第四章指数函数、对数函数与及幂函数单元测试题

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4幂函数指数函数对数函数对勾函数配套题

幂函数、指数函数、对数函数、对勾函数配套题一．选择题（共7小题）1．下列函数是对数函数的是（）A．y=log3（x+1）B．y=log a（2x）（a＞0，且a≠1）C．y=log a x2（a＞0，且a≠1）D．y=lnx2．下列四类函数中，有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f（x）满足f（x+y）=f （x）f（y）”的是（）A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数3．下列四个条件中，为结论“对任意的x＞0，y＞0，恒有f（xy）=f（x）f（y）”成立的充分条件是（）A．f（x）为对数函数B．f（x）为幂函数C．f（x）为指数函数D．f（x）为正比例函数4．已知指数函数y=f（x）、对数函数y=g（x）和幂函数y=h（x）的图象都经过点P（），如果f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，那么x1+x2+x3=（）A．B．C．D．5．下列命题中正确的是（）A．当n=0时，幂函数y=x n的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过点（0，0），（1，1）C．指数函数的图象一定在x轴的上方D．对数函数y=log a x（a＞1），若x＞1，则y＜06．下列说法正确的是（）A．幂函数的图象恒过（0，0）点B．指数函数的图象恒过（1，0）点C．对数函数的图象恒在y轴右侧D．幂函数的图象恒在x轴上方7．设命题甲：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数x在（0，+∞）上递减，那么甲是乙的（）函数y=log（4﹣2a）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二．填空题（共2小题）8．已知指数函数y=f（x），对数函数y=g（x）和幂函数y=h（x）的图象都过P （，2），如果f（x1）=g（x2）=h（x3）=4，那么x l+x2+x3=．9．若对数函数f（x）与幂函数g（x）的图象相交于一点（2，4），则f（4）+g （4）=．三．解答题（共1小题）10．已知幂函数g（x）=（m2﹣2）x m（m∈R）在（0，+∞）为减函数，已知f （x）是对数函数且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）=．（1）求g（x），f（x）的解析式；（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1，所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数，所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0，解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1，令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1，所以 f (s +12)=1s ，令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)．所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0，解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)，所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数，可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5，所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4，所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120，又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20，当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。

第4章指数函数与对数函数

第四章指数函数与对数函数4.1实数指数幂1.选择题（1）下列根式无意义的是（） A.32 B.0 C.41- D.35-（2）0π= （）A. πB. 1C. 3.14D. 0 （3）42-= （）A. 8B. -8C. -16D. 16（4）下列运算中，正确的是（）A. 3332552=•B. 3332552=÷ C. 3)3(2552= D. 0335252=•-（5）=-31)64(（）A. -4B. 4C. -8D. 8（6）=÷•84222（）A. 432B. 852 C.2 D. 2（7）下列各函数中，不是幂函数的是（） A. 12+-=x x y B.x y 1=C. x y =D. 3-=x y（8）函数2-=x y 的图像经过点（）A. ()1,1--B. ()0,0C. ()2,1-D. ⎪⎭⎫⎝⎛41,2（9）函数3x y =的图像是（）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点轴对称D. 不具有对称性 2.填空题（1）=25 ，=-327 ，=50 ，=-2)3( ；（2）18的4次算术根可以表示为，其中根指数是，被开方数是；（3）=04 ，=-24，=214 ，=-214；（4）设a >0，216531a a a ÷•= ；（5）设a >0，b >0，=•-62132)(b a ；（6）()2121233•⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ；（7）幂函数在第一象限的图像经过点；（8）函数21x y =的定义域是，且在定义域内为函数（填单调性）；（9）函数4x y =的定义域是，该函数为函数（填奇偶性）3.将下列各分数指数幂写成根式的形式：（1）32a （2）353-4. 将下列各根式写成分数指数幂的形式：（1）33 （2）541a5.化简计算下列各式：（1）()()()2123213--÷•ab ab b a ；（2）21313121ba baba（3）213165--÷•a a a （4）41652134132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•-a a a a6.计算下列各式的值：（1）40597218)37(⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯ （2）()31021125.02394-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛(3) 0213430012.025.0381⨯+⨯-- （4）()()021312197271027.0--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛---7.球下列各函数的定义域：（1）23x y = （2）3-=x y （3）21-=x y8. 已知幂函数的图像经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛41,8，求f （27）的值4.2指数函数1.选择题：（1）下列函数中，为指数函数的是（）A. x y =B. 2-=x yC. xy π= D. ()x y 3-=（2）下列各函数中，在()+∞∞-,内为减函数的是（） A. ()xy 2=B. xy 4= C. xy -=3D. x y 10=（3）函数xy 25.0=的图像经过点（）A. （0,1）B. （1,0）C. （1,1）D. （0.25,1）（4）下列各函数模型中，为指数增长型的是（）A. xy 09.17.0⨯= B. x y 95.0100⨯= C. x y 35.05.0⨯= D.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=322 (5) 一辆价值30万的汽车，按每年20%的折旧率折旧，设x 年后汽车价值y 万元，则y与x 的函数解析式为（）A. x y 2.030⨯=B. x y 8.030⨯=C. x y 2.130⨯=D. xy 3.020⨯=(6) 某城市现有人口100万，根据最近20年的统计资料，这个城市人口的年自然增长率为1.2%，按这个增长率计算10年后这个城市的人口预计有（）万。

中职数学第4章《指数函数与对数函数》单元检测试题及答案【基础模块上册】

A、3.232<3.222D、0.232<0.2222020届中职数学第四章单元检测《指数函数与对数函数》(满分100分,时间：90分钟)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)题号12345678910答案1.81的四次方根是()A、3B、4C、±3D、±42.已知10lg3=()A.-3B.lg3C.3D.103.函数y=2x的图像是()y yyyo x o xo xo xA B C D4.下列各式中正确的是()11B、0.22-1<0.23-1C、2.1-1>2.2-1115.函数f(x)=a x-2+1(a>0,a≠1)的图像恒过定点（）A.（0，1）B.（0，2）C.（2，1）D.（2，2）6.下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A、y=x12B、y=x13C、y=x-2D、y=x27.设函数f(x)=log x(a>0且a≠1)，f(4)=2，则f(8)=（）a11A.2B.2C.3D.38.若幂函数y=x a的图像过点P(1,64)，则a等于（）4A.y=x314.(8)-3+814=_________________A、-3B、3C、-4D、169.下列是幂函数且定义域为R的函数是（）1 B.y=2x2 C.y=x-2 D.y=(-1)x310.2⋅38464=（）A、4B、2158C、272D、8二、填空题(共8小题,每题4分,共32分)11.lg25+lg40=______12.log2256-(sin1)0=______13.(a3)2÷(-a)2=____________132715.函数y=lg(-x2+5x+6)的定义域是________________16.设53x-3<1，则x的取值范围为__________________17．用不等号连接：（1）log5log6，（2）0.530.632218.若4x=3，log4=y，则x+y=；43三、解答题(共38分)19.解不等式(3-x)<1（6分）0.320.解不等式log(2-x)>1（8分）1222.函数 f ( x ) = x n ,且它的图像经过点 (3, ) ，求 f(4)的值。

升学复习第四章-幂函数、指数函数、对数函数

（4）loga
n
1
M= logaM.
n
典例解析
例11.求下列对数的值：
(1)log64+log69；
(2)log2162；
(3)log672-log62；
(4)lg5+lg2.
知识聚焦
5.换底公式
logaN lgN
logbN= loga = lg (a>0且a≠1，b＞0且b≠1，N＞0).
函数时,图像只分布在第一象限.
知识聚焦
3.幂函数的图象与性质
(-2,4)
4
y=x3
(2,4)
y=x2
3
y=x
1
-6
-4
-2
(1,1)
-1
-2
-3
-4
(0,+∞)内都有定义,并且函数图象
y=x-1
2
(-1,-1)
（2）过定点：所有的幂函数在
y=x 2
(4,2)
2
(-1,1)
1
4
6
都通过点(1,1).
特别地，以10为底的对数函数y=lgx叫做常用对数函数
以e为底的对数函数y=lnx叫做自然对数函数.
知识聚焦
2
对数
函数
的图
象与
性质
解析式
对数函数y=log
a>1(真大整体大,真小整体小)
图
象
a
0<a<1(真大整体小,真小整体大)
y
o
x (a>0, a≠1)
y
（1, 0)
（2）正数的负分数指数幂的意义：
a
m
n
1m
an
n
1 ( a 0, m , n N , 且n 1)

