数学建模动态优化模型
数学建模中的优化模型ppt课件
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3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大.
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？ 15
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
小型 钢材 1.5 时间 280 利润 2
中型 3
250 3
大型 5
400 4
现有量 600 60000
p(t)w(t) p(t)w(t) 4
每天利润的增值 每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由 S(t,r)=3 若 1.8 w 2.2(10%), 则 7 t 13（30%） 建议过一周后(t=7)重新估计 p, p, w, w, 再作计算。
13
研究 r, g变化时对模型结果的影响 估计r=2， g=0.1
• 设r=2不变
t 3 20 g , 0 g 0.15 g
t 对g的（相对）敏感度 30
t
S(t, g) Δ t / t dt g 20 Δ g / g dg t
S(t, g) 3 3 3 20 g
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常用优化软件
1. LINGO软件 2. MATLAB优化工具箱 3. EXCEL软件的优化功能 4. SAS(统计分析)软件的优化功能 5. 其他
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2.简单的优化模型
——生猪的出售时机
问 饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设 题 备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降 低 0.1元，问生猪应何时出售。
均为整数，重新求解. 17
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记IP)
数学建模第二讲简单的优化模型
数学建模第二讲简单的优化模型数学建模是利用数学方法对实际问题进行建模、分析和求解的过程。
在实际问题中，常常需要针对一些指标进行优化，以达到最优的效果。
本讲将介绍一些简单的优化模型。
一、线性规划模型线性规划是一种重要的数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
其数学模型可以表示为：\begin{aligned}&\text{max} \quad c^Tx \\&\text{s.t.} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0\end{aligned}\]其中，$x$为决策变量，$c$为目标函数系数，$A$为约束条件系数矩阵，$b$为约束条件右端向量。
线性规划模型指的是目标函数和约束条件都是线性的情况。
通过线性规划模型，可以求解出使得目标函数取得最大（或最小）值时的决策变量取值。
二、非线性规划模型非线性规划模型指的是目标函数或约束条件中存在非线性部分的情况。
非线性规划模型相对于线性规划模型更为复杂，但在实际问题中更为常见。
对于非线性规划问题，通常采用数值优化方法进行求解，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式逐步靠近最优解。
三、整数规划模型整数规划模型是指决策变量必须为整数的规划模型。
整数规划在实际问题中应用广泛，如物流配送问题、工程调度问题等。
整数规划模型通常难以求解，因为整数规划问题是一个NP难问题。
针对整数规划问题，常用的求解方法有枚举法、分支定界法、遗传算法等。
四、动态规划模型动态规划模型是指将问题划分为子问题，并通过求解子问题最优解来求解原问题最优解的方法。
动态规划通常用于求解具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
动态规划模型具有递推性质，通过递归或迭代的方式求解子问题的最优解，并保存中间结果，以提高求解效率。
五、模拟退火模型模拟退火是一种用来求解组合优化问题的随机优化算法。
模拟退火算法基于固体退火过程的模拟，通过温度的控制和随机跳出来避免陷入局部最优解。
数学建模最优化模型
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
1、无约束极值问题的求解
例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最 大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14
f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1) 解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又 由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142， 综上得， 函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
动态优化模型
动态优化模型动态优化模型是一种利用动态规划理论对优化问题进行建模与求解的方法。
它能够在不同环境下进行模型的动态调整，以求得最优解。
本文将介绍动态优化模型的基本概念与原理，并讨论其在实际问题中的应用。
一、动态规划的基本原理动态规划是一种以递归的方式进行求解的优化方法。
