()22442d OF AA AA AF a

a ??=+=+-= ? ???

，故以线段AF 为直径的圆与x 轴的位置关系是相切，选C ．

11.解析：令2

19y x =-,)1(2+=x k y ，其示意图如图:()

1,22A 若0k >,要满足21y y ≤,则3b =,此时1a ≤.从而22

2k ≥

=.若0k <,要满足21y y ≤,则3a =-.而1b <-,不满足2b a -≥.所以2k ≥，选A ．

12.解析：设矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA OB OC OD ===，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起时，无论所得的二面角多大，总有四面体A BCD -的各顶点到点O 的距离为

5

2

，故四面体A BCD -的外接球的半径为52，该球的体积为

345125()326

ππ

?=，选B ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.解析：由927S =，得95927S a ==，即53a =，所以46526a a a +==.

14.解析：因为向量a r 与b r 共线，所以a kb =r r ，即()

121223a e e k e e λ=-=+r u r u u r u r u u r

，化简得

()()122310k e k e λ-+--=u r u u r r ，所以23010k k λ-=??

--=?，解得23

3

2

k λ?=????=-??，所以32λ=-. 15.解析:从表可以看出，当0t =时，10y =；12t =时，10y =，可知函数的最小正周期12T =，由212

π

ω

=得6

π

ω=

，10b =；由3t =时，13y =得sin

10132

A π

+=，即3A =,所以函数()y f t =的近似表达式

为：106

sin

3+=t y π

，240≤≤t ．

16.解析:因为点(2,0)，(2,0)-在函数()f x 的图象上，且()f x 的图象关于直线3

2

x =-

对称，所以点(1,0)-，(5,0)-必在()f x 图象上，则350(21)25550a b a b (-+)=??

-(-+)=?，解得1

6

a b =??=?. 所以2

2

()(4)(65)(2)(2)(1)(5)f x x x x x x x x =-++=-+-++

22(32)(310)x x x x =-+++-，

令223

1132()244

t x x x =++=+-

≥-， 则2

2

()(12)12(6)36f x t t t t t =--=-+=--+，当6t =时，函数()f x 的最大值为36. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解：(Ⅰ)在CDE △中，由余弦定理得：2

2

2

2cos CE CD DE CD DE CDE =+-?∠， 整理得：2

60CD CD +-=即2CD =，又由正弦定理得

sin sin CD CE

CED CDE

=

∠∠，

即

22sin sin

3

CED π=∠

，所以sin 7CED ∠=．………5分 (Ⅱ)因为0,

3CED π??

∠∈ ??

?

，所以cos CED ∠=

，又23

AEB CED π

∠=

-∠， 所以2cos cos 3AEB CED π??

∠=-∠

???

22cos

cos sin sin 33

12

732127714

CED CED ππ

=∠+∠=-?+?

=

所以在ABE Rt △中，2

47cos BE AEB

=

=∠．………12分

18.证明：（Ⅰ）连接BD ，因为底面ABCD 是菱形，

60BAD ∠=o ，所以ABD ?是正三角形，………1分

因为O 为AD 边的中点，PA PD =，

所以AD PO ⊥，AD BO ⊥，PO BO O =I ， 所以AD ⊥平面POB ，………3分 因为AD ?平面PAD ，

所以平面POB ⊥平面PAD ．………5分

（Ⅱ）连接AC ，交OB 于点N ，连接MN ，

因为PA ∥平面MOB ，所以PA ∥MN ，………6分 易知点N 为ABD 的重心，所以1

3

AN AC =， 故1

3

PM PC =

，………7分 因为23AB =7PA PD ==

所以3OB =，2OP =，因为13PB =

所以90POB ∠=o

，即OP OB ⊥，

以O 为原点，直线OA ，OB ，OP 分别为x ，y ，

z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则

(0,0,0)O ，(0,3,0)B ，(23,3,0)C -，(0,0,2)P ，则(0,3,0)OB =u u u r ，(23,3,2)PC =--u u u r

，

所以OM OP PM =+u u u u r u u u r u u u u r 13

OP PC =+u u u r u u u r 234

(,1,)33=-，………9分 设(,,)m x y z =u r 为平面BOM 的法向量，由m OB ⊥u r u u u r ，m OM ⊥u r u u u u r 可求得(2,0,3)m =u r

， 易知，(0,0,1)n =r

为平面OBC 的一个法向量，………10分

所以321

cos ,7

m n <>==

u r r ，………11分 因为二面角M OB C --为锐角，所以二面角M OB C --的余弦值为

21

7

．………12分

19.解：（Ⅰ）当日需求量20n ≥时，利润60y =（元）；

当日需求量20n <时，利润82(20)100660y n n n =+--=-（元），

则利润y 关于当天需求量n 的函数解析式为：660,2060,20n n y n -

（n ∈N ）．………6分

（Ⅱ）随机变量X 可取42，48，54，60，

则(42)0.1P X ==，(48)0.1P X ==，(54)0.16P X ==，(60)0.64P X ==， 随机变量X X 42 48 54 60

P

0.1

0.1 0.16 0.64

………10分

420.1480.1540.16600.6456.04EX =?+?+?+?=．………12分 20.解：（Ⅰ）22b =,1b =，

由22

1

1a c a c ?-=??+=+??

