斯特林公式及其精确化形式
斯特林公式及其精确化形式
韩山师范学院学生毕业论文（2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。
利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。
关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left.Key words:Stirling formula;improved;error;relative error目录1. 斯特林公式的探求过程 (1)1.1用nn和对n n⎪⎭⎫⎝⎛2对n！进行估计 (1)1.2用nen⎪⎭⎫⎝⎛对n！进行估计 (3)1.3改进nen⎪⎭⎫⎝⎛的形式 (5)1.4证明斯特林公式 (6)2.用计算机求斯特林公式的精细化形式 (7)2.1猜想斯特林公式的改良式 (7)2.2构造改良式函数f（n） (8)2.3用线性回归求f（n） (11)2.4改良式的简单形式 (12)3. 改良式的相关证明 (12)3.1 n!的相关定理和推论 (12)3.2证明改良式比斯特林公式更好 (13)3.3求改良式的误差及相对误差范围 (14)4.结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。
斯特林数
斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。
例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法：)}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。
所以，6)3,4(=S 。
斯特林数),(k n S 的值列表如下：容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12)2,(1-=-n n S ，2)1,(2==-C n n S n 。
定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。
证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。
把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。
所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。
两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。
如果规定当1<k 或n k >时，0),(=k n S ，则公式 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+对 任何正整数n 和任何整数k 都成立。
定理2 对任何整数 n 1≥ 和 0≥k ，有∑-=--=1)()1(!1),(k i n i k i i k C k k n S 。
excel斯透奇斯规则求组数
excel斯透奇斯规则求组数斯特林公式（又称斯特林逼近公式）是数学中常用的一种组合估值公式，用来估计阶乘函数n!的值。
它由英国数学家詹姆斯·斯特林于1730年左右发现并证明。
斯特林公式的形式为：n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中，n是一个正整数，π是圆周率，e是自然常数（底数为e的自然对数约等于2.718）。
斯特林公式给出了阶乘的一个相对精确的近似计算值，特别适用于计算大的阶乘，从而避免了直接计算阶乘可能产生的大整数溢出问题。
为了求解斯特林公式在其中一范围内的组数，我们可以利用斯特林公式的逆运算，即求解斯特林公式中的n。
首先，我们需要确定一个目标值，作为我们所要求解的组数的上限。
假设我们所要求解的组数上限为N。
则斯特林公式给出的逼近计算值为：√(2πN)*(N/e)^N我们可以通过不断地增加n的值，将斯特林公式计算值逐步逼近目标值N，从而确定一个最接近N的整数n。
具体的求解过程如下：1.初始化起始值为一个正整数n，假设为12. 根据斯特林公式计算当前 n 的近似计算值，记为 value。
value = √(2πn) * (n / e)^n3. 判断 value 是否小于目标值 N。
- 如果 value < N，则将 n 增加一定增量（例如 1），并继续计算步骤 2- 如果value ≥ N，则停止计算，并记录此时的 n 值。
4.输出记录的n值作为最终的组数估计结果。
需要注意的是，斯特林公式的近似计算值只是一个估计值，可能会存在一定的误差。
因此，在使用斯特林公式求解组数时，需要根据实际情况进行适当调整和修正。
此外，斯特林公式的计算过程较为复杂，需要计算平方根和次方等复杂运算，因此在实际计算时可能会存在一定的计算复杂性和时间消耗。
对于大的组数，可能需要使用计算机或计算工具来进行计算。
综上所述，我们可以通过斯特林公式和其逆运算，求解给定目标值下的组数。
