江西省景德镇一中2020-2021学年高一(上)期末数学试卷
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参考答案
1．B
【分析】
画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案．
【详解】
由题意，可画出韦恩图如下图所示：
由图可知，
故选：B
2．D
【解析】
试题分析：利用指数函数比较大小. ，因为 在 上单增，所以有 ，故选D.
考点：指数函数的单调性.
3．D
【解析】
【分析】
由主视图可得正三棱锥的底面三角形的边长为2，正三棱锥的高为 ，再由高和斜高、斜高在底面的射影构成直角三角形，运用勾股定理和侧面积公式，计算可得所求值。
【详解】
由正三棱锥的主视图可得空间结构体如图所示
由正视图可知正三棱锥的高为 ，底面等边三角形的边长为2
即
则
根据三角形AOE为直角三角形可得
所以
所以正三棱锥的侧面积为
所以选D
【点睛】
本题考查了三棱锥的三视图，根据三视图还原空间结构体并求侧面积问题，属于基础题。
4．A
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角为 求出直线的斜率,由此可利用点斜式求出过 ,倾斜角为 的直线的方程.
（1）求证：PE⊥BD；
（2）求点A到平面PBD的距离．
19．已知二次函数 ．
（1）求f（x）在[0，1]上的最小值g（a）的解析式；
（2） 时，比较g（a）与g（1-a）的大小并说明理由．
20．已知 ， ．
（1）若直线L与⊙C1相切，且截⊙C2的弦长等于 ，求直线L的方程．
（2）动圆M与⊙C1外切，与⊙C2内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．
【详解】
倾斜角为120°的直线的斜率为k=tan120°=– ，
∴过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为：y–0=– （x+2），
整理得： =0．故选A
【点睛】
本题主要直线的倾斜角、考查点斜式方程的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题.
5．C
【解析】
【分析】
根据两点间的距离公式，分别算出AB、AC、BC的长，进而利用勾股定理逆定理判断三角形的形状。
A． B． C． D．
9．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， ，AA1=1，则二面角C-B1D-C1的大小的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
由图可知，
所以选A
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，通过图像比较函数值的大小，属于中档题．
7．A
【解析】
【分析】
根据题意，将各个点、线、面放在正方体中，利用正方体的性质判断各个选项是否正确．
【详解】
因为平面α⊥平面β，平面α∩平面β=L点A∈α，A∉L，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β
（2）求证：E、F、G、H四点共面．
17．已知 ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）设g（x）=f（x）-a，若函数g（x）没有零点，求实数a的取值范围．
18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=1， ，DC=2，E是棱DC的中点；侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
3．正三棱锥的主视图如图所示，那么该正三棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为
A． B．
C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标分别是A（-1，2，3），B（2，-2，3）， ，则△ABC是（ ）三角形
A．等腰B．锐角C．直角D．钝角
11．已知函数 ，则方程|f（x）+g（x）|=1实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
12．方程log3（1-2•3x）=2x+1的解x=______．
13．若圆C：x2+y2-2x-2y+m=0被直线L：（2m+1）x-（m+1）y-m=0截得的弦长为2，则m的值等于______．
14．当x=______时，函数y=x4-2x3+x+2018取得最小值．
【详解】
根据两点间距离公式可知
因为
所以三角形ABC是以C为直角顶点的直角三角形
所以选C
【点睛】
本题考查了空间中两点距离公式的简单应用，勾股定理的逆定理判断三角形的形状，属于基础题。
6．A
【分析】
利用函数与方程的关系，作出对应的函数，利用数形结合进行判断即可．
【详解】
在同一个坐标系中画出函数 的图象如下图所示
【详解】
因为 ，所以Leabharlann Baidu
解不等式得
又因为 = =
所以函数 为奇函数，
根据复合函数单调性判断可知 在 上为增函数
因为f（a）+f（3a+1）＞0，即f（a）＞-f（3a+1）
所以f（a）＞f（-3a-1）
因为 在 上为增函数
所以 ，解不等式组得
所以选C
【点睛】
15．已知空间四边形ABCD的四个顶点都在球O的面上，E、F分别是AB、CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，则球O的表面积为______．
三、解答题
16．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点．
（1）求证EG∥平面A1BC1；
6．设x、y、z均为正数，且 ，（ ）y= ，（ ）z=log2z，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β=L点A∈α，A∉L，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，则下列结论中①AB∥m，②AC⊥m，③AC⊥β，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，若f（a）+f（3a+1）＞0，则a的取值范围是（ ）
构造一个正方体如下图：
由图可知AB∥m，AC⊥m，正确；
AC⊥β不正确
所以选A
【点睛】
本题考查了空间点线面的位置关系及命题真假的判断，关键是根据条件构造合适的空间几何体，属于基础题．
8．C
【分析】
根据对数函数的真数大于0，求出定义域．而 为奇函数且在定义域内为增函数，进而利用函数单调性与奇偶性解不等式即可求得a的取值范围．
江西省景德镇一中【最新】高一（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于全集 的子集 ， ，若 是 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）
A． B． C． D．
2．设 ，则（）
A． B． C． D．
1．B
【分析】
画出韦恩图,由韦恩图可直接分析出答案．
【详解】
由题意，可画出韦恩图如下图所示：
由图可知，
故选：B
2．D
【解析】
试题分析：利用指数函数比较大小. ，因为 在 上单增，所以有 ，故选D.