指数函数对数函数幂函数单元测试题

指数函数对数函数幂函数单元测试题层层飞跃，挑战巅峰——指数函数、对数函数、幂函数测试题一、选择题1.设指数函数C1：y=ax，C2：y=bx，C3：y=cx的图象如图，则（）A。

0<c<1<b<aB。

0<a<1<b<cC。

c<b<aD。

0<c<1<a<b2.函数y=a（a>0，a≠1）过定点，则这个定点是（）A。

（，1）B。

（1，2）C。

（-1，0.5）D。

（1，1）3.若函数y=f（x）的图象与y=2的图象关于y轴对称，则f（3）=（）A。

8B。

4C。

-4D。

-84.若指数函数y=ax经过点（-1，3），则a等于（）A。

3B。

2C。

1/3D。

1/25.函数y=f（x）的图象与y=2的图象关于直线x=1对称，则f（x）为（）A。

y=2x-1B。

y=2x+1C。

y=2x-2D。

y=2^(2-x)6.对于任意x1，x2∈R，恒有f（x1）·f（x2）=f（x1+x2）成立，且f（1）=2，则f（6）=（）A。

22B。

4C。

2D。

87.若函数f（x）=loga x（0<a<1）在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=A。

1/4B。

1/2C。

2/2D。

2/48.在同一坐标系中，函数y=2-x与y=log2 x的图象是（）A。

y=log2(2-x)B。

y=log2(2+x)C。

y=log2(2-x)+1D。

y=log2(2+x)-19.设函数f(x)={2-x-1 (x≤2)。

x(x>2)}，若f（x）>1，则x 的取值范围是（）A。

（-1，1）B。

（-∞，-2）∪（2，+∞）C。

（-1，+∞）D。

（-∞，-1）∪（1，+∞）10.已知0<m<n<1，则a=logm(m+1)与b=logn(n+1)的大小关系是（）A。

a>bB。

a=bC。

a<bD。

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可（1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立．即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足；满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。

数学：第4章《幂函数、指数函数和对数函数(下)》单元练习(2)(沪教版高一下册)

上海交通大学隶属中学2008- 2009 学年度第一学期高一数学期末试卷一、填空题：（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）1、已知全集U={0 ， 1， 2， 3} 且U A ={2}，则会合 A 的真子集共有________个。