然而需要注意的是，斯特林公式只是一个近似计算值，可能存在一定的误差，因此在实际应用中需要谨慎使用，并结合实际情况进行适当的修正和验证。
反常识数学公式(二)
反常识数学公式(二)反常识数学公式集锦引言在数学领域，存在一些看似荒诞可笑的公式，但它们却具有令人难以置信的数学证明和应用。
本文将介绍一些反常识数学公式，并附上相应的例子和解释。
斯特林公式（Stirling’s Formula）斯特林公式是一种估计阶乘函数的公式，由苏格兰数学家詹姆斯·斯特林于1730年提出。
公式表示为：n! ≈ √(2πn)(n/e)^n其中，n表示任意正整数，π是圆周率（约等于），e是自然常数（约等于）。
例如，当n=5时，可以使用斯特林公式来估计5的阶乘：5! ≈ √(2π/)^5) ≈实际上，5的阶乘等于120，而斯特林公式得到的结果只是一个近似值。
费马大定理（Fermat’s Last Theorem）费马大定理是数学史上最著名的问题之一，由法国数学家皮埃尔·费马于1637年提出。
公式表述为：x^n + y^n ≠ z^n, (x, y, z为正整数，n为大于2的整数)这个定理的意思是，对于任何大于2的整数n，不存在正整数解（x, y, z），使得x的n次方加上y的n次方等于z的n次方。
例如，当n=3时，费马大定理可以表示为：x^3 + y^3 ≠ z^3这意味着无论如何选取正整数x、y和z，它们的三次方之和不可能相等。
费马大定理在数学中被广泛研究和讨论，并直到1995年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯成功证明。
错误的证明（False Proof）在数学中，有时候会出现一些看似正确的证明方法，但实际上是错误的。
以下是一个例子：定理：1=2 证明： - 设a=b - 则：a^2 = ab （两边同时乘以a）- 渐进计算：a^2 - b^2 = ab - b^2 （两边同时减去b^2） - 因为a=b，所以有：a^2 - b^2 = ab - b^2 - 这可以变形为：(a+b)(a-b)= b(a-b) - 接下来，我们可以约分，得到：a+b = b - 由于a=b，所以可以继续变形：b+b = b - 继续简化：2b = b - 除以b得到：2 = 1 - 因此，我们得到了1=2的结论。
斯特林公式推导
斯特林公式推导斯特林公式（LeibnizFormula）又称作斯特林公理（LeibnizAxiom），是丹斯斯特林发现的一个重要的数学定理。
斯特林在17世纪的十月份发现了斯特林公式，它是一个描述任何函数的一元微积分的有用定理。
斯特林公式的推导将有助于我们更好地理解微积分的原理，其中包括对函数的微分和对它的积分，以及它们如何相互作用的。
斯特林公式是一个多项式，可以用来求出任何函数的一阶导数。
这个定理描述了函数的一阶微分与它在曲线上的积分之间的关系。
它表明，如果函数f (x) x=a可导，那么它的一阶导数f(a)于函数f(x)[a, b] 之间的积分。
这里的a和b是一个区间，也可以用作不定积分的边界。
也就是说，斯特林公式可以用来求出函数的一阶导数。
斯特林公式的推导由基本的微积分概念和定理开始，这些定理源于古希腊时期，并在数学发展的早期受到了很多关注。
斯特林公式的推导基于2个基本的概念：变量和函数。
变量是可变的量，函数是描述它们之间关系的表示式。
函数的性质和概念在古希腊时期也受到了很多关注，当时函数被定义为一个可以变化的量，这就是定积分的概念。
斯特林公式的推导首先涉及到对函数的微分。
微分是在给定的点之外取微小变量的方法，它可以用来求出函数的一阶导数，这也是斯特林公式中涉及的概念之一。
首先，我们将一般函数定义为：f(x)=f(x+Δx)这里f (x)表示函数，Δ x表示变量。
接下来，我们可以求出函数f(x)Δx的微分，它由变量Δ x的极限与函数f(x)增量之比而定： limΔx→0 [ f(x+Δx)-f(x) ] /x = f(x)这里f(x)表示函数f(x)的一阶导数。
接下来，我们可以利用定积分的概念来证明斯特林公式，它描述了函数的一阶导数与它的积分之间的关系。
可以证明，如果函数f (x)在x = a处可导、且具有可积性，那么它的一阶导数由如下的定积分决定：f(a)=ab∫f(x)dx这里的b是一个区间，也可以用作不定积分的边界。
组合数 近似公式
组合数近似公式
组合数是数学中的一个概念，表示从n个不同元素中选取r个元素的组合方式的数量。
用符号C(n,r)来表示。
对于较小的n和r，可以直接使用组合数公式计算，即C(n,r) = n! / (r!(n-r)!),其中"!"表示阶乘。
然而，当n和r很大时，计算阶乘的运算量非常大，很难直接计算。
在这种情况下，可以使用近似公式来计算组合数。
常见的近似公式之一是斯特林公式（Stirling's approximation），即：
n! ≈ √(2πn)(n/e)^n
根据斯特林公式，可以得到组合数的近似公式：
C(n,r) ≈ √(2πn)(n/e)^n / [√(2πr)(r/e)^r * √(2π(n-r))((n-r)/e)^(n-r)]
这个近似公式可以用于估算组合数的值，特别是当n和r都很大时。
需要注意的是，这个近似公式只是提供了一个近似的数量级，不是准确的计算结果。