考点：指数函数的单调性.
3．D
【解析】
【分析】
由主视图可得正三棱锥的底面三角形的边长为2，正三棱锥的高为 ，再由高和斜高、斜高在底面的射影构成直角三角形，运用勾股定理和侧面积公式，计算可得所求值。
【详解】
由正三棱锥的主视图可得空间结构体如图所示
由正视图可知正三棱锥的高为 ，底面等边三角形的边长为2
即
则
根据三角形AOE为直角三角形可得
所以
所以正三棱锥的侧面积为
所以选D
【点睛】
本题考查了三棱锥的三视图，根据三视图还原空间结构体并求侧面积问题，属于基础题。
4．A
【解析】
【分析】
由直线的倾斜角为 求出直线的斜率,由此可利用点斜式求出过 ,倾斜角为 的直线的方程.
（1）求证：PE⊥BD；
（2）求点A到平面PBD的距离．
19．已知二次函数 ．
（1）求f（x）在[0，1]上的最小值g（a）的解析式；
（2） 时，比较g（a）与g（1-a）的大小并说明理由．
20．已知 ， ．
（1）若直线L与⊙C1相切，且截⊙C2的弦长等于 ，求直线L的方程．
（2）动圆M与⊙C1外切，与⊙C2内切，求动圆M的圆心M轨迹方程．
【详解】
倾斜角为120°的直线的斜率为k=tan120°=– ，
∴过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为：y–0=– （x+2），
整理得： =0．故选A
【点睛】
本题主要直线的倾斜角、考查点斜式方程的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题.
5．C
【解析】
【分析】
根据两点间的距离公式，分别算出AB、AC、BC的长，进而利用勾股定理逆定理判断三角形的形状。
A． B． C． D．
9．如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1=B1B=2，AB=4，则异面直线BB1与CD1所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2， ，AA1=1，则二面角C-B1D-C1的大小的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
由图可知，
所以选A
【点睛】
本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质，通过图像比较函数值的大小，属于中档题．
7．A
【解析】
【分析】
根据题意，将各个点、线、面放在正方体中，利用正方体的性质判断各个选项是否正确．
【详解】
因为平面α⊥平面β，平面α∩平面β=L点A∈α，A∉L，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β
（2）求证：E、F、G、H四点共面．
17．已知 ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）设g（x）=f（x）-a，若函数g（x）没有零点，求实数a的取值范围．
18．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=1， ，DC=2，E是棱DC的中点；侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
3．正三棱锥的主视图如图所示，那么该正三棱锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．过P（–2，0），倾斜角为120°的直线的方程为
A． B．
C． D．
5．在空间直角坐标系中，已知△ABC顶点坐标分别是A（-1，2，3），B（2，-2，3）， ，则△ABC是（ ）三角形
A．等腰B．锐角C．直角D．钝角
11．已知函数 ，则方程|f（x）+g（x）|=1实根个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
12．方程log3（1-2•3x）=2x+1的解x=______．
13．若圆C：x2+y2-2x-2y+m=0被直线L：（2m+1）x-（m+1）y-m=0截得的弦长为2，则m的值等于______．
14．当x=______时，函数y=x4-2x3+x+2018取得最小值．
【详解】
根据两点间距离公式可知
因为
所以三角形ABC是以C为直角顶点的直角三角形
所以选C
【点睛】
本题考查了空间中两点距离公式的简单应用，勾股定理的逆定理判断三角形的形状，属于基础题。
6．A
【分析】
利用函数与方程的关系，作出对应的函数，利用数形结合进行判断即可．
【详解】
在同一个坐标系中画出函数 的图象如下图所示
【详解】
因为 ，所以Leabharlann Baidu
解不等式得
又因为 = =
所以函数 为奇函数，
根据复合函数单调性判断可知 在 上为增函数
因为f（a）+f（3a+1）＞0，即f（a）＞-f（3a+1）
所以f（a）＞f（-3a-1）
因为 在 上为增函数
所以 ，解不等式组得
所以选C
【点睛】
15．已知空间四边形ABCD的四个顶点都在球O的面上，E、F分别是AB、CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB=8，CD=EF=4，则球O的表面积为______．
三、解答题
16．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F、G、H分别是所在棱A1D1，B1C1，C1C和AB的中点．
（1）求证EG∥平面A1BC1；
6．设x、y、z均为正数，且 ，（ ）y= ，（ ）z=log2z，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面α⊥平面β，平面α∩平面β=L点A∈α，A∉L，直线AB∥L，直线AC⊥L，直线m∥α，m∥β，则下列结论中①AB∥m，②AC⊥m，③AC⊥β，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．设 ，若f（a）+f（3a+1）＞0，则a的取值范围是（ ）
构造一个正方体如下图：
由图可知AB∥m，AC⊥m，正确；
AC⊥β不正确
所以选A
【点睛】
本题考查了空间点线面的位置关系及命题真假的判断，关键是根据条件构造合适的空间几何体，属于基础题．
8．C
【分析】
根据对数函数的真数大于0，求出定义域．而 为奇函数且在定义域内为增函数，进而利用函数单调性与奇偶性解不等式即可求得a的取值范围．
江西省景德镇一中【最新】高一（上）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于全集 的子集 ， ，若 是 的真子集，则下列集合中必为空集的是（）
A． B． C． D．
2．设 ，则（）
A． B． C． D．