解：（期中考试第 1 题） A={0 ， 1， 3} ，∴会合 A 的真子集共有23-1=7 个。

▋2、已知 a>1，则不等式 a+2的最小值为 ___________。

a1解： a+2=a-1+a 2+1≥ 1+2 2 ，当且仅当 a-1=2，即 a=1+ 2 时等号建立。

∴不a11a1等式 a+2的最小值为 1+22。

▋a13、不等式61 的解集为 ___________。

x2解：（不等式单元测试第17 题）∵6，∴64x，∴ (x-4)(x+2)<0 ，1x210x 2x2∴解集为 (-2， 4)。

▋4、已知 f(x)= x2+4x-6，若 f(2m)>f(m+1)，则实数 m 的取值范围是 ___________ 。

解： (2m)2+4(2m)-6>( m+1) 2+4( m+1)-6 ，∴ 3m2+2m-5>0 ，∴ m∈ (-∞，5)∪(1，+∞ )。

▋35、函数 f(x)=- x2+2( a-1)x+2 在 (-∞， 4)上为增函数，则 a 的范围是 __________。

解：（函数性质单元测试第8 题）对称轴 x=a-1≥ 4，∴ a≥ 5。

▋6、幂函数 y=f(x)的图像经过点 ( 1， 2)，则 f(x)=__________ 。

81解：设 f(x)=x k，∴(1)k 2 ，∴ k log 1 2 =1，∴ f ( x) x 3。

▋8837、函数 f(x)= 1xy=f1(x) ，则 f1(9)=__________ 。

2 ，反函数为解：设 f1 (9)=a，∴ f(a)=1+2 a=9，∴ a=3，即 f1(9) =3。

人教B版(2019)高中数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则习题

4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．34．lg 2516－2lg59＋lg3281等于( )A．lg 2 B．lg 3C．lg 4 D．lg 55．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－16．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a27．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－49．已知3a＝2,3b＝15，则2a －b ＝________.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.知识点三换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( ) A ．a ＋b B ．a －bC ．abD ．a b 12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y等于( )A.13B．3C．－13D．－313．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．515．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________．16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.17．计算：(1)log89×log2732；(2)log927；(3)log21125×log3132×log513.18．已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．62．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 253. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 34．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－25．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10 6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．188．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab1011．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y 12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.14．方程log2x＋1log x＋12＝1的解是x＝________.15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.16．设f(n)＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．四、解答题17．求值：(1)lg5＋lg20；(2)log89×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57；(3)(log43＋log83)(log32＋log92)．18．已知log a(x2＋4)＋log a(y2＋1)＝log a5＋log a(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8yx的值．19．设0<a<1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，若当y＝24时，log a y取得最小值，求a的值．20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py.(1)求p；(2)求证：1z－1x＝12y.4.2.2 对数运算法则知识点一正确理解对数的运算法则1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．log a M·log a N＝log a(M＋N)B.log a Mlog a N＝log a(M－N)C．D．log a M＝log－2Mlog－2a答案 C解析由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga m M n＝＝nm log a M，＝nm log a M，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C.2．下列式子中：①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0；②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0；③＝－1(n∈N*)；④lg alg b＝lg (a－b)．其中正确的有________(填序号)．答案③解析lg (3＋22)－lg (3－22)＝lg 3＋223－22＝lg (3＋22)2>0，故①错误．∵lg (10＋99)≠0，lg (10－99)≠0.∴lg (10＋99)×lg (10－99)≠0，故②错误．∵＝＝－1，∴③正确．∵lg alg b≠lg (a－b)，故④错误．知识点二对数式的计算、化简3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.4．lg2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4 D ．lg 5答案 A解析 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A.5．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( ) A ．a －2 B ．3a －(1＋a )2 C ．5a －2 D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1)＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 6．若lg x －lg y ＝a ，则 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．a D ．a2答案 A解析由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x －lg 2)－3(lg y －lg 2)＝3(lgx －lg y )＝3a .7．若lg x ＝m ，lg y ＝n ，则lg x －lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 102的值等于( )A.12m －2n －2 B ．12m －2n －1 C.12m －2n ＋1 D ．12m －2n ＋2 答案 D解析原式＝12lg x －2(lg y －lg 10)＝12m －2n ＋2.8．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132，得( )A ．5B ．4C ．－5D ．－4答案 C解析原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5.9．已知3a ＝2,3b ＝15，则2a －b ＝________.答案 log 320解析 ∵3a＝2,3b＝15，两边取对数得a ＝log 32，b ＝log 315＝－log 35，∴2a －b＝2log 32＋log 35＝log 320.10．计算下列各式的值： (1)log 2748＋log 212－12log 242； (2)lg 500＋lg 85－12lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)lg 32－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000lg 0.3×lg 1.2.解 (1)原式＝log 27×1248×42＝log 212＝－12.(2)原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫500×85－lg 6412＋50(lg 10)2＝lg 8008＋50＝lg 100＋50＝2＋50＝52.(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.(4)原式＝lg 32－2lg 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫32lg 3＋3lg 2－32lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝1－lg 3×32lg 3＋2lg 2－1lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1＝－32.知识点三换底公式及应用11．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A．a＋b B．a－bC．ab D．a b答案 C解析log27＝log23×log37＝ab.12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x－1y等于( )A.13B．3C．－13D．－3答案 A解析由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝3lg 2.5，y＝log0.251000＝3lg 0.25，∴1x－1y＝lg 2.53－lg 0.253＝13.13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( )A.2a＋b1＋aB．a＋2b1＋aC．2a＋b1－aD．a＋2b1－a答案 C解析log512＝lg 12lg 5＝2lg 2＋lg 31－lg 2＝2a＋b1－a，故选C. 14．若log a x＝2，log b x＝3，log c x＝6，则log abc x＝( ) A．1 B．2C．3 D．5答案 A解析∵log a x＝1log x a＝2，∴log x a＝12.同理log x b＝13，log x c＝16.∴log abc x ＝1log xabc＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1.15．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析由换底公式，得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5. ∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1. 又⎩⎨⎧x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.16．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________. 答案 9解析由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg mlg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.17．计算： (1)log 89×log 2732； (2)log 927； (3)log 21125×log 3132×log 513. 解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15. 18．已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645的值．解解法一：∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .于是log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2＝log189＋log1851＋log182＝a＋b1＋log18189＝a＋b2－a.解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.于是log3645＝log189×5log181829＝log189＋log1852log1818－log189＝a＋b2－a.解法三：∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.∴log3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a＋b2－a.易错点一利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4xy的值为________．易错分析错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代数式xy＝(x－2y)2时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件⎩⎨⎧x>0，y>0，x－2y>0.从而误认为xy＝4或xy＝1，得出log4xy＝1或0的错误答案．答案 1正解由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，得xy＝4或xy＝1，又x>0，y>0，x－2y>0，∴xy≠1，∴log4xy＝1.易错点二运用换底公式不熟练致误log29×log34＝( )A.14B．12C．2 D．4易错分析本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．答案 D正解log29×log34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、单项选择题1．log225×log522＝( )A．3 B．4 C．5 D．6 答案 A解析log225×log522＝lg 25lg 2×＝2lg 5lg 2×32lg 2lg 5＝3.2．若log513×log36×log6x＝2，则x等于( )A．9 B．1 9C．25 D．1 25答案 D解析由换底公式，得原式＝－lg 3lg 5×lg 6lg 3×lg xlg 6＝2，∴lg x＝－2lg 5，x＝5－2＝1 25 .3. 等于( )A．lg 3 B．－lg 3C．1lg 3D．－1lg 3答案 C解析原式＝＝log310＝1lg 3.选C.4．化简log232－4log23＋4＋log213，得( )A．2 B．2－2log23C．－2 D．2log23－2 答案 B解析∵log232－4log23＋4＝log23－22＝2－log23，∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )A．2 B．1 2C．100 D．10答案 C解析∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关系得lg a＋lg b＝－－42＝2＝lg ab，∴ab＝100.故选C.6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( )A．p2＋q2B．15(3p＋2q)C.3pq1＋3pqD．pq答案 C解析∵log83＝lg 3lg 8＝lg 33lg 2＝p，∴lg 3＝3p lg 2.∵log35＝lg 5lg 3＝q，∴lg5＝q lg 3＝3pq lg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝3pq1＋3pq，故选C.7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 B．9C．12 D．18答案 D解析∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴1a＝log k2，1b＝log k3，∵2a＋b＝ab，∴2b＋1a＝2log k3＋log k2＝log k9＋log k2＝log k18＝1，∴k＝18.8．已知2x＝3，log483＝y，则x＋2y等于( )A．3 B．8 C．4 D．log48 答案 A解析∵2x＝3，∴x＝log23.又log483＝y，∴x＋2y＝log23＋2log483＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2⎝⎛⎭⎪⎫32log22－12log23＝log23＋3－log23＝3.故选A.二、多项选择题9．下列各等式正确的是( )A．log23×log25＝log2(3×5)B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)C．log2xy＝log2x－log2yD．lg nm＝1nlg m(m>0，n>1，n∈N*)答案BD解析对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg nm＝1nlg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.10．若ab>1，则下列等式中正确的是( )A．lg (ab)＝lg a＋lg b B．lg ab＝lg a－lg bC.12lg⎝⎛⎭⎪⎫ab2＝lgabD．lg (ab)＝1log ab10答案CD解析当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD.11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( )A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln yC．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y答案CD解析因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( )A．(log a x)n＝n log a x B．log a x＝－log a 1 xC.nlog a x＝1nlog a x D．log a xn＝log anx答案BD解析根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D 正确．三、填空题13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.答案 4 2解析∵2x·8y＝16，∴x＋3y＝4，∴＋log927y＝2－1·＋3y 2＝2＝2.14．方程log 2x ＋1logx ＋12＝1的解是x ＝________.答案 1解析原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1，∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎨⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即x >0，∴x ＝1.15．如果方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.答案135解析方程(lg x )2＋(lg 7＋lg 5)lg x ＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x 的二次方程．∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x 的二次方程的两根．由根与系数的关系，得lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg 135， ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg 135，即αβ＝135. 16．设f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，现把满足乘积f (1)f (2)…f (n )为整数的n 称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．答案 9解析 f (n )＝log n ＋1(n ＋2)＝lg n ＋2lgn ＋1，∴f (1)f (2)…f (n )＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lgn ＋2lgn ＋1＝lg n ＋2lg 2＝log 2(n∵n ∈(1,2020)，∴n ＋2∈(3,2022)， ∵210＝1024,211＝2048，∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.四、解答题17．求值：(1)lg 5＋lg 20；(2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log 89×log 2732－(3－1)lg 1＋log 535－log 57＝lg 9lg 8×lg 32lg 27－1＋log 5357＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3－1＋1＝109. (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝12＋14＋13＋16＝54. 18．已知log a (x 2＋4)＋log a (y 2＋1)＝log a 5＋log a (2xy －1)(a >0，且a ≠1)，求log 8yx的值．解原等式可化为log a [(x 2＋4)(y 2＋1)]＝log a [5(2xy －1)]， ∴(x 2＋4)(y 2＋1)＝5(2xy －1)．整理，得x 2y 2＋x 2＋4y 2－10xy ＋9＝0，配方，得(xy －3)2＋(x －2y )2＝0， ∴⎩⎨⎧xy ＝3，x ＝2y .∴y x ＝12. ∴log 8y x ＝log 812＝－13.19．设0<a <1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若当y ＝24时，log a y 取得最小值，求a 的值．解由已知条件，得log a x ＋3log x a －log x y ＝log a x ＋3log a x －log a ylog a x ＝3，所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log ax －322＋34. 当log a x ＝32时，log a y 有最小值34.此时y ＝24，所以有log a 24＝34，故所以a ＝14.20．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py . (1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y.解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34， ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.。

04-第四章幂函数、指数函数和对数函数(带答案)曹喜平

§4.1 幂函数的性质与图像（1）A 组1．幂函数23x y =的定义域是；值域是．),0[∞+；),0[∞+2．幂函数4-=x y 的定义域是，值域是．)0,(-∞0,+∞（）；0,+∞（） 3．幂函数23-=xy 的定义域是____________；值域是．0,+∞（）；0,+∞（）4．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象恒过定点．)1,1(5．幂函数)(Q x y ∈=αα的图象经过点)2,21(，则=α ．1-6．若b ax x f +=2)(是幂函数，则实数b a ,满足条件 . 0,1==b aB 组填空题7．若)(x f 既是一次函数, 又是幂函数, 则=)(x f . x 8．若幂函数3(*)m y xm N =∈是奇函数，则m 的最小值为 . 19．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象在第一象限内单调递增，则α的取值范围是 .0,+∞（） 10．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图象与y 轴无公共点，则α的取值范围是 .]0,(-∞11．函数y 2y x =的图像的交点的坐标是．(0,0)和（1，1） 12．若幂函数是互质的自然数）||,||(q p x y pq=的图象关于y 轴对称，则q p ,满足的条件是 . q 为非零偶数, p 为奇数13．若幂函数)(Q x y ∈=αα的图像关于原点对称，且当0x >时单调递减，则α的一个可取的值为 .1-选择题14．下列函数是幂函数的是( C )（A ）x y 4= （B ）2=y（C ）)()1(1是有理常数αα+=xy （D ）x y 2=15．下列命题中，正确的是 ( D )（A ）当=0α时，函数y x α=的图像是一条直线（B ）幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)两点（C ）若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=在定义域上增函数（D ）幂函数的图像不可能出现在第四象限解答题16．讨论函数322)(--=k kx x f 在),0(∞+上的单调性.解：当1-<k ,或3>k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递增;当31<<-k 时, 函数)(x f 在),0(∞+上单调递减; 当1-=k 或3=k 时, )(x f 在),0(∞+上是常值函数.17．已知3131)21()3(--+<-x x ，求实数x 的取值范围．解法一：（1）03124x x x >->+⇒<-；（2）3120x x ->+>，无解；（3）1120332x x x +>>-⇒-<<.综上x 的取值范围是1(,4)(,3)2-∞--. 解法二：111133331111(3)(12)()()312312x x x x x x---<+⇔<⇔<-+-+ 41043(3)(21)2x x x x x +⇔<⇔<--<<-+或.C 组18．若偶函数()()Z m x x f m m ∈+=++-123212在+R 上是增函数。

