2019届福建省晋江市(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)高三上学期期中考试数学(理)试题

2019届福建省晋江市（安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校）高三上学期期中考试数学（理）试题考试科目：数学（理科） 满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|2}M x x =<，{}2|0N x x x =-<，则下列关系中正确的是（ ）（A ）M N ⋃=R （B ）M C N ⋃=R R （C ）N C M ⋃=R R （D ）M N M = （2）若复数z 满足(3)(2i)5z --=，则z 的共轭复数为（ ）（A ）2i + （B ）2i - （C ）5i + （D ）5i - （3）()()()()=-︒+︒--︒︒-x x x x 140cos 70sin 50cos 20sin ( )（A ）12 （B（C ）12- （D）（4）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ）（A ）xx y 212-= （B ）x x y sin ⋅= （C ）()1lg +=x y （D ）||2x y -= （5）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数4cos(2)3y x π=-的图象（ ）（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（6）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“n S 的最大值是8S ”是“789710a a a a a ⎧⎨⎩++>0+<0”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知y x ,满足约束条件223231x y x y kx y -≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，且2z x y =+的最小值为1，则实数k 的值为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）13（8）曲线y =，直线x y -=2及x 轴所围成的图形的面积为( ) （A ）34 （B ）38 （C ）310 （D ）316 （9）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20191()6n n f π==∑（ ） （A ）1- （B ） 12（C ） 0 （D ） 1（10）在边长为1的正方形ABCD 中，且BE AD μ= ，CF AB μ=-，则AE AF ⋅= ( )（A ）1 （B ）1- （C ）12μ- （D ）21μ- （11）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7431n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是( )（A ）6 （B ）4 （C ） 3 （D ）2（12） 若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数,,a b c 均存在以()f a ,()f b ,()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）（A ）1(1,1)e -- （B ）1(1,e 3)e -- （C ）1(1,)e-+∞ （D ）(e 3,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。

第（13）题--第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。

第（22）题--第（23）题为选考题，考生根据要求作答。

二. 填空题. （本大题共4小题，每小题5分，共20分） （13）已知sin 3sin 3παα⎛⎫=+⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______________. 6π 512π1-1（14）已知向量a ，b 满足||2=a ，||1=b，||-≤a b b 在a 上的投影的最小值是 .（15）已知等比数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的公比分别为2，A ，B ，记()()()()414314214114+-+-+-+-+++=n n n n n a a a a b ，()()()()()*+-+-+-+-∈∙∙∙=N n a a a a C n n n n n ,414314214114，则=BA. （16）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若cos 3cos a B b A =，则A B -的最大值是 ． 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分）已知函数()R x x x x x f ∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++=,2112cos 12sin cos 2ππ． (Ⅰ) 求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,3ππ上的最大值和最小值； (Ⅱ) 若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛-40,532242παπαf ，求α2sin 的值.（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 以及n T 的最小值．（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，12PD AD AB ==,PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小.（20）（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、csin cos C c A =，222a cb +=+． （Ⅰ）求A 和B 的大小；（Ⅱ）若,M N 是边AB上的点，,6MCN b π∠==CMN ∆的面积的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1g x x x =++ (Ⅰ)求()g x 的单调区间； (Ⅱ)设1()ln x f x x x e =-的最小值为M ，证明：2211,M e e ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭请考生从第（22）、（23）题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:sin x a C y a⎧=⎪⎨=⎪⎩（a 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为1)4cos(22-=+πθρ. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数122)(--+=x x x f ． （1）求不等式2)(-≥x f 的解集M ；（2）对任意),[+∞∈a x ，都有a x x f -≤)(成立，求实数a 的取值范围．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学 2018年秋季高三期中联考参考答案及评分说明一. 选择题1. B2. D3. A4. C5. A6. B7. B8. C9. D 10. A 11. A 12. D 二. 填空题13. 12 15. 4096212=（都可以） 16. 6A B π-= 三．解答题17. 解：()分分432sin 232cos 232sin 21232sin 232cos 23212sin 232cos 212cos 21221262sin 22cos 1⋯⋯⋯⋯⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⋯⋯⋯⋯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=ππx x x x x x x x x x x f (Ⅰ) ∵()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12,3ππ上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,12ππ上是减函数…………5分 436,2312,433=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-πππf f f …………6分∴()()2312,433max min =⎪⎭⎫⎝⎛=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππf x f f x f …………8分 (Ⅱ)∵5324sin 23242=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-παπαf ∴544sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα…………9分 ∵40πα<<25714sin 242cos 2sin 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∴παπαα…………12分 18. 解：（Ⅰ）当1n =时，12a =。