它将大问题分解为一系列子问题，并从子问题的最优解递归地求解出整个问题的最优解。
动态规划的核心思想是"最优子结构"和"重叠子问题"。
1. 最优子结构动态规划中的每个子问题必须具备最优子结构的特点，即如果一个问题的最优解包含了它的子问题的最优解，则称其具有最优子结构。
通过求解子问题得到的最优解可以作为整个问题的最优解的一部分。
2. 重叠子问题动态规划中的子问题往往是重叠的，即包含相同的子问题。
为避免重复计算，可以使用备忘录或者动态规划表来记录已求解的子问题的结果，在需要时直接检索以节省计算时间。
二、动态优化模型的建立动态优化模型通常包括三个基本要素：状态、状态转移方程和边界条件。
1. 状态状态是指问题中的一个变量或一组变量，它能够完整地描述问题的某个特定场景。
状态的选择对模型的性能和求解效果有着重要的影响。
2. 状态转移方程状态转移方程描述了问题中的状态如何转移到下一个状态。
它是建立动态规划模型的核心，通过定义合适的状态转移方程，可以准确地描述问题的演变过程。
3. 边界条件边界条件指定了问题的起始状态和终止状态，以及在某些特定情况下的处理方式。
它是动态规划模型中必不可少的部分，可以确定问题的边界和约束条件。
三、动态优化模型的应用动态优化模型广泛应用于各个领域，如经济学、管理学、运筹学等。
下面以背包问题和路径规划问题为例，说明动态优化模型的具体应用。
1. 背包问题背包问题是一个常见的优化问题，其目标是在给定的背包容量下，选择一定数量的物品放入背包中，使得背包内的物品总价值最大化。
动态优化模型中，可以将背包问题转化为一个二维的状态转移方程，并通过动态规划的方法求解最优解。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型优化模型在数学建模中起着重要的作用。
通过优化模型，我们可以找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
本文将介绍优化模型的基本概念、常见的优化方法以及在实际问题中的应用。
让我们来了解一下什么是优化模型。
优化模型是指在给定的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量值的过程。
这个过程可以通过建立数学模型来描述，其中包括目标函数、约束条件以及变量的定义和范围。
在优化模型中，目标函数是我们希望最大化或最小化的指标。
它可以是一个经济指标，如利润最大化或成本最小化，也可以是一个物理指标，如能量最小化或距离最短化。
约束条件是对变量的限制，可以是等式约束或不等式约束。
变量则是我们需要优化的决策变量，可以是连续变量或离散变量。
常见的优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划和动态规划等。
线性规划是指目标函数和约束条件都是线性的优化模型。
它可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法和内点法。
非线性规划是指目标函数和约束条件中包含非线性项的优化模型。
它的求解方法相对复杂，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
整数规划是指变量取值只能是整数的优化模型。
它的求解方法包括分支定界法和割平面法等。
动态规划是一种递推的优化方法，适用于具有最优子结构性质的问题。
优化模型在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在生产计划中，我们可以通过优化模型来确定最佳的生产数量和生产时间，以最大化利润或最小化成本。
在资源分配中，我们可以通过优化模型来确定最佳的资源分配方案，以最大化资源利用率或最小化资源浪费。
在交通调度中，我们可以通过优化模型来确定最短路径或最优路径，以最小化行驶时间或最大化交通效率。
优化模型还可以应用于金融投资、供应链管理、电力系统调度、网络优化等领域。
通过建立数学模型和选择合适的优化方法，我们可以在复杂的实际问题中找到最优的解决方案，提高效率和效益。
优化模型在数学建模中是非常重要的。
它通过建立数学模型和选择合适的优化方法，帮助我们找到最优的解决方案，以满足不同的约束条件和目标函数。
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模优化模型与Lingo Lindo软件
型
表二 ：5名队员4中泳姿百米平均成绩
队员
甲
乙
丙
丁
戊
蝶泳 66.8 57.2
78
70
67.4
仰泳 75.6
66
67.8
74.2
71
蛙泳
87
66.4 84.6
69.6
83.8
自由泳 58.6
53
59.4
57.2
62.4
线 性 规
·划
模 型
决策变量：引入0-1变量xij 若选择队员 i 参加泳姿 j
例-1 某服务部门一周中每天需要不同数目的
雇员：周一到周四每天至少需要50人，周五
需要80人，周六和周日需要90人。现规定应
聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周
线
一到周日每天聘用多少人，是5在满足需要的 前况下聘用总人数最少？
性
优化模型
规
决策变量：记周一到周日每天聘用的人数分别为X1，
划
X2，X3，X4，X5，X6 ，X7，这就是问题的决策变量。
的比赛，记 xij=1，否则记 xij=0.这就是问题的决策变量， 共20个。
目标函数：当队员队员 i 入选泳姿 j 的比赛时，
cij xij表示他的成绩，否则cij xij=0。于是接力队的成绩
可以表示为：
45
f
cij xij
j1 i1
约束条件：根据组成接力队的要求， xij 应该满足下面
方案。显然这不是解决问题的最好方法，随着问题
线
规模的变大，穷举法的计算量是无法接受的。
性
可以用0-1变量表示一个队员是否入选接力队， 从而建立这个问题的0-1规划模型.