对于精确的计算，应使用精确的组合数公式。
拓展：
除了斯特林公式外，还有其他的组合数近似公式。
其中，包括高斯近似公式、泊松分布近似等等。
这些公式都是为了在计算复杂的组合数时提供一个近似的解决方案。
同时，还可以结合计算机编程以及算法优化等方法，来提高组合数计算的效率。
n阶乘近似公式
n阶乘近似公式n阶乘近似公式是一种用来计算阶乘的近似值的方法。
阶乘是指从1乘到n的连续整数的乘积，通常用n!表示。
在实际计算中，当n 的值非常大时，直接计算n!往往会遇到计算量过大的问题。
因此，人们提出了一种近似计算n!的方法。
n阶乘近似公式的核心思想是利用数学的逼近方法，通过一系列运算逼近出n!的近似值。
其中最著名的近似公式是斯特林公式，它可以用来计算较大的n的阶乘。
斯特林公式的表达式如下：n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n其中，π是圆周率，e是自然对数的底数，约等于2.71828。
斯特林公式的近似效果较好，特别是在n较大时。
然而，需要注意的是，斯特林公式仅为n!提供了一个近似值，并不能完全等同于精确值。
因此，在具体应用中，需要根据实际需求和精度要求来选择适当的计算方法。
除了斯特林公式外，还有其他一些近似计算n!的方法。
例如，泰勒级数展开法可以将n!表示为一系列无穷级数的求和形式，通过截断级数来近似计算n!。
此外，还有一些递推公式和递推关系可以用来计算n!的近似值。
这些方法各有优劣，适用于不同的问题和场景。
在实际应用中，n阶乘近似公式可以帮助我们高效地计算阶乘。
无论是在数学领域的研究中，还是在工程技术的实际应用中，阶乘的计算都是非常常见的。
通过使用近似公式，我们可以快速获得阶乘的近似值，从而简化计算过程，提高计算效率。
n阶乘近似公式是一种用来计算阶乘的近似值的方法。
斯特林公式是其中最著名的一种近似公式，可以用来计算较大的n的阶乘。
除了斯特林公式外，还有其他一些方法可以用来近似计算n!。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，可以帮助我们高效地计算阶乘。
斯特林公式推导
斯特林公式推导
按照斯特林公式推导，我们可以做出准确的计算。
斯特林公式是一种用来计算不定积分的方法，它的公式是：∫u'(x)dx=u(x)+C，其中u(x)是待求积分函数，u'(x)表示u(x)的一阶导数，C是定值。
斯特林公式可以帮助我们计算不定积分，给出正确的答案。
斯特林公式不仅可以用来计算一般函数的不定积分，也可以用来计算复杂函数的不定积分，如指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数等。
斯特林公式的发明者是18世纪德国数学家斯特林。
斯特林公式的使用方法很简单，只需将待求积分函数u(x)带入斯特林公式，解导数u'(x)，然后求得u(x)的积分为：u(x)+C，这样斯特林公式就帮助我们解出了我们所求的不定积分。
总之，斯特林公式可以用来计算不定积分这一难题，简化计算给我们提供了很大的便利。
同时它也给出了正确的答案，被数学家们广泛使用，是一个重要的积分计算公式。
斯特林公式之证明
斯特林公式之证明n!≈√(2πn)*(n/e)^n其中n!表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底数。
下面我们来证明斯特林公式。
首先，我们需要使用泰勒级数的展开来估算n的阶乘。
根据泰勒级数公式，对于一个光滑的函数f(x)在x=a处的展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
我们来考虑对数函数ln(x)在x=e处的泰勒级数展开式。
我们有：ln(x) = ln(e) + ln'(e)(x-e) + ln''(e)(x-e)²/2! + ln'''(e)(x-e)³/3! + ...由于ln(e) = 1，根据对数函数的性质，我们知道ln'(e) = 1/e，ln''(e) = -1/e²，ln'''(e) = 2/e³，以此类推。
将这些值代入到泰勒级数展开式中，我们可以得到：ln(x) = 1 + (x-e)/e + (-1/e²)(x-e)²/2! + (2/e³)(x-e)³/3!+ ...接下来，我们对ln(x)进行积分。
由于积分是微分的逆过程，我们注意到对于ln(x)的一阶导数是1/x，因此ln(x)的不定积分为：∫ln(x)dx = xln(x) - x + C其中C为常数。
现在，我们将ln(n)的积分值带入斯特林公式中。
我们有：∫ln(n)dx = nln(n) - n + C而n!的定义为n!=1*2*3*...*n，对于这个表达式，我们可以转化为求n!的对数值：ln(n!) = ln(1 * 2 * 3 * ... * n) = ln(1) + ln(2) + ln(3)+ ... + ln(n)然后我们将ln(n!)写成对数之和的形式，得到：ln(n!) = ∫ln(n)dx = nln(n) - n + C因此，我们可以得到：n! = e^(nln(n) - n) * e^C现在，我们再次来考虑斯特林公式：n!≈√(2πn)*(n/e)^n我们来比较两个表达式，看是否相似：e^(nln(n) - n) * e^C ≈ √(2πn) * (n/e)^n我们注意到e^C是一个常数，不影响我们的比较。