………………1分当2n ≥时，1122n n S a --=-，………………2分所以1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，即*12(2,)nn a n n a -=≥∈N ， ………………4分 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故*2()n n a n =∈N . ………………6分 （Ⅱ）令112n n n n n b a ++==， 12323412222n nn T +=++++ ，…………① ………………7分 ①×12，得234112341222222n n n n n T ++=+++++ ，…………②………………8分①－②，得1133222n n n T ++=-，……………9分 整理，得332n n n T +=-，……………10分又令32n n n c +=，则14126n n c n c n ++=<+，是所以1n n c c +>，{}n T 是单调递减数列…………11分 所以11n T T ≥≥.n T 的最小值为1………………12分 19. 解：(Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=︒=,由余弦定理得BD = …………1分 从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥…………3分 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD PD ⊥…………4分 所以BD ⊥平面PAD . …………5分 故PA BD ⊥…………6分(Ⅱ)如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，…………7分则()0B,()C -,()0,0,1P，(1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=-易得平面PAD 的一个法向量为()0,1,0n =r…………8分设平面PBC 的法向量为m u r，则m PB m BC ⋅=⋅=…………9分 可取(0,1,m =-u r…………10分1cos ,2n m m n n m ⋅==⋅ …………11分故平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角的大小为60︒ …………12分20. 解：sin cos C c A =sin sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，所以tan A =6A π=． …………………………2分 由222a cb +=+，得2222ac b ac +-=，由余弦定理，得cos B =6B π∴=……4分 （Ⅱ）设()090MCA αα∠=︒≤≤︒，在AMC ∆中由正弦定理，得sin sin CM ACA AMC=∠ 所以CM =，同理CN =8分故MCN CN CM S ABC ∠⋅⋅⋅=∆sin 213116sin sin 63ππαα==≥⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时4πα=……12分21. 解：(Ⅰ) ()'1ln 1g x x x =++…………1分， 设()1ln 1h x x x=++ ()'22111x h x x x x-=-=…………2分 所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增…………3分()()min 120h x h ==>，即()'0g x >…………4分所以()g x 在()0,+∞上单调递增…………5分(Ⅱ) ()ln 1xf x e x -'=++，…………6分， 设()ln 1x F x e x -=++()'11x x xe x F x e x xe -=-+=，…………7分， 设()xG x e x =- ()'10x G x e =->，所以()G x 在()0,+∞上单调递增()()010G x G >=>，即()'0F x >，所以()F x 在()0,+∞上单调递增…………8分()()12120,10e e F e e F e e ------=>=-<所以()F x 在()0,+∞上恰有一个零点()210,x e e --∈且()00ln 10x ex -++=*…………9分()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增…………10分0000001()ln ln ln 1x M f x x x x x x e==-=++，()210,x e e --∈…………11分 由(Ⅰ)知0()f x 在()0,+∞上单调递增 所以()()2102211()f e f x f e e e----=<<=- 所以2211,M e e ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭…………12分 22. 解：（Ⅰ）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=,………………………2分 由1)4cos(22-=+πθρ，得2sin cos -=-θρθρ，……………………4分所以直线l 的直角坐标方程为02=+-y x .……………………………………5分（2）直线1l的参数方程为1,.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），……………………7分 代入2213x y +=化简得：2220t -=，…………………9分设B A ,两点所对应的参数分别为21,t t ，则121t t =-， ∴12||||||1MA MB t t ⋅==. ………10分23. 解： （Ⅰ）， 当时，，即，所以；……………1分当时，，即，所以；……………2分 当时，，即，所以；……………3分综上，不等式的解集为．……………4分（Ⅱ）设……………5分因为对任意，都有成立，所以．① 当时，，……………6分所以所以，符合．……………7分 ② 当时，，……………8分所以所以，符合．……………9分 综上，实数的取值范围是．……………10分。