数学建模动态优化模型
数学建模动态优化模型数学建模是一种通过建立数学模型来解决实际问题的方法。
动态优化模型则是指在一定的时间尺度内，通过调整决策变量，使系统在约束条件下达到最优效果的数学模型。
本文将介绍数学建模中动态优化模型的基本原理、方法和应用。
动态优化模型是一种考虑时间因素的优化模型。
在解决实际问题时，往往需要考虑到系统随时间变化的特性，因此单纯的静态优化模型可能无法满足需求。
动态优化模型对系统的演化过程进行建模，通过引入时间因素，能够更准确地描述系统的行为，并找到最优的策略。
动态优化模型的核心是建立一个数学模型来描述系统的演化过程。
在建模过程中，需要确定决策变量、目标函数、约束条件和系统的动态特性。
决策变量是指在不同时间点上的决策变量值，目标函数是指目标的数量指标，约束条件是系统必须满足的条件，系统的动态特性是指系统状态随时间的变化规律。
动态优化模型的建模方法有很多种，常见的方法包括状态空间建模、差分方程建模和优化控制建模等。
其中，状态空间建模是一种通过描述系统状态和系统状态之间的关系来建立模型的方法；差分方程建模是一种通过描述离散时间点上系统的状态之间的关系来建立模型的方法；优化控制建模则是一种将优化方法和控制方法相结合的建模方法。
动态优化模型在实际问题中有广泛的应用。
例如，在生产调度问题中，我们需要根据不同时间的产销情况来安排生产任务，以使得产能得到充分利用并满足市场需求；在交通控制问题中，我们需要根据交通流量的变化来调整信号灯的配时方案，以最大程度地减少交通拥堵；在能源管理问题中，我们需要根据电网的负荷变化来调整发电机组的出力，以实现能源的有效利用。
在建立动态优化模型时，需要考虑到模型的复杂性和求解的难度。
一方面，动态优化模型往往比静态优化模型复杂，需要考虑到系统的动态特性和约束条件的演化；另一方面，求解动态优化模型需要考虑到系统的运行时间和求解算法的效率。
因此，在建立动态优化模型时，需要合理选择模型和算法，以保证模型的可行性和求解的可行性。
数学建模算法动态优化模型
第十八章 动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。
当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。
求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
§1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。
下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应，则称J 是对应在S 上的泛函，记作))((t x J 。
S 称为J 的容许函数集。
通俗地说，泛函就是“函数的函数”。
例如对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J 。
由微积分知识不难写出dx x y x y x y J x x )('1)(2))((212⎰+=π （1）容许函数集可表示为})( ,)(],,[)(|)({2211211y x y y x y x x C x y x y S ==∈= （2）最简单的一类泛函表为⎰=21),,())((t t dt x x t F t x J & （3）被积函数F 包含自变量t ，未知函数x 及导数x &。
（1）式是最简泛函。
1.1.2 泛函的极值泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0t x 接近的S t x ∈)(，都有))(())((0t x J t x J ≥。
所谓接近，可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量，而距离定义为|})()(||,)()({|max ))(),((00021t x t x t x t x t x t x d t t t &&--=≤≤泛函的极大值可以类似地定义。
美赛数学建模常用模型及解析
美赛数学建模常用模型及解析
数学建模是数学与实际问题的结合，解决实际问题的具体数学模型是数学建模的核心。
以下是一些美赛中常用的数学模型及其解析。
1. 线性规划模型
线性规划模型是一种最常见的优化模型，它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划模型可以用于解决资源分配、生产计划、运输优化等问题。
2. 整数规划模型
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求决策变量只能取整数值。
整数规划模型可以应用于旅行商问题、装配线平衡问题等需要整数解决方案的实际问题。
3. 动态规划模型
动态规划是一种将多阶段决策问题转化为单阶段决策问题求解的方法。
动态规划模型可以用于解决背包问题、序列对齐问题等需要在不同阶段做出决策的问题。
4. 排队论模型
排队论模型用于分析系统中的排队现象，包括到达率、服务率、系统稳定性等指标。
排队论模型可以用于研究交通流量、电话系统、服务器排队等实际问题。
5. 随机过程模型
随机过程模型用于描述随机事件的演变过程，其中最常见的是马尔可夫链和布朗运动。
随机过程模型可以用于模拟金融市场、天气预测、股票价格等随机变化的问题。
这些模型只是数学建模中常用的几种类型，实际问题通常需要综合运用多种模型进行分析和求解。
对于每个具体的问题，需根据问题的特点和要求选择合适的数学模型，进行合理的建模和求解。