幂函数、指数函数、对数函数专练习题含答案

幂函数、指数函数、对数函数专练习题(含答案)高中数学对数函数、指数函数、幂函数练习题1. 函数f (x )＝x21-的定义域是A.(－∞，0]B.[0，＋∞)C.（－∞，0） D.（－∞，＋∞） 2. 函数x y 2log =的定义域是A.(0,1］B. (0,+∞)C. (1,+∞)D.[1,+∞)3. 函数2log 2y x =-的定义域是A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4,+∞) D.[4, +∞)4. 若集合{|2},{|1}xM y y N y y x ====-，则M N ⋂= A.}1|{≥y y B.}1|{>y y C.}0|{>y y D.}0|{≥y y 5. 函数y = -11-x 的图象是6. 函数y =1－11-x , 则下列说法正确的是 A.y 在(－1,+∞)内单调递增 B.y 在(－1,+∞)内单调递减C.y 在(1,+∞)内单调递增D.y 在(1,+∞)内单调递减7. 函数y =A. (2,3)B. [2,3)C.[2,)+∞D. (,3)-∞8. 函数xx x f 1)(+=在]3,0(上是 A.增函数 B.减函数 C.在]10，（上是减函数，]31[，上是增函数 D.在]10，（上是增函数，]31[，上是减函数 9. 的定义域是函数 )2(x lg y -=A.(-∞，+∞)B.(-∞，2)C.(-∞，0] D(-∞，1] 10.的取值范围是则若设函数o x x x x x f ,1)f (x 0)(x)0(,12)(o >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-)(1,,-1)D.(- )(0,,-2)C.(- )B.(-1, )1,1.(A +∞∞+∞∞+∞-11. 21||x y =函数A.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递增B.是偶函数,在区间(﹣∞,0)上单调递减C.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增D.是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 12. 的定义域是函数xx x y -+=||)1(00}|D.{ -1}0|C.{ 0}|B.{ }0|.{≠≠<<>x x x x x x x x x A 且13. 函数y = A.[1,)+∞ B.23(,)+∞ C.23[,1]D.23(,1]14. 下列四个图象中，函数x x x f 1)(-=的图象是15. 设A 、B 是非空集合，定义A ×B={x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}.已知A={x |y =22x x -},B={y |y =2x ,x >0},则A ×B 等于 A.［0,1)∪(2,+∞) B.［0,1］∪［2,+∞) C.［0,1］ D.［0,2］ 16. 设a =20.3,b =0.32,c =log3.02，则A a ＞c ＞b B.a ＞b ＞c C. b ＞c ＞a D. c ＞b ＞a 17. 已知点33(,39在幂函数()y f x =的图象上，则()f x 的表达式是A.()3f x x =B.3()f x x = C.2()f x x -=D.1()()2xf x = 18. αx x f =)(x 1 21)(x f 122则不等式1)(<x f 的解集是A.{}20≤<x xB.{}40≤≤x xC.{}22≤≤-x xD.{}44≤≤-x x 19. 已知函数的值为），则，的值域为)1(0[93)(2f a ax x f x ∞+--+=A.3B.4C.5D.6指数函数习题一、选择题1．定义运算a ⊗b ＝⎩⎨⎧a a ≤bb a >b，则函数f (x )＝1⊗2x的图象大致为( )2．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( )A ．f (b x )≤f (c x )B ．f (b x )≥f (c x) C ．f (b x)>f (c x)D ．大小关系随x 的不同而不同3．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(0,2)4．设函数f (x )＝ln[(x －1)(2－x )]的定义域是A ，函数g (x )＝lg(a x －2x－1)的定义域是B ，若A ⊆B ，则正数a 的取值范围( ) A ．a >3 B ．a ≥3C ．a > 5D ．a ≥ 55．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．[94，3) B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)6．已知a >0且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取值范围是( )A．(0，12]∪[2，＋∞) B．[14，1)∪(1,4]C．[12，1)∪(1,2] D．(0，14)∪[4，＋∞)二、填空题7．函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a的值是________．8．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．9．(2011·滨州模拟)定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题10．求函数y＝2间．11．(2011·银川模拟)若函数y＝a2x＋2a x－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14，求a的值．12．已知函数f(x)＝3x，f(a＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax－4x的定义域为[0,1]．(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围．对数与对数函数同步练习一、选择题 1、已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、2log (2)loglog aa a M N M N-=+，则NM 的值为（） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、已知221,0,0xy x y +=>>，且1log (1),log,log 1y aaa x m n x+==-则等于（）A 、m n +B 、m n -C 、()12m n +D 、()12m n - 4、如果方程2lg (lg5lg7)lg lg5lg70x x +++=的两根是,αβ，则αβ的值是（）A 、lg5lg 7B 、lg 35C 、35D 、351 5、已知732log [log (log)]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B 、 C 、D6、函数2lg 11y x⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)logx y -= ）A 、()2,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8、函数212log(617)y x x =-+的值域是（）A 、RB 、[)8,+∞C 、(),3-∞-D 、[)3,+∞ 9、若log9log 90mn <<，那么,m n 满足的条件是（）A 、 1 m n >>B 、1n m >>C 、01n m <<<D 、01m n <<< 10、2log13a<，则a 的取值范围是（）A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C 、2,13⎛⎫⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11、下列函数中，在()0,2上为增函数的是（） A 、12log (1)y x =+ B 、2logy =C 、21logy x= D 、2log(45)y x x =-+12、已知()logx+1 (01)ag x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a+=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在(),0-∞上是减少的二、填空题 13、若2log 2,log 3,m n aa m n a +===。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是；x 1x 2x 3 的取值范围是．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解，所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点，因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，故函数图象如图所示，又 f (−2)=f (2)=f (6)=3，则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13，因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7，所以 313>(√7)13，即 x >y ，所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0，可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称，作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象，作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0，所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1，则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)，故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点．画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6，因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内．又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内．又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内．【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ．【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82，则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33；把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114，则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9，所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74，所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣，所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。