斯特林公式推导范文
斯特林公式推导范文首先，我们从n!的定义开始推导，n!表示从1到n的所有正整数的乘积。
我们可以将n!表示为：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1接下来，我们取对数两边：ln(n!) = ln(n*(n-1)*(n-2)*...*2*1)由于ln(a*b) = ln(a) + ln(b)，我们可以将ln(n!)展开为：ln(n!) = ln(n) + ln(n-1) + ln(n-2) + ... + ln(2) + ln(1)现在，我们使用泰勒级数展开来近似这个和式。
泰勒级数展开将函数表示为无穷级数的形式，它是许多函数的重要近似方法。
泰勒级数展开公式如下：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2f''(a)/2!+(x-a)^3f'''(a)/3!+...我们可以将ln(n)在x=a=1展开，其中n是无穷级数中的自变量，a是展开点：ln(n) = ln(a) + (n-a)d/dx ln(x)，x=a + (n-a)^2d^2/dx^2 ln(x)，x=a/2! + (n-a)^3d^3/dx^3 ln(x)，x=a/3! + ...因为我们展开点是1，所以a=1，我们可以简化这个泰勒级数展开为：ln(n) = (n-1)d/dx ln(x)，x=1 + (n-1)^2d^2/dx^2 ln(x)，x=1/2! + (n-1)^3d^3/dx^3 ln(x)，x=1/3! + ...现在，我们取到n的整数部分（n-1），并将其视为连续的变量n。
我们可以将d/dx ln(x)表示为1/x，d^2/dx^2 ln(x)表示为-1/x^2，d^3/dx^3 ln(x)表示为2/x^3，依此类推。
然后，我们将每一项进行近似：(n-1)d/dx ln(x)，x=1 ≈ (n-1)(1/1) = n-1(n-1)^2d^2/dx^2 ln(x)，x=1 ≈ (n-1)(-1/1^2) = -(n-1)(n-1)^3d^3/dx^3 ln(x)，x=1 ≈ (n-1)(2/1^3) = 2(n-1)将这些代入之前的泰勒级数展开ln(n) ≈ (n-1) - (n-1) + 2(n-1) + ...=n-1现在，我们取指数，得到：n!≈e^(n-1)对斯特林公式的推导就到此为止。
第二类斯特林数公式推导
第二类斯特林数公式推导好嘞，今天咱们聊一聊一个看起来高大上的数学话题——第二类斯特林数。
听起来有点吓人？别急，先别急着跑，咱们慢慢捋。
你看，斯特林数这个东西，跟人分组有关系。
哎，别以为只是纯粹的数学公式，它和咱们生活中的一些场景可有着不小的联系。
你要是参加过团队活动，肯定知道怎么分配任务对吧？嗯，第二类斯特林数就和这事儿有关。
举个例子，假设你有一堆小伙伴（就比如7个），你要把他们分成几组，可能有3组，也可能有4组，甚至可能有5组。
你觉得有多少种不同的分法呢？嘿，别着急，咱们今天就来聊聊第二类斯特林数是怎么算的，弄清楚它的公式后，你就能算出所有的分组方式啦。
咱们得了解一下什么是“分组”。
就好像你买了7个苹果，想把它们分成3堆。
你肯定不想分得很零碎，对吧？你可能想有两堆苹果比较多，一堆少一点。
好，第二类斯特林数的意思就是，给定一个数字n（表示苹果的个数），你要把它分成k堆（这些堆也叫做“子集”），你一共能有多少种不同的分法。
这时候，你可能会想，哎呀，咋这么复杂，哪里有那么多分法啊。
嘿，其实你错了，分法有的是！不过，咱们现在要做的，就是找到一种方法，算出这些不同的分组方式有多少。
所以说，第二类斯特林数S(n, k)就是用来表示这个“分组数”的。
你可以理解成，就是一种“组合数学”技巧，它帮你快速算出把n个物品分成k组的不同方法。
想象一下，如果你要在7个人中，挑出3个团队，咱们怎么来分呢？这其中有很多种方式，不同的组合，不同的排序，每个组里的人数也不一样。
第二类斯特林数S(7, 3)就是在帮我们算这些方式的总和。
你可能会想，那这个公式是怎么来的呢？来来来，给你讲个故事。
第二类斯特林数是递归的，它跟前面的分组情况有关系。
简单来说，它有个著名的递推关系公式：S(n, k) = k * S(n1, k) + S(n1, k1)。
哦？别被这堆字母吓住了，咱来一个个拆开。
这里面说的是，你想把n个人分成k组，可以从前面的情况出发：要么把第n个人放到已经存在的k组里（于是剩下的n1个人就要分成k组），要么把第n个人单独放到一组里（这时候剩下的n1个人就得分成k1组）。
化学中的斯特林公式和熵的概念
化学中的斯特林公式和熵的概念化学是一门涵盖广泛的科学，许多其它学科，例如物理学、数学和工程学，都与化学有着密切联系。
在化学研究过程中，熵是一个非常重要的概念。
斯特林公式是描述熵的重要方程之一。
在本文中，我们将介绍斯特林公式和熵的概念，以及这些概念如何在化学中扮演重要角色。
斯特林公式斯特林公式是物理学家威廉·斯特林于1730年首次提出的，该公式通常用于描述微观系统的热力学行为。
