(完整版)解三角形题型汇总

《解三角形》知识点归纳及题型汇总

1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

②.角平分线性质:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒.

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：

sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin .2222

A B C A B C ++== （1）和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=m . （2） 二倍角公式

sin2α = 2cosαsinα.

2222

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22

αααα-+== （3）辅助角公式（化一公式） )sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中a b =

ϕtan 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C

===A B ． 5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④

sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C

++===A +B +A B =2R

6、两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

7、三角形面积公式：111sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4 =2

)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式) 8、余弦定理：在C ∆AB 中，

2222cos a b c bc =+-A ，

2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 9、余弦定理的推论：

222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222

cos 2a b c C ab

+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量.

②已知三边求角

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若222a b c +=，则90C =o ；

②若222a b c +>，则90C

③若222a b c +<，则90C >o ．

12、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

题型之一：求解基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

1.在中，，，，则

．

2.在ΔABC 中，已知66cos ,364==

B AB ，A

C 边上中线B

D =5，求sin A ．

题型之二：判断形状：

1.在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

2．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．非钝角三角形

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. 在∆ABC 中sin cos A A +=

22

，AC =2，AB =3，求A tan 和∆ABC 的面积.

2.已知ABC △

1

，且sin sin A B C +=．

（1）求边AB 的长.

（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．

题型之四：求值问题

ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A C =

1. 在ABC ∆中， 222a bc c b =-+,32

1+=b c ，求A ∠和B tan

2．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =

，

（1）求22

tan sin 22B C A

++的值. （2）若2a =，ABC S =△b 的值.

题型之五：求最值问题

1.在△ABC 中，已知 cos (cos )cos 0C A A B +-=.

(1)求角B 的大小.

(2)若1a c +=，求b 的取值范围

2．△在内角的对边分别为,已知.

(1)求.

(2)若,求△面积的最大值.