幂函数、指数函数和对数函数单元试卷

幂函数、指数函数和对数函数单元试卷班级____ 学号____ 姓名____ 得分____一、单选(1-8每题 3分, 9-18每题 4分, 共 64分)1. .16D 4C 2B 0A 4l 2．．．．方程=x og 2..若、是非空集合，是全集，且，那么下列集合中是空集的是．∩ ．∩ ．∩ ．∩M N I M N I [ ]A M N B M N C M N D M N⊂⊂3. 与函数y=10l g ( x - 1)的图象相同的函数是[ ]A y =x 1B y =x 1C y =()D y =x 2．．．．------x x x 1111||4.函数－且－的反函数是．－且．－且．－且．－且y =2x 1x +5(x R x 5)[ ]A y =1(x R x 2)B y =5x +12x (x R x 2)C y =x +52x 1(x R x 12)D y =5y +12y(y R y 2)∈≠-∈≠∈≠∈≠∈≠52xx下列集合中等于空集ф的是．．｜．｜或．｜[ ]A {0}B {x x -1>x +1}C {x x >2x <2}D {x 1g(1-x )=0}26.. 下列函数中既是单调递增，又是奇函数的是[ ] A ．y = x -1 B ．y = x 3/2 C ．y = x 3/5 D ．y = x 2/37. 下列函数中是偶函数且在区间(0，+∞)上单调减少的函数是[ ]A y =x xB y =xC y =xD y =x 22332．－．．．－8. 抛物线y=x 2-4x+7，x 在什么范围内函数的值大于零 [ ]A ．x >2B ．x <2C ．x≥2D ．x 为一切实数 9.函数，定义在同一个区间上，是增函数，是减函数且≠，那么在这个区间上．一定是减函数．一定是增函数．·一定是减函数．一定是增函数f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)0[ ]A f(x)+g(x)B f(x)-g(x)C f(x)g(x)D f x g x ()()10. 如果(a+1)x >a+1的解集是x <1，则a 必须满足[ ]A ．a <0B ．a≤-1C ．a >-1D ．a <-1 11.幂函数的图象不过，点，则的取值应是．或．．．y m m x m A B C D m m m =-----<<+()()[]222200311320212.113113213123444-++++----的结果是．．．．[ ]A B C D13.设，，，，则、、的大小关系是．．．．0114313<<===<<<<<<<<---a M a N a PaM N P A P M NB M P NC N M PD M N P[]14.如果在，内是减函数，则的取值范围是．．．．．y x a A a B a C a D a a =∞><><<-log ()[]()2101221215. 函数y=log 1/3(x 2-6x+8)的递增区间是[ ]A ．(-∞，2)B ．(2，4)C ．[4，+∞]D ．(-∞，2)∪[4，+∞]16.. 设满足不等式，则的取值范围是．．．．x x A x B x C x D x x x 030311012..[]<><<<>-17.三个数，，的大小关系是．．．．m n p A m n p B n m p C p n m D p m n ===>>>>>>>>1432392log log []18. 已知集合A={(x ，y)│2x+y=1}，集合B={(x ，y)│x -y=0}那么A∩B= [ ]{}{}A (00) B 0 C 0 D ．，．．．∅二、填空(1-2每小题 3分, 3-4每小题4分, 共 14分)1.若，则与的大小是．110a ba b <<2.函数的定义域是．y x x =-+-215lg()3.判断下列函数的奇偶性，函数－是函数；函数是函数．y =1+1y =log (x +x +1)3322x4.已知－，则．f(x)=11+f (35)=-122xx三、计算( 6分 )()()()()1300103294102312141--+⋅--四、解答( 6分 )解方程：3x +2+3-x -6=0五、证明( 6分 )求证：函数f(x)=-x 3+1在(-∞，+∞)上是减函数．六、作图( 4分 )作出函数≠的图象．y =52x x +3(x 3)--幂函数、指数函数和对数函数单元试卷答案一、单选1. D2. C3. C4. B5. B6. C7. B8. D9. B10. D11. B12. B13. A14. D15. A16. A17. D18. A二、填空1. b<a<02. (2，4)∪(4，5)3. 非奇非偶、奇．4. -2三、计算1. -5四、解答1. x=-1五、证明1.证明：设任意实数、，∈， ∵∴ ∴即 ∴在，内是减函数x x x <x (-+)f(x )-f(x )=-x +x =(x -x )(x +x x +x )x <x x -x >0x +x x +x =(x +x 2)+34x >0f(x )-f(x )>0f(x )>f(x )f(x)=-x +1(-+)1212121232112122212211212221222212123∞∞∞∞3六、作图1.。

人教B版(2019)高中数学必修第二册第四章指数函数、对数函数与幂函数指数函数与对数函数的关系习题

4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－135．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．6．若函数f(x)＝2x＋1x＋a的反函数是其本身，则实数a＝________.7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )．知识点二反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立．其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3)D ．(1)(2)(3)14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．知识点三指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.一、单项选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)2．把函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A．y＝－a x B．y＝a－xC．y＝log a(－x) D．y＝－log a x3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( )A．(－2,0) B．[－2,2]C．[－2,0] D．[0,2]4．当0<a<1时，方程log a x＝a x的实数解( )A．有且只有一个B．可能无解C ．可能有3个D ．一定有3个5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．36．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75D ．10711．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．16．已知函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．18．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f－1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋xk.4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)答案 C解析y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝12ln x，x>0.2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)答案 D解析∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)答案 B解析令y＝12x2＋1.∵x>2，∴y＝12x2＋1>3.对调函数中的x和y得x＝12y2＋1，解得y＝2x－2.∴所求反函数为y＝2x－2(x>3)．4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－13答案 B解析∵函数y＝3x－2a，∴x＝y＋2a3，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y ＝13x ＋23a ，x ∈R .∵函数y ＝3x －2a 的反函数是y ＝bx ＋23，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13，2a 3＝23，解得a ＝1，b ＝13.故选B.5．已知函数f (x )＝x 2，x ∈D 的值域是{1,4,9}，且函数f (x )存在反函数，这样的f (x )共有________个．答案 8解析当x 2＝1时，x ＝±1；当x 2＝4时，x ＝±2；当x 2＝9时，x ＝±3.若函数f (x )存在反函数，则一个y 只能对应一个x ，列举如下：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9.故这样的f (x )共有8个． 6．若函数f (x )＝2x ＋1x ＋a的反函数是其本身，则实数a ＝________. 答案－2解析函数y ＝f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数为x ＝2y ＋1y ＋a ，即y ＝1－axx －2，因为函数f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数是其本身，所以2x ＋1x ＋a ＝1－axx －2，所以a ＝－2. 7．已知函数f (x )是以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝lg (x ＋1)，令函数g (x )＝f (x )(x ∈[1,2])，则g (x )的反函数为________________．答案 g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)解析当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，∴f (x )＝f (－x )＝lg (－x ＋1)；当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，∴f (x )＝f (x －2)＝lg [－(x －2)＋1]＝lg (－x ＋3)．∴g (x )＝lg (－x ＋3)(1≤x ≤2)，∴－x ＋3＝10g (x )，∴x ＝3－10g (x )．故反函数为g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )．解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈[－1，1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数．(2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，x ∈[－1,1]，对称轴x ＝a ，所以a ≥1或a ≤－1.当a ≥1时，f －1(x )＝a －x ＋a 2－2，x ∈[3－2a,3＋2a ]；当a ≤－1时，f －1(x )＝a ＋x ＋a 2－2，x ∈[3＋2a,3－2a ]．知识点二反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 A解析反函数的定义域即为原函数的值域．由12x －1>0可得log 212x －1∈R ，所以原函数的值域为R ，故它的反函数的定义域为R .故选A.10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 答案 D解析 ∵f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，∴－1≤log 3x 2≤1，即13≤x 2≤3，而x >0，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f －1(x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )答案 C解析由f (x )＝3x －1可得f －1(x )＝log 3x ＋1，∴图像为C.12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称答案 D解析函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )互为反函数，图像关于直线x －y ＝0对称．故选D.13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立．其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3) D ．(1)(2)(3)答案 A解析 (1)设奇函数f (x )的反函数为f －1(x )，∵f (x )是奇函数，∴f (x )的值域关于原点对称，即f －1(x )的定义域关于原点对称．假设f (x )＝y ，则f (－x )＝－y .∴f －1(y )＝x ，f －1(－y )＝－x .∴f －1(－y )＝－f －1(y )，即f －1(－x )＝－f －1(x )．∴f －1(x )是奇函数．故(1)正确；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数，不一定f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，比如f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤1，x ，x >1存在反函数，但f (x )在R 上不单调，故(2)不正确；(3)x 0不一定属于f (x )的值域，即f －1(x 0)不一定存在，故(3)不正确．故选A.14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.答案 log 2(x －1)(x >1)解析 ∵(3,9)在函数f (x )上，∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x ，又f (x )>1，∴f －1(x )＝log 2(x －1)(x >1)．15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.答案 2解析由y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，且f (4)＝1，得g (1)＝4，所以a 2＝4，a ＝2.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．答案 (1,4)解析 ∵y ＝f (x )的图像过点(0,1)，∴f (4－x )的图像过点(4,1)，∴g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点(1,4)．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，＋∞解析因为y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )互为反函数，所以二者关于y ＝x 对称．若y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )有实数根，则y ＝f (x ＋a )与y ＝x 有交点，所以x ＋a －1＝x ，即a ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.知识点三指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 2x ，y ＝的图像，如图所示，则a ，b ，c 分别为两个图像交点的横坐标，根据图像可知a <b <c .19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值答案 AC解析 ∵函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，当a >1时，由a x －1>0，可得x >0，此时，函数的图像仅在y 轴的右侧；当0<a <1时，由a x －1>0，可得x <0，此时，函数的图像仅在y 轴的左侧，故A 正确．由于f (－x )＝log a (a －x －1)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1≠－f (x )，故函数不是奇函数，故B 不正确．由于函数y ＝log a t 和函数t ＝a x 的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f (x )＝log a (a x －1)在它的定义域内一定是增函数，故C 正确．由于t ＝a x －1无最值，故y ＝log a t 无最值，故D 不正确．故选AC.20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．解 (1)要使函数f (x )＝log 2(1－2x )有意义，则1－2x>0，即2x<1. 故x <0，此时0<1－2x <1， ∴f (x )＝log 2(1－2x )<0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y ＝f (x )＝log 2(1－2x )可得1－2x ＝2y ，解得x ＝log 2(1－2y )，故原函数的反函数为f －1(x )＝log 2(1－2x )，与原函数相同，所以函数f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝x 对称，且g (x )的图像过定点(1,2020)，则y ＝f －1(x ＋1)的图像过定点________．易错分析本题容易误认为f (x ＋1)与f －1(x ＋1)互为反函数．答案(0,2021)正解∵g(x)的图像过定点(1,2020)，∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)．又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2021,1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.易错分析本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x三个图像之间的关系进行求解．答案 4正解如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P，Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称．∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4.一、单项选择题1．函数y ＝2x ＋1(x ∈R )的反函数是( ) A ．y ＝1＋log 2x (x >0) B ．y ＝log 2(x －1)(x >1) C ．y ＝－1＋log 2x (x >0) D ．y ＝log 2(x ＋1)(x >－1) 答案 C解析由y ＝2x ＋1⇒x ＋1＝log 2y ⇒x ＝－1＋log 2y ，又因原函数的值域{y |y >0}，故其反函数是y ＝－1＋log 2x (x >0)．2．把函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A ．y ＝－a xB ．y ＝a －xC ．y ＝log a (－x )D ．y ＝－log a x答案 B解析函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y 轴对称．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的反函数为y ＝a x ，其关于y 轴对称的函数解析式为y ＝a －x .故选B.3．已知f (x )＝－4－x 2的反函数为f －1(x )＝4－x 2，则f (x )的定义域为( )A ．(－2,0)B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案 D解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域．∴⎩⎨⎧4－x 2≥0，f－1x ≥0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤2，x ≥0，即0≤x ≤2.故f (x )的定义域为[0,2]．故选D.4．当0<a <1时，方程log a x ＝a x 的实数解( ) A ．有且只有一个 B ．可能无解 C ．可能有3个 D ．一定有3个答案 C解析考虑函数y ＝log a x 与函数y ＝a x 的图像公共点，易知B ，D 两项不对．又y ＝和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 的图像除了在直线y ＝x 上存在一个公共点外，还存在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12两个公共点．故选C. 5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3答案 B解析解法一：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数即y ＝log a x ，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.解法二：由题意得，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像过点(a ，a )，即a a ＝a ＝，故a ＝12.6．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )答案 B 解析 y ＝1－xx(x ≠0)的反函数为y ＝11＋x (x ≠－1)，其图像为y ＝1x的图像向左平移1个单位长度．7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 C解析由题意，可得－1≤f －1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的值域．当－1≤x ＜0时，由题图可知f (x )∈[－2,0)，当0≤x ≤12时，由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.8．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64答案 B解析由函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，则g (x )＝log 3x ，所以g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)＝log 3(x 1x 2…x 2020)2＝2log 3(x 1x 2…x 2020)＝2log 381＝8.故选B.二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上答案 AC解析对于A ，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B ，因为函数f (x )＝1x在定义域上不单调，但函数f (x )存在反函数，故错误；对于C ，因为原函数与它的反函数的图像关于y ＝x 对称，所以将y ＝f (x )的图像沿y ＝x 翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D ，比如函数y ＝－x ＋1与其反函数y ＝x 2－1(x ≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线y ＝x 上，故错误．故选AC.10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75 D ．107答案 BC解析由图像可知a >1且a 2<log a 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94>2＝94>2，故A 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169<2＝169<2，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝4925<2＝4925<2，故C 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫1072＝10049>2＝10049>2，故D 错误．综上，选BC.11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)答案 CD解析当x ＝1时，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y ＝1时，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y ＝(2)x 与的交点；(2,0.5)是函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 4x 的交点；故选CD. 12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称答案 ABC解析令a ＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A ，∵函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x图像关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，∵函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称，故B 正确；对于C ，D ，∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称，故C 正确，D 不正确．故选ABC.三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 答案－－x ，x ∈(－∞，－4]解析由y ＝－x 2，x ∈(－∞，－2]，得y ∈(－∞，－4]，∴x ＝－－y ，即f －1(x )＝－－x ，x ∈(－∞，－4]．14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x ＋1解析 ∵y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，∴f (x )的图像过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，∴k ＝－1，∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图像过点(1,3)，∴3＝a 1＋1，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．答案 (－∞，－1]解析由题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (x 2＋2x )＝，∵f (x )在R 上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t ＝x 2＋2x 的单调减区间，即(－∞，－1]．16．已知函数f (x )＝log a x －b x ＋b(a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x 解析 ∵b ≠0，∴x －b x ＋b ≠1，∴f (x )＝log a x －b x ＋b ≠0.由y ＝log a x －b x ＋b ，化为x －b x ＋b ＝a y ，解得x ＝b ·1＋a y 1－a y .把x 与y 互换可得y ＝b ·1＋a x 1－ax ，∴f (x )的反函数f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x. 四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式4x ＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝4x 图像的上方，而y ＝4x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 由图可知，log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 递减．又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12，又0<a <1，∴a ≥22. ∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 18．已知f (x )＝1－3x1＋3x ，求f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值．解令y ＝1－3x 1＋3x ，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y 1＋y ， ∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x. ∴f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝log 31－451＋45＝log 319＝－2. 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.解 ∵y ＝f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f －1(x )在R 上也是增函数．∵f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f －1(1)＝－1，f －1(3)＝1.由|f －1(log 2x )|<1，得－1<f －1(log 2x )<1，∴f －1(1)<f －1(log 2x )<f －1(3)，∴1<log 2x <3，∴2<x <8，即所求不等式的解集为{x |2<x <8}．20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋x k .解 (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．(2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以2x ＝1＋y 1－y(－1＜y ＜1)，所以f －1(x )＝log 21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． (3)因为f －1(x )＞log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x ＞log 21＋x k ，所以⎩⎨⎧ 1＋x 1－x ＞1＋x k ，－1＜x ＜1，所以⎩⎨⎧ x ＞1－k ，－1＜x ＜1，当0＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1－k ＜x ＜1}；当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．。