数学建模中经济与金融优化模型分析
数学建模中经济与金融优化模型分析在当今复杂多变的经济与金融领域，数学建模已成为一种不可或缺的工具。
通过建立数学模型，我们能够对经济和金融现象进行定量分析，预测趋势，制定优化策略，从而为决策提供有力支持。
本文将深入探讨数学建模中常见的经济与金融优化模型，分析它们的原理、应用以及优缺点。
一、线性规划模型线性规划是数学建模中最基本也是应用最广泛的优化模型之一。
它主要用于解决在一组线性约束条件下，如何使线性目标函数达到最优值的问题。
在经济领域，线性规划常用于生产计划的制定。
例如，一家工厂生产多种产品，每种产品需要不同的原材料、生产时间和劳动力，同时市场对每种产品的需求也有限制。
通过建立线性规划模型，工厂可以确定每种产品的生产数量，以在满足各种约束条件的前提下，实现利润最大化。
在金融领域，线性规划可用于资产配置。
投资者拥有一定的资金，并希望在多种资产（如股票、债券、基金等）之间进行分配，以在风险限制和预期收益目标下，实现投资组合的最优配置。
线性规划模型的优点在于计算简单、易于理解和求解。
然而，它也有局限性，比如只能处理线性关系，无法准确描述现实中许多复杂的非线性现象。
二、整数规划模型整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取整数值的优化模型。
在经济领域，整数规划常用于项目选择和人员分配问题。
例如，一个企业有多个项目可供投资，但每个项目的投资金额是整数，且资源有限。
通过整数规划模型，可以确定投资哪些项目，以实现企业的长期发展目标。
在金融领域，整数规划可用于股票的买卖决策。
假设投资者只能以整数股买卖股票，且有资金和风险限制，整数规划可以帮助确定购买哪些股票以及购买的数量。
整数规划模型相较于线性规划更加符合实际情况，但求解难度也更大，往往需要更复杂的算法和计算资源。
三、非线性规划模型非线性规划用于处理目标函数或约束条件中包含非线性函数的优化问题。
在经济领域，非线性规划可用于研究成本函数和需求函数为非线性的企业生产决策。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模实训课程学习总结优化模型与算法应用
数学建模实训课程学习总结优化模型与算法应用数学建模是一门综合性课程，通过实际问题的建模和求解，培养学生的创新思维和综合能力。
在数学建模实训课程中，我学到了许多有关优化模型与算法应用的知识和技巧。
本文将对我在学习过程中的收获进行总结，并就优化模型与算法应用进行分析与讨论。
一、课程学习总结在数学建模实训课程中，我学习了许多数学建模的基本方法和技巧。
首先，我了解了数学建模的基本概念和步骤。
数学建模的核心是将实际问题转化为数学问题，并运用数学工具对其进行求解。
为了达到这一目的，我们需要具备扎实的数学基础知识和思维能力。
其次，我学习了不同类型的数学建模方法。
课程中，我们学习了线性规划、整数规划、动态规划等不同的数学建模方法和模型。
通过实例的讲解和练习题的做题，我对这些方法有了更深入的理解和掌握。
最后，我们进行了一些实际问题的建模与求解。
课程中，我们分组进行了一些实际问题的研究与分析。
通过团队合作，我学会了如何有效地进行组织和分工，如何将团队的智慧最大化地发挥出来。
二、优化模型与算法应用分析与讨论优化模型与算法应用是数学建模实训课程中的重要部分。
在实际问题中，我们常常需要优化某些目标函数，找到最优解。
而这涉及到对优化模型的建立和算法的选择与应用。
在数学问题的建模过程中，我们需要根据问题的实际情况选择合适的优化模型。
优化模型的选择要考虑问题的特点和要求，以及具体的限制条件。
在实际建模过程中，我们常常会遇到线性规划、整数规划和动态规划等不同类型的优化模型，需要根据问题的情况选择合适的模型。
在选择了合适的模型之后，我们就需要选择合适的算法对问题进行求解。
不同问题可能需要不同的算法来求解。
课程中，我们学习了一些常用的求解优化问题的算法，如单纯形法、分支定界法和动态规划算法等。
通过实践，我发现算法的选择对问题的求解效率有着决定性的影响。
在实际问题的求解过程中，我对优化模型与算法应用有了更深入的理解和掌握。
通过课程中的练习和实例分析，我学会了如何将问题转化为数学模型，如何选择合适的模型和算法，并通过计算求解得到最优解。
数学建模中的优化模型
数学建模中的优化模型发展前景
01
随着大数据和人工智能技术的快速发展，优化模型的应用领域将进一 步扩大。
02
优化模型将与机器学习、深度学习等算法结合，实现更加智能化的决 策支持。
03
优化模型将面临更多大规模、复杂问题的挑战，需要发展更加高效、 稳定的算法和求解技术。
04
优化模型将与可持续发展、环境保护等社会问题结合，为解决全球性 挑战提供解决方案。
优化模型的应用领域
工业生产
金融投资
优化模型在工业生产中广泛应用于生产计 划、工艺流程、资源配置等方面，以提高 生产效率和降低成本。
优化模型在金融投资领域中用于资产配置 、风险管理、投资组合等方面，以实现最 优的投资回报和风险控制。
交通运输
科学研究
优化模型在交通运输领域中用于路线规划 、车辆调度、物流配送等方面，以提高运 输效率和降低运输成本。
，为决策提供依据。
优化模型在实际应用中需要考虑各种约束条件和目标 函数，同时还需要处理大规模数据和复杂问题。
优化模型在数学建模中占据重要地位，用于解 决各种实际问题，如生产计划、物流运输、金 融投资等。
优化模型有多种类型，包括线性规划、非线性规 划、动态规划、整数规划等，每种类型都有其适 用的场景和特点。
