(完整版)解三角形题型汇总
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
《解三角形》知识点归纳及题型汇总
1、①三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B);
②.角平分线性质:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质:若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒.
2、三角形三边关系:a+b>c; a-b<c
3、三角形中的基本关系:
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin .2222
A B C A B C ++== (1)和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=m . (2) 二倍角公式
sin2α = 2cosαsinα.
2222
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22
αααα-+== (3)辅助角公式(化一公式) )sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中a b =
ϕtan 4、正弦定理:在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有2sin sin sin a b c R C
===A B . 5、正弦定理的变形公式:
①化角为边:2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②化边为角:sin 2a R A =,sin 2b R B =,sin 2c C R
=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④
sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C
++===A +B +A B =2R
6、两类正弦定理解三角形的问题:
①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角,求其他边角.
7、三角形面积公式:111sin sin sin 222
C S bc ab C ac ∆AB =A ==B .=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4 =2
)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式) 8、余弦定理:在C ∆AB 中,
2222cos a b c bc =+-A ,
2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-. 9、余弦定理的推论:
222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222
cos 2a b c C ab
+-=. 10、余弦定理主要解决的问题:
①已知两边和夹角,求其余的量.
②已知三边求角
11、如何判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式.
设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则:
①若222a b c +=,则90C =o ;
②若222a b c +>,则90C <o ;
③若222a b c +<,则90C >o .
12、三角形的五心:
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
题型之一:求解基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边),求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题.
1.在中,,,,则
.
2.在ΔABC 中,已知66cos ,364==
B AB ,A
C 边上中线B
D =5,求sin A .
题型之二:判断形状:
1.在ABC ∆中,已知C B A sin cos sin 2=,那么ABC ∆一定是( )
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .正三角形
2.在△ABC 中,AB =5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .非钝角三角形
题型之三:解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题.
1. 在∆ABC 中sin cos A A +=
22
,AC =2,AB =3,求A tan 和∆ABC 的面积.
2.已知ABC △
1
,且sin sin A B C +=.
(1)求边AB 的长.
(2)若ABC △的面积为1sin 6C ,求角C 的度数.
题型之四:求值问题
ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A C =
1. 在ABC ∆中, 222a bc c b =-+,32
1+=b c ,求A ∠和B tan
2.在锐角ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,已知sin 3A =
,
(1)求22
tan sin 22B C A
++的值. (2)若2a =,ABC S =△b 的值.
题型之五:求最值问题
1.在△ABC 中,已知 cos (cos )cos 0C A A B +-=.
(1)求角B 的大小.
(2)若1a c +=,求b 的取值范围
2.△在内角的对边分别为,已知.
(1)求.
(2)若,求△面积的最大值.。