得1a c ?=??=?

?E 的方程为22+=12x y .………4分 （Ⅱ）设点A ，B 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，由题意可知直线MA 的斜率存在，设直线MA 的方程

为00=()y y k x x --，

由0022

=()+2=2

y y k x x x y --???得22

00+2[+()]=2x kx y kx -， 2220000(2+1)+4()+2()2=0k x k y kx x y kx ---，

200012

2()2

21

y kx x x k --?=+，2001202()2(21)y kx x k x --=+………6分 因为直线0x x =平分AMB ∠，所以直线MA ，MB 的倾斜角互补，斜率互为相反数.

同理20022

2()2

(21)y kx x k x +-=+，………8分 100200121212

()

AB kx y kx kx y kx y y k x x x x +---++-=

=--

222

000

2

1200

001220

2(22)42()2(21)22(2)(21)y k x k kx k x x kx k x y kx x x k x +-?-+-+==??--+2222200000[2(22)4]2(21)8k y k x kx k kx y +--+=

- 22222222000000000022222244y k x k x x y x x y x y +-----==--200000

242x x x y y -==-.………12分

21.解：（Ⅰ）因为11

2

()1

22

f x x m

x m '=

=

++，………2分

依题意，得

123

22

m =-+，所以实数m 的值为1.………4分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()2

1ln 12g x x a x ??

=++ ???

，所以()2242x x a g x x ++'=+，

令()2

24x x x a ?=++，函数()g x 有两个极值点12,x x ，即()2

240x x x a ?=++=

在()2,x ∈-+∞上有两实根， 则()1680

20

a ??=->???

->??，所以02a <<，由12x x <

得11x =--

，21x =- 所以210x -<<，而2

122

22, 240x x x x a +=-++=, 所以()()22

2222212

124ln 122x x x x g x x x ??-++ ?

??=--，………8分 令()()222124ln 1122ln 1222x x x x x x x x x x ??-++ ?

????=

=++ ?----??

k ，()1,0x ∈-, 所以()()

2

2

12ln 122x k x x x ??

'=

++ ???

+.令()()p x k x '=，则23

2128()(2)x x p x x ++'=+， 因为函数2

2128y x x =++的对称轴为3x =-，所以函数2

2128y x x =++在()1,0-上为增函数， 由()0p x '=

得()()

31,0x x =∈-，

且当()

1,3x ∈-时，()0p x '<

，当)

3, 0x ∈时，()0p x '>，

而()00k '=,()1

112ln

12ln 202k '-=+=-<，所以当()1,0x ∈-时，()0k x '<，

所以()k x 是减函数，故()()()01k k x k <<-，即()

21

02ln 21g x x <

<-.………12分 第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。 22.解：（Ⅰ）因为直线MA 切圆O 于点A ，所以MAC B ∠=∠， 因为MD 平分BMA ∠，

所以MAC EMA B CME ∠+∠=∠+∠，

又因为AED MAC EMA ∠=∠+∠，ADE B CME ∠=∠+∠， 所以AED ADE ∠=∠，所以AE AD =.………5分

（Ⅱ）因为直线MA 切圆O 于点A ，所以由切割线定理得2

MA MC MB =?，即MA MB

MC MA

=，因为直线MA 切圆O 于点A ，所以B MAC ∠=∠，所以MBD ?∽MAE ?，得

MB BD

MA AE

=，又5AB =，2AD AE ==，

所以3BD AB AD =-=，所以

32MA BD MC AE ==，所以3

2

MA MC =.………10分

23.解：(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程2cos 0ρθ+=得22cos 0ρρθ+=，即2220x y x ++=， 所以曲线C 的普通方程为2220x y x ++=………4分

(Ⅱ)由直线l 参数方程31x t

y t =-+??=-?

（t 为参数），得直线l 的普通方程为20x y ++=，………6分

由22

20

20

x y x y x ++=??

++=?，得11x y =-??=-?或20x y =-??=?，………8分 所以直线l 与曲线C 的交点的极坐标分别为52,

4π?

??

，()2,π.………10分 24.解：(Ⅰ)由不等式的性质得：222x m x x m x m ---≤--+=- 因为函数()f x 的值域为[]4,4-，所以24m -=， 即24m -=-或24m -= 所以实数=2m -或6.………5分

(Ⅱ)()4f x x ≥-，即24x m x x ---≥-

当24x ≤≤时，4+2+4+22x m x x x m x x -≥--?-≥--=，

2x m -≥，解得：2x m ≤-或2x m ≥+，即解集为(],2m -∞-或[)2,m ++∞，

由条件知：+220m m ≤?≤或246m m -≥?≥ 所以m 的取值范围是(][),06+-∞∞U ，.………10分