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的 问题。
详细描述
非线性规划模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。目标函数是要求 最小化或最大化的非线性函数，约束条件可以是等式或不等式，决策变量是问题中需要 优化的未知数。非线性规划模型的特点在于其非线性性，即目标函数和约束条件不能用
数学建模之优化模型
数学建模之优化模型在我们的日常生活和工作中，优化问题无处不在。
从如何规划一条最短的送货路线，到如何安排生产以最小化成本并最大化利润，从如何分配资源以满足不同的需求，到如何设计一个系统以达到最佳的性能，这些都涉及到优化的概念。
而数学建模中的优化模型，就是帮助我们解决这些复杂问题的有力工具。
优化模型，简单来说，就是在一定的约束条件下，寻求一个最优的解决方案。
这个最优解可以是最大值，比如利润的最大化；也可以是最小值，比如成本的最小化；或者是满足特定目标的最佳组合。
为了更好地理解优化模型，让我们先来看一个简单的例子。
假设你有一家小工厂，生产两种产品 A 和 B。
生产一个 A 产品需要 2 小时的加工时间和 1 个单位的原材料，生产一个 B 产品需要 3 小时的加工时间和 2 个单位的原材料。
每天你的工厂有 10 小时的加工时间和 8 个单位的原材料可用。
A 产品每个能带来 5 元的利润，B 产品每个能带来 8 元的利润。
那么，为了使每天的利润最大化，你应该分别生产多少个A 产品和 B 产品呢？这就是一个典型的优化问题。
我们可以用数学语言来描述它。
设生产 A 产品的数量为 x，生产 B 产品的数量为 y。
那么我们的目标就是最大化利润函数 P ＝ 5x ＋ 8y。
同时，我们有加工时间的约束条件 2x ＋3y ≤ 10，原材料的约束条件 x ＋2y ≤ 8，以及 x 和 y 都必须是非负整数的约束条件。
接下来，我们就可以使用各种优化方法来求解这个模型。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等等。
对于上面这个简单的例子，我们可以使用线性规划的方法来求解。
线性规划是一种用于求解线性目标函数在线性约束条件下的最优解的方法。
通过将约束条件转化为等式，并引入松弛变量，我们可以将问题转化为一个标准的线性规划形式。
然后，使用单纯形法或者图解法等方法，就可以求出最优解。
在这个例子中，通过求解线性规划问题，我们可以得到最优的生产方案是生产 2 个 A 产品和 2 个 B 产品，此时的最大利润为 26 元。
数学建模所有模型用途总结
数学建模所有模型用途总结数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并通过数学方法求解的方法和技巧。
它在各个领域都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决现实世界中的问题。
本文将总结数学建模的所有模型用途。
1.优化模型优化模型是数学建模中最常见的一种模型。
它通过建立数学模型来寻找使目标函数达到最大或最小的最优解。
优化模型可以应用于生产调度、资源分配、运输路线规划等问题。
例如，在生产调度中，我们可以利用优化模型来确定最佳的生产计划，以最大化产量或最小化成本。
2.预测模型预测模型是根据已有的数据和规律来预测未来的发展趋势。
它可以应用于经济预测、天气预报、股票市场预测等领域。
例如，在经济预测中，我们可以利用预测模型来预测未来的经济增长率，以帮助政府制定相应的宏观经济政策。
3.决策模型决策模型是用于辅助决策的一种模型。
它可以帮助人们在面对复杂的决策问题时做出科学合理的决策。
决策模型可以应用于投资决策、风险评估、市场营销策略等问题。
例如，在投资决策中，我们可以利用决策模型来评估各种投资方案的风险和收益，以帮助投资者做出明智的投资决策。
4.模拟模型模拟模型是通过建立仿真模型来模拟和分析现实世界中的复杂系统。
它可以帮助人们更好地理解系统的运行规律，并提供决策支持。
模拟模型可以应用于交通流量模拟、气候模拟、环境模拟等领域。
例如，在交通流量模拟中，我们可以利用模拟模型来评估不同的交通管理策略对交通流量的影响，以优化交通系统的运行效率。
5.网络模型网络模型是一种描述和分析网络结构和功能的数学模型。
它可以帮助人们研究和优化网络的布局、传输效率、容错性等问题。
网络模型可以应用于电力网络、通信网络、社交网络等领域。
例如，在电力网络中，我们可以利用网络模型来评估不同的电网布局方案，以提高电力系统的可靠性和稳定性。
6.随机模型随机模型是一种描述和分析随机现象的数学模型。
它可以帮助人们研究随机事件的概率分布、统计特性等问题。
随机模型可以应用于风险评估、信号处理、金融风险管理等领域。
数学建模案例分析最优化方法建模动态规划模型举例
§6 动态规划模型举例以上讨论的优化问题属于静态的，即不必考虑时间的变化，建立的模型——线性规划、非线性规划、整数规划等，都属于静态规划。
多阶段决策属于动态优化问题，即在每个阶段（通常以时间或空间为标志）根据过程的演变情况确定一个决策，使全过程的某个指标达到最优。
例如：（1）化工生产过程中包含一系列的过程设备，如反应器、蒸馏塔、吸收器等，前一设备的输出为后一设备的输入。
因此，应该如何控制生产过程中各个设备的输入和输出，使总产量最大。
（2）发射一枚导弹去击中运动的目标，由于目标的行动是不断改变的，因此应当如何根据目标运动的情况，不断地决定导弹飞行的方向和速度，使之最快地命中目标。