斯特林公式的全称是斯特林公式近似，表示为:ln(W) ≈ k lnS其中 ln(W) 表示热力学系统的微观状态数，S 表示系统的热力学熵，k 是玻尔兹曼常数。
该公式基于统计力学和微观物理学原理，显示了一种近似方法，使我们能够从微观状态计算系统的热力学性质。
斯特林公式的应用斯特林公式是用来计算系统的熵的最常用方程之一。
熵是描述系统无序程度的物理量，是一个物理量，不是具体物质的物质属性。
通常情况下，熵是随时间增加而增加的。
热力学中一个重要的定律是熵增原理，即任何孤立系统中的熵总是增加的。
斯特林公式可以用来描述随着热力学系统状态发生变化而涉及到的熵的变化。
在一个熵增的系统中，系统趋向于从更有序的状态转变为更无序的状态。
斯特林公式可以帮助我们对熵增原理的重要性有更深入的理解。
熵在化学中的应用熵在化学中有广泛的应用。
例如，热力学的熵解释了为什么一些化学反应是可逆的，而另一些则是不可逆的。
正如我们之前所提到的，熵的增加通常是引起系统不可逆性的原因。
因此，对于在化学系统中发生的任何反应，我们可以用斯特林公式来计算熵变。
在热力学中，熵变通常被表示为ΔS，是一个表示出发态和终态之间熵的差异的量。
如果一个反应的ΔS为正，则说明反应具有熵增特性，是无法完全逆转的。
反之，如果ΔS为负，则表示反应具有熵减特性，可能是可逆反应。
结论斯特林公式是描述热力学系统熵变的重要方程之一。
斯特林公式的应用是介绍了它在熵增原理中的重要性，并展示了它在化学中的应用。
斯特林公式及其精确化形式
斯特林公式及其精确化形式
n!≈√(2πn)*(n/e)^n
其中，n!表示n的阶乘，π是圆周率，e是自然对数的底数。
n! = ∫(0, ∞) x^n e^(-x) dx
将上述积分式展开，我们得到：
n! = ∫(0, ∞) x^n e^(-x) dx
= -x^n e^(-x)，0,∞ + n ∫∫(0, ∞) x^(n-1) e^(-x) dx
= n ∫(0, ∞) x^(n-1) e^(-x) dx
利用分部积分法，递归进行n次积分，我们得到：
n! = n (n-1) (n-2) ... 3 * 2 * 1 ∫(0, ∞) e^(-x) dx
=n(n-1)(n-2)...3*2*1
因此，我们得到了n!的精确计算公式，即n!=n(n-1)(n-2)...3*2*1
通过比较斯特林公式和精确计算公式，我们可以看出斯特林公式是由
精确计算公式的近似形式推导出来的。
在斯特林公式的精确化形式中，我
们可以看到斯特林公式给出的结果是n!的一个近似值。
它是由求极限的
理论推论得到的，在n趋于无穷大时，斯特林公式的结果会越来越接近精
确计算公式的结果。
斯特林公式的应用十分广泛，主要在概率统计、物理、生物等领域中。
它可以用于估计大数的阶乘，从而简化大数计算的复杂度。
例如，在生物
学中，当研究群体中的个体数目非常大时，直接计算阶乘是非常耗时的。
而通过斯特林公式，我们可以得到一个近似值，从而简化计算过程。
斯特林公式Stirling Formular
题目：关于阶乘的近似公式1.相关历史与进程历史上对阶乘的估计在数学上有着重要的作用，首先是它在概率论与数理统计中，最早可以追溯到1733年一位法国的数学家de Moivre 的工作，同时也是第一次遇到对整数阶乘的估计问题。
在他研究Gauss 分布和中心极限定理时发现了如下公式：!constant nn n e ⎛⎫≈ ⎪⎝⎭然后，瑞典数学家Stirling在试图给出二项分布的一般的近似值时，发现了未知的常数：constant =Stirling 公式：!nn n n e σ⎫≈=⎪⎭紧接着他就得到如下的结果，并发表在了Miscellaneis Analyticis Supplementum 中：221111ln[(1)!]~ln()ln(2)222(21)k k k B n n n n k k nπ-≥⎛⎫---++ ⎪-⎝⎭∑ (1)公式(1)也被称为Stirling 级数，其中的2k B 称为Bernoulli 数，定义如下：0011,0kj j k B B j =+⎛⎫== ⎪⎝⎭∑其中1k ≥。
将(1)式的前m 项记为2211exp 2(21)nm k m k k B n e k k x τ-=⎛⎫⎫= ⎪⎪-⎭⎝⎭∑同时Euler 提出了一个函数，它可以作为整数的阶乘在正实数中的拟合。
这函数便是Γ-函数：10()t z z e t dt +∞-Γ=⎰，也可以定义为极限的形式：!()lim(1)()zn n n z z z z n →∞Γ=++而且显然有(1)!n n Γ+=，而且目前对阶乘的估计也或多或少的用Γ-函数来描述，甚至利用Γ-函数的性质来发现新的更好的渐进函数。
之后，关于!n 的渐进公式的探索逐渐缓慢下来。
直到最近才有了新的突破。
2.第一种有关!n 的渐进形式——含有幂级数的渐进公式依靠幂级数来求数值解的思想一直是较好的方法。
其中在Stirling 所处的时期便已经有了一个幂级数展开，而且拥有着各种相似的形式，如在Abramowitz 和Stegun [1]的书中记载着：3571111!exp 1236012601680nn n e n n n n ⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭但是在1763年Bayes [5]在给Canton 的信中说：Stirling 给出的这个幂级数展开并不是一个收敛级数。
