线性代数概率论试题

线 性 代 数 试 卷(A)

一、选择题（每题3分，共15分）

1.___

__________,2)(2101210211的值为则的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=

11-(D)1

-(C)1

-0(B)0(A)或者或 2.

_____________,1||*=-=A A A 则，且为正交矩阵设 A -(D)•••A •(C)A -(B)••A (A)T T

3.设βα,是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的

n 个特征值中,必然______________

(A) 有n 个特征值等于1 (B) 有1-n 个特征值等于1

(C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于1

4.______________,)()(,则阶方阵，且秩相等，既

为设B r A r n B A = B)(A)(B),r(A (D)r(A)2B),r(A (C)r(A)

2B)(A (B)0B)r(A (A)r r r +≤==+=－

5._____________

,)(b Ax n A r A n m ==⨯则非齐次线性方程组的秩设矩阵 )(A 一定无解 )(B 可能有解

)(C 一定有唯一解 )(D 一定有无穷多解

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则

|2|*A =_____________

2. D 中第二行元素的代数余子式的和

∑=412j j A =__________ ,其中 D = 1

111111*********---

3. 已知实二次型

321123122132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则实常数

a 的取值范围为________________

4. 2n 阶行列式 ________________=A B B A ,其中n 阶矩阵

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000 b b b B

5. 设A=，

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛101020101而n ≥2为正整数，则______21=--n n A A 三、计算题(每题9分,共54分)

1. 计算n 阶行列式

•m x x x x x x m x x x x x m x •D n n n

n ---=

321321321

2. 求矩阵X 使

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-+--120210006,100010002,011B A BX A BA AX ，其中

3. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++-=+++343221

1244332114433213222d x x x c x c d x b x b x x d x a x a x x 有三个解向量 1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2423

求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中t k j i d c b a ,,,为已知常数)

4. 已知实二次型 ),,(321x x x f =)0(233232232221>+++λλx x x x x 经过正交

变换QY X =,化为标准形23222152y y y ++,求实参数λ及正交矩阵Q

5. 设线性方程组为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++=+++=+++b x x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131

723153203，问a ,b 各取何值时，线性 方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解

6. 在四元实向量构成的线性空间4R 中,求a 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由

基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P ,其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12112a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β

四、证明题(每题8分,共16分)

1. 设 321,,ααα 是欧氏空间V 的标准正交基,证明:

1123212331231

11(22)(22)(22)3

33βαααβαααβααα=+-=-+=--

也是V 的标准正交基

2. 设=f AX X T 是n 元实二次型,有n 维实列向量21,X X ,使，

证明:存在维列实向量

,使

=0