（3）汽车刚买来时故障少、耗油低，出车时间长，处理价值和经济效益高。
随着使用时间的增加则变得故障多，油耗高，维修费用增加，经济效益差。
使用时间俞长，处理价值也俞低。
另外，每次更新都要付出更新费用。
因此，应当如何决定它每年的使用时间，使总的效益最佳。
动态规划模型是解决这类问题的有力工具，下面介绍相关的基本概念及其数学描述。
（1）阶段 整个问题的解决可分为若干个相互联系的阶段依次进行。
通常按时间或空间划分阶段，描述阶段的变量称为阶段变量，记为k 。
（2）状态 状态表示每个阶段开始时所处的自然状况或客观条件，它描述了研究过程的状况。
各阶段的状态通常用状态变量描述。
常用k x 表示第k 阶段的状态变量。
n 个阶段的决策过程有1+n 个状态。
用动态规划方法解决多阶段决策问题时，要求整个过程具有无后效性。
即：如果某阶段的状态给定，则此阶段以后过程的发展不受以前状态的影响，未来状态只依赖于当前状态。
（3）决策 某一阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段某一状态，这种选择手段称为决策。
描述决策的变量称为决策变量。
决策变量限制的取值范围称为允许决策集合。
用)(k k x u 表示第k 阶段处于状态k x 时的决策变量，它是k x 的函数，用)(k k x D 表示k x 的允许决策集合。
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法
数学建模的建模方法有以下几种常用的方法：
1. 数学优化模型：通过建立一个目标函数和一系列约束条件来描述问题，并利用数学优化方法寻找使目标函数最优的解。
2. 方程模型：将问题转化为一组方程或不等式，利用数学方法求解得到结果。
3. 统计模型：基于一定的统计原理和假设，利用统计方法来分析和预测数据、进行参数估计和假设检验等。
4. 动态模型：将问题看作是一个动态的过程，并建立一套描述系统演化过程的方程组，以预测未来状态和行为。
5. 分段模型：将系统划分为多个不同的阶段或状态，并对每个阶段或状态建立适当的模型，再通过合并各个模型的结果来得到整体的解析。
6. 离散模型：将问题中的连续变量离散化为一组有限的状态或取值，并用状态转移矩阵或概率分布描述变量之间的关系和演化规律。
7. 系统动力学模型：基于对系统结构和行为的理解，建立一系列动态方程来描述系统各种因素之间的相互作用和演化过程。
8. 随机过程模型：用概率论和随机过程理论来描述系统的不确定性和随机性，并对系统的平均行为和波动性进行分析和预测。
以上仅是一些常用的数学建模方法，实际建模过程中可以根据具体问题的特点选择合适的建模方法，或者结合多种方法进行综合建模。
数学建模优化模型
数学建模优化模型数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
优化模型是数学建模中的一种重要类别，主要用于解决如何最大化或最小化目标函数的问题。
优化问题在日常生活和工业生产中非常常见，例如最佳路径规划、资源分配、流程优化等。
通过数学建模和优化模型，可以帮助我们在有限的时间、空间和资源下，找到最优的解决方案。
1.确定问题：首先，我们需要准确地确定问题，包括目标函数和约束条件。
目标函数是我们要最大化或最小化的指标，约束条件是问题的限制条件。
2.建立数学模型：根据实际问题的特点，我们选择合适的数学模型来描述问题。
常见的数学模型包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
3.设计算法：根据数学模型，我们设计相应的算法来求解问题。
常见的优化算法包括单纯形法、分支定界法、遗传算法等。
4.求解模型：使用所选的算法，对数学模型进行求解。
这个过程涉及到数值计算和计算机程序的编写。
5.模型验证：对求解结果进行验证，确保结果符合实际问题的要求。
这可以通过计算误差、灵敏度分析等方法来实现。
6.结果分析和优化：对求解结果进行分析，比较不同算法的效果，并进行优化改进。
这可以帮助我们更好地理解问题，并提供更好的解决方案。
除了以上基本步骤外，数学建模优化模型还需要注意以下几个问题：1.模型的准确性：数学模型必须准确地反映实际问题的本质。
因此，我们需要对实际问题进行充分的了解，并进行有效的数据收集和分析。
2.算法的选择：不同的优化问题可能需要不同的优化算法。
因此，我们需要根据具体问题的特点选择合适的算法。
3.算法的效率和鲁棒性：在实际求解过程中，算法的效率和鲁棒性也是非常重要的。
我们需要选择高效的算法，并对算法进行充分的测试和验证。
数学建模优化模型在实践中具有广泛的应用，可以用于解决很多实际问题。
例如，在物流领域中，我们可以利用优化模型来确定最佳路线、最佳车辆配送方案等，以最大化效率和减少成本。
在制造业领域中，我们可以使用优化模型来优化生产流程、资源调度等，以提高生产效率和降低生产成本。
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I ( x(t ), u(t )) [ F (t , x, u) (t )( f (t , x, u) x)]dt
( H x)dt
t1 t2
H (t , x, u) F (t , x, u) (t ) f (t , x, u)
欧拉方程
d ( H x) x ( H x) x 0 dt d )u ( H x)u 0 (H x dt
下达到极值, 且x(t)X (容许集合) 最优控制问题: u(t)~控制函数, x(t)~状态函数(轨线).