斯特林公式——精选推荐
斯特林公式先想⼀个简单的问题 让你去求⼀个任意⼀个数 x 在 a 进制下的位数，那么答案就是 log(a)(x) + 1, (以 a 为底 x 的对数 + 1 )现在让你去求 n！在 a 进制下的位数答案就是 log(a)( n! ) = log(a)(1*2*3*...*n) = log(a)(1) + log(a)(2) + log(a)(3) + ... + log(a)(n) . 最后在取整+ 1这种做法的复杂度是 n *log n ,当 n 很⼤时显然是不可取的，斯特林公⽰是对此的⼀个优化int main() {//freopen("in.txt", "r", stdin);//freopen("out.txt", "w", stdout);int x;while(~scanf("%d", &x)){double ans = 0;int s = 1;for(int i = 1; i <= x; i++){ans += log10(i);s *= i;}printf("%d ", s);printf("%d\n", (int)(ans)+1);}return 0;}斯特林公式在这边 pi = acos(-1.0) e = exp(1.0) ;int n;cin >> n;int len = log10(2*n*pi)/2+n*log10(n/e)+ 1;printf("%d\n", len); 直接⽤公式就可以求得其也可以⽤在求任何进制下的位数，只要将底数变成相应进制下即可，借助换底公式扩展：有⼀种问题是让你求 n! 末尾的 0 的个数，想这个问题，只有2和5相乘的时候才会在末尾有0出现，这⾥⾯ 2 的个数⼜⽐较多，那么只需要数5 的个数即可int main() {ll x;cin >> x;printf("%lld\n", x/5);return 0;}。
正态分布推导
正态散布的推导斯特林 (Stirling) 公式的推导斯特林（ Stirling）公式：这个公式的推导过程大概来说是先设一个套，再兜个圈把结果套进来，同时把公式算出来。
Stirling 太强了。
1，Wallis公式证明过程很简单，分部积分就能够了。
由x 的取值可得以下结论：即化简得当 k 无穷大时，取极限可知中间式子为1。
所以第一部分到此结束， k! 被引入一个等式之中。
2，Stirling公式的求解持续兜圈。
对于 lnX 的图像的面积，能够有三种求法，分别是积分，内接梯形分开，外切梯形分开。
分别是：明显，代入第一部分最后公式得（注：上式中第一个beta 为平方）所以得公式：正态散布推导在一本俄国的概率教材上看到以下一段出色的推导，才知道本来所谓正态分布其实不是哪位数学家一拍脑门想起来的。
记得大学时的教材上只告诉了我们在抽样实验中当样本总量很大时，随机变量就听从正态散布，至于正态散布是怎么来的一点都不提。
大学从前，我一直深信数学是世界上最雅致的艺术。
可是上了大学以后，发现好多半学上好多问题教材中都是语焉不详，并且好多定义没有任何说明的就出来了，就像一致连续，一致收敛之类的，显得是那么的突兀。
这时候数学就像数学老师同样强横，让我对数学极其讨厌，足足有四年之久。
只到前些日子，在CSDN 上读到孟岩的一篇并于矩阵的文章，才从头对数学发生兴趣。
近来又读到了齐民友所写的《重温微积分》以及施利亚耶夫所写的《概率》，才知道本来每一个定义，和每一个定理都有它的价值和意义。
头几日在网上碰到老文，小小的商讨了一下这个问题，趁便问起他斯特林公式的证明过程。
他说刚巧近来非常在研究这个公式，就写出来放在百度上以供来者仰望吧。
于是就有了这篇文章：斯特林 (Stirling) 公式的推导假如哪位在读本篇从前想要知道斯特林公式是怎么来的，请阅读之。
本来是想和老文一块发的，怎奈一个小小的公式编写器让我费了两个夜晚才搞定。
于是直到现在天，刚刚有这篇小文字。
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韩山师范学院学生毕业论文（2012届）韩山师范学院教务处制诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。
毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程，并改进了一些证明方法。
利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确，并求出它的误差范围和相对误差范围，解决了参考文献[2]的作者蔡永裕没有解决的问题。
