概率论极限定理

记Ak
|Xk k | Bn
(k 1, 2, , n, ),则
P max |Xk k| 1k n Bn
P
n
Ak
n
P(Ak )
k1 k1
n k 1
|xk |Bn
dFk (x)
1 2 Bn2
n k 1
|xk |Bn (x k )2dFk (x)
0（n 时）
n
第五章 极限定理
§5.1 大数定理
定义1：设{X n}(n 1, 2, )是一随机变量序列，X 是一个随机变量，若
对于 0，有 lim P n
X n X ε 0，
P 则称序列{X n}依概率收敛于X，记作X n X .
意义：An {| Xn X | } , pn P(An ) ,则 pn 1 (n 时)
n
Yn k 1
k 1
Bn
, Bn2
2 k
k 1
若 lim n
P{Yn
x}
( x)成立,
则称{X n}服从中心极限定理。
Yn N 0,1
n Xk
N
n
k
,
Bn2
k 1
k 1
7
1.林德伯格(Lindeberg)定理
设随机变量序列{Xn}相互独立，数学期望及方差存在：
E(Xk )
k , DX k
其中EXk=k, DXk≤C<+∞,（k=1,2,…,n,…）
则对 0, 都有
lim
n
P
Xn
1 n
n k 1
k
0.
P Xn
1
n
n k 1
k
3
2.辛钦大数定律
{Xn}独立同分布，EXn (n 1, 2,
则lim P n
Xn
0
P
Xn
)存在，
此定理使算术平均值的法则有了理论依据： 测量时以n次测量的平均值作为最后的试验结果。
即n很大时，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε为误差。
（随机性消失）
1
定义2：设{X n}是一随机变量序列，
n
P
EXn (n 1, 2,
)存在，记X
n
=
1 n
X k ,若X n
EX n ,
k 1
则称 {X n}服从大数定律。
2
1.切比雪夫大数定律:
设X1, X2, …, Xn, …是由相互独立的随机变量所构成的序列,
n
Xk k
上式表明，当n充分大时，和式Yn k1
k 1
Bn
中每一项
Xk k Bn
一致地依概率收敛于0。
9
2. 列维－林德伯格中心极限定理
设随机变量序列{Xn}(n=1, 2, … ) 独立同分布， E( X k ) , D( X k ) 2 , k 1, 2, ,则
x R,
lim P
2 k
(k
1,2,, n,)
n
记Bn2
2 k
, 若
0, 有
k 1
lim
n
1 Bn2
n k 1
|xk |Bn (x k )2dFk (x) 0
则 {Xn}服从中心极限定理。
n Xk
N
Baidu Nhomakorabea
n
k
,
Bn2
k 1
k 1
8
上式中极限称为林德伯格条件，验证此条件成立比较困 难，所以计算时一般不会引用此定理。但是该条件给了我们 一个很好的结论：
16
三个极限定理之间的关系
林德伯格(Lindeberg)定理（独立） 列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布） 棣莫弗--拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）
练习:
1. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为
这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为
10%的一批产品不能被接受的概率达到0.9? (147个)
4
3.贝努里大数定律
设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数， p(A)是事件A在每次试验中发生的概率，则
0,
lim P n
nA n
p
A
0
nA P p A
n
贝努里大数定理说明, 事件A发生的频率依概率收敛到事件A发生的概率p, 这就以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
5
三个大数定理之间的关系
切贝雪夫大数定理（随机变量独立） 辛钦大数定理 （随机变量独立同分布） 贝努里大数定理（随机变量独立同分布于0-1分布）
§5.2 中心极限定理
相互独立的随机变量序列{Xn}, 设EXn , DXn (n=1,2,…)存在, 令
EX k
k , DX k
2 k
,
(k
1, 2,
)
n
n
Xk k
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棣莫弗--拉普拉斯定理的应用：
令Xn是n重贝努里试验中事件A发生的次数， 则Xn~B(n,p)，其中p=P(A)。
P
Xn n
p
P
n X n np
pq npq
n pq
2
n pq
1
14
棣莫弗--拉普拉斯定理的应用：
1.已知n, p,，计算频率与概率之间的误差
P
Xn n
p
( 2
n pq
1)
2.已知p,
,
和P
Xn n
p
，求n
（即抽样方案的设计，确定样本容量）
3.已知n,
p和P
Xn n
p
，求
（事后评估，精度的估计） 15
例3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/6。某商店
从该厂任意选购6000个元件，试问这6000个元件中，合格品的 比例与1/6之间误差小于1%的概率是多少？
n
Xk n
k 1
x
n
n
(x)
n
X k N n, n 2
k 1
10
例1.计算机进行加法运算，把每个数四舍五入到整数再相加， 假设各个数的舍入误差是相互独立的，同服从于U(-0.5 , 0.5)。 求： (1)1200个数相加，误差之和的绝对值超过15的概率； (2)最多几个数相加才能保证误差之和的绝对值小于10的概率
达到0.95。
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3.棣莫弗--拉普拉斯定理
设随机变量X n服从二项分布B(n, p), 则 x, 有
lim
P
X n np
x (x)
n np(1 p)
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例2.有240台电话分机，独立使用，每台话机约有5%的时间使
用外线。问总机至少需要多少外线才能90%以上的保证各分机用 外线不必等候。
线路？(79条)
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2. 一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，
每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有80%的部件工作
才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠
度为0.95? (25个)
3. 设某电话总机要为2000个用户服务，在最忙时，平均每
户有3%的时间占线，假设各户是否打电话是相互独立的，
问若想以99%的可能性满足用户的要求，最少需要多少条