泛函的条件极值 用拉格朗日乘子化为无条件极值
J (u(t )) F (t , x(t ), u(t ))dt
t1 t2 t1 t2
x(t ) f (t , x(t ), u(t ))
[ F ( x) Fx ] t t 2 0
• x=(t)垂直于横轴 (t2固定) o
x x=(t) x(t)
. A
.B
t2
t
Fx
t t 2
0
• x=(t)平行于横轴
[ F xFx ] t t 2 0
包含多个未知函数泛函的欧拉方程
J ( x(t ), u(t )) F (t , x(t ), x(t ), u(t ), u(t ))dt
• 生产费用随着生产率(单位时间的产量)的增加而变大. • 贮存费用随着已经生产出来的产量的增加而变大.
• 生产计划用每一时刻的累积产量表示.
建模目的
寻求最优生产计划, 使完成生产任务所需的总费用 (生产费用与贮存费用之和)最小.
分析与假设
生产任务: t=0开始生产, t=T提供数量为Q的产品. 生产计划(累积产量): x(t)
y
1 y 2 dt dx 2 gy
满足条件
J ( y ( x))
x1
0
1 y 2 dx 2 gy
y (0) 0, y ( x1 ) y1
求y(x) 使 J(y(x)) 达到最小.
短 程 线 问 题
z
给定曲面上的两个点A, B, 求曲面上连接A, B的最短曲线. 建立坐标系 曲面方程f(x,y,z)=0 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 )
国民收入相对增长率 x(t ) / x(t )
假设
• 积累率u较小时 x(t ) / x(t ) 随u的增加而增加 ~积累资金扩大再生产的促进作用. • 随着u的变大 x(t ) / x(t ) 的增加变慢.
• u增加到一定程度后 x(t ) / x(t ) 反而减小 ~消费资金太少对国民收入的制约作用. (t ) u (a bu) 描述以上假设的最简模型 (a 2bux) x 0
达到最小 , 且 y(0) 0, y( x1 ) y1
欧拉方程
1 y 2 F ( y, y ) y
y2 y (1 y )
2
Fx Ftx Fxx x Fxx 0 x
Fy Fxy Fyy y Fyy y 0
d ( F y Fy ) 0 dx
t1 t2
欧拉方程
d d Fx Fx 0, Fu Fu 0 dt dt
泛函的条件极值
J (u(t )) F (t , x(t ), u(t ))dt
t1
t2
求u(t)U (容许集合) 使J(u(t))在条件 x(t ) f (t , x(t ), u(t ))
产计划x(t)(累积产量)为二次函数. • 实际条件x(t)0 导致对已知参数的要求: Q k2T 2 / 4k1
若参数不满足该要求怎样处理? • 对函数施加的闭约束, 如对生产率的限制 A x(t ) B 可能导致古典变分法的失败.
13.3
背景和问题
国民收入的增长
• 国民经济收入的来源: 扩大再生产的积累 资金, 满足人民生活需要的消费资金 . • 如何安排积累资金和消费资金的比例， 使国民经济收入得到最快的增长. • 从最优控制的角度讨论十分简化的模型.
Q k2T 2 / 4k1 , 怎么办? 若
?
模型 解释
生产费用 f ( x(t )) k1 x (t )
2
贮存费用 g ( x(t )) k2 x(t )
df ~ 边际成本 dx dg k2 ~边际贮存 dx
最优生产计划 满足方程
k2 2 4k1Q k2T 2 x(t ) t t 4k1 4k1T
13.1
速 降 线 问 题
速降线与短程线
通过两个古典问题介绍变分法的基本概念, 给出主要结果. 给定竖直平面内不在一条垂直线上的两个点A, B, 求连接A, B的光滑曲线，使质 点在重力作用下沿该曲线以最 短时间从A滑到B (摩擦力不计).