2024年新高一数学初升高衔接《指数函数与对数函数》综合检测卷含答案解析

第四章：指数函数与对数函数综合检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一上·宁夏吴忠·月考）若12a <）A ．12a+B ．12a-C ．12a--D ．21a -2．（23-24高一上·湖南郴州·期末）函数()42xf x x =-+的零点所在的区间为（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,53．（23-24高二下·山东济宁·月考）函数()()log 21a f x x =+（0a >，且1a ≠）的图象一定过点（）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．()0,0D ．()0,14．（23-24高一上·河南信阳·期末）我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A ．2024年B ．2023年C ．2026年D ．2025年5．（23-24高三上·陕西西安·月考）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()128x f x =-，则()0f x ≤的解集为（）A ．][(),30,3∞--⋃B ．[]3,3-C ．][(,30,3∞⎤--⋃⎦D ．[)(]3,00,3- 6．（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）若9log 6a =，3log b =0.32c =，则（）A ．c b a<<B ．c<a<bC ．a b c<<D ．b a c<<7．（23-24高一下·河南信阳·月考）已知()()5121(0,1)log 1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩，，是减函数，则a 的取值范围是（）A ．10,7⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,17⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（23-24高一下·安徽·月考）已知函数()442x x f x --=的反函数为()1y f x -=，那么()()122g x f x -=-+在[]2,6-上的最大值与最小值之和为（）A ．4B ．2C ．1D ．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）下列各式中一定成立的有（）A ．7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．=C34()x y =+D=10．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数||1()3x f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则（）A ．0a b +=B ．||1()13x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()f x 是偶函数D ．()f x 在(,0]-∞上单调递增11．（23-24高一上·广东韶关·期中）给出下列命题，其中正确的是（）A ．幂函数()R ay x a =∈图象一定不过第四象限B ．函数()12(0,1)x f x a a a +=->≠的图象过定点()1,2--C ．1lg1xy x+=-是奇函数D ．248log 3log 5log 9>>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一下·云南昆明·期中）函数()()215log 232f x x x =-++的单调递减区间为．13．（23-24高一上·江苏无锡·月考）用二分法求方程22x =的正实数根的近似解（精确度0.0001）时，如果我们选取初始区间是[]1.4,1.5，则要达到精确度至少需要计算的次数是 .14．（23-24高一上·浙江杭州·月考）若关于x 的不等式()21212180x x m +-+⋅+≤在[]0,1上有解，则实数m的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分。

