状态空间设计法

K 0.24 1
λ(A) An α1An1 αn
例：设被控对象完全能控，且对象离散状态方程为：
X(k 1) AX(k) BU(k)
A
1 0
1
1
0 B 1
按极点配置法设计反馈控制系统，使期望极点为 z1 0.4 z2 0.6
解法1：Qc
[B
AB
]
0 1
1
1
rank(Q c )
2
因此 Qc
控制器组成： ► 状态观测器 ► 控制规律
一、 按极点配置设计控制规律
设：连续控制对象的状态方程
x(t) y(t)
A1x(t) C1x(t)
B1u(t)
相应的离散状态方程
x(k 1) Ax(k) Bu(k) y(k) Cx(k)
A eA1T
B
T
e
A1τ
dτ
0
假设控制规律是线性状态反馈
L
L1 L2
误差状态方程的特征方程为 ZI A LC 0
z 0
0 z
1 0
1
1
L1 L2
[1
0]
0
z 1 L1
L2
1 z 1 0
z2 (L2 2)z 1 L1 L2 0
(z 0.2)(z 0.3) 0 L1 0.56 L2 1.5
0 Qc [B AB ] 1
能控
令反馈矩阵 K k1 k2
z 1 det(zI A BK)
k1
1 z 1 k2
z2
(k2
2)z (1k1
k2)
0
特征方程： (z 0.4)(z 0.6) z2 z 0.24 0
K 对比系数得： 0.24 1
解法2：用Ackerman公式求解：
0
Qc [B AB
u(k) kX(k)
闭环系统的状态方程
x(k 1) (A Bk)X(k)
闭环特征方程
zI A BK 0
设计反馈控制规律L，使得闭环系统具有所需要的极点配置。
闭环控制极点：
βi (i 0,1,2, ,n)
求得闭环特征方程为：
βc (z) (z β1 )(z β2 ) (z βn ) zn α1zn1 αn 0 反馈控制矩阵K应满足方程：
det(zI A BK)(zI A LC) 0
分离定理：状态反馈和观测器可以分别独立设计。它 们之间无关联性。
det(zI A BK) 0 det(zI A LC) 0
例：系统的状态方程为
X(k 1) AX(k) BU(k) y(k) CX(k)
1 1
A 0
1
0 B 1
1
1
rank(Q c ) 2
，因此Qc 能控。令反馈矩阵
K k1 k 2 ，则特征方程为
z 1 det(zI A BK)
k1
1 z 1 k2
z2 (k2
2)z (1 k1 k2 ) 0
期望特征方程 (z 0.4)(z 0.6) z2 z 0.24 0
对比系数得：
u(k) B
B
z X (k) 1 C
y(k)
A +
zL Xˆ (k ) 1 C
yˆ(k )
A
取误差状态为：X~(k) X(k) Xˆ (k)
X~(k 1) X(k 1) Xˆ (k 1) AX(k) Bu(k){AXˆ (k) Bu(k) L[y(k) yˆ(k)]} AX(k) Bu(k){AXˆ (k) Bu(k) LC[X(k) Xˆ (k)]} (A LC)[X(k) Xˆ (k)] (A LC)X~(k)
AX(k) BK[X(k) X~(k)] (A BK)X(k) BKX~(k) X~(k) X(k) Xˆ (k) 将此方程与误差方程合并，得闭环系统动态方程：
X(k X~ (k
1) 1)
A
BK 0
BK X(k) A LCX~(k)
A BK BK
detzI
0
A LC 0
误差状态特征方程为： zI A LC 0
若期望的极点为βi (i 1,2, ,n) ，期望观测器特征多项式：
n
η(z) (z βi ) zI A LC 0 i 1 对于高阶系统，也有Ackerman公式：
K
wenku.baidu.comη(A)Q
e 1 T
on
en 0 0 1 η(z) zn α1zn1 αn
Χ [1 0]
系统状态不可直接获得，按状态观测器法设计 L ，z1 0.2 z2 0.3 2）求状态反馈 K ，使期望极点为 z1 0.4 ，
z2 0.6
解：1）能观矩阵：
C CA
1 1
0 1
满秩，观测器可任意极点配置
设闭环观测器方程 Xˆ (k 1) AXˆ (k) Bu(k) L[y(k) yˆ(k)]
zI A BK βc(z)
状态完全可控的充要条件是：
rank B AB An1B n
系统满足秩的要求，k 就有唯一的解。
对于高阶系统反馈矩阵可用Ackermann公式求解：
K enQc1λ(A)
en 0 0 1
Qc B AB A2B An1B
λ(z) zn α1zn1 αn
全维观测器、降阶观测器。
状态观测器方法：将系统状态变量模拟出来用它来代替真实的 状态变量构成反馈系统，这种方法称状态观测器法。
降阶观测器：根据系统可测状态，重构出其余那些不能测量 的状态。
X(k 1) AX(k) Bu(k) Y(k) CX(k)
按上述系统构造模拟系统：
Xˆ (k 1) AXˆ (k ) Buˆ (k ) Yˆ (k ) CXˆ (k )
期望特征方程
]
：
1
1
1
Q1c
0 1
11 1
1
1
1 0
λ(z) z2 z 0.24 0
λ(A)
A2
A
0.24I
0.24
0
1 0.24
K enQc1λ(A) 0
111
10.24 0 0
1 0.24
0.24
1
第二节 状态观测器设计法
观测器的设计思想：根据能够测量的系统输出量和输入量，重 构出全部状态。
Qo C CA CA 2 CA n1
η(A) An α1An1 αn
二、带观测器的状态反馈系统
u(k ) B
z X (k) 1 C
y(k )
A +
B
zL Xˆ (k ) 1 C
yˆ (k )
A K
由于被控对象取状态较难，从观测器取状态得：
u(k) Kxˆ(k) X(k 1) AX(k) Bu(k) AX(k) BKXˆ (k)