关于方案设计型问题的认识

关于方案设计型问题的认识

发表时间：2011-08-09T15:59:03.637Z 来源：《中小学教育》2011年第10期下供稿作者：李洁

[导读] 问题的背景鲜活逼真，学生易于接纳，能把脉问题的实质，放飞思维，锤炼解决问题的能力。

李洁甘肃省兰州市三十二中730020

方案设计型问题在中考试卷频频中出现，充分说明此类问题已成为当前新课程改革背景下命题者重点关注的热点题型之一。本文就利用方程（组）、不等式（组）、函数性质进行方案设计谈一点粗浅的认识：这类设计问题一般具有较强的应用性和开放性,它往往集阅读理解、方案、设计、计算、说理于一体，立意新颖，具有较强的探究性，需运用数学知识和优化思想来解决。它是通过设置一个实际问题情境、分析出几种方案让考生通过计算选取最佳方案，或给出设计要求，让考生自己设计方案的一种题型。此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，一般是以生活、生产、市场经济等热点问题为素材，且试题篇幅较长，信息量大，关系错综复杂。如：

例1，为美化兰州，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个，摆放在东岗东路两侧，搭配每个造型所需要花卉情况如表所示：

结合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个A种造型的成本1000元，搭配一个B种造型的成本为1200元，试说明选用（1）中哪种方案成本最低？

分析：（1）本题要设计符合题意的搭配方案，其中隐含着条件“搭配A种造型所需的甲种花卉的盆数＋搭配B种造型所需的甲种花卉的盆数≤甲种花卉的总盆数3600”、“搭配A种造型所需的乙种花卉的盆数＋搭配B种造型所需的乙种花卉的盆数≤乙种花卉的总盆数2900”，于是可通过构造不等式组求解；（2）根据每种造型的成本价，可计算出（1）中所设计的各种搭配方案的成本价，从而确定最优方案。解：（1）设需要搭配 x个A种造型，则需要搭配（50-x）个B种造型。由题意，得

解得：30≤x≤32，其正整数解为：x=30、31或32，因此符合题意的搭配方案有3种，分别为：

方案一：A种造型30个，B种造型20个。

方案二：A种造型31个，B种造型19个。

方案三：A种造型32个，B种造型18个。

（2）由题意，得三种方案的成本分别为：

方案一：30×1000＋20×1200=54000。

方案二：31×1000＋19×1200=53800。

方案三：31×1000＋18×1200=53600。

所以第三种方案成本最低。

点评：不等式（组）方案设计应用题涉及知识面广，综合性强，所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能值。解题关键是建立不等式模型，同时注意运用方程、代数等方面的知识。

例2，（1）请说明图中①、②两段函数图像的实际意义。

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在上图的坐标系中画出该函数图像；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果。

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。

分析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据“销售利润y=日最高销售量x×每千克的利润（每千克的利润＝零售价－批发价）”，由此整理可得到y关于x的二次函数。

解：（1）图①表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；图②表示批发量高于60kg的该种水果，

即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元。

点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点意义的理解与应用。

解决此类问题，首先需根据题意建立函数关系式；其次是根据实际意义建立方程或不等式组，求方程或不等式组的解；再次，根据求到的解，确定整数解，利用函数的性质求最大值、最小值；最后运用优化思想，结合现实做出科学决策。这类问题一般有三种类型:纯文字应用题、文字与表格相结合、文字与图形相结合。所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能值。问题的背景鲜活逼真，学生易于接纳，能把脉问题的实质，放飞思维，锤炼解决问题的能力。