高中数学第四章指数函数、对数函数与幂函数综合测试训练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高

第四章综合测试(时间：120分钟满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若n ∈N ，a ∈R ，给出下列式子：①4－42n；②4－42n ＋1；③5a 4；④4a 5.其中恒有意义的式子的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；当a ＜0时，④无意义；恒有意义的是①③.故选B ．2．函数y ＝log 12x －3的定义域为( C )A ．(－∞，18]B ．[18，＋∞)C ．(0，18]D ．(0,8][解析] 要使函数y ＝log 12x －3有意义，应满足log 12x －3≥0， ∴log 12x ≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，∴0＜x ≤18，故选C ．3．下列不等式中正确的是( C ) A ．lg 0.1＞lg 0.2 B ．0.20.1＜0.20.2C ．0.20.1＞lg 0.1D ．0.10.2＜lg 0.2[解析] lg 0.1＜0,0.20.1＞0，∴0.20.1＞lg 0.1，故选C ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( D ) A ．－18B ．18C ．－8D ．8[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝log 33－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D ．5．若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( C ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[解析] 令a ＝4，b ＝2，c ＝12，则a c ＝412 ＝2，b c ＝212 ＝2，∴a c ＞b c，排除A ；ab c ＝42，ba c ＝4，∴ab c ＞ba c ，排除B ；log a c ＝log 412＝－12，log b c ＝log 212＝－1，∴log a c ＞log b c ，排除D ，故选C ．6．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( C )[解析] 因为函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝2x ，所以f (x )＝2x .故f (1－x )＝21－x，因为此函数在R 上是减函数，且过点(0,2)．因此选C ．7．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的增函数是( B ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x[解析] 对于函数f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3，f (x )f (y )＝x 3·y 3，而(x ＋y )3≠x 3y 3，所以f (x )＝x 3不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故A 错误；对于函数f (x )＝3x，f (x ＋y )＝3x ＋y＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，因此f (x )＝3x满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x是增函数，故B 正确；对于函数f (x )＝x 12 ，f (x ＋y )＝(x ＋y )12 ，f (x )f (y )＝x 12 y 12 ＝(xy )12 ，而(x ＋y )12 ≠(xy )12 ，所以f (x )＝x 12 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故C错误；对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝f (x )·f (y )，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x不是增函数，故D 错误．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值X 围是( C )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知实数a ，b 满足等式3a＝6b，给出下列四个关系式：①a ＝b ；②0＜b ＜a ；③a ＜b ＜0；④b ＜0＜A ．其中可能成立的是( ABC )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 在同一个坐标系中画出函数y ＝3x，y ＝6x的图象如图所示．由图像，可知当a ＝b ＝0时，3a＝6b，故①可能成立；作出直线y ＝k ，如图所示，当k ＞1时，若3a＝6b，则0＜b ＜a ，故②可能成立；当0＜k ＜1时，若3a＝6b，则a ＜b ＜0，故③可能成立．故选ABC ．10．对于0＜a ＜1，下列四个不等式中成立的是( BD )A ．log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a B ．log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1aC ．a1＋a＜a1＋1aD ．a1＋a＞a1＋1a[解析] 因为0＜a ＜1，所以a ＜1a ，从而1＋a ＜1＋1a，所以log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ．又因为0＜a ＜1，所以a1＋a＞a1＋1a．11．设函数f (x )＝2x，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ACD ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f x 1－f x 2x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22[解析] 2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2，所以A 成立，2x 1＋2x 2≠2x 1·x 2，所以B 不成立，函数f (x )＝2x，在R 上是单调递增函数，若x 1＞x 2则f (x 1)＞f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，故C 正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22说明函数是凹函数，而函数f (x )＝2x是凹函数，故ACD 正确．12．关于函数f (x )＝|ln |2－x ||，下列描述正确的有( ABD ) A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增 B ．函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f (x )有且仅有两个零点[解析] 函数f (x )＝|ln |2－x ||的图像如图所示：由图可得：函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则当x 1，x 2＞2时，x 1＋x 2＞4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝x －a (其中a 为常数)的反函数为f －1(x )，若函数f －1(x )的图像经过点(0,1)，则方程f －1(x )＝2的解为__1__．[解析] 由y ＝f (x )＝x －a ，得x －a ＝y 2(y ≥0)把点(0,1)代入得a ＝1．所以f －1(x )＝x 2＋1(x ≥0)．由f －1(x )＝2，得x 2＋1＝2，即x ＝1．14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2log 32x－1，x ≥2，则f [f (2)] ＝__2__．[解析] 因为f (2)＝log 3(22－1)＝1，所以f [f (2)]＝f (1)＝2e1－1＝2．15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__22－3__．[解析] 因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数．所以定义域关于原点对称，即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1，因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为奇函数，所以f (－x )＝b －2－x 2－x ＋1＝b ·2x －11＋2x ＝－b －2x1＋2x ，即b ·2x－1＝－b ＋2x，所以b ＝1，所以f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－212 1＋212 ＝1－21＋2＝22－3．16．下列说法中，正确的是__①④__． ①任取a ＞0，均有3a ＞2a， ②当a ＞0，且a ≠1，有a 3＞a 2， ③y ＝(3)－x是增函数，④在同一坐标系中，y ＝2x与y ＝2－x的图像关于y 轴对称． [解析] ∵幂函数y ＝x a ，当a ＞0时，在(0，＋∞)上是增函数， ∵3＞2，∴3a＞2a，故①正确；当a ＝0.1时，0.13＜0.12，故②错；函数y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x是减函数，故③错；在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x＝(12)x 的图像关于y 轴对轴，故④正确．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8．[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＝94＋1＋94＝112．(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1＋a (a 为常数，且a ∈R )恒过点(1,2)．(1)求a 的值；(2)若f (x )≥2x，求x 的取值X 围．[解析] (1)f (1)＝20＋a ＝1＋a ＝2，解得a ＝1． (2)由f (x )＝2x －1＋1＝2x 2＋1≥2x ，得2x2≤1，即2x －1≤1＝20，即x －1≤0，解得x ≤1，因此，实数x 的取值X 围是(－∞，1]．19．(本小题满分12分)求函数y ＝(2x )2－2×2x＋5，x ∈[－1,2]的最大值和最小值． [解析] 设2x＝t ，因为x ∈[－1,2]，所以2x＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4则y ＝t 2－2t ＋5为二次函数，图像开口向上，对称轴为t ＝1，当t ＝1时，y 取最小值4，当t ＝4时，y 取最大值13．20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(8，m )和(9,3)． (1)求m 的值；(2)若函数g (x )＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1，某某数a 的值．[解析] (1)由题意，y ＝f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，图像过点(8，m )和(9,3)可得9α＝3，所以α＝12，故f (x )＝x 12 ，所以m ＝f (8)＝22，故m 的值为22．(2)函数g (x )＝log a f (x )，即为g (x )＝log a x ，因为x 在区间[16,36]上，所以x ∈[4,6]， ①当0＜a ＜1时，g (x )min ＝log a 6，g (x )max ＝log a 4，由log a 4－log a 6＝log a 23＝1，解得a ＝23．②当a ＞1时，g (x )min ＝log a 4，g (x )max ＝log a 6，由log a 6－log a 4＝log a 32＝1，解得a ＝32，综上可得，实数a 的值为23或32．21．(本小题满分12分)一片森林原来的面积为a ，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22．(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－(12)110 ．(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5，故到今年为止，该森林已被砍伐5年． (3)设从今年开始，以后最多能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ．令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15．故今后最多还能砍伐15年．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a ．(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值X 围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，某某数a 的取值X 围． [解析] (1)函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，求得a ＝0．又此时f (x )＝－x 是R 上的奇函数，所以a ＝0为所求． (2)函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)．故只要a ≥0即可．(3)由已知函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )．最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ．由题设log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＞0a ＋1≥4a ＋2．故－12＜a ≤－13为所求．。

中职数学指数函数与对数函数测试题

中职数学指数函数与对数函数测试题第四章单元测试试卷一、选择题1.下列函数中是幂函数的是（）。

A。

y = 5x^2B。

y = (2/3)xC。

y = (x-5)^2D。

y = 2/x^32.下列函数中是指数函数的是（）。

A。

y = 1/x^2B。

y = (-3)^xC。

y = (2/5)^xD。

y = 3*2^x3.化简log3(8)/log3(2)可得（）。

A。

3B。

log3(4)C。

2D。

44.若lg2=a，lg3=b，则lg6可用a，b表示为（）。

A。

a-bB。

a+bC。

abD。

(a+b)/25.对数函数y=logx的定义域与值域分别是（）。

A。

R，RB。

(0,+∞)，RC。

R，(0,+∞)D。

(0,+∞)，(0,+∞)6.下列各式中，正确的是（）。

A。

loga(x-y)=loga(x)-loga(y)B。

log5(x^3)=3log5(x) (x>0)XXX(MN)=loga(M)+loga(N)D。

loga(x+y)=loga(x)*loga(y)二、填空题7.比较大小：（1）1/2；（2）1/3；（3）log3(5)；（4）log5(2)；（5）ln6.8.已知log2(16)=4；log2(1/16)=（）。