.A .B
若沿直线段AB下滑, 路径虽短, 但速度增长慢; 若沿陡峭曲线下滑, 虽路径加长，但速度增长很快.
d Fx Fx 0 dt
欧拉方程
Fx Ftx Fxx x Fxx 0 x
两个任意常数由 x(t1 ) x1 , x(t2 ) x2 确定
固定端点条件下的泛函
用欧拉方程解速降线问题
求y(x) 使
J ( y ( x))
x1 0
1 y 2 dx 2 gy
速 建立坐标系xOy, A(0,0), B(x1,y1), 曲线AB ~y=y(x) O. A 降 曲线弧长 ds 1 y2 dx x 线 问 质点在曲线y(x)上的速度ds/dt y=y(x) 1 ds 2 题 能量守恒 m( ) mgy .B
2 dt
m~质点质量， g~重力加速度 质点沿曲线y(x) 从A到B的时间
F k1 x 2 (t ) k2 x(t )
k2 2k1(t ) 0 x
k2 2 4k1Q k2T 2 x(t ) t t 4k1 4k1T
x Q
考察x(t)0 (0tT) 的条件
x(0) 0
Q k2T 2 / 4k1
O T t
只有当生产任务Q 足够大 时才需要从 t=0开始生产.
o
x
.A
y =y(x) z =z(x)
f(x,y,z)=0
.B
y
曲面上连接A, B的曲线 y =y(x), z =z(x) 曲线的弧长 曲线的长度
ds 1 y2 z 2 dx
满足条件
f ( x, y( x), z( x)) 0
J ( y( x), z( x))
x1
x0
1 y2 z2 dx
求y =y(x), z =z(x) 使J(y(x) , z(x))达到最小.
泛函、泛函的变分和极值
函数、函数的微分和极值
1. 对于t在某域的任一个值, 有y的一个值与之对应, 称y是 t的函数，记作y=f(t) 2. t在t0的增量记作 t= t- t0, 微分dt= t
自变量t，函数x(t), y(t)
1 y2 y
c
y(1 y2 ) 1/ c 2
F yFy c
x c1 (t sin t ) c2 y c1 (1 cos t ) 圆滚线方程
c2=0, c1由y(x1)=y1确定.
横截条件(变动端点问题)
容许函数 x(t)的一个端点固定: x(t1)=x1，另一个端点 在给定曲线 x=(t) 上变动: x(t2)= (t2) (t2可变). 欧拉方程在变动端点的定解条件
3. 泛函J(x(t))在x0(t)的增量记 作J = J(x0(t)+ x(t))- J(x0(t)), J的线性主部称泛函的变分, 记作 J(x0(t))
泛函、泛函的变分和极值
函数、函数的微分和极值
4. 若函数y在域内t点达到极 值，则在t点的微分dy(t)=0 5. y在t的微分的另一表达式
g ( x(t )) k2 x(t )
• 贮存费用与贮存量成正比
模型与求解
T 0
求x(t) (0, 0tT)使C(x(t))最小.
x(0) 0, x(T ) Q
C ( x(t )) [k1 x 2 (t ) k2 x(t )]dt
欧拉方程
d Fx Fx 0 dt
泛函、泛函的பைடு நூலகம்分和极值
1.对于某函数集合的每一个函 数x(t), 有J的一个值与之对应, 称J是x(t)的泛函, 记作J(x(t)) 2. x(t)在x0(t)的增量记作 x(t)= x(t)-x0(t)，x(t)称x(t)的变分
3. y在t0的增量记作 f= f(t0+t) - f(t0)， f的线性主部是函数 的微分, 记作dy，dy = f (t0)dt
Hamilton函数
H (t ) 0 x H 0 u
(t ) H x H 0 u x f (t , x, u )
由方程组和端点条件解出最优控制u(t)和最优轨线x(t).
13.2 生产计划的制订
问题 • 生产任务是在一定时间内提供一定数量的产品.
第十三章
动态优化模型
13.1 速降线与短程线
13.2 生产计划的制订
13.3 国民收入的增长
13.4 渔船出海
13.5 赛跑的速度
13.6 多阶段最优生产计划
静态优化问题
优化目标是数值
最优策略是数值
动态优化问题
优化目标是数值 最优策略是函数
• 函数对应的数值称为泛函(函数的函数). • 连续动态过程的优化归结为求泛函的极值. • 求泛函极值的常用方法: 变分法、最优控制论. • 离散动态过程的优化 ~ 动态规划模型.