经典难题：最大公约数与最小公倍数

最大公约数与最小公倍数（1）

1、证明：对所有的正整数n ，分数n

n n n 2122+-+不可约。

2、正整数4921,,,a a a ⋅⋅⋅的和为999，令d 为4921,,,a a a ⋅⋅⋅的最大公约数，d 的最大值为多少？

3、确定所有的三元正整数组),,(c b a ，使得c b a ++是c b a ,,的最小公倍数。

4、求所有的正整数b a ,，使得ab b a b a b a 7)(9],[9),(=+++。

5、从20,3,2,1⋅⋅⋅这20个数中挑选几个数，要使选出的数中，任何两数的最小公倍数也在选出的数中，则最多可以选出多少个数？

6、设正整数c b a ,,的最大公约数为1，并且

c b

a a

b =-。证明：b a -是一个完全平方数。 最大公约数与最小公倍数（2）

1、把1，2，⋅⋅⋅，19分成n 组，每组至少1个数，使得有2个数以上的各组中任意2个数的最小公倍数不在同一组，求n 的最小值。

2、自然数n a a a ,,,21⋅⋅⋅的和为1001，设d 为1021,,,a a a ⋅⋅⋅的最大公约数，求d 的最大值。

3、设n m a ,,为正整数，1>a ，且11++n m a a 。证明：n m 。

4、设k 为正奇数，证明：n +⋅⋅⋅++21整除k

k k n +⋅⋅⋅++21。

5、设],[s r 表示正整数r 和s 的最小公倍数，求有序三元正整数组),,(c b a 的个数，其中2000],[,2000],[,1000],[===a c c b b a 。

6、两数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两数。

最大公约数与最小公倍数（3）

1、对自然数y x ,，称),(y x 为一个数组，此外还规定当y x ≠时，数组),(y x 与),(x y 是不同的数组。如果自然数y x ,的最小公倍数为30，求这样的数组),(y x 的个数。

2、一个大于1的自然数，如果它恰好等于其不同真因子（除1及本身以外的因子）的积，那么称它为“好的”。求前十个“好的”自然数的和。

3、整数d c b a ,,,满足：1=-bc ad 。证明：1),(22=++bd ac b a 。

4、证明：对任意正整数n ，都有1)12,12(2005=+-n 。

5、100个正整数之和为101101，则它们的最大公约数的最大可能值是多少？证明你的结论。

6、已知正整数d c b a ,,,的最小公倍数为d c b a +++。证明：abcd 是3或5的倍数。

最大公约数与最小公倍数（4）

1、若n 为小于50的自然数，求使代数式54+n 和67+n 的值有大于1的公约数的所有n 的值。

2、已知两数中每一个数除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975。求这两个数。

3、已知n 为正整数，使得k n n n n n n 26)2)(1(2)1(1=--+-+

+，其中k 是正整数。请问：所有可能的n 值的总和是多少？

4、若正整数n m ,满足n m n m n m +=+),(],[，证明：n m ,中有一个整除另一个。

5、费尔马数n F 定义为12

2+=m n F 。证明：对任意不同的正整数n m ,，有1),(=m n F F 。

6、（1）对什么样的自然数2>n ，有一个由n 个相继自然数组成的集合，使得集合中最大一个数是其余1-n 个数的最小公倍数的约数。

（2）对什么样的自然数2>n ，恰有一个集合具有上述性质？

最大公约数与最小公倍数（5）

1、设250n a n +=，n 是自然数，n d 为n a 与1+n a 的最大公约数，求n d 的最大值。

2、在1998,,2,1⋅⋅⋅中，有多少个数n ，使得n 1998是n +1998的倍数？

3、设0,0>>n m ，且m 是奇数，则1)12,12(=+-n

m 。

4、是否存在100个不同的正整数，使得它们的和与它们的最小公倍数相等？

5、求正整数)3(≥n n ，使得存在n 个正整数n a a a ,,,21⋅⋅⋅，满足任意两个数的最大公因数大于1，任意三个数的最大公因数等于1，若所有的整数),,2,1(n i a i ⋅⋅⋅=均小于5000，求满足如上条件的n 的最大值。

6、求满足方程)()()2(2222y x y x y x xy y x y -+=---+的所有整数解),(y x 。

最大公约数与最小公倍数（6）

1、求正整数b a ,，使得对任意的),(,b y x a y x ≤≤，有b y x a ≤+≤

11。

2、假设正整数3021,,,a a a ⋅⋅⋅满足20023021=+⋅⋅⋅++a a a 。如果d 是的最大公因数，求d 的最大值。

3、某个三位数自乘后，所得乘积的末三位数与原三位数相同。请问：满足上述性质的所有不同的三位数的和是多少？

4、设b a ,为正整数，且1),(=b a 。证明：对任意正整数m ，数列⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++,,,2,,nb a b a b a a 中，

有无穷多个数与m 互质。

5、求所有的有理数a ，使得124≤+a ，并且42714a a A -=

为整数。

6、设r 与s 是正整数，试推导满足下列条件的有序正整数四元组{}d c b a ,,,的个数公式],,[],,[],,[73d c b d c a d b a s r ===，要求中是r 与s 的函数，记号],,[z y x 表示z y x ,,的最小公倍数。

最大公约数与最小公倍数（7）

1、设)(,0,22n m mn n m +>，则n m =。

2、求所有的质数r q p ,,，使得等式2

223r q p p ++=成立。

3、从9,,2,1⋅⋅⋅这九个数字中，每次取出3个不同的数字组成三位数。求其中能被3整除的三位数的和。

4、在各位数码各不相同的10位数中，是11111的倍数的数共有多少个？

5、证明：存在2005个不同的正整数，使得其中任意两个不同的数b a ,都满足ab b a 2)(-。

6、设正整数n m b a ,,,满足：1,1),(>=a b a ，且n n m m b a b a ++。证明：n m 。

7、定由7个不同质数组成的等差数列中，最大项的最小可能值。