9.已知log2(16)=4；log2(2)=（）。

10.若log3(2)=a，则log3(23)=（）。

11.（1）1/(5^2)；（2）1/(5^-2)；（3）5^0；（4）2^-4；（5）2^7/3^5.12.将下列根式和分数指数幂互化：（1）7b^3/5；（2）(ab)^-5/6.三、解答题13.已知幂函数y=x^α，当x=1/8时，y=2.1）求该幂函数的表达式；2）求该幂函数的定义域；3）求当x=2，3，-1/3，2/32时的函数值。

14.计算或化简（1）(349/4)^5*9/(7)；15.求下列各式中的x：（1）log3(x)=4；（2）loga(x^2/27)=3；（3）log2(3^x)=1-x。

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第四章指数函数、对数函数与及幂函数单元测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.a 2等于( )A ．|a |B ．－aC ．a 2D ．a答案 A解析由根式的性质，得a 2＝|a |.A ．6aB ．－aC ．－9aD ．9a答案 C3．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析要使函数f (x )有意义，需使(log 2x )2－1>0，即(log 2x )2>1，∴log 2x >1或log 2x <－1.解得x >2或0<x <12.故所求函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)，选C.4．已知＝13，则x ＝( ) A.12 B.22C ．2 D. 2 答案 D5．已知函数y ＝g (x )的图像与函数y ＝3x 的图像关于直线y ＝x 对称，则g (2)的值为( )A ．9 B. 3 C. 2 D ．log 32答案 D解析依题意可得，g (x )＝log 3x ，∴g (2)＝log 32.6．下列函数中，在(－∞，0)上是增函数的是( )A ．y ＝lg xB ．y ＝3xC ．y ＝x －1D ．y ＝－(x ＋1)2答案 B解析函数y ＝lg x 在(－∞，0)上无意义，函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，函数y ＝－(x ＋1)2在(－∞，0)上先增后减，函数y ＝3x 在R 上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数．7．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，若f (a )＝b ，则f (－a )＝( ) A ．b B ．－b C.1b D ．－1b答案 B解析因为函数f (x )＝2x －12x ＋1为奇函数，所以f (－a )＝－f (a )＝－b ，故选B.8．已知函数y ＝－2x 3＋2，则该函数在区间[0,2]上的平均变化率为( )A ．8B ．－8C ．16D ．－16答案 B解析由题意可知x 1＝0，x 2＝2，所以y 1＝－2×0＋2＝2，y 2＝－2×23＋2＝－14，所以Δx ＝x 2－x 1＝2，Δy ＝y 2－y 1＝－14－2＝－16.所以该函数在区间[0,2]上的平均变化率为Δy Δx ＝－162＝－8，故选B. 9．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是( )答案 B解析 y ＝|f (x )|≥0，排除C ；取x ＝12，则y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝|2－2|＝2－2<1，排除D ；取x ＝－12，y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2＝2－22>1，排除A ，故选B. 10．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝ln 0.3的大小顺序是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b答案 A解析 ∵a ＝70.3>1,0<b ＝0.37<1，c ＝ln 0.3<0，∴a >b >c .11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A ．－4B ．4C ．－6D ．6答案 A解析由题意，得f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1.所以f (－log 35)＝－f (log 35)＝＝－4.12．已知a ，b 是方程log (3x )3＋log 27(3x )＝－43的两个根，则a ＋b ＝( )A.1027B.481C.1081D.2881答案 C解析 log (3x )3＋log 27(3x )＝－43，即1log 3(3x )＋log 3(3x )3＝－43，令t ＝log 3(3x )，则1t ＋t 3＝－43，即t 2＋4t ＋3＝0，所以t ＝－1或t ＝－3，所以log 3(3x )＝－1或log 3(3x )＝－3，即x ＝19或x ＝181，所以a ＋b ＝1081，选C. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．函数f (x )＝－a 2x －1＋2(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析令2x －1＝0，解得x ＝12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－a 0＋2＝1，∴f (x )恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．答案 19解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，而f (－2)＝3－2＝19，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝19. 15．关于x 的方程lg x 2－lg (x ＋2)＝0的解集是________．答案 {－1,2}解析由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2>0，x ＋2>0，x 2＝x ＋2，得x ＝2或x ＝－1. 16．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫29x ＝2m －3有负根，则实数m 的取值范围是________．答案 m >2解析方程有负根，即当x <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫29x ＝2m －3有解，∵当x <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫29x >1，∴2m －3>1.∴m >2. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝log 12x . (1)求当x <0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )≤2.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )，又因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )． (2)由题意及 (1)，知原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，log 12 x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－log 12 (－x )≤2，解得x ≥14或－4≤x <0.18．(本小题满分12分)众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本高．某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，200克装的售价为3元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润．生产成本与饼干质量成正比，包装成本与饼干质量的算术平方根(估计值)成正比，利润率为20%，试计算该种饼干1000克装的合理售价(精确到0.1元)．解设饼干的质量为x 克，则其售价y (元)与x (克)之间的函数关系式为y ＝(ax ＋b x )(1＋20%)．由已知有1.6＝(a ·100＋b 100)×1.2，即43＝100a ＋10b ，① 3＝(a ·200＋b 200)×1.2，即2.5＝200a ＋102b .②联立①②解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ≈0.0285，a ≈0.0105，∴y ＝(0.0105×x ＋0.0285x )×1.2.当x ＝1000时，y ≈13.7，∴该种饼干1000克装的合理售价约为13.7元．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2a x －a 2x (a >0，且a ≠1)．(1)当a ＝3时，求函数f (x )的值域；(2)当a >1，x ∈[－2,1]时，f (x )的最小值为－7，求a 的值．解 (1)当a ＝3时，函数f (x )＝1－2·3x －32x ，令t ＝3x (t >0)，则g (t )＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2，因为t >0，所以－(t ＋1)2＋2<1，即f (x )<1，故所求函数的值域为(－∞，1)．(2)由(1)可得f (x )＝－(a x ＋1)2＋2，因为a >1，所以函数y＝a x 为单调递增函数且y >0，所以函数f (x )为单调递减函数，由f (x )的最小值为－7，得f (1)＝－7，所以－(a 1＋1)2＋2＝－7且a >1，解得a ＝2，故所求a 的值为2.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12020＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12020的值； (2)当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为函数f (x )的定义域是(－1,1)，f (－x )＝x ＋log 21＋x 1－x ＝－(－x )＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 1＋x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋log 21－x 1＋x ＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12020＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12020＝0. (2)令t ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x，则t ＝－1＋21＋x在(－1,1)上单调递减．又y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x在(－1,1)上单调递减．所以当x ∈(－a ，a ](其中a ∈(0,1))时，函数f (x )存在最小值，f (x )min ＝f (a )＝－a ＋log 21－a 1＋a.21．(本小题满分12分)设f (x )＝lg 1＋2x ＋4x a 3，且当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求实数a 的取值范围．解欲使x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，需1＋2x ＋4x a >0恒成立，即a >－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . 令u (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x . ∵u (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在(－∞，1]上是增函数， ∴当x ＝1时，u (x )max ＝－34. 于是可知，当a >－34时，满足题意，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 22．(本小题满分12分)已知常数a (a >1)及变量x ，y 之间存在关系式log a x ＋3log x a －log x y ＝3.(1)若x ＝a t (t ≠0)，用a ，t 表示y ；(2)若已知(1)中的t 在区间[1，＋∞)内变化时，y 有最小值8，则这时a 的值是多少？x 的值是多少？解 (1)用换底公式可将原方程化为log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3，若x ＝a t (t ≠0)，则t ＝log a x ≠0，故有t ＋3t －log a y t＝3，整理，得log a y ＝t 2－3t ＋3，∴y ＝at 2－3t ＋3(t ≠0)．。