关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract：This paper conjectures a new search of Stirling formula based on the research of Professor Cai Congming, and it also improves the proving methods. By using the experimental data generated by computer, we guess out the reform-type of Stirling formula audacity, which has proved to be more accurate economicaly than that of using the traditional mathematical methods. By determining its error limit and relative error range ,it solves the problem which the author of refs [2] Cai Yongyu left.Key words:Stirling formula;improved;error;relative error目录1. 斯特林公式的探求过程 (1)1.1用nn和对n n⎪⎭⎫⎝⎛2对n！进行估计 (1)1.2用nen⎪⎭⎫⎝⎛对n！进行估计 (3)1.3改进nen⎪⎭⎫⎝⎛的形式 (5)1.4证明斯特林公式 (6)2.用计算机求斯特林公式的精细化形式 (7)2.1猜想斯特林公式的改良式 (7)2.2构造改良式函数f（n） (8)2.3用线性回归求f（n） (11)2.4改良式的简单形式 (12)3. 改良式的相关证明 (12)3.1 n!的相关定理和推论 (12)3.2证明改良式比斯特林公式更好 (13)3.3求改良式的误差及相对误差范围 (14)4.结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。
DeMoivre 最先得到斯特林公式（1718年）；接着James Stirling 在1730年又重新得到它。
后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。
当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式，但他们没有证明它比斯特林公式更精确，也没有求出它的误差范围。
本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。
1. 斯特林公式的探求过程斯特林公式：12!lim=-∞→nn n en n n π，目前有许多文章论述斯特林公式的证明,不过都是在知道斯特林公式后, 给出证明相应的方法,虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。
有些令人有“美中不足”的感觉。
本文我们就试着来补上这个缺憾, 展示一种推测式的猜想过程。
这只是其中的一种猜想过程, 因为登一座山可以有各种不同的路径, 路径越多越美妙（用函数的观点来探求）。
1.1用nn 和对nn ⎪⎭⎫⎝⎛2对n ！进行估计 首先观察 n! = n （n −1）（n −2） · · · 3 ·2 · 1，令函数!f(n)n =)(+∈N n ，我们知道这是一个增长很快的函数。
在高中时，我们学过一个增长很快的指数函数x 2f(x )=，但是∞=→∞nn n 2!lim,故n 2低估了n!，在这里我们把指数函数x2f(x )=变形为x a =f(x )（a 为一个确定的正整数），但是无论a 取哪一个确定整数，我们可以得到∞=∞→n n an !lim 。
于是继续追寻，如果将x a =f(x )变形为xx =f(x )（x >0），显然这个函数的增长会更快。
由于n n n ⋅⋅⋅⋅⋅=f(n)（n 个n 相乘），显然0!lim=∞→nn n n ，故nn 高估了 n!。
不过也不错,因为我们找到了一个比n!更大的估计式nn ，但是因为nn 要远远比n!大很多，当n 趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。
那么我们如何找一个比n n 更小的数？现在将函数xx =f(x )变形为xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛=2)(，即222)(n n n n f ⋅⋅⋅⋅⋅=（n 个2n相乘）,显然nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2是一个比n n 更小的估计式。
令nn n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2! （1）如果12!lim =⎪⎭⎫⎝⎛→∞nn n n ，那么nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2就是我们所要的估计公式。
由算术平均大于等于几何平均定理知[1]221!n n n n≈+<事实上可以用数学归纳法证明:,8,7,6,)2(!=∀<n n n n考虑（1）式中的数列}{n a , 我们的目标是探求极限 nn alim ∞→。
现在就来计算极限12)11(lim 2!)2()21()!1(lim 11lim <=+=⋅++=∞→+∞→+∞→e nn nn n a a nn nn n nn n （2）由e nn<+<)11(2可得1)11(2!)2()21()!1(11<+=⋅++=++nnn nn nn n n n a a 首先注意到}{n a 是一个递减的正项数列, 由实数系的完备性知α=∞→nn alim 存在，且0≥α （3）定理1[1]: 设}{n b 为一个正项数列。
如果 S b n n =∞→lim R S ∈(且)0≠S , 则11lim =+∞→nn n b b 。
如果 11lim =+∞→nn n b b 不成立, 则可能有三种情形: 0lim =∞→nn b或 ∞=∞→n n b lim 或 n n b lim ∞→不存在。
从（2）式中，我们知道11lim =+∞→nn n a a 不成立, 故下列三者之一成立: 0lim =∞→nn a或∞=∞→n n a lim 或 n n a lim ∞→不存在。
配合（3）式可得0lim=∞→n n a , 所以 nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2还是高估了 n!。
1.2用ne n ⎪⎭⎫⎝⎛对n ！进行估计由e e ee n nxdxn in n n n nn ni n n=⎰=∑==--∞→∞→=∞→11ln ln 1lim !ln lim !lim 这个式子[4]，可以寻找到比nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛2更小的估计式ne n ⎪⎭⎫⎝⎛。
令n n en n c )(!=，则11lim =+∞→n n n c c 。
如果1lim =∞→n n c ，那我们就可以用ne n ⎪⎭⎫⎝⎛做为n ！的估计式。
由e nn<+<)11(2可得 1)11(!)()1()!1(11>+=⋅++=++nnn nn ne n e n e n n c c ，+∈∀N n 可知数列}{n c 为一个递增数列，故β=∞→nn clim 存在，且(]∞∈,1β。
Wallis 公式（1656年）[1]：2)12(2)12(254343212π=+⋅-⋅⋅⋅ n n n n由Wallis 公式，可得π=∞→nn n n n )!2()!(222lim （4）由n nn n n e n en n c !)(!==可得 n n n e n c n -=! n n n e n c n 222)2()!2(-=将述两式代入Wallis 公式得π=--∞→n en c en c nn n nn n n n 2222222)2(2limπ=∞→ncc nnn 22lim （5）如果β=∞→nn clim 是一个确定的数，则由（5）式得π=0，这是一个矛盾。
因此∞==∞→∞→n n n n en n c )(!lim lim ，所以 ne n ⎪⎭⎫⎝⎛低估了 n! 1.3改进ne n ⎪⎭⎫⎝⎛的形式我们可以得到不等式nn n n e n )2(!)(<<，但是很难从2到e 之间找到一个数来改进ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛，于是尝试将ne n ⎪⎭⎫ ⎝⎛变形为)0(>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛ααn e n n。
令)0(!)(!>=⋅=-αααne n n n enn x n n n n ，则 en x x n n n α+++=)11(1比较α++n n)11(与e 的大小转化为比较它们的对数大小： )1ln()()11ln(nn n n n ++=++αα与1ln =e 的大小。
由级数展开公式：1),531(2)11ln(53<+++=-+x x x x x x 令121+=n x ，则nn x x 111+=-+，于是))12(51)12(31121)((2)1ln()(53 +++++++=++n n n n n n n αα （6）1）当21>α时，12)(2+>+n n α，由（6）式可知1)1ln()(>++nn n α 即e nn >++α)11(，故1)11(1>+=++en x x n n n α因此}{n x 递减，于是a x n n =∞→lim 存在且∞<≤a 0。
如果∞<<a 0，由Wallis 公式会得到一个矛盾。
于是0=a ，即0lim =∞→n n x 。
2）当21<α时，12)(2+<+n n α，将（6）式中的5，7，9···都改为3，可得nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 1236242)2410()2412(1 )1212)(12()11212)(22( ))(1211(1222 )12(111)12(131)(2121)(2 ))12(31)12(31121)((2)1ln()(2322222353++--+--=+++++=++++=+-⋅+⋅+++⋅+=+++++++<++ααααααααα 当n 比较大时，则1)1ln()(<++n n n α，即e nn <++α)11(。